1. Resumen ejecutivo y tesis de mercado

Nuestro ejercicio se centra en analizar las acciones de Visa (V), McDonald’s (MCD) y Coca-Cola (KO) para construir un portafolio de USD 10 millones y estudiar cómo cambia su riesgo cuando se incorporan opciones de cobertura.

La idea no es elegir una acción solamente porque haya subido más en el pasado. Primero se revisa retorno, volatilidad, correlaciones, dividendos y sensibilidad frente al mercado con indicadores que permiten identificar el comportamiento individual de cada activo y también en general del portafolio.

Después se estiman retornos esperados mediante CAPM y se construye un portafolio media-varianza con las tres acciones.

Los activos fueron escogidos porque pertenecen a negocios diferentes, tienen una historia amplia de negociación y pagan dividendos. Esto permite comparar empresas con comportamientos distintos y observar si su combinación ayuda a equilibrar retorno y riesgo.

La optimización debe cumplir:

\[w_V+w_{MCD}+w_{KO}=1\]

y para cada activo:

\[w_i \geq 0.15\]

De esta manera los tres activos permanecen dentro del portafolio y ninguno puede desaparecer por completo de la solución exigida para el presente taller.

2. Fuentes y preparación de datos

Antes de comparar los activos es necesario trabajar con información que sea consistente entre fechas, frecuencia de negociación y tratamiento de precios.

Por esta razón, primero se revisan las fuentes, las observaciones disponibles y los datos faltantes. Con esto evitamos que una diferencia en las series termine afectando posteriormente los retornos, las correlaciones o la construcción del portafolio.

2.1 Información general de los activos

Tabla 1. Información general de los activos
Ticker Empresa Sector Industria Mercado Fuente_Precios Fuente_Dividendos Metodo_Descarga Fecha_Hora_Descarga
V Visa Inc.  Finanzas Servicios de pagos NYSE Yahoo Finance Yahoo Finance R - quantmod 2026-09-30 21:45:47 -0500
MCD McDonald’s Corporation Consumo Discrecional Restaurantes NYSE Yahoo Finance Yahoo Finance R - quantmod 2026-09-30 21:45:47 -0500
KO The Coca-Cola Company Consumo Basico Bebidas NYSE Yahoo Finance Yahoo Finance R - quantmod 2026-09-30 21:45:47 -0500

La tabla contiene la información más relevante de los tres activos, su mercado y las fuentes utilizadas. Esto es importante porque todos los cálculos posteriores parten de estas mismas series y de una misma fecha de valoración, evitando mezclar precios o dividendos provenientes de momentos distintos.

2.2 Descarga de precios

La descarga se realiza una sola vez desde Yahoo Finance a partir de 2016. La ventana más amplia se conserva para disponer de aproximadamente diez años de información cuando se estime GARCH en el Bloque II. Para el Bloque I, los datos se filtran desde el 1 de octubre de 2021 hasta la fecha de valoración.

A partir de la descarga se mantienen dos series. Adjusted Close se utiliza para calcular retornos, tanto en el análisis histórico como en CAPM y media-varianza, porque incorpora dividendos y otros ajustes corporativos.

Close se conserva como precio spot observable para la valoración posterior de opciones requerida en el presente análisis.

2.3 Revisión de datos faltantes

Tabla 2. Revisión y tratamiento de los datos
Activo Observaciones Datos_Faltantes Filas_Excluidas
V V 1247 0 0
MCD MCD 1247 0 0
KO KO 1247 0 0

Los tres activos tienen el mismo número de observaciones y no presentan datos faltantes en la muestra utilizada.

Esto permite comparar sus retornos y calcular correlaciones sin tener que completar valores artificialmente.

Los fines de semana y festivos no se consideran faltantes, porque son días en los que el mercado simplemente no tuvo negociación.

2.4 Precios Spot

Para el análisis de opciones se utiliza el precio de cierre sin ajustar, porque representa el precio observable de la acción en la fecha de valoración. Los dividendos no se incorporan mediante un ajuste al spot; más adelante se tratarán de forma separada mediante la tasa de dividendos \(q\).

Tabla 3. Precios Spot no ajustados
Activo Fecha_Spot Precio_Spot_USD
V 2026-09-21 369.95
MCD 2026-09-21 247.88
KO 2026-09-21 87.12

En la fecha de valoración los precios spot son USD 369.95 para Visa, USD 247.88 para McDonald’s y USD 87.12 para Coca-Cola. Estos precios representan el valor observable de las acciones al cierre del 21 de septiembre de 2026 y serán la referencia para comparar los strikes de las opciones.

2.5. Retornos históricos

En esta sección se organiza la información histórica de cada activo para que las series sean consistentes y comparables. Esta base se utilizará después para calcular retornos, riesgo y las demás medidas necesarias para construir el portafolio.

Se utilizaron datos históricos diarios de los activos: The Coca-Cola Company (KO), Visa Inc. (V) y McDonald’s Corporation (MCD), correspondientes al período comprendido desde el 1 de octubre de 2021 hasta la fecha de corte del estudio 21 de septiembre de 2026.

Para el cálculo de los retornos se emplearon precios ajustados (Adjusted Close), con el propósito de incorporar los efectos de dividendos y eventos corporativos relevantes para cada una de las acciones.

Adicionalmente, para la representación del precio spot de los activos y su utilización en el análisis de opciones, se empleó el precio de cierre no ajustado (Close) respondiendo a los lineamientos del laboratorio y con el objetivo de evidenciar la realidad operativa, el flujo de caja sin alteraciones de dividendos y las condiciones reales de mercado.

2.6 Retornos logarítmicos

Los retornos se calcularon mediante la metodología logarítmica, porque permite sumar los rendimientos de diferentes periodos, gracias a su propiedad de aditividad temporal, y facilitan el análisis estadístico de las series temporales de cada activo y en general del portafolio permitiendo calcular métricas como: volatilidad, covarianza y correlación que serán esenciales para la toma de decisiones del presente ejercicio.

\[r_t=\ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\]

Estos retornos facilitan el análisis de una serie a través del tiempo y permiten sumar rendimientos de diferentes períodos.

Los retornos logarítmicos se calcularon utilizando Adjusted Close.

2.7 Retorno y volatilidad histórica

El retorno logarítmico promedio anual se calcula como:

\[\bar r_{anual}=252\bar r_{diario}\]

y posteriormente se convierte a una tasa anual equivalente:

\[R_{anual}=e^{\bar r_{anual}}-1\]

La volatilidad anualizada se calcula mediante:

\[\sigma_{anual}=\sigma_{diaria}\sqrt{252}\]

Nota: El retorno logarítmico anualizado se transforma a una tasa anual equivalente para expresar el resultado en un porcentaje de rentabilidad más fácil de interpretar y comparar con otras tasas financieras.

Tabla 4. Retorno y volatilidad histórica anualizada
Activo Retorno_Historico_Anual Volatilidad_Anual Observaciones_Retorno
V 10.89% 22.86% 1246
MCD 2.80% 17.79% 1246
KO 13.89% 16.68% 1246

Coca-Cola presenta el mayor retorno histórico anualizado, con 13.89%, y al mismo tiempo la menor volatilidad, con 16.68%. Visa obtiene un retorno de 10.89%, pero es el activo más volátil, con 22.86%. McDonald’s queda con el menor retorno histórico de los tres.

El resultado muestra que un mayor retorno histórico no siempre viene acompañado de una mayor volatilidad. En esta muestra KO tuvo la relación más favorable entre ambas medidas, mientras que Visa asumió más variación en sus precios. Aun así, estos datos describen lo ocurrido entre 2021 y 2026 y no se toman directamente como una rentabilidad futura esperada.

Para complementar el análisis diario, los retornos logarítmicos se agrupan por mes. Debido a su propiedad de aditividad temporal, el retorno logarítmico mensual se obtiene como:

\[r_{m}=\sum_{t \in m} r_t\]

La gráfica mensual reduce el ruido de los retornos diarios y facilita comparar la estabilidad y los episodios de mayor variación de los tres activos. La línea punteada se utiliza únicamente como una referencia descriptiva de la dirección promedio de los retornos mensuales durante la muestra.

Es importante diferenciar una tendencia de retornos de una tendencia del precio: una pendiente ligeramente positiva o negativa en los retornos mensuales no significa por sí sola que el precio futuro vaya a subir o bajar. Tampoco permite atribuir el comportamiento de MCD, KO o V a cambios de consumo u otras causas específicas sin incorporar variables adicionales. Por esta razón, la gráfica se utiliza como apoyo descriptivo y no como una predicción.

2.8. Correlaciones

La correlación permite medir la relación entre los movimientos de dos activos.

\[-1 \leq \rho_{ij}\leq1\]

Una correlación menor que 1 permite obtener beneficios de diversificación al combinar activos.

Tabla 5. Matriz de correlaciones
V MCD KO
V 1.000 0.378 0.319
MCD 0.378 1.000 0.528
KO 0.319 0.528 1.000

La correlación utilizada puede expresarse como:

\[\rho_{ij}= \frac{Cov(R_i,R_j)} {\sigma_i\sigma_j}\]

donde \(Cov(R_i,R_j)\) mide el movimiento conjunto de los retornos y \(\sigma_i\) y \(\sigma_j\) representan sus volatilidades.

La relación más alta se presenta entre MCD y KO, con una correlación de 0.528. Visa presenta relaciones más bajas con MCD y KO, de 0.378 y 0.319, respectivamente.

En términos simples del análisis identificamos que Visa no se ha movido tan parecido a las otras dos acciones durante la muestra. Esto es favorable para el portafolio porque combinar activos que no reaccionan exactamente igual ayuda a que el riesgo no dependa de un solo comportamiento.

2.9 Mapa de correlaciones

El mapa confirma visualmente que MCD y KO forman el par de acciones más relacionado, mientras que Visa mantiene una relación menor con ambos. Esto no permite decir que una empresa cause el movimiento de la otra; solamente muestra que sus retornos han coincidido con distinta intensidad.

Para el ejercicio, lo importante es que las correlaciones son moderadas y dejan espacio para combinar los tres activos sin que se comporten como una sola posición y permitiendo en cierta medida la diversificación del riesgo.

2.10. Dividendos

Los dividendos serán importantes posteriormente para la valoración de opciones.

Como las tres compañías realizan pagos trimestrales, se toman los últimos cuatro pagos para construir una aproximación del rendimiento anual por dividendos:

\[q_i= \frac{\text{Dividendos de los últimos cuatro pagos}}{S_{0,i}}\]

Este valor resume los dividendos recientes de cada empresa y se utiliza como una aproximación de \(q\) para la valoración posterior de opciones. No representa una predicción exacta de los dividendos futuros.

Tabla 6. Información reciente de dividendos
Activo Pagos_Observados Ultima_Fecha_Dividendo Dividendo_Ultimos_4_Pagos_USD Dividend_Yield Frecuencia
V 20 2026-08-11 2.68 0.72% Trimestral
MCD 20 2026-09-01 7.44 3.00% Trimestral
KO 20 2026-09-15 2.10 2.41% Trimestral

Los tres activos pagan dividendos de forma trimestral. MCD presenta el mayor rendimiento por dividendos reciente, con aproximadamente 3.00%, seguido por KO con 2.41% y Visa con 0.72%.

Para el ejercicio, esta diferencia es importante porque los dividendos también afectan el valor de las opciones. Por eso el precio spot se mantiene sin ajustar y el efecto de los dividendos se incorpora por separado mediante \(q\). De esta forma no se mezcla el precio actual de la acción con los pagos que recibe el inversionista.

2.11. Tasa libre de riesgo

La tasa libre de riesgo se obtuvo mediante una conexión directa desde R mediante el servicio oficial del U.S. Treasury, utilizando su recurso de datos en formato XML.

La información fue leída con la librería xml2, se extrajo la curva diaria de tasas y se seleccionó la Treasury de 2 años correspondiente a la fecha de valoración.

Posteriormente, esta tasa anual se convirtió a una tasa diaria equivalente para mantener consistencia con los retornos diarios usados en CAPM.

Tabla 7. Tasa libre de riesgo utilizada
Fecha_Valoracion Fecha_Treasury_Utilizada Plazo Treasury_2Y Tipo_Tasa Uso Fuente
2026-09-21 2026-09-21 2 años 4.76% Daily Treasury Par Yield Curve Rate CAPM y Sharpe U.S. Department of the Treasury

La conversión de la tasa anual a una tasa diaria equivalente se realiza mediante:

\[R_{f,d}= (1+R_{f,a})^{1/252}-1\]

donde \(R_{f,a}\) es la Treasury anual de 2 años y \(R_{f,d}\) es su equivalente diario.

