Aula 01 — Probabilidade: da incerteza à decisão

<div class="cover-kicker">Minicurso · Tópicos de Estatística para IA</div>

# Probabilidade: da incerteza à decisão

## Aula 01 | Aprendizagem Baseada em Problemas

<div class="cover-subtitle">Da incerteza à evidência — e da evidência à decisão responsável.</div>

<div class="cover-event">CONECTech · Conferência de Tecnologia do ICET</div>

<div class="cover-details"><span class="cover-detail">28 e 30/09 · 14h</span><span class="cover-detail">Laboratório 309 · Bloco D</span></div>

<div class="cover-instructor">Instrutor: Prof. Dr. Hidelbrando Ferreira Rodrigues</div>

<div class="cover-challenge">Desafio: um alerta de monitoramento disparou. O serviço vai falhar?</div>

*Tópicos de Estatística para IA — Engenharia de Software e Sistemas de Informação*

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# O problema que vamos investigar

Uma equipe acompanha implantações de software. Algumas são seguidas por falhas graves; um sistema de monitoramento emite alertas, mas nem todo alerta corresponde a uma falha.

.question[Uma nova implantação acabou de gerar um alerta. O que precisamos saber para decidir se devemos interromper a liberação, investigar ou aguardar?]

Não responda ainda com um palpite: primeiro vamos definir **o que observamos**, **quais resultados são possíveis** e **o que conta como evidência**.

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# O desafio como problema aberto

Há pelo menos três perguntas diferentes escondidas em “o serviço vai falhar?”

<div class="threecol">
<div class="card"><b>O que pode acontecer?</b><br>Definir resultados possíveis e eventos de interesse.</div>
<div class="card"><b>Com que frequência?</b><br>Usar simetria, dados observados ou as duas coisas?</div>
<div class="card"><b>O que significa o alerta?</b><br>Atualizar a chance de falha diante de uma evidência.</div>
</div>

**Roteiro da investigação:** experimento aleatório → espaço amostral e eventos → probabilidade clássica e frequentista → condicional e marginais → independência → probabilidade total → Bayes.

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# Pergunta investigativa 1 — o que é o experimento?

Imagine que selecionamos ao acaso uma implantação já realizada e verificamos o que ocorreu nas **24 horas seguintes**.

.question[Qual é o experimento aleatório? Que resultados diferentes podem ser observados?]

Um experimento é aleatório quando seu resultado específico **não é conhecido de antemão**, embora os resultados possíveis e as condições possam ser descritos.

<div class="box"><b>Experimento:</b> selecionar uma implantação e observar se houve falha grave em até 24 horas.</div>

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Esquema — resultados possíveis do experimento</div>
<div class="outcomes"><div class="outcome hit"><b>F</b><br>falha grave</div><div class="outcome"><b>¬F</b><br>sem falha grave</div><div class="outcome"><b>Observação</b><br>24 horas</div><div class="outcome"><b>Registro</b><br>um resultado</div></div>
</div>

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# Espaço amostral e eventos

Para uma primeira análise, registremos apenas se ocorreu falha:

- **Espaço amostral** `$\Omega=\{F,\,\neg F\}$`: todos os resultados possíveis nesta representação.
- `$F$`: evento “a implantação foi seguida por falha grave em 24 horas”.
- `$\neg F$`: evento complementar “não foi seguida por falha nesse período”.

.question[Estamos descrevendo tudo o que pode acontecer ao sistema, ou apenas os resultados relevantes para esta pergunta?]

O espaço amostral depende do **nível de detalhe**. Para estudar o alerta também, será necessário ampliar a representação.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Esquema — uma variável: falha nas próximas 24 horas</div>
<div class="outcomes"><div class="outcome hit">F<br>falha</div><div class="outcome">¬F<br>sem falha</div></div>
</div>

---

# Quando ampliamos o que observamos

Agora registramos duas características: falha e alerta.

$$
\Omega=\{(F,A),\;(F,\neg A),\;(\neg F,A),\;(\neg F,\neg A)\}
$$

<div class="twocol">
<div class="card"><b>Evento F ∩ A</b><br>Houve falha e o alerta disparou.</div>
<div class="card"><b>Evento A</b><br>O alerta disparou, com ou sem falha.</div>
</div>

.question[Por que “alerta disparou” e “houve falha” não são o mesmo evento?]

