#PROBLEMA 1
set.seed(123)
solvente <- rep(c("Agua", "Metanol", "Etanol", "Acetona"), each = 6)
polifenoles <- c(rnorm(6, 17, 2), rnorm(6, 20, 2), rnorm(6, 18, 2), rnorm(6, 15, 2))
datos1 <- data.frame(solvente = as.factor(solvente), polifenoles)
# ANOVA
mod1 <- aov(polifenoles ~ solvente, data = datos1)
summary(mod1)
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## solvente 3 107.97 35.99 9.676 0.000374 ***
## Residuals 20 74.39 3.72
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Coeficiente de Variación (CV)
cme <- summary(mod1)[[1]]$`Mean Sq`[2]
cv <- (sqrt(cme) / mean(datos1$polifenoles)) * 100
print(paste("CV:", round(cv, 2), "%"))
## [1] "CV: 11.03 %"
# Verificación de supuestos
shapiro.test(residuals(mod1))
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(mod1)
## W = 0.97237, p-value = 0.7256
# Normalidad
bartlett.test(polifenoles ~ solvente, data = datos1)
##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: polifenoles by solvente
## Bartlett's K-squared = 1.8246, df = 3, p-value = 0.6096
# Comparaciones de Tukey
TukeyHSD(mod1)
## Tukey multiple comparisons of means
## 95% family-wise confidence level
##
## Fit: aov(formula = polifenoles ~ solvente, data = datos1)
##
## $solvente
## diff lwr upr p adj
## Agua-Acetona 3.8316820 0.7151335 6.948231 0.0126808
## Etanol-Acetona 4.0286298 0.9120812 7.145178 0.0085580
## Metanol-Acetona 5.8197885 2.7032400 8.936337 0.0002222
## Etanol-Agua 0.1969477 -2.9196008 3.313496 0.9979666
## Metanol-Agua 1.9881065 -1.1284421 5.104655 0.3090278
## Metanol-Etanol 1.7911588 -1.3253898 4.907707 0.3964639
#1. Identificación y explicaciónUnidad experimental: Cada porción o unidad de pulpa de café (Coffea arabica) de Chiriquí sometida a un proceso de extracción independiente. Factor de estudio: El tipo de solvente. Niveles del factor: Agua, Metanol, Etanol y Acetona. Variable respuesta: Cantidad de polifenoles totales extraídos, expresada en mg EAG/g de pulpa seca. Condiciones que se mantienen fijas: Temperatura, altitud, material y método de extracción. Por qué es importante que el solvente sea el único factor que varía: Es fundamental para garantizar que cualquier diferencia observada en la cantidad de polifenoles extraídos se deba exclusivamente al tipo de solvente y no a variables confusas o externas (como cambios de temperatura o material).
#2. Propuesta, justificación del DCA y bloquesPropuesta y justificación: Se propone un Diseño Completamente al Azar (DCA) porque el material experimental (la pulpa de café procesada bajo condiciones idénticas) es completamente homogéneo. Por qué no hace falta formar bloques: No se requiere la formación de bloques ya que no existen fuentes de variabilidad extrañas o conocidas (como diferentes lotes heterogéneos o distintos operadores) que deban controlarse experimentalmente.
#3. Modelo, supuestos e hipótesisModelo estadístico: Y_ij = mu + tau_i + epsilon_ij (Donde Y_ij es la variable respuesta, mu es la media general, tau_i es el efecto del i-ésimo solvente y epsilon es el error experimental aleatorio). Supuestos: Los errores experimentales son independientes, se distribuyen de forma normal con media cero y tienen varianza constante (homocedasticidad). Hipótesis:H0: mu_1 = mu_2 = mu_3 = mu_4 (El tipo de solvente no afecta la cantidad media de polifenoles extraídos). H1: Al menos un solvente produce una cantidad media de polifenoles diferente.