La Treasury de 2 años utilizada en la fecha de valoración es 4.76%. Esta tasa funciona como la referencia de una inversión con bajo riesgo para comparar si el retorno esperado del portafolio compensa el riesgo adicional que se está tomando.

2.11.1 Preparación de la Treasury por plazo para opciones

La Treasury de 2 años se mantiene como referencia para CAPM y Sharpe porque coincide con el horizonte principal del portafolio. Sin embargo, en la valoración de opciones la tasa libre de riesgo debe corresponder al tiempo al vencimiento del contrato y no utilizarse automáticamente la Treasury 2Y para todos los casos ya que generaría una inconsistencia temporal en la comparación.

Para dejar preparada esta condición, se conserva la curva completa descargada del U.S. Treasury y se define una función que permite obtener una tasa consistente con un vencimiento expresado en años. Si el plazo se encuentra entre dos nodos de la curva, se utiliza interpolación lineal (forma de ajustar la tasa al periodo de tiempo requerido).

Esta función no cambia la tasa utilizada anteriormente. Su objetivo es dejar preparada la metodología para que, al seleccionar las opciones, la tasa \(r\) sea coherente con cada vencimiento.

2.12. Beta y CAPM

2.12.1 Índice de mercado

Para estimar el Beta se utiliza el NYSE Composite Index (^NYA) como referencia del mercado.

El NYSE Composite se utiliza como referencia del mercado porque reúne un grupo amplio de acciones negociadas en la Bolsa de Nueva York, donde también cotizan Visa, McDonald’s y Coca-Cola las cuales son objeto del presente análisis.

El índice no hace parte del portafolio. Su función es servir como punto de comparación para medir mediante el Beta qué tan sensible ha sido cada acción a los movimientos generales del mercado. Se reconoce que ningún índice representa de forma perfecta todo el mercado planteado por CAPM, por lo que en este ejercicio el NYSE Composite se utiliza como una aproximación coherente con los activos seleccionados.

2.12.2 Retornos simples para CAPM

Aunque para el análisis histórico se utilizaron retornos logarítmicos, para CAPM y media-varianza se utilizan retornos simples:

\[R_t= \frac{P_t}{P_{t-1}}-1\]

Esto permite representar directamente el retorno del portafolio:

\[R_p= w_VR_V+ w_{MCD}R_{MCD}+ w_KOR_{KO}\]

En esta etapa se utilizan retornos simples calculados sobre Adjusted Close, manteniendo la exigencia de trabajar con precios ajustados para los retornos. Se escogen retornos simples porque permiten expresar directamente el retorno de un portafolio como la suma ponderada de los retornos de sus activos propiedad que evita inconsistencia en el momento de la valoración del portafolio.

Por esta razón, los retornos logarítmicos se mantienen para describir el comportamiento histórico de las series, mientras que los retornos simples ajustados se emplean en CAPM y en la optimización media-varianza. El precio Close sin ajustar se conserva exclusivamente como precio spot para las opciones.

2.12.3 Estimación de los Betas

El Beta se estima mediante la regresión:

\[R_{i,t}-R_{f,d} = \alpha_i+ \beta_i \left( R_{m,t}-R_{f,d} \right) + \varepsilon_t\]

donde:

  • \(R_{i,t}\) es el retorno del activo.
  • \(R_{m,t}\) es el retorno del NYSE Composite.
  • \(R_{f,d}\) es la tasa libre de riesgo diaria.
  • \(\beta_i\) representa la sensibilidad del activo frente al mercado.

De forma equivalente:

\[\beta_i= \frac{ Cov(R_i-R_f,R_m-R_f) }{ Var(R_m-R_f) }\]

El Beta corresponde a la pendiente de la regresión y mide cuánto tiende a variar el exceso de retorno de cada acción frente a cambios en el exceso de retorno del mercado.

Un Beta cercano a 1 representa una sensibilidad similar al mercado, mientras que un Beta inferior a 1 indica una sensibilidad menor al movimiento del mercado.

El \(R^2\) se utiliza como apoyo para observar qué proporción de la variación del activo está asociada estadísticamente con el mercado durante la muestra analizada, también conocido como riesgo sistematico.

2.12.4 Retorno esperado del mercado

La prima de riesgo del mercado se calcula como:

\[Prima\ de\ riesgo= E(R_m)-R_f\]

El retorno anual del NYSE Composite utilizado como aproximación de \(E(R_m)\) se estima a partir de la media histórica de los retornos simples de la muestra y es 8.96%. La prima de riesgo resultante es 4.20%.

La prima de riesgo representa el retorno adicional del mercado frente a la alternativa libre de riesgo. En este ejercicio es una estimación histórica, no una predicción cierta del retorno futuro del índice. Esta diferencia será multiplicada por el Beta de cada activo para obtener los retornos esperados CAPM.

2.12.5 Retornos esperados CAPM

CAPM se calcula mediante:

\[E(R_i) = R_f+ \beta_i \left[ E(R_m)-R_f \right]\]

Tabla 8. Betas y retornos esperados mediante CAPM
Activo Beta Alpha_Diario R2 Error_Estandar_Beta P_Value_Beta Observaciones Interpretacion Retorno_CAPM_Anual
V 0.972 0.000163 39.3% 0.0343 <0.0001 1246 Sensibilidad similar al mercado 8.84%
MCD 0.496 -0.000097 16.9% 0.0311 <0.0001 1246 Menor sensibilidad que el mercado 6.84%
KO 0.415 0.000316 13.5% 0.0298 <0.0001 1246 Menor sensibilidad que el mercado 6.50%

Visa presenta el Beta más alto, con 0.972, por lo que su comportamiento ha estado más relacionado con los movimientos generales del mercado que el de MCD y KO. MCD y KO tienen Betas de 0.496 y 0.415, por debajo de 1.

Esto se refleja en CAPM: Visa obtiene el mayor retorno esperado, con 8.84%, seguido por MCD con 6.84% y KO con 6.50%. En palabras simples, el modelo le exige una mayor compensación a Visa porque ha mostrado una mayor sensibilidad al mercado.

Los p-valores son inferiores a 0.0001 en los tres casos, por lo que se rechaza la hipotesis nula y se puede concluir que los betas son estadisticamente diferentes de 0. Sin embargo, los \(R^2\) también muestran que el mercado no explica todos los movimientos de las acciones, por lo que cada empresa mantiene una parte importante de comportamiento propio.

2.12.6 Variables utilizadas en CAPM

Tabla 9. Variables utilizadas en CAPM
Variable Valor
Tasa libre de riesgo - Treasury 2Y 4.76%
Retorno anual histórico estimado del NYSE Composite 8.96%
Prima de riesgo del mercado 4.20%

La tabla muestra que la tasa libre de riesgo es 4.76%, mientras que el retorno histórico anual utilizado como referencia del mercado es 8.96%. La diferencia, 4.20%, es la prima de riesgo utilizada por CAPM.

\[E(R_i)=R_f+\beta_i[E(R_m)-R_f]\]

Esta prima es relativamente moderada, por lo que las diferencias entre los retornos esperados de V, MCD y KO dependen principalmente de sus Betas.

3. Construcción del portafolio media-varianza

La rentabilidad esperada del portafolio se calcula como:

\[E(R_p)= \sum_{i=1}^{3} w_iE(R_i)\]

El riesgo del portafolio se calcula mediante:

\[\sigma_p= \sqrt{ w'\Sigma w }\]

La optimización debe cumplir:

\[\sum_{i=1}^{3}w_i=1\]

y:

\[w_i\geq0.15\]

Los retornos esperados utilizados por el modelo provienen de CAPM.

En esta sección utilizamos el enfoque de media-varianza, el cual combina dos elementos: el retorno esperado de cada activo y el riesgo conjunto representado por la matriz de covarianzas.

De esta manera, el portafolio no se construye solamente escogiendo la acción con mayor retorno, sino considerando también cómo interactúan los riesgos de los tres activos en busca de la mejor diversificación.

Como conclusión resultante de este análisis se sugiere al inversionista tener en consideración medidas como CAPM para determinar el retorno esperado de los activos, ya que el retorno historico calculado como la media histórica muestra la rentabilidad que realmente obtuvo una acción durante un período determinado, pero ese resultado puede estar influenciado por condiciones que no necesariamente se repetirán. CAPM, en cambio, relaciona el retorno esperado con el riesgo que el activo aporta frente al mercado.

3.1 Matriz de covarianzas para optimización

La matriz utilizada en la optimización se anualiza mediante:

\[\Sigma_{anual}=252\Sigma_{diaria}\]

Matriz de covarianzas anualizada utilizada en la optimización
V MCD KO
V 0.05247 0.01536 0.01219
MCD 0.01536 0.03161 0.01565
KO 0.01219 0.01565 0.02784

La diagonal confirma que Visa tiene la mayor varianza individual de los tres activos, mientras que KO presenta la menor. Los valores fuera de la diagonal son positivos, lo que significa que los activos tienden a moverse en la misma dirección en cierta medida, aunque no con la misma intensidad.

La matriz reúne esas relaciones y permite medir el riesgo de cada posible combinación de pesos, no solamente el riesgo de cada acción por separado.

3.2 Portafolio de mínima varianza

El portafolio de mínima varianza resuelve:

\[\min_w\; w'\Sigma w\]

sujeto a que los pesos sumen 100% y que ningún activo tenga un peso inferior a 15%.

Pesos del portafolio de mínima varianza
Activo Peso
V 18.93%
MCD 32.97%
KO 48.11%
Métricas del portafolio de mínima varianza
Indicador Valor
Retorno esperado 7.06%
Volatilidad anual 14.44%
Índice de Sharpe 0.1591

El portafolio de mínima varianza asigna una mayor participación a KO y MCD y reduce Visa a cerca del mínimo permitido. Con esta combinación la volatilidad baja a 14.44%, pero el retorno esperado también queda en 7.06%. Esto muestra el intercambio básico del ejercicio: reducir al máximo el riesgo también significa renunciar a parte del retorno esperado.

3.3. Frontera eficiente

La frontera eficiente nos permite observar las combinaciones que ofrecen el mayor retorno esperado para cada nivel de riesgo.

La parte eficiente comienza a partir del portafolio de mínima varianza; por debajo de ese punto existen combinaciones que asumen riesgo sin obtener una compensación suficiente en retorno esperado.

En este ejercicio buscamos la combinación que ofrezca una mejor compensación entre el retorno esperado y el riesgo asumido.

3.4 Portafolio con máximo Sharpe

El índice de Sharpe se calcula como:

\[Sharpe= \frac{ E(R_p)-R_f }{ \sigma_p }\]

Se selecciona el portafolio que maximiza este indicador dentro de la frontera eficiente.

Pesos del portafolio seleccionado por máximo Sharpe
Activo Peso
V 60.07%
MCD 21.39%
KO 18.54%

El portafolio con mayor Sharpe asigna 60.07% a Visa, 21.39% a McDonald’s y 18.54% a Coca-Cola. El peso de Visa aumenta frente al portafolio de mínima varianza porque CAPM le asigna el mayor retorno esperado.

La combinación alcanza un retorno esperado de 7.98% con una volatilidad de 17.10%. No es la alternativa con menos riesgo, sino la que ofrece la mejor relación entre retorno esperado adicional y volatilidad dentro de las combinaciones evaluadas y de las restricciones del ejercicio.

3.5 Gráfico de frontera eficiente

La gráfica muestra que, a medida que se busca un retorno esperado mayor, también aumenta la volatilidad del portafolio. El punto seleccionado se encuentra sobre la parte eficiente de la frontera y no en el extremo de menor riesgo ni en el de mayor retorno.

Su ubicación resume la decisión tomada: aceptar algo más de volatilidad que el portafolio mínimo para obtener una mejor compensación esperada.

3.6 Comparación de los 10 mejores portafolios

Para comprobar que el portafolio seleccionado realmente presenta el mayor Sharpe, se comparan las diez combinaciones más cercanas.

La diferencia se calcula como:

\[\Delta Sharpe_i = Sharpe_{max} - Sharpe_i\]

Comparación de los 10 portafolios eficientes con mayor índice de Sharpe
Ranking Peso V Peso MCD Peso KO Retorno esperado Volatilidad Sharpe Diferencia vs. mejor
1 60.07% 21.39% 18.54% 7.98% 17.10% 0.1883019 0.000e+00
2 59.88% 21.44% 18.68% 7.98% 17.08% 0.1883017 2.305e-07
3 60.26% 21.34% 18.41% 7.98% 17.12% 0.1883013 6.050e-07
4 59.68% 21.50% 18.82% 7.97% 17.05% 0.1883006 1.303e-06
5 60.45% 21.28% 18.27% 7.99% 17.15% 0.1882999 2.039e-06
6 59.49% 21.55% 18.96% 7.97% 17.03% 0.1882987 3.225e-06
7 60.64% 21.23% 18.13% 7.99% 17.17% 0.1882976 4.295e-06
8 59.30% 21.61% 19.09% 7.96% 17.01% 0.1882959 6.002e-06
9 60.83% 21.17% 17.99% 8.00% 17.19% 0.1882946 7.366e-06
10 59.11% 21.66% 19.23% 7.96% 16.99% 0.1882923 9.642e-06

Los diez primeros portafolios tienen valores de Sharpe casi iguales y los pesos cambian muy poco alrededor de 60% en Visa, 21% en MCD y 19% en KO.

