##Examen Parcial 1##

#PROBLEMA 1 (100 pts)#
#1.1 - Unidad experimental: Cada porción homogénea o lote individual de pulpa seca de café procedente de Chiriquí sometida a un proceso de extracción independiente.
#Factor de estudio: Tipo de solvente.   
#Niveles del factor (a=4): Agua, metanol, etanol y acetona.   
#Variable respuesta: Cantidad de polifenoles totales extraídos, expresada en mg EAG/g de pulpa seca.   
#Condiciones que se mantienen fijas: Temperatura, altitud de recolección de la muestra, relación masa/volumen, tiempo de extracción, método de agitación y tamaño de partícula de la pulpa.   
#Es importante para asegurar que cualquier variabilidad observada en la concentración de polifenoles se deba exclusivamente al tipo de solvente utilizado y no a factores de confusión externos, garantizando la validez interna del experimento.

#1.2- Propongo un Diseño Completamente al Azar (DCA), ya que el material experimental el cual es la pulpa de café homogeneizada; es completamente uniforme y las condiciones ambientales del laboratorio se controlan de manera estricta. No es necesario utilizar un diseño en bloques debido a que no se identifican fuentes de variabilidad extrañas como diferentes lotes o distintos empresas o exportadores que neseciten ser controladas mediante agrupamiento previo de las unidades experimentales.

#1.3- El Modelo e esl lineal aditivo: Yij=μ+τi+ϵij 
#Los supuestos del modelo son la Normalidad: Los errores se distribuyen normalmente con media cero.
   #Homocedasticidad: La varianza σ^2es constante para todos los solventes.
  #Independencia: Los errores son independientes entre sí..
#Hipótesis:
  #H0(hipotesis nula):T1=T2=T3=74=0; por lo que el tipo de solvente no afecta la cantidad media de extracto obtenido).
#Ha(hipotesis alternativa):Al menos un solvente produce un efecto diferente en la extracción.

#1.4- Con una desviación estándar esperada σ≈2,0 mg EAG/g, un nivel de significancia α=0,05 y una potencia deseada del 90%, se pueden aplicar las curvas de operación característica o en software como R,que nos permite determina un número de réplicas de n=5 por tratamiento dandonos el total de unidades experimentales.   
#El total de uidades determinadas de las porciones de pulpa de café se numeran y se asignan de forma completamente aleatoria a los 4 tratamientos mediante la generación de números aleatorios en R (sample()), asegurando que cada unidad tenga la misma probabilidad de recibir cualquier solvente.

#1.5- 

set.seed(123)
agua <- rnorm(5, mean = 17, sd = 2.0)
metanol <- rnorm(5, mean = 20, sd = 2.0)
etanol <- rnorm(5, mean = 18, sd = 2.0)
acetona <- rnorm(5, mean = 15, sd = 2.0)

df_solvente <- data.frame(
  solvente = factor(rep(c("Agua", "Metanol", "Etanol", "Acetona"), each = 5)),
  polifenoles = c(agua, metanol, etanol, acetona)
)

mod_solvente <- aov(polifenoles ~ solvente, data = df_solvente)
summary(mod_solvente)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## solvente     3  59.78  19.927   4.517 0.0177 *
## Residuals   16  70.58   4.411                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
CME <- summary(mod_solvente)[[1]]["Residuals", "Mean Sq"]
media_general <- mean(df_solvente$polifenoles)
CV <- (sqrt(CME) / media_general) * 100
cat("CV (%):", round(CV, 2), "%\n")
## CV (%): 11.81 %
#1.6- 
library(car)
## Warning: package 'car' was built under R version 4.5.3
## Cargando paquete requerido: carData
## Warning: package 'carData' was built under R version 4.5.3
res_solv <- mod_solvente$residuals
shapiro.test(res_solv)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res_solv
## W = 0.9752, p-value = 0.8585
bartlett.test(polifenoles ~ solvente, data = df_solvente)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  polifenoles by solvente
## Bartlett's K-squared = 2.5839, df = 3, p-value = 0.4603
#1.7- 
tukey_solv <- TukeyHSD(mod_solvente)
print(tukey_solv)
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = polifenoles ~ solvente, data = df_solvente)
## 
## $solvente
##                     diff        lwr      upr     p adj
## Agua-Acetona    2.168456 -1.6320359 5.968948 0.3894204
## Etanol-Acetona  3.397119 -0.4033730 7.197611 0.0883461
## Metanol-Acetona 4.692678  0.8921856 8.493170 0.0132397
## Etanol-Agua     1.228663 -2.5718291 5.029155 0.7920758
## Metanol-Agua    2.524222 -1.2762705 6.324714 0.2667374
## Metanol-Etanol  1.295559 -2.5049334 5.096051 0.7651501
plot(tukey_solv)