Eventos podem ocorrer juntos (interseção), não ocorrer ou formar complementos. Nomeá-los com precisão evita confundir evidência e conclusão.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Diagrama — quatro resultados ao observar falha e alerta</div>
<div class="outcomes"><div class="outcome hit"><b>F ∩ A</b><br>falha + alerta</div><div class="outcome"><b>F ∩ ¬A</b><br>falha sem alerta</div><div class="outcome"><b>¬F ∩ A</b><br>alerta sem falha</div><div class="outcome"><b>¬F ∩ ¬A</b><br>nem falha nem alerta</div></div>
</div>

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# Probabilidade clássica: quando os casos são equiprováveis

A abordagem clássica calcula a razão entre casos favoráveis e casos possíveis **quando os resultados elementares são igualmente prováveis**:

$$
P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}
$$

**Exemplo no contexto de software:** entre 10 janelas de teste equivalentes e escolhidas com a mesma chance, 2 estão reservadas para manutenção. Para uma janela selecionada ao acaso,

$$
P(M)=\frac{2}{10}=0{,}20.
$$

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Esquema — 10 janelas equiprováveis; 2 reservadas para manutenção</div>
<div class="tile-grid"><div class="tile marked">M1</div><div class="tile marked">M2</div><div class="tile">J3</div><div class="tile">J4</div><div class="tile">J5</div><div class="tile">J6</div><div class="tile">J7</div><div class="tile">J8</div><div class="tile">J9</div><div class="tile">J10</div></div>
<div class="small">Cada bloco representa uma janela com a mesma chance de ser selecionada; os dois blocos âmbar são casos favoráveis.</div>
</div>

.question[Podemos aplicar essa contagem diretamente às falhas de software? Todas as implantações têm a mesma chance de falhar?]

---

# Um cuidado: equiprovável não significa “parece justo”

A fórmula clássica é adequada quando a equiprobabilidade decorre do desenho do experimento, como sorteio uniforme de uma janela ou lançamento de um dado equilibrado.

<div class="box"><b>Não é automaticamente adequado:</b> contar implantações históricas como se cada uma fosse um resultado igualmente provável de falha. Aplicações, mudanças e condições operacionais podem diferir.</div>

Para estimar a frequência de falhas, recorremos aos dados. Mas a frequência observada também é uma estimativa sujeita a variação, não uma garantia sobre a próxima implantação.

.question[Que evidências justificariam tratar os casos como comparáveis?]

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# Probabilidade frequentista: aprender pela repetição

Na interpretação frequentista, a probabilidade é compreendida pelo comportamento de longo prazo de repetições do mesmo tipo de experimento, sob condições comparáveis.

Se houve 40 falhas em 1.000 implantações históricas:

$$
\widehat{P}(F)=\frac{\text{número de falhas observadas}}{\text{número de implantações}}=\frac{40}{1000}=0{,}04.
$$

A frequência relativa observada é **4%**.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Esquema — frequência observada no histórico</div>
<div class="bar-row"><b>Falha</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill amber" style="width:4%"></div></div><b>4% · 40</b></div>
<div class="bar-row"><b>Sem falha</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill" style="width:96%"></div></div><b>96% · 960</b></div>
<div class="small">Cada barra usa o mesmo total de referência: 1.000 implantações.</div>
</div>

.question[Isso prova que exatamente 4 em cada 100 próximas implantações falharão?]

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# Clássica e frequentista: respondem sob condições diferentes

| Abordagem | Ideia de cálculo | Exemplo da aula | Condição importante |
|---|---|---|---|
| **Clássica** | Casos favoráveis ÷ casos possíveis | 2 de 10 janelas equiprováveis | Resultados elementares equiprováveis |
| **Frequentista** | Frequência relativa em observações | 40 falhas em 1.000 implantações | Repetições comparáveis e dados informativos |

**Ponte com o problema:** o valor de 4% descreve a frequência histórica de falha; ainda não diz qual é a chance de falha **sabendo que um alerta disparou**.