Esto muestra que la selección no depende de una combinación aislada o extrema: existe una zona muy cercana con resultados prácticamente iguales. Por eso pequeñas variaciones operativas en los pesos no cambiarían de forma importante la lectura del portafolio.

Sin embargo, entendiendo que este ejercicio busca elegir el máximo Sharpe, se garantiza que el portafolio elegido cumple con dicha caracteristica.

3.7. Contribución al riesgo

El riesgo total del portafolio es:

\[\sigma_p= \sqrt{ w'\Sigma w }\]

La contribución marginal de cada activo se calcula como:

\[MRC_i= \frac{ (\Sigma w)_i }{ \sigma_p }\]

Esta métrica nos pareció clave incluirla en el presente análisis ya que nos permite responder una pregunta esencial: Si le doy un poco más de peso a esta acción, ¿cuánto aumenta o disminuye el riesgo del portafolio? de esa manera el inversionista podrá simular escenarios futuros con riesgo calculado.

La contribución individual al riesgo es:

\[RC_i= w_iMRC_i\]

y su participación porcentual:

\[RC_i^{\%} = \frac{ RC_i }{ \sigma_p }\]

Este último escenario ya es particular y nos permite entender, del riesgo global, que porcentaje le corresponde al activo que esté evaluando.

Tabla 10. Contribución de cada activo al riesgo del portafolio
Activo Peso Contribucion_Volatilidad Contribucion_Riesgo_Pct
V 60.07% 13.02% 76.14%
MCD 21.39% 2.36% 13.82%
KO 18.54% 1.72% 10.04%

Las contribuciones al riesgo suman 100.00%. Visa representa cerca de 60.07% del capital, pero aporta aproximadamente 76.14% del riesgo total. MCD y KO aportan una proporción de riesgo mucho menor.

Esto significa que Visa pesa más en el riesgo de lo que pesa en la inversión. No ocurre solamente porque tenga la mayor participación, sino también por su volatilidad y por cómo se mueve junto con los otros activos. Por eso el portafolio está más expuesto a lo que ocurra con Visa de lo que sugiere mirar únicamente los pesos globales.

3.8. Resumen del portafolio seleccionado

La rentabilidad esperada del portafolio es:

\[E(R_p) = \sum_iw_iE(R_i)\]

La Beta del portafolio se obtiene mediante:

\[\beta_p= \sum_iw_i\beta_i\]

Tabla 11. Resumen del portafolio seleccionado
Indicador Valor
Retorno esperado CAPM 7.98%
Volatilidad anual 17.10%
Índice de Sharpe 0.188
Beta del portafolio 0.767
Suma de pesos 100.00%
Peso mínimo observado 18.54%

El portafolio combina un retorno esperado de 7.98% con una volatilidad anual de 17.10% y un Sharpe de 0.188. Su Beta es 0.767, por debajo de 1.

En conjunto, esto indica que el portafolio tiene una sensibilidad menor que la del NYSE Composite, aunque mantiene un nivel de riesgo importante. También se verifica que los pesos suman 100% y que los tres activos permanecen por encima del mínimo exigido de 15%.

3.9. Asignación de los USD 10 millones

La inversión objetivo de cada activo se calcula como:

\[I_i= V_0w_i\]

El número de acciones es:

\[N_i= \left\lfloor \frac{I_i}{S_{0,i}} \right\rfloor\]

El valor efectivamente invertido es:

\[V_i= N_iS_{0,i}\]

El peso efectivo es:

\[w_i^{real} = \frac{V_i}{V_0}\]

Tabla 12. Asignación de la inversión de USD 10 millones
Activo Peso_Objetivo Inversion_Objetivo_USD Precio_Spot_USD Acciones Valor_Acciones_USD Efectivo_Residual_USD Peso_Efectivo
V 60.07% 6006678 369.95 16236 6006508 169.50 60.07%
MCD 21.39% 2139002 247.88 8629 2138957 45.14 21.39%
KO 18.54% 1854320 87.12 21284 1854262 58.27 18.54%

Al convertir los pesos en una inversión real se compran acciones enteras evitando inconsistencias en la asignación a través de fracciones, quedando de la siguiente forma: 16.236 de Visa, 8.629 de MCD y 21.284 de KO. El valor invertido queda muy cerca de los USD 10 millones y los pesos efectivos prácticamente no cambian frente a los pesos objetivo.

Esto confirma que el redondeo por acciones enteras no altera de manera importante la composición seleccionada y evita inconsitencias con valores fraccionados que no serán posibles negociar en el mercado real.

3.9.1. Comprobación del capital inicial

El capital total debe cumplir:

\[Capital= Valor\ de\ acciones+ Efectivo\ residual\]

Tabla 13. Comprobación del capital inicial
Concepto Valor_USD
Valor invertido en acciones 9999727.1
Efectivo residual 272.9
Capital total 10000000.0

Después de comprar las acciones quedan solamente USD 272.90 en efectivo. Frente a un portafolio de USD 10 millones, este saldo es mínimo, pero se conserva para que el valor inicial cierre exactamente y no se pierda capital por efecto del redondeo.

\[V_{p,t} = N_VS_{V,t} + N_{MCD}S_{MCD,t} + N_{KO}S_{KO,t} + Cash\]

3.10. Conclusiones del Bloque I

El análisis histórico muestra comportamientos distintos entre las tres acciones. KO tuvo el mayor retorno histórico y la menor volatilidad de la muestra, mientras que Visa fue el activo más volátil. Sin embargo, al pasar a CAPM, Visa obtiene el mayor retorno esperado porque presenta el Beta más alto frente al NYSE Composite.

La optimización selecciona una composición de aproximadamente 60.07% en Visa, 21.39% en McDonald’s y 18.54% en Coca-Cola. Con estos pesos el portafolio alcanza un retorno esperado de 7.98%, una volatilidad de 17.10% y un Sharpe cercano a 0.188.

El resultado más importante desde el punto de vista del riesgo es que Visa, aunque representa cerca de 60% del capital, aporta aproximadamente 76.14% del riesgo total. Por tanto, el portafolio no está equilibrado de la misma manera cuando se observa capital y cuando se observa riesgo.

La inversión de USD 10 millones puede implementarse prácticamente con los mismos pesos utilizando acciones enteras, dejando un saldo residual de solo USD 272.90. Con esto queda definido un portafolio concreto sobre el cual se puede medir el riesgo mediante simulación.

4. Simulación y métricas de riesgo

En este bloque se mantiene la estructura del portafolio construida en el Bloque I. No se vuelven a optimizar los pesos ni se modifica la asignación de capital garantizando continuidad con los resultados obtenidos previo a la simulación.

El objetivo ahora es simular posibles comportamientos futuros de Visa, McDonald’s y Coca-Cola y medir el riesgo del portafolio que ya fue seleccionado.

La metodología combina tres elementos:

  1. Los retornos esperados de cada activo provienen de CAPM.
  2. Las volatilidades se estiman mediante un modelo GARCH(1,1) usando aproximadamente 10 años de información histórica.
  3. La dependencia entre los activos se incorpora mediante una matriz de correlaciones y descomposición de Cholesky.

La simulación se realiza durante dos años con frecuencia diaria y un mínimo de 10.000 trayectorias. Posteriormente se extraen los valores del portafolio en cierres trimestrales para analizar su comportamiento.

4.1 Diseño de la simulación

El Movimiento Browniano Geométrico se utiliza para generar posibles trayectorias de precio para cada acción. La idea es separar tres elementos: el crecimiento esperado del activo, su volatilidad y un componente aleatorio que representa los movimientos que no podemos anticipar.

En el Bloque I el retorno esperado por CAPM se calculó con precios ajustados, por lo que representa un retorno total que incluye el efecto de los dividendos. Como en esta simulación necesitamos proyectar el precio de la acción sin ajustar, se separa la parte correspondiente a dividendos. Por esta razón se utiliza:

\[ \frac{dS_t}{S_t} = (\mu_i-q_i)\,dt+ \sigma_i\,dW_t \]

y en tiempo discreto:

\[ S_{i,t+\Delta t} = S_{i,t} \exp \left[ \left( \mu_i-q_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2 \right)\Delta t + \sigma_i\sqrt{\Delta t}Z_{i,t} \right] \]

donde \(S_{i,t}\) es el precio de la acción, \(\mu_i\) es el retorno esperado CAPM expresado de forma continua, \(q_i\) es la tasa de dividendos, \(\sigma_i\) es la volatilidad estimada con GARCH, \(\Delta t=1/252\) representa un día bursátil (Negociación en el mercado) y \(Z_{i,t}\) es el shock aleatorio (Componente impredecible).

Los dividendos no desaparecen del ejercicio. Se acumulan como efectivo dentro del portafolio, mientras que el número de acciones se mantiene igual. Así se evita sumar los dividendos dos veces: una dentro del retorno CAPM y otra dentro del valor del portafolio.

La conversión utilizada es:

\[ \mu_i=\ln\left(1+E(R_i)_{CAPM}\right) \]

y:

\[ q_i^{cc}=\ln(1+q_i) \]

por lo que el crecimiento utilizado para el precio es:

\[ \mu_{precio,i}=\mu_i-q_i^{cc} \]

La volatilidad se obtiene del modelo GARCH(1,1). En este ejercicio se toma el pronóstico condicional de un día como nivel de volatilidad al inicio de la simulación y se mantiene como parámetro del GBM. Esta simplificación deja claro qué parte del modelo proviene de GARCH y permite conservar una simulación GBM fácil de interpretar.

Tabla 14. Diseño de la simulación
Parametro Valor
Número de simulaciones 10.000
Horizonte 2 años
Días bursátiles por año 252
Pasos diarios 504
Frecuencia de observación reportada Trimestral

Se generan 10.000 escenarios durante 504 días bursátiles, equivalentes a dos años. Los precios cambian diariamente y se observan cada 63 días, que se toma como aproximación de un trimestre resultado del cálculo sobre días bursátiles (252/4).

El objetivo no es predecir un único precio, sino construir una distribución de resultados posibles que luego permita medir el riesgo del portafolio.

4.2 Modelación de volatilidad mediante GARCH(1,1)

Para estimar la volatilidad se utiliza un modelo GARCH(1,1) sobre los retornos logarítmicos calculados con precios ajustados desde 01/09/2016 hasta 21/09/2026. Esta ventana contiene aproximadamente diez años de información, como solicita el ejercicio.

La volatilidad histórica entrega un solo valor para toda la muestra. GARCH permite que la varianza cambie con el tiempo y que los movimientos recientes tengan efecto sobre la estimación actual. Esto es útil porque en el mercado hay períodos tranquilos y períodos en los que las variaciones se concentran durante varios días.

El modelo se expresa como:

\[ r_t=\mu+\varepsilon_t \]

\[ \varepsilon_t=\sigma_tz_t \]

y:

\[ \sigma_t^2= \omega+ \alpha\varepsilon_{t-1}^2+ \beta\sigma_{t-1}^2 \]

En términos sencillos, \(\omega\) representa una base de varianza, \(\alpha\) mide cuánto responde la volatilidad a un movimiento reciente y \(\beta\) mide cuánto permanece el efecto de la volatilidad anterior. La suma \(\alpha+\beta\) ayuda a observar qué tan persistentes son esos cambios a través del tiempo.

Se utiliza un sGARCH(1,1) con distribución normal. El modelo se usa para estimar el nivel de volatilidad que entra al GBM; el retorno esperado sigue proviniendo de CAPM.

4.2.1 Resultados de la estimación GARCH

Tabla 15. Parámetros GARCH(1,1) y volatilidad estimada
Activo Observaciones Omega Alpha Beta Persistencia Volatilidad_Anual_Cierre Volatilidad_Anual_Pronostico
V 2525 5.227e-06 0.0818 0.8962 0.9780 18.08% 17.58%
MCD 2525 9.043e-06 0.0860 0.8461 0.9321 18.34% 17.56%
KO 2525 1.837e-06 0.0529 0.9332 0.9861 15.69% 16.07%

La tabla permite revisar dos cosas. Primero, los valores de \(\alpha+\beta\) muestran cuánto duran los efectos de un aumento o una caída de la volatilidad. Un valor más cercano a 1 indica que el efecto tarda más en desaparecer. En esta estimación, el activo con mayor persistencia es KO, con un valor de 0.9861.