#El Metanol es el solvente óptimo para la extracción en la de pulpa de café, alcanzando rendimientos significativamente superiores. Esto se explica por su polaridad intermedia; como alcohol de cadena corta, lo cual le permite solubilizar eficientemente tanto polifenoles el cual es nuestro anlito de extración polares. 

#Problema 2#
#a) Análisis Descriptivo y Gráfico (15 pts)
# Script estructurado para el problema de pasto fertilizado

Y <- c(14.823, 14.676, 14.720, 14.514, 15.065,
       25.151, 25.401, 25.131, 25.031, 25.267,
       32.605, 32.460, 32.256, 32.669, 32.111)

trat <- rep(c("Nivel 1", "Nivel 2", "Nivel 3"), each = 5)

df_pasto <- data.frame(trat = factor(trat), Y = Y)

aggregate(Y ~ trat, data = df_pasto, FUN = function(x) c(Media = mean(x), D.E = sd(x)))
##      trat    Y.Media      Y.D.E
## 1 Nivel 1 14.7596000  0.2038168
## 2 Nivel 2 25.1962000  0.1418986
## 3 Nivel 3 32.4202000  0.2346289
boxplot(Y ~ trat, data = df_pasto, col = c("lightblue", "lightgreen", "darkgreen"),
        xlab = "Nivel de Nitrógeno", ylab = "Rendimiento (t/ha)",
        main = "Rendimiento de Pasto por Nivel de Nitrógeno")

#Gráficamente y por las medias observadas , se evidencia una marcada tendencia ascendente directa en el rendimiento a medida que aumenta la dosis de nitrógeno. La dispersión dentro de cada grupo es muy reducida en comparación con las grandes diferencias entre las medias.

#b) Tabla ANOVA, Hipótesis y Regla de Decisión (15 pts)

modelo_pasto <- aov(Y ~ trat, data = df_pasto)
summary(modelo_pasto)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
## trat         2  788.3   394.2   10131 <2e-16 ***
## Residuals   12    0.5     0.0                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#Hipótesis: H0=El rendimiento del pasto es igual en los 3 niveles de N).  H1:Al menos un nivel de N produce un rendimiento diferente.
#Nivel de significancia: α=0.05.   
#Regla de decisión: Rechazar H0 si F0>F crit (2,12)=3.89, o equivalente, si p-value<0.05.

#c) Análisis de Residuos (10 pts)

res_pasto <- modelo_pasto$residuals

shapiro.test(res_pasto)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res_pasto
## W = 0.97219, p-value = 0.8891
bartlett.test(Y ~ trat, data = df_pasto)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  Y by trat
## Bartlett's K-squared = 0.88657, df = 2, p-value = 0.6419
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(res_pasto); qqline(res_pasto)
plot(modelo_pasto$fitted.values, res_pasto, xlab = "Ajustados", ylab = "Residuos")
abline(h = 0, lty = 2) 

#No existe ningún problema con los residuos. El modelo ajusta perfectamente y las conclusiones del ANOVA son 100% válidas.

