TALLER: DISTRIBUCIONES CONJUNTAS DE PROBABILIDAD
Solución de problemas propuestos
Jacobo Raffan Perez
30 de septiembre de 2026
PROBLEMA 1
PLANTEAMIENTO
Se tiene la función de probabilidad conjunta \(f(x,y)\) para \(X\) (inconvenientes de ida) y \(Y\) (inconvenientes de regreso), con \(x,y \in \{0,1,2,3\}\):
| x=0 | x=1 | x=2 | x=3 | |
|---|---|---|---|---|
| y=0 | 0.01 | 0.03 | 0.05 | 0.02 |
| y=1 | 0.02 | 0.06 | 0.12 | 0.09 |
| y=2 | 0.07 | 0.10 | 0.15 | 0.08 |
| y=3 | 0.01 | 0.06 | 0.08 | 0.05 |
1. PROBABILIDAD DE HACER EL RECORRIDO SIN PROBLEMAS
Se busca \(P(X=0,Y=0)\), es decir, cero inconvenientes de ida y cero de regreso. Este valor se lee directamente de la tabla conjunta, en la celda donde \(x=0\) y \(y=0\):
\[ P(X=0,Y=0) = f(0,0) = 0.01 \]
Respuesta: la probabilidad es 0.01, es decir, un 1%.
2. PROBABILIDAD DE UN INCONVENIENTE EN EL VIAJE DE IDA
Se busca la marginal \(P(X=1)\), sumando la columna \(x=1\) sobre todos los valores de \(y\):
\[ P(X=1) = f(1,0)+f(1,1)+f(1,2)+f(1,3) = 0.03+0.06+0.10+0.06 = 0.25 \]
Respuesta: la probabilidad es 0.25, es decir, un 25%.
3. PROBABILIDAD DE DOS INCONVENIENTES EN EL REGRESO
Se busca la marginal \(P(Y=2)\), sumando la fila \(y=2\) sobre todos los valores de \(x\):
\[ P(Y=2) = f(0,2)+f(1,2)+f(2,2)+f(3,2) = 0.07+0.10+0.15+0.08 = 0.40 \]
Respuesta: la probabilidad es 0.4, es decir, un 40%.
4. PROBABILIDAD DE MENOS DE CUATRO INCONVENIENTES EN TODO EL RECORRIDO
Se busca \(P(X+Y<4)\), sumando todas las celdas de la tabla donde \(x+y\) sea menor que 4. Las celdas que cumplen esta condición son:
\[ \begin{aligned} P(X+Y<4) = \ & f(0,0)+f(1,0)+f(2,0)+f(3,0) \\ +\ & f(0,1)+f(1,1)+f(2,1) \\ +\ & f(0,2)+f(1,2) \\ +\ & f(0,3) \\[4pt] = \ & 0.01+0.03+0.05+0.02 \\ +\ & 0.02+0.06+0.12 \\ +\ & 0.07+0.10 \\ +\ & 0.01 \\[4pt] = \ & 0.49 \end{aligned} \]
Respuesta: la probabilidad es 0.49, es decir, un 49%.
5. INCONVENIENTES DE IDA ESPERADOS EN 100 VIAJES CON TRES DE REGRESO
Se pide la probabilidad condicional \(P(X=2 \mid Y=3)\), y luego se multiplica por 100 viajes:
\[ P(X=2 \mid Y=3) = \frac{f(2,3)}{P(Y=3)} = \frac{0.08}{0.20} = 0.4 \]
\[ \text{Viajes esperados} = 100 \times 0.4 = 40 \]
Respuesta: \(P(X=2 \mid Y=3) =\) 0.4, por lo que se esperan 40 viajes con dos inconvenientes de ida, de los 100 viajes con tres inconvenientes de regreso.
6. FUNCIONES DE PROBABILIDAD MARGINALES
La marginal de \(X\) se obtiene sumando cada columna de la tabla conjunta, y la marginal de \(Y\) sumando cada fila:
\[ f_X(x) = \sum_{y} f(x,y), \qquad f_Y(y) = \sum_{x} f(x,y) \]
\[ f_X(0)=0.11,\ f_X(1)=0.25,\ f_X(2)=0.40,\ f_X(3)=0.24 \]
\[ f_Y(0)=0.11,\ f_Y(1)=0.29,\ f_Y(2)=0.40,\ f_Y(3)=0.20 \]
| valor | f_X | f_Y |
|---|---|---|
| 0 | 0.11 | 0.11 |
| 1 | 0.25 | 0.29 |
| 2 | 0.40 | 0.40 |
| 3 | 0.24 | 0.20 |
7. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONDICIONAL P(Y|X=0)
Se usa la definición de probabilidad condicional, dividiendo cada celda de la columna \(x=0\) entre \(f_X(0)=0.11\):
\[ P(Y=y \mid X=0) = \frac{f(0,y)}{f_X(0)} \]
\[ \begin{aligned} P(Y=0 \mid X=0) &= \frac{0.01}{0.11} = 0.0909 \\ P(Y=1 \mid X=0) &= \frac{0.02}{0.11} = 0.1818 \\ P(Y=2 \mid X=0) &= \frac{0.07}{0.11} = 0.6364 \\ P(Y=3 \mid X=0) &= \frac{0.01}{0.11} = 0.0909 \end{aligned} \]
| y | P(Y|X=0) |
|---|---|
| 0 | 0.0909 |
| 1 | 0.1818 |
| 2 | 0.6364 |
| 3 | 0.0909 |
La suma de estas probabilidades es 1, lo cual confirma que es una función de probabilidad válida.