Segundo, para iniciar la simulación se utiliza el pronóstico GARCH de un paso y se anualiza mediante la formula ya conocida:

\[ \sigma_{anual,GARCH} = \sigma_{diaria,pronostico}\sqrt{252} \]

Con esta medida, Visa entra con una volatilidad de 17.58%, McDonald’s con 17.56% y Coca-Cola con 16.07%. Estos valores se usan como el nivel de riesgo de partida del GBM. GARCH no determina el retorno esperado del activo; su función en este ejercicio es aportar la volatilidad.

4.2.2 Comparación GARCH frente a la volatilidad histórica

Para interpretar el resultado no basta con identificar qué activo tiene la mayor volatilidad GARCH. En nuestro análisis también es útil compararla con la volatilidad histórica anualizada del Bloque I. La comparación debe leerse con cuidado para evitar errores en su interpretación: la volatilidad histórica resume que tanto se movió un activo en un periodo de tiempo determinado basado en sus datos anteriores en este caso de 01 Oct de 2021 a 21 Sep 2026; mientras que GARCH utiliza aproximadamente diez años para estimar como está la volatilidad en este momento o para el siguiente periodo, dando mayor relevancia a las condiciones actuales del activo. .

Tabla 15B. Volatilidad histórica vs. volatilidad GARCH
Activo Volatilidad_Historica Volatilidad_GARCH Diferencia
V V 22.86% 17.58% -5.29%
MCD MCD 17.79% 17.56% -0.23%
KO KO 16.68% 16.07% -0.62%

La comparación permite ver si el nivel de riesgo observado al cierre de la muestra es parecido o diferente al promedio histórico utilizado en el Bloque I. Por ejemplo, Visa pasa de una volatilidad histórica de 22.86% a una volatilidad GARCH de 17.58%.

La diferencia no significa que una medida esté bien y la otra mal. La volatilidad histórica resume todo el período principal, mientras que GARCH da más importancia a la información reciente.

Para la simulación se utiliza GARCH porque el ejercicio pide modelar la varianza con una muestra cercana a diez años y porque permite iniciar los escenarios con un nivel de volatilidad condicional al cierre de la información.

4.2.3 Evolución de la volatilidad condicional

La gráfica muestra que la volatilidad no se mantiene estable durante toda la muestra, incluso se vería bastante afectada por el evento de COVID que marca un hito importante en la economía durante el 2020, además se evidencia que hay períodos tranquilos y otros en los que las variaciones se concentran durante varios días. Por eso usar un único promedio histórico ocultaría parte de este comportamiento; GARCH permite darle más importancia a las condiciones recientes al momento de iniciar la simulación.

4.3 Parámetros utilizados en el Movimiento Browniano Geométrico

El retorno esperado CAPM se mantiene como referencia económica del activo, pero antes de simular el precio se separa el rendimiento por dividendos. Esto es necesario porque CAPM fue calculado con precios ajustados y el precio simulado parte del Close sin ajustar.

Tabla 16. Parámetros utilizados en el GBM
Activo Precio_Inicial_USD Retorno_Esperado_CAPM Dividend_Yield Retorno_Total_Continuo Drift_Precio_Continuo Volatilidad_GARCH
V 369.95 8.84% 0.72% 8.47% 7.75% 17.58%
MCD 247.88 6.84% 3.00% 6.62% 3.66% 17.56%
KO 87.12 6.50% 2.41% 6.30% 3.92% 16.07%

La tabla muestra claramente qué parte del retorno se utiliza para mover el precio y qué parte se reconoce como dividendo. Visa mantiene el mayor retorno esperado CAPM, mientras que las volatilidades utilizadas provienen de GARCH. El drift del precio es menor que el retorno total cuando existe un dividendo, porque ese pago se registra por separado como efectivo del portafolio.

Este tratamiento permite que la simulación sea consistente con las dos series del Bloque I: el retorno esperado se obtuvo con precios ajustados, pero el precio de partida y los precios que después se utilizarán para las opciones son precios sin ajustar.

4.4 Matriz de dependencia para la simulación correlacionada

Los tres activos no se simulan de forma independiente. Para conservar la relación histórica existente entre ellos se calcula una matriz de correlaciones usando la misma muestra de aproximadamente 10 años utilizada por GARCH.

La relación entre covarianza y correlación es:

\[ Cov(R_i,R_j) = \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j \]

Para generar shocks correlacionados se utiliza la descomposición de Cholesky:

\[ C=LL' \]

y:

\[ Z^{corr}=LZ \]

donde \(C\) es la matriz de correlaciones y \(Z\) contiene shocks normales independientes.

Tabla 17. Matriz de correlaciones utilizada en el GBM
V MCD KO
V 1.00 0.51 0.46
MCD 0.51 1.00 0.52
KO 0.46 0.52 1.00

Las tres correlaciones son positivas y se encuentran entre 0.46 y 0.52. Esto significa que los activos suelen compartir parte de sus movimientos, pero no se comportan de manera idéntica. En la simulación se conserva esa relación para evitar dos extremos poco realistas: asumir que los activos son totalmente independientes o que siempre se mueven juntos.

4.4.1 Comparación de dependencia: 2021-2026 vs. ventana GARCH

La matriz utilizada en el GBM se estima con la misma ventana de aproximadamente 10 años usada en GARCH. Para observar si la relación entre los activos cambia respecto al período principal del Bloque I, se comparan las tres parejas.

Tabla 17B. Comparación de correlaciones por ventana
Pareja Correlacion_Bloque_I Correlacion_10A_GBM Cambio
V - MCD 0.378 0.51 0.132
V - KO 0.319 0.46 0.141
MCD - KO 0.528 0.52 -0.009

Al ampliar la ventana a diez años, Visa aparece más relacionada con MCD y KO que en el período 2021-2026. V-MCD pasa de 0.378 a 0.51 y V-KO de 0.319 a 0.46, mientras que MCD-KO se mantiene cerca de 0.52.

Nuestra lectura es que Visa aportó más diversificación en los últimos cinco años que en la muestra larga. Para no mezclar ventanas diferentes, la simulación utiliza la correlación de diez años, igual que el período usado para estimar GARCH y garantizar consistencia temporal.

4.5 Simulación diaria de 10.000 trayectorias

Cada trayectoria genera un precio diario posible para Visa, McDonald’s y Coca-Cola. Los shocks(movimientos aleatorios) de los tres activos se generan de forma conjunta con la matriz de correlaciones, por lo que una simulación conserva la relación histórica entre ellos en lugar de tratarlos como movimientos independientes.

Una trayectoria por sí sola no es una predicción. El resultado que interesa es el conjunto de los 10.000 escenarios, porque de allí salen las bandas percentiles y las medidas de riesgo que analizaremos y nos brindarán insumo para conocer valores que debemos cubrir mediante estrategias como las opciones.

4.6 Valor simulado del portafolio

Se mantiene el número de acciones definido anteriormente. El valor del portafolio en cada escenario se forma con el valor de las acciones, el efectivo residual y los dividendos acumulados:

\[ V_{p,t} = \sum_i N_iS_{i,t} + Cash_0 + Dividendos_t \]

Los dividendos se aproximan con la tasa \(q\) utilizada en el Bloque I y se acumulan como efectivo. No se reinvierten ni se les reconoce una rentabilidad adicional; el objetivo es mantener visible el efecto de esos pagos sin cambiar el número de acciones que después se cubrirá con opciones.

En \(t=0\) el portafolio continúa valiendo exactamente USD 10 millones. A medida que avanzan los escenarios, el valor cambia por dos razones:

  1. los precios de las acciones se mueven
  2. los dividendos se van acumulando como efectivo.

Esta separación es importante porque evita contar los dividendos dos veces y deja la misma cantidad de acciones disponible para el diseño de la cobertura.

4.7 Valores trimestrales y bandas percentiles

Las bandas percentiles resumen cómo se distribuyen los 10.000 escenarios. P5 representa una zona desfavorable, P50 el escenario central y P95 una zona favorable.

No son pronósticos puntuales; muestran qué tan diferente puede llegar a ser el valor del portafolio bajo los supuestos utilizados.

Tabla 18. Valor simulado del portafolio en cierres trimestrales
Horizonte Promedio P5 P25 P50 P75 P95 Dividendos_Acumulados_Mediana
t = 0 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $0
3 meses $10,198,734 $9,013,361 $9,677,686 $10,164,724 $10,683,020 $11,495,305 $37,889
6 meses $10,402,151 $8,749,424 $9,651,731 $10,334,948 $11,083,984 $12,241,828 $76,149
9 meses $10,602,672 $8,539,057 $9,660,234 $10,515,272 $11,451,933 $12,973,183 $114,883
12 meses $10,792,952 $8,407,807 $9,676,190 $10,658,601 $11,746,520 $13,593,532 $153,820
15 meses $10,985,283 $8,285,106 $9,728,565 $10,828,958 $12,067,970 $14,202,837 $193,285
18 meses $11,192,393 $8,189,757 $9,766,540 $11,015,824 $12,397,815 $14,810,146 $233,098
21 meses $11,412,973 $8,126,240 $9,842,385 $11,175,697 $12,765,207 $15,453,848 $273,390
24 meses $11,623,439 $8,070,945 $9,912,184 $11,353,671 $13,040,334 $16,031,740 $314,068

4.7.1 Resultados a 3, 12 y 24 meses

A tres meses, la mediana del portafolio es $10,164,724 y el percentil 5 se ubica en $9,013,361. Al año, la mediana es $10,658,601 y a los dos años llega a $11,353,671.

La lectura principal que realizamos en este punto es que el valor central puede crecer con el tiempo, pero también aumenta la distancia entre los escenarios favorables y desfavorables. Por eso no se utiliza solamente el promedio. El percentil 5 muestra una zona adversa y el percentil 95 una zona favorable dentro de los mismos supuestos de simulación.

A 24 meses, el percentil 5 es $8,070,945. Este valor no representa la peor pérdida posible ni un pronóstico exacto. Se utiliza para entender cuánto puede alejarse el portafolio del escenario central cuando el resultado es desfavorable.

4.7.2 Bandas percentiles durante los dos años

La gráfica muestra de forma clara cómo el rango de resultados se amplía con el tiempo. La mediana mantiene una trayectoria creciente, pero los escenarios favorables y desfavorables se separan cada vez más.

La importancia de esta gráfica es que evita quedarse únicamente con el promedio: dos años después, el portafolio puede terminar en valores muy distintos aun partiendo del mismo capital inicial.

4.8 Distribución simulada de P&L

El P&L de cada trayectoria se calcula como:

\[ P\&L_t= V_{p,t}-V_{p,0} \]

En este bloque se conservan dos referencias del portafolio sin cobertura:

  • Primer trimestre: aproximadamente 63 días bursátiles.
  • Horizonte completo de inversión: 504 días bursátiles o 2 años.

El vencimiento real de las opciones todavía no se conoce en esta etapa. Una vez se seleccione en los pasos siguientes, el VaR sin cobertura se vuelve a calcular en esa misma fecha para compararlo directamente con el portafolio cubierto.

4.9 VaR del portafolio sin cobertura

De acuerdo con la metodología solicitada por el docente, utilizamos:

\[ VaR_{95} = -Q_{0.05}(P\&L) \]

y:

\[ VaR_{99} = -Q_{0.01}(P\&L) \]

El VaR se calcula directamente sobre la distribución simulada de P&L.

Tabla 19. VaR del portafolio sin cobertura
Horizonte VaR_95_USD VaR_95_Pct_Capital VaR_99_USD VaR_99_Pct_Capital
Primer trimestre $986,639 9.87% $1,396,079 13.96%
24 meses $1,929,055 19.29% $2,944,972 29.45%

4.9.1 Resultados del VaR

En el primer trimestre, el VaR95 es $986,639, equivalente a 9.87% del capital inicial. Esto significa que el 5% de los escenarios más desfavorables se encuentra por debajo de ese nivel de P&L. El VaR99 aumenta a $1,396,079, porque observa una parte más extrema de la distribución.

A 24 meses, el VaR95 es $1,929,055 y el VaR99 es $2,944,972. La diferencia frente al primer trimestre se explica por la mayor dispersión que se acumula a medida que aumenta el horizonte.