#Problema 4# 
#a) 
 
datos_envases <- c(28.3, 26.8, 26.6, 26.5, 28.1, 24.8, 27.4, 26.2, 29.4, 28.6, 24.9, 25.2, 
                   30.4, 27.7, 27.0, 26.1, 28.1, 26.9, 28.0, 27.6, 25.6, 29.5, 27.6, 27.3, 
                   26.2, 27.7, 27.2, 25.9, 26.5, 28.3, 26.5, 29.1, 23.7, 29.7, 26.8, 29.5, 
                   28.4, 26.3, 28.1, 28.7, 27.0, 25.5, 26.9, 27.2, 27.6, 25.5, 28.3, 27.4, 
                   28.8, 25.0, 25.3, 27.7, 25.2, 28.6, 27.9, 28.7)

n <- length(datos_envases)
media <- mean(datos_envases)
s <- sd(datos_envases)

hist(datos_envases, col = "lightblue", main = "Distribución de Resistencia Vertical",
     xlab = "Resistencia (kg)", ylab = "Frecuencia", prob = TRUE)
lines(density(datos_envases), col = "red", lwd = 2)



#PARTE II: PREGUNTAS TEÓRICAS DE INFERENCIA#

#Pregunta 1. Rol de las distribuciones y Distribución MuestralLas distribuciones de probabilidad proveen el modelo matemático teórico para asignar probabilidades a los posibles valores de una variable.   La distribución muestral de un estadístico es la distribución de probabilidad formada por todos los valores posibles que puede tomar dicho estadístico (por ejemplo, la media muestral ) cuando se extraen infinitas muestras aleatorias del mismo tamaño $n$ de una población.Esta distribución permite pasar de la muestra a la población porque, mediante teoremas como el Teorema del Límite Central, conocemos el comportamiento, centro y variabilidad del estadístico. Esto hace posible calcular la probabilidad exacta de cometer errores al extrapolar los resultados muestrales a los parámetros poblacionales, estableciendo un nivel de confianza  o significancia conocido.   

#Pregunta 2. Estadístico de Prueba y Regiones de DecisiónUn estadístico de prueba es una función matemática calculada a partir de los datos muestrales cuya distribución teórica bajo la hipótesis nula es completamente conocida; El espacio de valores posibles del estadístico se divide en dos zonas:Región de Aceptación: Rango de valores esperados si H0 es cierta.Región de Rechazo: Rango de valores tan extremos que es muy poco probable observarlos si H0 fuera verdadera.

#Oregunta 3. Errores Tipo I y Tipo II y Ejemplo AplicadoError Tipo I: Consiste en rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera (falso positivo).   
#Error Tipo II: Consiste en no rechazar la hipótesis nula (H0) cuando en realidad es falsa (falso negativo).   Ejemplo Aplicado en el Control de Calidad de un Reactivo Químico:H0: El reactivo extraído tiene la pureza requerida : El reactivo es impuro / defectuoso.
#Consecuencia del Error Tipo I: Se rechaza un lote de reactivo que sí era puro.Impacto práctico: Pérdidas económicas por descartar materia prima en buen estado.
#Consecuencia del Error Tipo II: No se rechaza y se aprueba un lote que estaba contaminado/impuro.Impacto práctico: Fallos en la reacción de síntesis, pérdida de experimentos posteriores y posible daño a equipos.

#Pregunta 4 (10 pts). Tres Criterios Equivalentes para Rechazar H0 Criterio del Estadístico de Prueba vs. Valor Crítico:Se rechaza H0 si el valor absoluto del estadístico calculado excede el valor crítico fijado por la tabla .
#Criterio del pvaule vs. Nivel de Significancia :Se rechaza H0 si el pvaule calculado es estrictamente menor que el nivel de significancia prefijado.   
#Criterio del Intervalo de Confianza:Se rechaza H0= si el valor hipotético del parámetro no se encuentra contenido dentro del intervalo de confianza calculado para el parámetro al de confianza.   

#Problema 3

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summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

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Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.