# Problema 2
nivel1 <- c(14.823, 14.676, 14.720, 14.514, 15.065)
nivel2 <- c(25.151, 25.401, 25.131, 25.031, 25.267) # Valor corregido de la flecha
nivel3 <- c(32.605, 32.460, 32.256, 32.669, 32.111)
rendimiento <- c(nivel1, nivel2, nivel3)
nitrogeno <- gl(3, 5, labels = c("N1", "N2", "N3"))
datos2 <- data.frame(nitrogeno, rendimiento)
# a) Análisis descriptivo y gráfico
tapply(rendimiento, nitrogeno, mean)
## N1 N2 N3
## 14.7596 25.1962 32.4202
tapply(rendimiento, nitrogeno, sd)
## N1 N2 N3
## 0.2038168 0.1418986 0.2346289
boxplot(rendimiento ~ nitrogeno, data = datos2, main = "Rendimiento por Nitrógeno")
# b) Análisis de Varianza (ANOVA)
mod2 <- aov(rendimiento ~ nitrogeno, data = datos2)
summary(mod2)
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## nitrogeno 2 788.3 394.2 10131 <2e-16 ***
## Residuals 12 0.5 0.0
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# c) Análisis de residuos
shapiro.test(residuals(mod2))
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(mod2)
## W = 0.97219, p-value = 0.8891
plot(mod2, which = 1)
# a) Al calcular los estadísticos descriptivos para los tres niveles de nitrógeno, obtuve un rendimiento promedio de 14.76 t/ha (con una desviación estándar de 0.20) para el Nivel 1, de 25.20 t/ha (con 0.14 de desviación) para el Nivel 2, y de 32.42 t/ha (con 0.23) para el Nivel 3. Al analizar estos valores y visualizar los datos en un gráfico de caja, se puede notar claramente que los rendimientos aumentan de forma progresiva y bien separada conforme se incrementa la cantidad de nitrógeno, sin que existan solapamientos entre los grupos. Por lo tanto, estas diferencias visuales y numéricas bastan para concluir desde ya que sí hay diferencias reales entre las poblaciones.
#b) Para comprobarlo estadísticamente, planteé las hipótesis evaluando si el nivel de nitrógeno afecta el rendimiento, donde la hipótesis nula (H_0) establece que las medias de los tres niveles son iguales (mu_1 = mu_2 = mu_3) y la alternativa ($H_1$) indica que al menos uno de los niveles produce un rendimiento distinto. Utilicé un nivel de significancia de alpha = 0.05, bajo la regla de decisión de rechazar H_0 si el valor p es menor o igual a 0.05. Al realizar el análisis de varianza (ANOVA), obtuve un estadístico $F$ de 10130.58 y un valor p extremadamente pequeño ($4.3 el cual es menor que 0.05. Con este resultado, rechazo rotundamente la hipótesis nula y concluyo que el nivel de nitrógeno tiene un efecto altamente significativo sobre el rendimiento del pasto.
#c) Finalmente, al analizar los residuos del modelo mediante la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk, obtuve un valor p de 0.89, el cual es mayor a 0.05. Esto significa que no se rechaza la normalidad de los errores y, al observar el gráfico de residuos frente a los valores ajustados, estos se comportan de manera totalmente aleatoria y con varianza constante. Por lo tanto, te puedo confirmar que los supuestos del modelo se cumplen a la perfección y no hay ningún problema con los datos.