Estos valores no representan la pérdida máxima del portafolio. Se utilizan como referencia para medir la zona de pérdidas más fuerte de la simulación. En el Bloque III se calcularán nuevamente en el vencimiento real de las opciones, utilizando exactamente los mismos escenarios, para medir el efecto de la cobertura.

4.9.2 Distribución de P&L y umbrales VaR

4.10.1 Revaloración trimestral

Los subyacentes ya se observan en \(t=0\) y cada 63 días bursátiles. Las opciones deberán revalorarse en esas mismas fechas. El valor del portafolio cubierto será:

\[ V_{cubierto,t} = V_{acciones,t} + V_{opciones,t} + Cash_t \]

La comparación debe realizarse mediante mark-to-market, no solamente con el payoff al vencimiento siguiendo los requerimientos indicados.

4.10.2 Treasury por plazo

Para cada opción se utilizará una tasa Treasury coherente con su tiempo restante al vencimiento. Si el plazo se encuentra entre dos puntos de la curva, se utilizará la interpolación preparada y documentada anteriormente. Por esta razón, una opción cercana a un año no se valorará automáticamente con la Treasury de 2 años, sino ajustada a su temporalidad.

4.10.3 Cobertura activo por activo

La cobertura se dimensionará por separado para Visa, McDonald’s y Coca-Cola. El objetivo será cubrir aproximadamente el 85% de las acciones de cada posición, ajustar el número de contratos al multiplicador real y reportar el porcentaje efectivo que finalmente se logra cubrir.

4.10.4 Comparación europea y americana

Para que la comparación sea válida se utilizarán los mismos:

\[ S_0,\quad K,\quad T,\quad \sigma,\quad r,\quad q \]

La diferencia de valoración podrá entonces interpretarse a partir de la posibilidad de ejercicio anticipado de la opción americana ya que como lo hemos estudiado durante clase esta opción si bien puede valer más porque le da al inversionista más flexibilidad, le permite no estar obligado a esperar al vencimiento para ejercerla.

4.10.5 Costo de primas y tratamiento del financiamiento

El costo de cobertura deberá incorporarse como flujo de caja inicial:

\[ Costo_i = Prima_i \times Contratos_i \times Multiplicador_i \]

y se reportará tanto en USD como en porcentaje de los USD 10 millones. Si una estrategia como el collar utiliza la prima recibida por una call para financiar parcialmente la put, se mostrará el costo neto y el techo de ganancia que se incorpora. Las primas no deben desaparecer del P&L del portafolio cubierto.

Los resultados obtenidos en este bloque se conservarán como referencia del portafolio sin cobertura.

Cuando se incorporen las estrategias con opciones se calcularán nuevamente, mediante:

\[ VaR_{95,cubierto} \]

y:

\[ VaR_{99,cubierto} \]

utilizando la distribución de P&L del portafolio cubierto sobre los mismos escenarios de mercado.

La reducción absoluta del riesgo se medirá mediante:

\[ Reduccion\ VaR = VaR_{sin\ cobertura} - VaR_{cubierto} \]

y la reducción porcentual mediante:

\[ Reduccion\ VaR\% = \frac{ VaR_{sin\ cobertura} - VaR_{cubierto} }{ VaR_{sin\ cobertura} } \]

De esta forma, la efectividad de las opciones no se evaluará solamente de manera visual, sino comparando cuánto disminuye la pérdida extrema simulada respecto al portafolio original.

4.11 Conclusiones del Bloque II

La simulación muestra un rango amplio de resultados posibles para el portafolio durante los dos años. A 24 meses, la mediana es $11,353,671 y el percentil 5 es $8,070,945. Esto permite ver que el escenario central puede crecer y, al mismo tiempo, seguir existiendo resultados desfavorables importantes.

GARCH se utiliza con cerca de diez años de información para definir la volatilidad de entrada del GBM. Visa, McDonald’s y Coca-Cola no parten del mismo nivel de riesgo, y la matriz de correlaciones permite que los movimientos simulados mantengan una relación parecida a la observada históricamente.

El tratamiento de dividendos también se mantiene separado del precio. El retorno CAPM se toma como retorno total, se descuenta \(q\) para simular el precio sin ajustar y los dividendos se acumulan como efectivo. De esta forma el modelo queda consistente con la información utilizada en el Bloque I y con los precios que posteriormente sirven para valorar las opciones.

En el primer trimestre, el VaR95 es $986,639 y el VaR99 es $1,396,079. A 24 meses pasan a $1,929,055 y $2,944,972, respectivamente.

Estos valores dejan una base sin cobertura que se utilizará posteriormente. Allí se repetirá el VaR en la fecha real de vencimiento de las opciones y se comparará con las estrategias cubiertas que de cara al inversionista deben representar una cobertura eficiente.

Tabla 20. Validación del precio spot entre MarketData y el Bloque I
Ticker Spot_MarketData Contratos Spot_Bloque_I Diferencia Diferencia_Abs Coincide
KO 87.12 110 87.12 0.00 0.00 TRUE
MCD 247.88 120 247.88 0.00 0.00 TRUE
V 369.95 240 369.95 0.00 0.00 TRUE
Tabla 21. Vencimientos disponibles entre 12 y 24 meses
Ticker Expiration DTE
KO 2028-01-21 487
KO 2028-06-16 634
MCD 2027-12-17 452
MCD 2028-01-21 487
V 2027-12-17 452
V 2028-01-21 487
V 2028-06-16 634
V 2028-09-15 725
Tabla 22. Vencimientos comunes entre V, MCD y KO
Vencimiento_Comun DTE Meses_Aprox
2028-01-21 487 16
Tabla 23. Vencimiento común seleccionado
Fecha_Valoracion Vencimiento_Objetivo Vencimiento_Comun_Seleccionado DTE Meses_Aprox Diferencia_vs_24m_Dias
2026-09-21 2028-09-21 2028-01-21 487 16 244
Tabla 24. Disponibilidad de volatilidad implícita histórica
Ticker Contratos IV_Disponible IV_Faltante
KO 110 0 110
MCD 120 0 120
V 240 0 240
Tabla 25. Resumen de la extracción histórica de opciones
Ticker Fecha_Valoracion Spot Numero_Contratos Numero_Vencimientos Vencimiento_Minimo Vencimiento_Maximo DTE_Minimo DTE_Maximo
KO 2026-09-21 87.12 110 2 2028-01-21 2028-06-16 487 634
MCD 2026-09-21 247.88 120 2 2027-12-17 2028-01-21 452 487
V 2026-09-21 369.95 240 4 2027-12-17 2028-09-15 452 725
Tabla 26. Contratos disponibles en el vencimiento común seleccionado
Ticker Type Numero_Contratos
KO call 30
KO put 30
MCD call 30
MCD put 30
V call 30
V put 30
Tabla 27. Rango de strikes disponible en el vencimiento seleccionado
Ticker Type Spot Strike_Min Strike_Max Numero_Strikes
KO call 87.12 40.00 130.00 30
KO put 87.12 40.00 130.00 30
MCD call 247.88 140.00 370.00 30
MCD put 247.88 140.00 370.00 30
V call 369.95 220.00 510.00 30
V put 369.95 220.00 510.00 30

En este bloque iniciamos con una validación que compara el precio spot de la cadena de opciones con el precio utilizado en el Bloque I.

Se admite una diferencia máxima de un centavo por redondeo. Si la validación se cumple, los contratos y el portafolio están referidos al mismo día de mercado y se evita mezclar precios de fechas diferentes.

El vencimiento común seleccionado es 21/01/2028, dentro de la ventana de 12 a 24 meses definida para el ejercicio. La extracción histórica no entrega volatilidad implícita para estas cadenas mediante el método que utilizamos, por lo que más adelante se recupera a partir del precio medio observado de cada opción y se deja documentada su ecuación.

5. Selección de opciones de mercado y criterios de liquidez

En este bloque se utilizan opciones que estaban disponibles en el mercado el 21 de septiembre de 2026, la misma fecha utilizada para valorar el portafolio. La información proviene de MarketData.app y se guarda también en un archivo CSV para conservar exactamente los datos usados en el ejercicio.

Esto nos permitió flexibilidad en una conexión directa permitida en R, para brindar al inversionista en el futuro la posibilidad de modificar fechas de vencimiento, copn un ejercicio bien estructurado a nivel de obtención de datos.

El objetivo es comparar distintas formas de protección sobre las posiciones reales de Visa, McDonald’s y Coca-Cola. Para hacerlo de manera comparable se trabaja con una misma fecha de vencimiento, se revisan varios strikes y se consideran precio, spread, interés abierto, volumen y volatilidad implícita.

5.1 Vencimiento utilizado

La ventana solicitada para las opciones se encuentra entre 12 y 24 meses. La extracción histórica mostró que el vencimiento común disponible para los tres activos es 21/01/2028.

El tiempo al vencimiento se calcula como:

\[ T=\frac{\text{días hasta vencimiento}}{365.25} \]

Tabla 28. Horizonte común utilizado para las opciones
Fecha_Valoracion Vencimiento_Comun Dias_Calendario Anios Meses_Aprox
2026-09-21 2028-01-21 487 1.333 16.0

El vencimiento común queda a 16 meses de la fecha de valoración. No necesita llegar exactamente a 24 meses para ser válido: lo importante es que se encuentre dentro del rango solicitado y que sea el mismo para los tres activos.

Así las coberturas se comparan con un tiempo al vencimiento equivalente y dando cumplimiento al requerimiento del docente.

5.2 Tasa Treasury correspondiente al plazo de la opción

La Treasury de dos años utilizada en CAPM y Sharpe no se aplica automáticamente a las opciones. Para cada valoración se utiliza una tasa coherente con el tiempo restante del contrato como se mencionó anteriormente.

Si el plazo se encuentra entre dos puntos observados de la curva del U.S. Treasury, se utiliza interpolación lineal. La tasa publicada se usa como una referencia anual por plazo y, para mantener la convención utilizada en el árbol binomial, se aproxima a capitalización continua mediante:

\[ r_c=\ln(1+r) \]

Tabla 29. Tasa libre de riesgo utilizada en las opciones
Vencimiento T_Anos Treasury_Efectiva Treasury_Continua Fuente
2028-01-21 1.333 4.55% 4.45% U.S. Department of the Treasury

Para este vencimiento, la tasa Treasury utilizada es 4.55% y su aproximación continua es 4.45%. La tasa puede ser diferente a la Treasury de 2 años del Bloque I porque ahora se está valorando un contrato con un plazo distinto. El impacto para el ejercicio es simple: cada opción se descuenta con una referencia más cercana a su tiempo real al vencimiento.

5.3 Base de contratos del vencimiento común

La selección se realiza únicamente sobre contratos del vencimiento común. Antes de comparar strikes se eliminan cotizaciones sin Bid/Ask válido o cuyo precio medio sea cero, con el objetivo de trabajar solo con datos de información consistente.

El precio medio se conserva como:

\[ Mid=\frac{Bid+Ask}{2} \]

y el spread relativo como:

\[ Spread_{rel}=\frac{Ask-Bid}{Mid} \]

Un spread relativo menor sugiere una ejecución más eficiente, pero no será el único criterio. También se consideran interés abierto, volumen, moneyness y nivel de protección.

Tabla 30. Contratos disponibles en el vencimiento común
Ticker Type Contratos_Disponibles
KO call 30
KO put 30
MCD call 30
MCD put 30
V call 30
V put 30

Después de filtrar cotizaciones inválidas se conserva la cantidad de calls y puts mostrada en la tabla para cada activo. Esto permite comparar varios strikes antes de escoger el contrato definitivo y revisar tanto el nivel de protección como las condiciones de negociación.

5.4 Modelo binomial utilizado para recuperar la volatilidad implícita

MarketData conserva Bid, Ask, volumen e interés abierto para la cadena histórica, pero la volatilidad implícita histórica no está disponible en la extracción en el método gratuito. Por esta razón se recupera a partir del precio observado de mercado.

La volatilidad implícita es la volatilidad \(\sigma\) que hace que el valor teórico de la opción coincida con su precio medio observado:

\[ V_A(S_0,K,T,r,q,\sigma_{IV})=Mid_{mercado} \]

Para nuestro ejercicio usamos el modelo americano porque como se mencionó antes pueden ejercerse antes del vencimiento, incluimos los dividendos de cada acción y, con el árbol binomial, vamos simulando posibles subidas y bajadas del precio para estimar el valor de la opción.

\[ u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}} \]

\[ d=\frac{1}{u} \]

\[ p=\frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d} \]

Como la cadena histórica no entregó directamente la volatilidad implícita, esta se obtuvo buscando el valor de volatilidad que hace que el precio calculado por el modelo americano sea igual al precio medio observado en el mercado.