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# Do problema aos dados do monitoramento

Considere o histórico de **1.000 implantações**. Houve 40 falhas graves nas 24 horas seguintes; o sistema detectou 32 delas. Entre as 960 sem falha, emitiu 96 alertas.

| Resultado observado | Alerta `$A$` | Sem alerta `$\neg A$` | Total |
|---|---:|---:|---:|
| Falha `$F$` | 32 | 8 | 40 |
| Sem falha `$\neg F$` | 96 | 864 | 960 |
| **Total** | **128** | **872** | **1.000** |

**Pense:** que denominador usaríamos para calcular a proporção de falhas? E se soubermos que houve alerta?

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Leitura visual da tabela — duas variáveis observadas</div>
<div class="outcomes"><div class="outcome hit"><b>32</b><br>falha + alerta</div><div class="outcome"><b>8</b><br>falha sem alerta</div><div class="outcome"><b>96</b><br>alerta sem falha</div><div class="outcome"><b>864</b><br>sem falha e sem alerta</div></div>
<div class="small">Os quatro grupos são disjuntos e, juntos, cobrem as 1.000 implantações.</div>
</div>

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# Probabilidades marginais: olhar uma variável de cada vez

Uma probabilidade **marginal** descreve a probabilidade de um evento sem condicionar ao outro. Na tabela, obtemos os totais somando linhas ou colunas:

$$
P(F)=\frac{40}{1000}=0{,}04;\qquad P(A)=\frac{128}{1000}=0{,}128.
$$

Assim, a frequência marginal de falha é **4%**, e a frequência marginal de alerta é **12,8%**.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Marginais — totais de linha e coluna, sempre sobre 1.000</div>
<div class="bar-row"><b>Falha F</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill amber" style="width:4%"></div></div><b>4,0%</b></div>
<div class="bar-row"><b>Alerta A</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill" style="width:12.8%"></div></div><b>12,8%</b></div>
</div>

<div class="box">“Marginal” não quer dizer irrelevante: é a distribuição de cada variável considerada separadamente, sem fixar o valor da outra.</div>

.question[O que muda quando não perguntamos mais “qual é a frequência de falha?”, mas “qual é a frequência de falha entre as implantações alertadas?”]

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# Probabilidade condicional: restringir o grupo de referência

A probabilidade de falha **dado que** houve alerta é calculada apenas entre as implantações alertadas:

$$
P(F\mid A)=\frac{P(F\cap A)}{P(A)}=\frac{32}{128}=0{,}25.
$$

Portanto, no histórico, **25% dos alertas foram seguidos por falha**.

<div class="box"><b>Definição:</b> para P(B) > 0, P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). O evento após a barra define a população de referência.</div>

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Condicionar em A: restringimos a análise às 128 implantações alertadas</div>
<div class="bar-row"><b>Alertas seguidos de falha</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill amber" style="width:25%"></div></div><b>32 / 128</b></div>
<div class="bar-row"><b>Alertas sem falha</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill" style="width:75%"></div></div><b>96 / 128</b></div>
<div class="formula-chip">P(F | A) = 32/128 = 25%</div><span class="small">O denominador é o grupo condicionado: alertas.</span>
</div>

.question[Por que o denominador é 128, e não 1.000 nem 40?]

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# A mesma tabela, agora em probabilidades

Dividindo cada contagem por 1.000, obtemos probabilidades conjuntas e marginais:

|  | Alerta A | Sem alerta ¬A | Marginal |
|---|---:|---:|---:|
| Falha F | P(F ∩ A) = 0,032 | P(F ∩ ¬A) = 0,008 | **P(F) = 0,040** |
| Sem falha ¬F | P(¬F ∩ A) = 0,096 | P(¬F ∩ ¬A) = 0,864 | **P(¬F) = 0,960** |
| **Marginal** | **P(A) = 0,128** | **P(¬A) = 0,872** | **1,000** |

A célula interna é **conjunta**; a soma da linha ou coluna fornece a **marginal**. Para obter uma condicional, dividimos a conjunta pelo marginal da condição.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Como ler a tabela — conjunta, soma marginal e condicional</div>
<div class="flowrow"><div class="flowbox">Célula conjunta<br><b>P(F ∩ A) = 0,032</b></div><div class="flowarrow">÷</div><div class="flowbox">Marginal da condição<br><b>P(A) = 0,128</b></div><div class="flowarrow">=</div><div class="flowbox emphasis">Condicional<br><b>P(F | A) = 0,25</b></div></div>
</div>