8. INCONVENIENTES ESPERADOS EN UN VIAJE COMPLETO
Se calcula \(E[X] + E[Y]\), usando las marginales de cada variable:
\[ E[X] = \sum_x x \cdot f_X(x) = 0(0.11)+1(0.25)+2(0.40)+3(0.24) = 1.77 \]
\[ E[Y] = \sum_y y \cdot f_Y(y) = 0(0.11)+1(0.29)+2(0.40)+3(0.20) = 1.69 \]
\[ E[X]+E[Y] = 1.77+1.69 = 3.46 \]
Respuesta: se esperan 3.46 inconvenientes en un viaje completo (ida y regreso).
9. GRÁFICOS
Función de probabilidad conjunta
Funciones marginales
Función condicional P(Y|X=0)
10. ¿SON X Y Y INDEPENDIENTES?
Dos variables son independientes si \(f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\) para todos los valores de \(x\) y \(y\). Se compara la tabla conjunta real contra el producto de las marginales, por ejemplo en \((0,0)\):
\[ f_X(0) \cdot f_Y(0) = 0.11 \times 0.11 = 0.0121 \neq f(0,0) = 0.01 \]
Como el valor real de la tabla no coincide con el producto de las marginales, se concluye que no son independientes (basta con que falle en un solo punto).
| x=0 | x=1 | x=2 | x=3 | |
|---|---|---|---|---|
| y=0 | 0.0121 | 0.0275 | 0.044 | 0.0264 |
| y=1 | 0.0319 | 0.0725 | 0.116 | 0.0696 |
| y=2 | 0.0440 | 0.1000 | 0.160 | 0.0960 |
| y=3 | 0.0220 | 0.0500 | 0.080 | 0.0480 |
| x=0 | x=1 | x=2 | x=3 | |
|---|---|---|---|---|
| y=0 | -0.0021 | 0.0025 | 0.006 | -0.0064 |
| y=1 | -0.0119 | -0.0125 | 0.004 | 0.0204 |
| y=2 | 0.0260 | 0.0000 | -0.010 | -0.0160 |
| y=3 | -0.0120 | 0.0100 | 0.000 | 0.0020 |
Respuesta: No, las variables no son independientes. Por ejemplo, \(f(0,0) =\) 0.01, pero \(f_X(0) \cdot f_Y(0) =\) 0.0121, valores distintos. Como no coinciden en todas las celdas, X y Y no son independientes.
PROBLEMA 2
PLANTEAMIENTO
\[ f(x,y) = \begin{cases} kxy^2 & 3 \le x \le 4,\ 0.5 \le y \le 1 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]
1. VALOR DE K
Para que \(f(x,y)\) sea una función de densidad válida, su integral doble sobre todo el dominio debe ser igual a 1:
\[ \int_{3}^{4} \int_{0.5}^{1} kxy^2 \, dy \, dx = 1 \]
Como \(k\) es constante, se puede separar la integral en el producto de dos integrales simples (una en \(x\) y otra en \(y\)):
\[ k \left( \int_{3}^{4} x \, dx \right) \left( \int_{0.5}^{1} y^2 \, dy \right) = 1 \]
\[ \int_{3}^{4} x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_3^4 = \frac{16-9}{2} = 3.5 \]
\[ \int_{0.5}^{1} y^2 \, dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_{0.5}^{1} = \frac{1-0.125}{3} = 0.291\overline{6} \]
\[ k (3.5)(0.291\overline{6}) = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{1.020833} = 0.979592 = \frac{48}{49} \]
Respuesta: \(k =\) 0.979592, que corresponde a la fracción \(48/49\).