La tabla permite comprobar este resultado, ya que el precio estimado por el modelo queda prácticamente igual al Mid de cada contrato y la diferencia es cercana a cero. Esto confirma que la volatilidad implícita recuperada es consistente con los precios de mercado utilizados en el ejercicio y puede emplearse posteriormente para valorar y comparar las opciones seleccionadas.

5.5 Selección de tres strikes candidatos por activo

Para las puts se toma como referencia inicial un strike cercano al 90% del spot:

\[ \frac{K_{put}}{S_0}\approx0.90 \]

Esto representa una put OTM que permite absorber aproximadamente la primera parte de una caída antes de que la protección se vuelva más relevante. Para las calls del collar se utiliza inicialmente:

\[ \frac{K_{call}}{S_0}\approx1.10 \]

lo que deja un espacio de apreciación antes de limitar la ganancia de la parte cubierta.

Estos porcentajes son referencias para formar el grupo de candidatos; la elección definitiva también considera liquidez.

Primero se toman contratos cercanos al nivel de strike objetivo y posteriormente se comparan mediante spread, interés abierto, volumen y distancia al nivel de protección.

Tabla 31. Tres strikes candidatos por activo y tipo de opción
Ticker Type Expiration UnderlyingPrice Strike Strike_Spot Moneyness Near_ATM Bid Ask Mid Spread_Rel OpenInterest Volume IV_Implied Decision_Rank
V put 2028-01-21 369.95 320.00 86.50% OTM No 14.80 16.90 15.85 13.25% 2384 0 25.76% 10
V put 2028-01-21 369.95 340.00 91.90% OTM No 21.10 23.60 22.35 11.19% 202 0 25.48% 13
V put 2028-01-21 369.95 330.00 89.20% OTM No 17.60 20.25 18.93 14.00% 268 0 25.63% 13
MCD put 2028-01-21 247.88 250.00 100.86% ITM Sí 25.00 25.95 25.48 3.73% 3016 5 23.92% 9
MCD put 2028-01-21 247.88 230.00 92.79% OTM No 16.45 17.20 16.82 4.46% 748 4 24.67% 9
MCD put 2028-01-21 247.88 220.00 88.75% OTM No 12.55 13.45 13.00 6.92% 696 0 24.68% 12
KO put 2028-01-21 87.12 82.50 94.70% OTM No 5.00 5.55 5.28 10.43% 918 2 21.42% 15
KO put 2028-01-21 87.12 80.00 91.83% OTM No 4.05 4.55 4.30 11.63% 1787 0 21.42% 15
KO put 2028-01-21 87.12 85.00 97.57% OTM No 5.80 6.35 6.07 9.05% 526 70 20.63% 16
V call 2028-01-21 369.95 400.00 108.12% OTM No 35.80 38.70 37.25 7.79% 1366 134 24.78% 10
V call 2028-01-21 369.95 380.00 102.72% OTM No 44.25 47.15 45.70 6.35% 2174 0 24.90% 12
V call 2028-01-21 369.95 410.00 110.83% OTM No 31.35 34.60 32.98 9.86% 222 0 24.43% 15
MCD call 2028-01-21 247.88 300.00 121.03% OTM No 13.70 14.55 14.12 6.02% 4329 282 26.37% 12
MCD call 2028-01-21 247.88 250.00 100.86% OTM Sí 30.65 32.55 31.60 6.01% 995 106 27.76% 13
MCD call 2028-01-21 247.88 270.00 108.92% OTM No 22.30 23.75 23.02 6.30% 755 0 26.88% 16
KO call 2028-01-21 87.12 95.00 109.04% OTM No 5.80 6.50 6.15 11.38% 2258 2 21.21% 13
KO call 2028-01-21 87.12 85.00 97.57% ITM No 11.25 11.70 11.47 3.92% 6360 0 24.27% 15
KO call 2028-01-21 87.12 90.00 103.31% OTM No 8.00 8.80 8.40 9.52% 1783 32 22.15% 15

La tabla permite comparar tres strikes por activo antes de tomar una decisión. Un spread relativo menor facilita la ejecución, mientras que un mayor interés abierto y un mayor volumen muestran que el contrato tiene más actividad en el mercado. El strike también importa porque define desde qué nivel comienza a tener valor la protección.

La clasificación para efectos de interpretación por parte del lector y por practicidad, se realizó: ITM (In The Money = Ganancias), ATM (At the Money = Equilibrio) y OTM (Out the Money = Perdidas) se hace comparando directamente el strike con el spot.

Además, se conserva la columna Near_ATM para identificar contratos que se encuentran a menos de 1% del precio actual sin cambiar su clasificación formal. La volatilidad implícita se utiliza como una lectura adicional del precio de la opción, pero no se escoge un contrato solamente porque tenga una IV más alta o más baja.

5.6 Contratos definitivos

El ranking anterior se utiliza como apoyo para ordenar los tres candidatos. No debe interpretarse como una optimización económica absoluta; su función es mantener una regla reproducible que combine ejecutabilidad y cercanía al nivel de protección buscado.

Para la put comprada se requiere una IV recuperable y se utiliza el Ask como precio de entrada. Para la call vendida se utiliza el Bid como prima efectivamente recibida.

Tabla 32. Contratos seleccionados para Protective Put y Collar
Ticker Uso Expiration UnderlyingPrice Strike Strike_Spot Moneyness Near_ATM Bid Ask Mid Spread_Rel OpenInterest Volume IV_Implied
KO Put de protección 2028-01-21 87.12 82.50 94.70% OTM No 5.00 5.55 5.28 10.43% 918 2 21.42%
MCD Put de protección 2028-01-21 247.88 250.00 100.86% ITM Sí 25.00 25.95 25.48 3.73% 3016 5 23.92%
V Put de protección 2028-01-21 369.95 320.00 86.50% OTM No 14.80 16.90 15.85 13.25% 2384 0 25.76%
KO Call del collar 2028-01-21 87.12 95.00 109.04% OTM No 5.80 6.50 6.15 11.38% 2258 2 21.21%
MCD Call del collar 2028-01-21 247.88 300.00 121.03% OTM No 13.70 14.55 14.12 6.02% 4329 282 26.37%
V Call del collar 2028-01-21 369.95 400.00 108.12% OTM No 35.80 38.70 37.25 7.79% 1366 134 24.78%

Las puts seleccionadas no protegen desde el mismo nivel porque cada activo tiene una combinación distinta de strike y liquidez. La columna Strike_Spot permite ver qué tan lejos queda el strike frente al precio actual. Cuando el strike está muy cerca del spot, la protección empieza a tener efecto con movimientos pequeños; cuando queda más abajo, el portafolio acepta una caída mayor antes de que la put tome valor.

La liquidez también cambia entre contratos. Por eso la decisión final no se basa solamente en escoger el strike más cercano al precio actual. El objetivo es encontrar una combinación razonable entre nivel de protección, spread, interés abierto, volumen y volatilidad implícita. Esto explica por qué cubrir el mismo 85% de acciones no significa obtener exactamente el mismo nivel de protección económica en los tres activos.

6. Valoración binomial europea y americana

Una vez seleccionados los contratos se comparan dos valoraciones teóricas manteniendo exactamente iguales:

\[ S_0,\quad K,\quad T,\quad \sigma,\quad r,\quad q \]

La única diferencia es que el contrato americano permite ejercer antes del vencimiento, mientras que el europeo solo permite ejercer en la fecha final.

Como la IV fue recuperada igualando el modelo americano al precio medio observado, el valor americano debe quedar muy próximo al Mid de mercado. El dato relevante de esta sección es la diferencia entre el valor americano y el europeo:

\[ Prima_{ejercicio\ anticipado}=V_A-V_E \]

Tabla 33. Comparación binomial europea y americana
Ticker Uso Type Strike T_Years Treasury_Effective Dividend_Yield IV_Implied Mid European_Binomial American_Binomial Early_Exercise_Premium American_vs_Mid
KO Put de protección put 82.50 1.333 4.55% 2.41% 21.42% 5.28 5.08 5.27 0.1913 -0.0000
MCD Put de protección put 250.00 1.333 4.55% 3.00% 23.92% 25.48 24.71 25.48 0.7699 0.0000
V Put de protección put 320.00 1.333 4.55% 0.72% 25.76% 15.85 15.16 15.85 0.6935 0.0000
KO Call del collar call 95.00 1.333 4.55% 2.41% 21.21% 6.15 6.15 6.15 0.0001 -0.0000
MCD Call del collar call 300.00 1.333 4.55% 3.00% 26.37% 14.12 14.12 14.13 0.0070 0.0000
V Call del collar call 400.00 1.333 4.55% 0.72% 24.78% 37.25 37.25 37.25 0.0000 0.0000

El valor americano queda muy cerca del Mid porque la volatilidad implícita se calculó usando ese precio como referencia. Por esta razón, la comparación que aporta información al ejercicio es la diferencia entre la opción americana y la europea manteniendo iguales \(S_0\), \(K\), \(T\), \(\sigma\), \(r\) y \(q\).

Si Early_Exercise_Premium es positivo, el derecho de ejercer antes del vencimiento agrega valor frente a la versión europea. En las puts este efecto puede ser más visible porque ejercer anticipadamente permite recibir el strike antes. En las calls con dividendos también puede existir diferencia, aunque depende de las condiciones del contrato y del tamaño de los dividendos. La tabla permite observar ese efecto directamente sin cambiar ningún otro supuesto.

7. Diseño de coberturas

7.1 Cobertura objetivo del 85%

La cobertura se dimensiona por separado para cada posición del portafolio. El número objetivo de acciones protegidas es:

\[ N_{objetivo,i}=0.85N_i \]

Como los contratos se negocian en unidades enteras, el número de contratos se aproxima mediante:

\[ Contratos_i=round\left(\frac{0.85N_i}{100}\right) \]

y la cobertura realmente alcanzada es:

\[ Cobertura_{efectiva,i}=\frac{Contratos_i\times100}{N_i} \]

La cobertura base es una protective put 1:1 sobre las acciones cubiertas. Esto no equivale a neutralizar el delta de toda la posición; el objetivo es proteger aproximadamente el 85% de las acciones mediante contratos físicos estándar.

Tabla 34. Cobertura objetivo y cobertura efectiva por activo
Ticker Shares Target_Coverage Target_Shares Multiplier Contracts Covered_Shares Effective_Coverage
V 16,236 85.00% 13,801 100 138 13,800 85.00%
MCD 8,629 85.00% 7,335 100 73 7,300 84.60%
KO 21,284 85.00% 18,091 100 181 18,100 85.04%

La cobertura efectiva queda muy cerca del 85% en los tres activos. Las pequeñas diferencias aparecen porque cada contrato cubre 100 acciones y no es posible comprar fracciones de contrato en el mercado real. Por eso se reporta el porcentaje efectivo alcanzado y no se asume que será exactamente igual al objetivo aunque la aproximación es muy buena, solo dejando por debajo a McDonald’s (MCD).

Esta cobertura es 1:1 sobre las acciones cubiertas. No significa que se esté neutralizando el delta de todo el portafolio ni que el VaR deba reducirse en 85%; simplemente indica qué proporción de las acciones tiene una opción asociada.

7.2 Estrategia A – Protective Put

La Protective Put mantiene la posición larga en acciones y compra una put sobre la parte cubierta:

\[ Acción+Put \]

Al vencimiento, el payoff de la put es:

\[ Payoff_{put}=\max(K-S_T,0) \]

La estrategia mantiene el potencial alcista de las acciones, pero exige pagar una prima. Para no subestimar el costo de ejecución, la compra de la put se registra al Ask observado.

Tabla 35. Costo y nivel de protección de la Protective Put
Ticker Shares Target_Coverage Target_Shares Multiplier Contracts Covered_Shares Effective_Coverage Put_Strike Put_Ask Put_Mid Put_IV Put_Spot Uncovered_Shares Premium_Cost Cost_Pct_Position Cost_Pct_Portfolio Put_Strike_Pct_Spot Caida_Hasta_Strike Covered_Floor_Gross
V 16236 0.85 13800.60 100 138 13800 0.8499630 320.00 16.90 15.850 25.76% 369.95 2436 $233,220 3.88% 2.33% 86.50% 13.50% $4,416,000
MCD 8629 0.85 7334.65 100 73 7300 0.8459845 250.00 25.95 25.475 23.92% 247.88 1329 $189,435 8.86% 1.89% 100.86% -0.86% $1,825,000
KO 21284 0.85 18091.40 100 181 18100 0.8504041 82.50 5.55 5.275 21.42% 87.12 3184 $100,455 5.42% 1.00% 94.70% 5.30% $1,493,250

El costo total de la Protective Put es $523,110, equivalente a 5.23% del portafolio. El costo cambia entre activos porque no todos los strikes están a la misma distancia del spot y tampoco tienen la misma liquidez.