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# Ler condicionais em qualquer direção

A tabela permite formular duas perguntas distintas:

<div class="twocol">
<div class="card"><b>Entre as falhas, quantas tiveram alerta?</b><br>P(A | F) = 32/40 = 0,80<br>O sistema detectou 80% das falhas.</div>
<div class="card"><b>Entre os alertas, quantos foram seguidos de falha?</b><br>P(F | A) = 32/128 = 0,25<br>Um em cada quatro alertas correspondeu a falha no histórico.</div>
</div>

**Não confunda:** `$P(A\mid F)$` com `$P(F\mid A)$`. Muda o grupo de referência e muda a resposta.

.question[Qual das duas probabilidades responde à pergunta “o serviço vai falhar, dado que o alerta disparou”?]

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# Árvore de probabilidade — primeiro o estado, depois o alerta

Cada caminho multiplica a probabilidade do primeiro ramo pela probabilidade condicional do segundo. Os ramos que saem do mesmo nó somam 1.

**Leitura guiada:** comece na raiz, siga um caminho completo e multiplique os ramos. O resultado é a probabilidade conjunta daquele percurso.

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# Independência: o alerta muda a informação sobre falha?

Dois eventos `$F$` e `$A$` são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro:

$$
P(F\mid A)=P(F)\quad\text{(equivalentemente, se as probabilidades estão definidas, }P(F\cap A)=P(F)P(A)\text{).}
$$

Neste exemplo:

$$
P(F\mid A)=0{,}25\ne 0{,}04=P(F).
$$

Logo, falha e alerta **não são independentes**: saber que houve alerta altera a proporção histórica de falhas.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Teste visual — compare a taxa-base com a taxa entre alertas</div>
<div class="bar-row"><b>Sem condicionar</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill amber" style="width:4%"></div></div><b>4%</b></div>
<div class="bar-row"><b>Sabendo que A</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill" style="width:25%"></div></div><b>25%</b></div>
<div class="small">Se fossem independentes, conhecer o alerta não mudaria a probabilidade de falha.</div>
</div>

.question[O alerta é informativo? Ser informativo significa que ele determina o resultado?]

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# Um teste adicional de independência

Se falha e alerta fossem independentes, esperaríamos:

$$
P(F\cap A)=P(F)P(A)=0{,}04\times0{,}128=0{,}00512.
$$

Mas a probabilidade conjunta observada é:

$$
P(F\cap A)=\frac{32}{1000}=0{,}032.
$$

Como `$0{,}032\ne0{,}00512$`, os eventos não são independentes. O alerta está associado à falha, mas ainda há falsos alertas e falhas sem alerta.

<div class="box">**Independência não é exclusão mútua.** Eventos mutuamente exclusivos não podem ocorrer juntos; eventos independentes não alteram as probabilidades uns dos outros.</div>

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# Probabilidade total: de onde vêm todos os alertas?

Todo alerta ocorre em uma de duas situações mutuamente exclusivas: houve falha ou não houve falha. Portanto, somamos as contribuições dos dois caminhos que terminam em alerta:

$$
`\begin{aligned}
P(A)&=P(A\mid F)P(F)+P(A\mid\neg F)P(\neg F)\\
&=(0{,}80)(0{,}04)+(0{,}10)(0{,}96)\\
&=0{,}032+0{,}096=0{,}128.
\end{aligned}`
$$

**Resultado:** 12,8% das implantações geram alerta no histórico.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Probabilidade total — duas fontes de alertas</div>
<div class="flowrow"><div class="flowbox">Falha + alerta<br><b>4% × 80% = 3,2%</b></div><div class="flowarrow">+</div><div class="flowbox">Sem falha + alerta<br><b>96% × 10% = 9,6%</b></div><div class="flowarrow">=</div><div class="flowbox emphasis">Todos os alertas<br><b>12,8%</b></div></div>
</div>

.question[Por que não basta usar apenas 80%, a taxa de detecção entre as falhas?]

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# Teorema da Probabilidade Total — a estrutura

Se `$B_1,\dots,B_n$` formam uma partição do espaço amostral e `$P(B_i)>0$`, então, para qualquer evento `$A$`:

$$
P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\mid B_i)P(B_i).
$$

No problema, os eventos `$F$` e `$\neg F$` particionam os resultados. A fórmula reconstrói a probabilidade marginal de alerta a partir de cada cenário.