2. PORCENTAJE CON ENCOGIMIENTO MENOR A 3.2% (120°C) Y MAYOR A 0.8% (140°C)
Se busca \(P(X<3.2, Y>0.8)\), de nuevo separando la integral doble en el producto de dos integrales simples:
\[ P(X<3.2,\, Y>0.8) = k \left(\int_{3}^{3.2} x \, dx\right)\left(\int_{0.8}^{1} y^2 \, dy\right) \]
\[ \int_{3}^{3.2} x \, dx = \frac{3.2^2-3^2}{2} = \frac{10.24-9}{2} = 0.62 \]
\[ \int_{0.8}^{1} y^2 \, dy = \frac{1-0.8^3}{3} = \frac{1-0.512}{3} = 0.162\overline{6} \]
\[ P(X<3.2,\, Y>0.8) = \frac{48}{49}(0.62)(0.1627) = 0.0988 \]
Respuesta: la probabilidad es 0.0988, es decir, un 9.88% de las fibras.
3. FIBRAS CON ENCOGIMIENTO MENOR A 3.8% (120°C) DADO QUE FUE MENOR A 0.8% (140°C)
Primero se calcula la marginal \(h(y)\), luego \(P(Y<0.8)\), luego la probabilidad conjunta \(P(X<3.8, Y<0.8)\), y con eso la condicional.
Marginal de Y:
\[ h(y) = \int_{3}^{4} kxy^2 \, dx = ky^2 \int_3^4 x\,dx = \frac{48}{49}(3.5)y^2 = \frac{24}{7}y^2, \quad 0.5 \le y \le 1 \]
P(Y<0.8):
\[ P(Y<0.8) = \int_{0.5}^{0.8} \frac{24}{7}y^2\,dy = \frac{24}{7}\left(\frac{0.8^3-0.5^3}{3}\right) = \frac{24}{7}(0.129) = 0.4423 \]
Probabilidad conjunta P(X<3.8, Y<0.8):
\[ \int_{3}^{3.8} x\,dx = \frac{3.8^2-3^2}{2} = \frac{14.44-9}{2} = 2.72 \]
\[ \int_{0.5}^{0.8} y^2\,dy = \frac{0.8^3-0.5^3}{3} = 0.129 \]
\[ P(X<3.8,\,Y<0.8) = \frac{48}{49}(2.72)(0.129) = 0.3437 \]
Probabilidad condicional y valor esperado:
\[ P(X<3.8 \mid Y<0.8) = \frac{0.3437}{0.4423} = 0.7771 \]
\[ \text{Fibras esperadas} = 500 \times 0.7771 \approx 389 \]
Respuesta: \(P(X<3.8 \mid Y<0.8) =\) 0.7771, por lo que de las 500 fibras se esperan aproximadamente 389 con un encogimiento menor al 3.8% a 120°C.
4. ¿SON INDEPENDIENTES X Y Y?
Se calculan las marginales \(g(x)\) y \(h(y)\), y se compara su producto con \(f(x,y)\).
Marginal de X:
\[ g(x) = \int_{0.5}^{1} kxy^2\,dy = kx \int_{0.5}^1 y^2\,dy = \frac{48}{49}x(0.2917) = \frac{2}{7}x, \quad 3 \le x \le 4 \]
Comparación:
\[ g(x)\cdot h(y) = \left(\frac{2}{7}x\right)\left(\frac{24}{7}y^2\right) = \frac{48}{49}xy^2 = kxy^2 = f(x,y) \]
Como el producto de las marginales reproduce exactamente la función conjunta original para cualquier \(x,y\) del dominio, las variables sí son independientes.
Respuesta: \(f(3.5, 0.7) =\) 1.68 y \(g(3.5) \cdot h(0.7) =\) 1.68, valores iguales. Esto se cumple para cualquier punto del dominio porque \(f(x,y) = kxy^2\) se puede separar exactamente en una parte que depende solo de \(x\) y otra que depende solo de \(y\), sobre una región rectangular. Por lo tanto, sí, X y Y son independientes.
GRÁFICO: SUPERFICIE DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD CONJUNTA
Funciones marginales g(x) y h(y)
PROBLEMA 3
PLANTEAMIENTO
\[ f(x,y) = \begin{cases} 24xy & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ x+y \le 1 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]
1. PORCENTAJE DE PAQUETES CON MÁS DE LA MITAD EN COLOMBIA
Se busca \(P(X>0.5)\). Primero se obtiene la marginal \(g(x)\) integrando sobre el rango válido de \(y\) (que depende de \(x\) por la condición \(x+y\le1\)):
\[ g(x) = \int_0^{1-x} 24xy\,dy = 24x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x} = 12x(1-x)^2, \quad 0 \le x \le 1 \]
Luego se integra \(g(x)\) entre 0.5 y 1. Usando la antiderivada \(F(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\) de \(x(1-x)^2\):
\[ F(1) = \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} = \frac{1}{12} = 0.0833 \]
\[ F(0.5) = 0.125 - 0.0833 + 0.0156 = 0.0573 \]
\[ P(X>0.5) = 12\big[F(1)-F(0.5)\big] = 12(0.0833-0.0573) = 12(0.0260) = 0.3125 \]
Respuesta: la probabilidad es 0.3125, es decir, un 31.25% de los paquetes.