El strike funciona como piso para las acciones cubiertas, no para el 100% de la posición.

Si el precio cae por debajo de \(K\), la parte protegida deja de perder valor por debajo de ese nivel gracias a la put, mientras que las acciones no cubiertas continúan expuestas. Por eso la tabla muestra Covered_Floor_Gross: es el valor mínimo bruto de la parte cubierta antes de restar la prima y sin incluir el 15% que queda sin protección.

Para el ejercicio, la ventaja principal de esta estrategia es que conserva el potencial de subida de las acciones. Su costo es la prima pagada, que debe compararse después con la reducción de VaR para saber si la protección realmente compensa lo que se está pagando.

7.3 Estrategia B – Collar

El Collar conserva la put comprada, pero vende una call sobre la misma cantidad de acciones cubiertas:

\[ Acción+Put-Call \]

El costo neto es:

\[ Costo_{Collar}=Prima_{Put}-Prima_{Call} \]

La call se vende al Bid observado. La prima recibida reduce el costo de protección, pero a cambio la parte cubierta deja de participar plenamente en las subidas por encima del strike de la call.

Tabla 36. Costo neto y techo de ganancia del Collar
Ticker Shares Target_Coverage Target_Shares Multiplier Contracts Covered_Shares Effective_Coverage Put_Strike Put_Ask Call_Strike Call_Bid Call_IV Call_Spot Put_Cost Call_Premium_Received Net_Cost Net_Cost_Pct_Position Net_Cost_Pct_Portfolio Call_Strike_Pct_Spot Potencial_Hasta_Call Covered_Ceiling_Gross
V 16236 0.85 13800.60 100 138 13800 0.8499630 320.00 16.90 400.00 35.80 24.78% 369.95 $233,220 $494,040 -$260,820 -4.34% -2.61% 108.12% 8.12% $5,520,000
MCD 8629 0.85 7334.65 100 73 7300 0.8459845 250.00 25.95 300.00 13.70 26.37% 247.88 $189,435 $100,010 $89,425 4.18% 0.89% 121.03% 21.03% $2,190,000
KO 21284 0.85 18091.40 100 181 18100 0.8504041 82.50 5.55 95.00 5.80 21.21% 87.12 $100,455 $104,980 -$4,525 -0.24% -0.05% 109.04% 9.04% $1,719,500

El costo neto del Collar es -$175,920. Si el resultado es positivo, la estrategia requiere un pago inicial; si es negativo, las calls vendidas entregan una prima mayor que el costo total de las puts y el resultado inicial es un crédito.

Ese menor costo tiene una consecuencia. Cuando el precio supera el strike de la call, la parte cubierta deja de participar completamente en nuevas subidas. La columna Covered_Ceiling_Gross muestra el valor bruto máximo de esa parte cubierta antes de considerar primas. El 15% de acciones que no está dentro del collar conserva su potencial de subida.

Para el ejercicio, el collar lo comprendimos como un intercambio: se reduce el costo de la protección a cambio de aceptar un techo sobre la ganancia de la parte cubierta.

Mediante la comparación posterior, podremos saber si ese intercambio mejora realmente el VaR frente a la Protective Put.

7.4 Estrategia C – Bear Put Spread sobre el activo dominante

En el primer bloque del presente análisis identificamos a V como el activo con mayor contribución al riesgo del portafolio. Por esta razón, la estrategia adicional se concentra sobre esa posición.

El Bear Put Spread compra una put con strike superior y vende otra put con strike inferior:

\[ Put(K_1)-Put(K_2),\qquad K_1>K_2 \]

Se conserva como put larga el contrato seleccionado para la Protective Put y se buscan tres puts inferiores alrededor del 80% del spot para escoger la put corta. La prima recibida por la put vendida reduce el costo de la cobertura, aunque también limita la protección adicional por debajo de \(K_2\).

Tabla 37. Puts cortas candidatas para el Bear Put Spread sobre V
Ticker UnderlyingPrice Strike Strike_Spot Bid Ask Mid Spread_Rel OpenInterest Volume IV_Implied Decision_Rank
V 369.95 310.00 83.80% 13.10 15.00 14.05 13.52% 385 0 26.70% 10
V 369.95 290.00 78.39% 9.05 10.80 9.93 17.63% 236 0 27.46% 11
V 369.95 270.00 72.98% 6.15 7.60 6.88 21.09% 665 0 28.40% 11
Tabla 38. Costo del Bear Put Spread adicional
Ticker Spot Long_Strike Short_Strike Contracts Multiplier Long_Ask Short_Bid Long_Premium_Cost Short_Premium_Received Net_Cost Cost_Pct_Portfolio Protected_Band_Per_Share Max_Option_Payoff
V 369.95 320.00 310.00 138 100 16.90 13.10 $233,220 $180,780 $52,440 0.52% 10.00 $138,000

El Bear Put Spread se aplica sobre V, que es el activo con mayor contribución al riesgo del portafolio. La put larga mantiene el nivel principal de protección y la put corta ayuda a reducir el costo, pero también pone un límite al beneficio adicional del spread.

La distancia entre los dos strikes determina cuánto puede pagar como máximo la estrategia de opciones. Ese valor se observa en Max_Option_Payoff. Si los strikes quedan muy cerca, el spread será más barato, pero también tendrá menos capacidad para compensar una caída fuerte.

Esta relación entre costo y protección será importante cuando se compare la reducción de VaR.

7.5 Comparación de criterios para distribuir el presupuesto de cobertura

El presupuesto no se reparte automáticamente en partes iguales. Se comparan dos criterios:

\[ Presupuesto_i\propto Valor\ invertido_i \]

y:

\[ Presupuesto_i\propto Contribución\ al\ riesgo_i \]

El valor invertido indica cuánto capital hay en cada posición. La contribución al riesgo muestra cuánto participa cada activo en la volatilidad total del portafolio.

Para este ejercicio se selecciona la contribución al riesgo como se explicó antes como criterio principal para decidir dónde concentrar protección adicional, porque la cobertura base ya protege aproximadamente el 85% de las acciones de cada activo y lo que se quiere diferenciar es cuál posición pesa más en el riesgo total.

Bajo este criterio, V recibe la prioridad para la estrategia adicional. La tabla también permite comparar esta decisión con el peso de capital y con el costo real de las primas, evitando asumir que el activo con más dinero invertido necesariamente debe recibir la mayor atención.

Tabla 39. Valor invertido, contribución al riesgo y costo de cobertura
Ticker Position_Value Position_Value_Share Risk_Contribution_Share Protective_Put_Cost Collar_Net_Cost Protective_Put_Cost_Share Collar_Absolute_Cost_Share
V $6,006,508 60.07% 76.14% $233,220 -$260,820 44.58% 73.52%
MCD $2,138,957 21.39% 13.82% $189,435 $89,425 36.21% 73.52%
KO $1,854,262 18.54% 10.04% $100,455 -$4,525 19.20% 73.52%

La comparación permite ver que capital, riesgo y costo de cobertura no tienen por qué repartirse en la misma proporción. Por eso el presupuesto de protección no se justifica únicamente por el tamaño de cada posición. En la Protective Put, el activo que absorbe el mayor presupuesto de prima es V, con 44.58% del costo total de esa estrategia.

En este ejercicio se mantiene el 85% de cobertura por activo, pero la contribución al riesgo se usa como criterio para decidir dónde agregar protección adicional. Por esta razón V recibe el Bear Put Spread.

7.6 Tratamiento del costo de primas

Para aislar el efecto de las opciones no se venden acciones del portafolio original para financiar las primas. La posición accionaria de USD 10 millones se mantiene igual y el costo de las opciones se reconoce como un flujo de caja inicial adicional destinado a la cobertura.

Por tanto, en el P&L cubierto las primas pagadas se restan y las primas recibidas se suman. No se modela deuda ni costo de financiamiento adicional.

Este tratamiento permite observar cuánto cuesta proteger el portafolio sin alterar los pesos obtenidos en el Bloque I.

7.7 Payoff y P&L de las estrategias

Los siguientes gráficos utilizan un rango de escenarios proporcionales sobre los precios spot. Su objetivo no es predecir los precios futuros, sino mostrar cómo cambia el P&L contractual de cada estrategia.

Los gráficos muestran tres formas distintas de pagar por protección. La Protective Put deja abierta la ganancia si las acciones suben, pero arranca con el costo más alto.

El Collar reduce mucho ese costo porque vende calls, aunque a cambio deja de participar completamente en las subidas por encima de los strikes vendidos.

El Bear Put Spread es barato, pero su protección es limitada porque la diferencia entre los strikes de Visa es bastante pequeña.

8. Seguimiento trimestral y comparación cubierto/no cubierto

Basado en nuestro análisis la efectividad de una cobertura no debe evaluarse únicamente al vencimiento.

Las opciones cambian de valor durante su vida, por lo que se realiza un mark-to-market trimestral como se plantes para este ejercicio utilizando las mismas trayectorias simuladas en el Bloque anterior

Esto es importante porque la comparación utiliza exactamente los mismos escenarios de mercado:

\[ S_{i,t}^{unhedged}=S_{i,t}^{hedged} \]

La diferencia entre ambos portafolios proviene únicamente de las opciones y de sus primas.

Para el mark-to-market se mantiene constante la volatilidad implícita inicial de cada contrato. Esta es una simplificación porque el Bloque II simula precios, pero no una superficie futura de volatilidad implícita.

La Treasury se ajusta según el plazo remanente utilizando la curva observada en la fecha inicial.

8.1 Función de mark-to-market

8.2 Ventana efectiva de cobertura

El vencimiento común se encuentra antes del horizonte total de dos años del Bloque II. Por esta razón, la comparación cubierta/no cubierta se realiza hasta el vencimiento efectivo de las opciones y no se extiende artificialmente la protección hasta 24 meses.

Tabla 40. Ventana efectiva de seguimiento de la cobertura
Fecha_Valoracion Vencimiento_Opciones T_Anos Paso_Simulado_Final
2026-09-21 2028-01-21 1.333 336

8.3 Valor del portafolio cubierto en cada escenario

El valor económico cubierto se construye a partir del mismo portafolio sin cobertura del Bloque II y se agrega el P&L de las opciones. El portafolio base ya incluye acciones, efectivo residual y dividendos acumulados:

\[ V_{hedged,t}=V_{unhedged,t}+P\&L_{opciones,t} \]

Para una opción larga:

\[ P\&L_{long,t}=V_{opción,t}-Prima_{pagada} \]

mientras que para una opción vendida:

\[ P\&L_{short,t}=Prima_{recibida}-V_{opción,t} \]

Efecto de las estrategias de cobertura al primer trimestre
Estrategia Mediana Percentil_5 Diferencia_P5_vs_Sin_Cobertura
Sin cobertura $10,164,724 $9,013,361 $0
Protective Put $10,069,362 $9,251,335 $237,973
Collar $10,093,144 $9,640,481 $627,119
Bear Put Spread $10,134,189 $9,006,384 -$6,978

La tabla anterior permite ver de forma sencilla cómo cambia el valor del portafolio al incorporar las opciones. La mediana muestra el resultado central de las 10.000 simulaciones, mientras que el percentil 5 representa uno de los escenarios más desfavorables de nuestro ejercicio.

Desde nuestra óptica el Collar es la estrategia que mejor protege el portafolio, ya que mejora el percentil 5 en aproximadamente USD 626,908 frente al portafolio sin cobertura.

La Protective Put también reduce las pérdidas, con una mejora de USD 237,678, aunque disminuye un poco más la mediana por el alto costo de la prima.

Por último el Bear Put Spread mantiene una mediana cercana al portafolio original, pero todavía no mejora los escenarios negativos en este periodo de tiempo analizdo

8.4 Comparación trimestral del valor cubierto y no cubierto

Para resumir los 10.000 escenarios se presenta la mediana del valor del portafolio en cada fecha de control.

Valor mediano del portafolio durante la ventana de cobertura
Horizonte Dia Sin cobertura Protective Put Collar Bear Put Spread
t = 0 0 $10,000,000 $9,977,468 $9,947,768 $9,972,019
3 meses 63 $10,164,724 $10,069,362 $10,093,144 $10,134,189
6 meses 126 $10,334,948 $10,169,170 $10,246,934 $10,300,084
9 meses 189 $10,515,272 $10,259,963 $10,414,533 $10,479,568
12 meses 252 $10,658,601 $10,332,528 $10,588,649 $10,615,722
15 meses 315 $10,828,958 $10,444,054 $10,823,543 $10,777,627
16 meses 336 $10,898,159 $10,481,825 $10,920,527 $10,845,719

Acá es necesario comprender que apesar que el escenario sin cobertura presenta ligeramente superioridad que la estrategia Collar en gran parte del tramo analizado, se encuentra bajo un escenario “normal” y las estrategias de cobertura se utilizan principalmente para reducir el daño cuando las cosas salen mal.

