— 4. Cálculo del número de réplicas —

medias esperadas <- c(17, 20, 18, 15) # Medias para Agua, Metanol, Etanol, Acetona[cite: 1] sigma <- 2.0 # Desviación estándar esperada[cite: 1] k <- 4 # Número de niveles[cite: 1]

Cálculo del tamaño del efecto (f) de Cohen

media_global <- mean(medias_esperadas) varianza_efecto <- sum((medias_esperadas - media_global)^2) / k f_efecto <- sqrt(varianza_efecto) / sigma

Cálculo de la potencia (alpha = 0.05, power = 0.90)[cite: 1]

potencia <- pwr.anova.test(k = k, f = f_efecto, sig.level = 0.05, power = 0.90) print(potencia) # El resultado indica n = 3.66. Se redondea al entero superior: 4 réplicas por tratamiento.

n_rep <- 4

— 5. Simulación de datos y ANOVA —

set.seed(123) # Para reproducibilidad agua <- rnorm(n_rep, mean = 17, sd = 2.0) metanol <- rnorm(n_rep, mean = 20, sd = 2.0) etanol <- rnorm(n_rep, mean = 18, sd = 2.0) acetona <- rnorm(n_rep, mean = 15, sd = 2.0)

datos_p1 <- data.frame( Solvente = factor(rep(c(“Agua”, “Metanol”, “Etanol”, “Acetona”), each = n_rep)), Polifenoles = c(agua, metanol, etanol, acetona) )

modelo_p1 <- aov(Polifenoles ~ Solvente, data = datos_p1) summary(modelo_p1)

Cálculo del Coeficiente de Variación (CV)[cite: 1]

cv <- (sqrt(deviance(modelo_p1)/df.residual(modelo_p1)) / mean(datos_p1$Polifenoles)) * 100 cat(“Coeficiente de Variación (CV):”, round(cv, 2), “%”)

— 6. Verificación de supuestos —

#Normalidad (Shapiro-Wilk)[cite: 1] shapiro.test(residuals(modelo_p1))

Homocedasticidad (Prueba de Levene)[cite: 1]

leveneTest(Polifenoles ~ Solvente, data = datos_p1)

Independencia (Visualización de residuales)

plot(residuals(modelo_p1), type=“o”, main=“Independencia de Residuales”, ylab=“Residuales”) abline(h=0, col=“red”)

— 7. Comparaciones de Tukey —

tukey_p1 <- HSD.test(modelo_p1, “Solvente”, group=TRUE) print(tukey_p1$groups) plot(tukey_p1)

#Conclusión química: El análisis de Tukey agrupará los solventes según su efectividad. # El metanol, siendo un alcohol polar prótico con menor constante dieléctrica que el agua[cite: 1], # facilita una mejor solubilización de las matrices orgánicas de polifenoles.

Datos del Problema 2

n1 <- c(14.823, 14.676, 14.720, 14.514, 15.065) n2 <- c(25.151, 25.401, 25.131, 25.031, 25.000) # Se asume 25.000 por formato del PDF n3 <- c(32.605, 32.460, 32.256, 32.669, 32.111)

datos_p2 <- data.frame( Nivel = factor(rep(c(“Nivel 1”, “Nivel 2”, “Nivel 3”), each = 5)), Rendimiento = c(n1, n2, n3) )

a) Análisis descriptivo y gráfico

summary(datos_p2$Rendimiento) boxplot(Rendimiento ~ Nivel, data = datos_p2, col = “lightgreen”, main = “Rendimiento de pasto por Nivel de Nitrógeno”, ylab = “Rendimiento (t/ha)”, xlab = “Nivel de Nitrógeno”) # Las cajas no se solapan, lo que sugiere diferencias significativas entre las poblaciones.

b) Análisis de varianza (ANOVA)

modelo_p2 <- aov(Rendimiento ~ Nivel, data = datos_p2) summary(modelo_p2)

c) Análisis de residuos

par(mfrow=c(2,2)) plot(modelo_p2) par(mfrow=c(1,1)) shapiro.test(residuals(modelo_p2)) # El gráfico de Normal Q-Q y el test de Shapiro verificarán si hay problemas de normalidad. # El gráfico de Residuals vs Fitted verificará si la varianza es constante.