#Problema 4
resistencia <- c(28.3, 26.8, 26.6, 26.5, 28.1, 24.8, 27.4, 26.2, 29.4, 28.6,
24.9, 25.2, 30.4, 27.7, 27.0, 26.1, 28.1, 26.9, 28.0, 27.6,
25.6, 29.5, 27.6, 27.3, 26.2, 27.7, 27.2, 25.9, 26.5, 28.3,
26.5, 29.1, 23.7, 29.7, 26.8, 29.5, 28.4, 26.3, 28.1, 28.7,
27.0, 25.5, 26.9, 27.2, 27.6, 25.5, 28.3, 27.4, 28.8, 25.0,
25.3, 27.7, 25.2, 28.6, 27.9, 28.7)
# a) Histograma exploratorio
hist(resistencia, main = "Histograma de Resistencia", xlab = "kg")
# b) Intervalo de confianza de 95% para la media
t.test(resistencia, conf.level = 0.95)
##
## One Sample t-test
##
## data: resistencia
## t = 142.54, df = 55, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 26.86335 27.62950
## sample estimates:
## mean of x
## 27.24643
#Problema 4
# resistencia <- c(28.3, 26.8, 26.6, 26.5, 28.1, 24.8, 27.4, 26.2, 29.4, 28.6, 24.9, 25.2, 30.4, 27.7, 27.0, 26.1, 28.1, 26.9, 28.0, 27.6, 25.6, 29.5, 27.6, 27.3, 26.2, 27.7, 27.2, 25.9, 26.5, 28.3, 26.5, 29.1, 23.7, 29.7, 26.8, 29.5, 28.4, 26.3, 28.1, 28.7, 27.0, 25.5, 26.9, 27.2, 27.6, 25.5, 28.3, 27.4, 28.8, 25.0, 25.3, 27.7, 25.2, 28.6, 27.9, 28.7)
# a) Histograma exploratorio
hist(resistencia, main = "Histograma de Resistencia", xlab = "kg")
# b) Intervalo de confianza de 95% para la media
t.test(resistencia, conf.level = 0.95)
##
## One Sample t-test
##
## data: resistencia
## t = 142.54, df = 55, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 26.86335 27.62950
## sample estimates:
## mean of x
## 27.24643
# Pregunta 1. Papel de las distribuciones de probabilidad en la inferencia estadística:Las distribuciones de probabilidad cumplen un papel fundamental porque actúan como el puente matemático que conecta las muestras con las poblaciones. La distribución muestral de un estadístico (como la media muestral) describe cómo varían los resultados si tomáramos múltiples muestras de una misma población; gracias al Teorema del Límite Central, sabemos que esta distribución tiende a ser normal. Esta previsibilidad matemática es exactamente lo que nos permite calcular probabilidades de error y establecer un nivel de confianza o significancia conocido, permitiéndonos inferir con rigor científico las características de una población entera a partir de una única muestra observada.
# Pregunta 2. Estadístico de prueba, región de aceptación y de rechazo:Un estadístico de prueba es un valor numérico calculado a partir de los datos muestrales mediante una fórmula específica, cuya distribución de probabilidad es conocida bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera. Este estadístico se utiliza para decidir si se rechaza o no dicha hipótesis al compararlo con los valores críticos. Gráficamente, en una prueba bilateral con $\alpha = 0.05$, la distribución se divide en una región de aceptación central (que abarca el 95% de probabilidad) y dos regiones de rechazo en los extremos (cada una con un área de alpha2 = 0.025$). Si el valor del estadístico de prueba cae dentro de las colas (región de rechazo), se evidencia que el resultado es tan inusual bajo la hipótesis nula que procedemos a rechazarla.
# Pregunta 3. Errores tipo I y tipo II (con ejemplo práctico):El Error Tipo I ocurre cuando rechazamos una hipótesis nula que en realidad es verdadera (falsa alarma, con probabilidad $\alpha$), mientras que el Error Tipo II ocurre cuando aceptamos (no rechazamos) una hipótesis nula que en realidad es falsa (dejar pasar un problema, con probabilidad $\beta$). Por ejemplo, en el control de calidad de un fertilizante, la hipótesis nula ($H_0$) podría ser que el lote cumple con el porcentaje mínimo de nitrógeno requerido. Cometer un Error Tipo I significaría rechazar por error un lote bueno, lo que genera pérdidas económicas y retrasos operativos injustificados para la empresa. Por otro lado, cometer un Error Tipo II significaría aceptar y comercializar un lote defectuoso (con poco nitrógeno), lo que perjudicaría directamente el rendimiento de los cultivos del cliente y dañaría la reputación del fabricante.
# Pregunta 4. Tres criterios equivalentes para rechazar una hipótesis nula:Los tres criterios matemáticamente equivalentes para rechazar una hipótesis nula en una prueba estadística son:Criterio del Estadístico de Prueba vs. Valor Crítico: Se rechaza $H_0$ si el valor absoluto del estadístico calculado ($Fo$) es mayor o igual al valor crítico de la tabla ($F$ de tablas).Criterio del Valor P (P-value): Se rechaza $H_0$ si el nivel de significancia observado es menor o igual al nivel de significancia prefijado típicamente 0.05).Criterio del Intervalo de Confianza: Se rechaza $H_0$ si el valor hipotético del parámetro poblacional planteado en la hipótesis nula no está incluido dentro del intervalo de confianza calculado para dicho parámetro