2. PAQUETES CON MÁS DE 3/4 EN COLOMBIA, DADO MENOS DE LA MITAD EN BOURBON
Se calcula la marginal \(h(y)\), la probabilidad \(P(Y<0.5)\), la conjunta \(P(X>0.75, Y<0.5)\), y con eso la condicional.
Marginal de Y (por simetría, misma forma que g(x)):
\[ h(y) = 12y(1-y)^2, \quad 0 \le y \le 1 \]
P(Y<0.5):
\[ P(Y<0.5) = 12\big[F(0.5)-F(0)\big] = 12(0.0573-0) = 0.6875 \]
P(X>0.75):
\[ F(0.75) = \frac{0.75^2}{2}-\frac{2(0.75)^3}{3}+\frac{0.75^4}{4} = 0.2813-0.2813+0.0791 = 0.0791 \]
\[ P(X>0.75) = 12\big[F(1)-F(0.75)\big] = 12(0.0833-0.0791) = 0.0508 \]
Como la condición \(x+y\le1\) obliga a que, si \(x>0.75\), entonces \(y<1-0.75=0.25\) (que ya es menor que 0.5), la probabilidad conjunta \(P(X>0.75,\,Y<0.5)\) es exactamente igual a \(P(X>0.75)=0.0508\).
Probabilidad condicional y valor esperado:
\[ P(X>0.75 \mid Y<0.5) = \frac{0.0508}{0.6875} = 0.0739 \]
\[ \text{Paquetes esperados} = 200 \times 0.0739 \approx 15 \]
Respuesta: \(P(X>0.75 \mid Y<0.5) =\) 0.0739, por lo que de los 200 paquetes se esperan aproximadamente 15 con más de 3/4 de su peso en café Colombia.
3. PAQUETES CON MENOS DE LA MITAD EN BOURBON, DADO QUE TIENEN LA MITAD EN COLOMBIA
Se calcula la densidad condicional \(f(y \mid x=0.5)\) a partir de \(f(x,y) / g(x)\), evaluada en \(x=0.5\).
\[ g(0.5) = 12(0.5)(1-0.5)^2 = 12(0.5)(0.25) = 1.5 \]
\[ f(0.5,y) = 24(0.5)y = 12y \]
\[ f(y \mid x=0.5) = \frac{f(0.5,y)}{g(0.5)} = \frac{12y}{1.5} = 8y, \quad 0 \le y \le 0.5 \]
Nótese que, como \(x+y\le1\), cuando \(x=0.5\) el valor de \(y\) solo puede ir de 0 a 0.5; nunca puede llegar a 0.5 o más. Por eso el dominio de esta densidad condicional termina exactamente en \(y=0.5\):
\[ P(Y<0.5 \mid X=0.5) = \int_0^{0.5} 8y\,dy = 8\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{0.5} = 8(0.125) = 1 \]
Respuesta: cuando \(x=0.5\), la condición \(x+y\le1\) obliga a que \(y \le 0.5\) siempre. Es decir, si un paquete tiene la mitad de su peso en Colombia, es matemáticamente imposible que tenga la mitad o más en Bourbon. Por lo tanto \(P(Y<0.5 \mid X=0.5) = 1\), y los 300 paquetes tendrían menos de la mitad en Bourbon.
4. PROBABILIDAD DE QUE BOURBON REPRESENTE MÁS DE LA MITAD DE LA MEZCLA
Se busca \(P(Y>0.5)\). Por la simetría de \(f(x,y)=24xy\) frente a \(x\) y \(y\), la marginal \(h(y)\) tiene exactamente la misma forma que \(g(x)\), así que el cálculo es idéntico al de la pregunta 1, solo que integrando sobre \(y\) en vez de \(x\):
\[ P(Y>0.5) = 12\big[F(1)-F(0.5)\big] = 12(0.0833-0.0573) = 0.3125 \]
Respuesta: la probabilidad es 0.3125, es decir, un 31.25%.
5. FUNCIONES MARGINALES PARA X Y Y
\[ g(x) = \int_0^{1-x} 24xy \, dy = 12x(1-x)^2, \qquad 0 \le x \le 1 \]
\[ h(y) = \int_0^{1-y} 24xy \, dx = 12y(1-y)^2, \qquad 0 \le y \le 1 \]
Ambas integrales dan como resultado 1, lo que confirma que son funciones de densidad válidas.
6. GRÁFICOS
Superficie de la densidad conjunta
Funciones marginales g(x) y h(y)
Las dos funciones marginales tienen exactamente la misma forma, porque la función conjunta original (\(24xy\)) es simétrica entre \(x\) y \(y\).