#Problema 4 # Datos de resistencia resistencia <- c(28.3, 26.8, 26.6, 26.5, 28.1, 24.8, 27.4, 26.2, 29.4, 28.6, 24.9, 25.2, 30.4, 27.7, 27.0, 26.1, 28.1, 26.9, 28.0, 27.6, 25.6, 29.5, 27.6, 27.3, 26.2, 27.7, 27.2, 25.9, 26.5, 28.3, 26.5, 29.1, 23.7, 29.7, 26.8, 29.5, 28.4, 26.3, 28.1, 28.7, 27.0, 25.5, 26.9, 27.2, 27.6, 25.5, 28.3, 27.4, 28.8, 25.0, 25.3, 27.7, 25.2, 28.6, 27.9, 28.7)

a) Análisis exploratorio (Histograma)

hist(resistencia, breaks=10, col=“skyblue”, main=“Histograma de Resistencia”, xlab=“Resistencia (kg)”, ylab=“Frecuencia”)

b) Intervalo de confianza de 95% para el promedio poblacional

ic_media <- t.test(resistencia, conf.level=0.95) cat(“La resistencia promedio estimada está entre”, ic_media\(conf.int[1], "y", ic_media\)conf.int[2], “kg”)

c) Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar poblacional

n <- length(resistencia) s2 <- var(resistencia) alpha <- 0.05 chi_inf <- qchisq(1 - alpha/2, df = n - 1) chi_sup <- qchisq(alpha/2, df = n - 1)

ic_var <- c((n - 1) * s2 / chi_inf, (n - 1) * s2 / chi_sup) ic_sd <- sqrt(ic_var) cat(“La desviación estándar poblacional estimada está entre”, ic_sd[1], “y”, ic_sd[2], “kg”)

#Preguntas y respuestas Pregunta 1 (10 pts). Explique qué papel cumplen las distribuciones de probabilidad en la inferencia estadística. Su respuesta debe incluir el concepto de distribución muestral de un estadístico y explicar por qué esta permite pasar de la muestra a la población con un nivel de confianza o de significancia conocido.

Respuestas: Las distribuciones de probabilidad permiten cuantificar la incertidumbre asociada al muestreo aleatorio. La distribución muestral de un estadístico (como la media muestral) describe cómo varían las estimaciones de diferentes muestras extraídas de la misma población. Esto permite establecer probabilidades sobre cuán lejos puede estar nuestro estadístico del parámetro poblacional verdadero, posibilitando la construcción de intervalos de confianza y pruebas de hipótesis con niveles controlados de riesgo (nivel de significancia alfa).

Pregunta 2 (10 pts). Defina qué es un estadístico de prueba. Explique cómo se relaciona con la región de aceptación y la región de rechazo. Ilústrelo con un esquema de la distribución para una prueba bilateral con α = 0,05.

Respuesta: Un estadístico de prueba es un valor estandarizado calculado a partir de los datos de la muestra bajo el supuesto de que la hipótesis nula (H0) es cierta. Su posición en el eje de la distribución de probabilidad define la decisión: si cae en la región de rechazo (las colas de la distribución), se rechaza H0; si cae en la región de aceptación (centro), no se rechaza. (Esquema visual bilateral con alpha=0.05): El 95% central representa el área de aceptación, mientras que las colas izquierda (2.5%) y derecha (2.5%) conforman la región de rechazo delimitada por los valores críticos.

Pregunta 3 (10 pts). Defina los errores tipo I y tipo II en una prueba de hipótesis e indique la probabilidad asociada a cada uno. Dé un ejemplo aplicado, por ejemplo en el control de calidad de un reactivo o de un fertilizante, que muestre las consecuencias prácticas de cometer cada error.

Respuesta: Error Tipo I: Rechazar una hipótesis nula que en realidad es verdadera. Probabilidad asociada: alpha (Nivel de significancia).Error

Tipo II: No rechazar una hipótesis nula que en realidad es falsa. Probabilidad asociada: beta.

Ejemplo aplicado: En el control de calidad de un fertilizante, si H0 es “El lote cumple el estándar”. Un Error Tipo I ocurre si rechazamos un lote en perfectas condiciones (pérdida económica para la fábrica). Un Error Tipo II ocurre si aceptamos un lote defectuoso (perjuicio para el cultivo del cliente y pérdida de reputación).

Pregunta 4 (10 pts). Nombre y describa brevemente los tres criterios equivalentes para rechazar una hipótesis nula.

Respuesta: Los tres criterios equivalentes para rechazar una hipótesis nula son:Valor p (p-value): Si el valor p es menor que el nivel de significancia (p alpha), se rechaza H0.

Estadístico de prueba vs. Valor Crítico: Si el estadístico de prueba cae fuera del rango delimitado por el o los valores críticos en la región de rechazo, se rechaza H0.

Intervalo de Confianza: Si el valor del parámetro postulado en la H0 no está contenido dentro del intervalo de confianza calculado a partir de la muestra (usualmente a un nivel 1-alpha), se rechaza H0.

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summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

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