Es importante que el inversionista comprenda que si espera un comportamiento estable o alcista y está dispuesto a asumir las caídas que pueden llegar a ser catastroficas para el negocio, mantener el portafolio sin cobertura puede dejar un mayor valor central. Pero si su prioridad es reducir pérdidas importantes en escenarios adversos, una cobertura puede ser conveniente aunque reduzca parte del resultado esperado.

Tabla 41B. Decisión de seguimiento trimestral de las coberturas
Horizonte Ticker Spot_Mediano Meses_Restantes Put_Strike Call_Strike Decision_Protective_Put Decision_Collar Decision_Bear_Put_Spread
t = 0 V 369.95 16.0 320.00 400.00 Mantener Mantener Mantener
t = 0 MCD 247.88 16.0 250.00 300.00 Mantener Mantener
t = 0 KO 87.12 16.0 82.50 95.00 Mantener Mantener
3 meses V 375.92 13.0 320.00 400.00 Mantener Mantener Mantener
3 meses MCD 249.10 13.0 250.00 300.00 Mantener Mantener
3 meses KO 87.74 13.0 82.50 95.00 Mantener Mantener
6 meses V 382.33 10.0 320.00 400.00 Mantener Mantener Mantener
6 meses MCD 250.59 10.0 250.00 300.00 Mantener Mantener
6 meses KO 88.32 10.0 82.50 95.00 Mantener Mantener
9 meses V 387.99 7.0 320.00 400.00 Mantener Mantener Mantener
9 meses MCD 251.79 7.0 250.00 300.00 Mantener Mantener
9 meses KO 88.92 7.0 82.50 95.00 Mantener Mantener
12 meses V 393.71 4.0 320.00 400.00 Mantener Mantener Mantener
12 meses MCD 252.63 4.0 250.00 300.00 Mantener Mantener
12 meses KO 89.57 4.0 82.50 95.00 Mantener Mantener
15 meses V 398.75 1.0 320.00 400.00 Renovar Renovar Renovar
15 meses MCD 254.08 1.0 250.00 300.00 Renovar Renovar
15 meses KO 90.13 1.0 82.50 95.00 Renovar Renovar
16 meses V 401.39 0.0 320.00 400.00 Renovar Renovar Renovar
16 meses MCD 254.92 0.0 250.00 300.00 Renovar Renovar
16 meses KO 90.33 0.0 82.50 95.00 Renovar Renovar

Para que el seguimiento no se quede solamente en observar el mark-to-market, se deja una regla sencilla de decisión.

La Protective Put se mantiene mientras queden más de tres meses al vencimiento y se plantea renovar cuando entra en el último trimestre.

En el Collar se revisa además si el precio central simulado alcanza el strike de la call; si ocurre, la cobertura se marca para ajuste porque el techo de ganancia ya está entrando en efecto.

En el Bear Put Spread se revisa si el precio alcanza el strike de la put corta, porque a partir de ese punto el beneficio adicional del spread empieza a quedar limitado.

Estas decisiones se usan como guía de seguimiento dentro de la simulación y son fruto de investigación y análisis de ejercicios de cobertura.

En una aplicación real se tomarían con los precios y la cadena de opciones que existan en cada fecha. Como el vencimiento seleccionado termina antes de los 24 meses del portafolio, al llegar al último trimestre la decisión es renovar la cobertura si se desea mantener la protección hasta el final de la inversión.

Al final de la ventana efectiva de cobertura, la mediana del portafolio sin cobertura es $10,898,159. Con Protective Put es $10,481,825, con Collar $10,920,527 y con Bear Put Spread $10,845,719.

La Protective Put puede quedar por debajo del portafolio sin cobertura en el escenario central porque exige pagar una prima y esa protección no siempre se necesita cuando el mercado se mantiene estable o sube.

El Collar reduce parte de ese costo con las calls vendidas, mientras que el Bear Put Spread tiene un costo menor pero también una protección más limitada.

La utilidad del seguimiento trimestral es precisamente observar este intercambio mientras la opción sigue viva. No se evalúa la cobertura solamente por el payoff final, sino por cómo cambia su valor y por si conviene mantenerla, ajustarla o renovarla.

8.5 VaR cubierto y reducción de riesgo

El VaR se vuelve a calcular sobre los mismos escenarios del Bloque II en dos momentos: el primer trimestre y el final de la ventana efectiva de cobertura.

\[ VaR_{95}=-Q_{0.05}(P\&L) \]

\[ VaR_{99}=-Q_{0.01}(P\&L) \]

La reducción absoluta se mide como:

\[ \Delta VaR=VaR_{unhedged}-VaR_{hedged} \]

y la reducción porcentual como:

\[ Reducción\%=\frac{VaR_{unhedged}-VaR_{hedged}}{VaR_{unhedged}} \]

Tabla 42. VaR cubierto y reducción frente al portafolio original
Estrategia Horizonte VaR95 VaR99 VaR95_Sin_Cobertura VaR99_Sin_Cobertura Reduccion_VaR95 Reduccion_VaR99 Reduccion_VaR95_Pct Reduccion_VaR99_Pct
VaR_95…1 Protective Put Primer trimestre $748,665 $996,551 $986,639 $1,396,079 $237,973 $399,528 24.12% 28.62%
VaR_95…2 Collar Primer trimestre $359,519 $512,976 $986,639 $1,396,079 $627,119 $883,103 63.56% 63.26%
VaR_95…3 Bear Put Spread V Primer trimestre $993,616 $1,390,782 $986,639 $1,396,079 -$6,978 $5,297 -0.71% 0.38%
VaR_95…4 Protective Put Fin cobertura $1,371,116 $1,533,101 $1,737,946 $2,642,052 $366,830 $1,108,951 21.11% 41.97%
VaR_95…5 Collar Fin cobertura $672,086 $834,071 $1,737,946 $2,642,052 $1,065,860 $1,807,981 61.33% 68.43%
VaR_95…6 Bear Put Spread V Fin cobertura $1,677,710 $2,556,492 $1,737,946 $2,642,052 $60,236 $85,560 3.47% 3.24%

La comparación muestra cuánto cambia la pérdida extrema cuando se incorporan las opciones. Al final de la cobertura, la Protective Put reduce el VaR95 en 21.11% y el VaR99 en 41.97%. Su efecto suele ser más visible en el VaR99 porque la put gana importancia en los escenarios de caída más fuerte.

El Collar reduce el VaR95 en 61.33% y el VaR99 en 68.43%. La mejora en la zona de pérdidas viene principalmente de las puts y de la prima recibida por las calls. El techo de las calls es el costo de esa estrategia en los escenarios alcistas, no la razón por la que protege la parte baja de la distribución.

El Bear Put Spread reduce el VaR95 en 3.47% y el VaR99 en 3.24%. Si la mejora es pequeña, la explicación debe buscarse en el ancho del spread: una distancia corta entre strikes limita el pago máximo de la estrategia.

8.6 Costo y eficiencia de reducción del VaR

El tercer criterio de presupuesto compara cuánto VaR99 se reduce por cada dólar de costo inicial:

\[ Eficiencia=\frac{\Delta VaR_{99}}{Costo\ inicial} \]

El cociente solo se reporta cuando el costo neto es positivo. Si una estrategia genera un crédito inicial, la relación no tiene una interpretación comparable y se deja como no aplicable.

Tabla 43. Costo y eficiencia de reducción del riesgo
Estrategia Costo_Inicial Costo_Pct_Portafolio Reduccion_VaR95 Reduccion_VaR95_Pct Reduccion_VaR99 Reduccion_VaR99_Pct Reduccion_VaR99_por_Dolar
Protective Put $523,110 5.23% $366,830 21.11% $1,108,951 41.97% 2.120
Collar -$175,920 -1.76% $1,065,860 61.33% $1,807,981 68.43% NA
Bear Put Spread V $52,440 0.52% $60,236 3.47% $85,560 3.24% 1.632

Entre las estrategias con costo inicial positivo, la mayor reducción de VaR99 por dólar corresponde a Protective Put. La Protective Put cuesta más, pero logra una reducción clara de la pérdida extrema sin poner un techo a las ganancias de las acciones. El Collar no se compara con el mismo cociente porque genera un crédito inicial; aun así, es la estrategia que más reduce los dos niveles de VaR. El Bear Put Spread es barato, pero la reducción obtenida es pequeña frente al riesgo total del portafolio.

Desde nuestra óptica para este análisis particular, la estrategia Collar tiene aporta grandes beneficios al inversionista ya que presenta la mayor reducción del riesgo: disminuye el VaR95 en 61.33% y el VaR99 en 68.43%.

Además de esto, su costo inicial es negativo, -USD 175,920, porque las primas recibidas por las calls vendidas superan el costo de las puts. En otras palabras, genera un crédito inicial y al mismo tiempo logra la mayor reducción del riesgo.

Sin embargo, este resultado tiene una condición que vale la pna destacar: el inversionista renuncia a parte de las ganancias si las acciones suben por encima de los strikes de las calls.

9. Conclusiones finales y limitaciones.

La selección de opciones se hizo con un vencimiento común dentro del rango de 12 a 24 meses y comparando al menos tres strikes por activo. Para escoger los contratos no se utilizó un solo criterio: se revisaron spread relativo, interés abierto, volumen, volatilidad implícita, moneyness y distancia del strike frente al spot. Esto permite que la elección quede documentada y no dependa solamente del precio de la prima.

La cobertura se dimensionó sobre aproximadamente 85% de las acciones de cada activo, ajustando el número de contratos al multiplicador de 100 acciones. La Protective Put tiene un costo total de $523,110, equivalente a 5.23% del portafolio. Esta estrategia protege la parte cubierta sin limitar las subidas, pero exige pagar la prima completa.

El Collar tiene un costo neto de -$175,920. La prima recibida por las calls reduce el costo de las puts, pero a cambio limita la ganancia de la parte cubierta cuando el precio supera el strike de la call. Al final de la cobertura, su reducción de VaR95 es 61.33% y la reducción de VaR99 es 68.43%.

La estrategia adicional se concentra en V, porque es el activo con mayor contribución al riesgo del portafolio. El Bear Put Spread reduce el costo frente a una put sola, pero su protección queda limitada por la distancia entre los dos strikes. Su reducción de VaR99 al final de la cobertura es 3.24%.

El seguimiento trimestral permite observar el mark-to-market de las opciones y no solamente su payoff al vencimiento. La regla de seguimiento deja claro cuándo mantener, ajustar o renovar.

Como el vencimiento seleccionado termina antes de los 24 meses del portafolio, la cobertura debe renovarse si se quiere mantener la protección durante el resto de la inversión.

En conjunto, el ejercicio permite comparar protección, costo y efecto sobre el riesgo bajo los mismos escenarios de mercado. La decisión no se basa solamente en cuál estrategia reduce más el VaR, sino también en cuánto cuesta, cuánto potencial de subida se entrega y qué tan fácil es mantener la cobertura durante el horizonte de inversión en este escenario destacó la estrategia Collar y se convierte en la sugerida para el inversionista según los resultados obtenidos para el periodo de tiempo analizado y con las acciones contempladas.

Respecto a futuros ejercicios tanto para inversionistas como analistas, se sugiere utilizar las fuentes documentadas en el presente documento, ya que contar con datos estructurados y confiables es esencial para tomar decisiones con información consistente, solo con la aclaración que en nuestra investigación no logramos encontrar una fuente automatizada que incluya la implied IV por lo que tuvo que ser calculada a partir de los datos obtenidos.

Este trabajo demuestra que invertir no consiste solamente en buscar el activo con mayor rentabilidad, sino en entender cuánto riesgo se está asumiendo para obtener dicha rentabilidad.

Tambien logramos una mejor comprensión de que los retornos históricos ayudan a conocer lo que ya ocurrió, mientras que herramientas como CAPM, GARCH y la simulación permiten construir una visión más completa del comportamiento esperado y de las posibles pérdidas del portafolio.

También aprendimos que diversificar reduce parte del riesgo, pero no lo elimina, y que una cobertura con opciones puede ayudar a controlar pérdidas importantes. Sin embargo, protegerse siempre implica un intercambio entre costo, nivel de protección y ganancias futuras.

Por último, el mayor aprendizaje obtenido es que una buena decisión de inversión debe buscar un equilibrio entre rentabilidad y riesgo de acuerdo con el objetivo y la tolerancia al riesgo del inversionista.

10. Referencias