<div class="box"><b>Intuição:</b> calcule a chance do resultado de interesse em cada cenário; pese cada chance pela frequência daquele cenário; some as contribuições.</div>

---

# Bayes: inverter a pergunta diante de uma evidência

Já calculamos a chance de alerta em cada cenário e a chance geral de alerta. Agora queremos inverter a direção:

> Sabendo que o alerta disparou, qual é a probabilidade de ter ocorrido uma falha?

O Teorema de Bayes combina:

- **probabilidade anterior:** `$P(F)=0{,}04$`;
- **verossimilhança do alerta se há falha:** `$P(A\mid F)=0{,}80$`;
- **probabilidade total do alerta:** `$P(A)=0{,}128$`.

.question[Como essas três quantidades se combinam para responder à pergunta da equipe?]

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# Aplicando o Teorema de Bayes

$$
`\begin{aligned}
P(F\mid A)&=\frac{P(A\mid F)P(F)}{P(A)}\\
&=\frac{(0{,}80)(0{,}04)}{0{,}128}\\
&=\frac{0{,}032}{0{,}128}=0{,}25.
\end{aligned}`
$$

Dado o alerta, a frequência histórica de falha é **25%** — não 80%.

<div class="visual-panel">
<div class="visual-title">Bayes — dos 128 alertas, quais tiveram falha?</div>
<div class="bar-row"><b>Alerta + falha</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill amber" style="width:25%"></div></div><b>32 casos</b></div>
<div class="bar-row"><b>Alerta sem falha</b><div class="bar-track"><div class="bar-fill" style="width:75%"></div></div><b>96 casos</b></div>
<div class="formula-chip">P(F | A) = P(A | F) P(F) / P(A) = 0,25</div>
</div>

<div class="box"><b>Conferência pela tabela:</b> dos 128 alertas, 32 foram seguidos de falha; 32/128 = 0,25.</div>

**O alerta aumenta a estimativa de 4% para 25%, mas não prova que a falha ocorrerá.**

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# Por que uma detecção de 80% não significa risco de 80%?

O valor de 80% responde: **entre as implantações que falharam, qual proporção gerou alerta?** É `$P(A\mid F)$`.

A equipe pergunta: **entre as implantações alertadas, qual proporção falha?** É `$P(F\mid A)$`.

A diferença depende também da taxa-base: falhas são relativamente raras (4%), enquanto implantações sem falha são numerosas. Por isso, mesmo 10% de falsos alertas entre 960 casos sem falha geram 96 alertas.

.question[Que outros dados operacionais poderiam alterar a probabilidade anterior ou a interpretação do alerta?]

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# Retomada do problema — qual decisão tomar?

**Dados do histórico:** `$P(F)=4\%$`, `$P(A\mid F)=80\%$`, `$P(A\mid\neg F)=10\%$` e `$P(F\mid A)=25\%$`.

Isso justifica ignorar o alerta? Não. Isso prova que o serviço vai falhar? Também não.

<div class="threecol">
<div class="card"><b>Investigar</b><br>Buscar evidências adicionais: latência, erros, memória, dependências e histórico da mudança.</div>
<div class="card"><b>Comparar custos</b><br>Quanto custa uma falha não detectada em relação a uma investigação desnecessária?</div>
<div class="card"><b>Reavaliar</b><br>As taxas permanecem válidas para a versão, a carga e o ambiente atuais?</div>
</div>

**Probabilidade informa a decisão; não a substitui.**

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# Verificação formativa: resolva e explique

Uma nova implantação gerou alerta. Responda individualmente e depois compare o raciocínio com uma pessoa ao lado:

1. Qual é o experimento aleatório e qual evento queremos estimar?
2. Qual a diferença entre `$P(A\mid F)$` e `$P(F\mid A)$`?
3. Os eventos falha e alerta são independentes? Mostre uma comparação numérica.
4. Por que usamos probabilidade total antes de Bayes?
5. O resultado de 25% é uma certeza sobre esta implantação?

**Critério de sucesso:** declarar corretamente o evento, o grupo de referência, o denominador e o limite da conclusão.

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# Síntese da investigação

<div class="threecol">
<div class="card"><b>1. Definir</b><br>Experimento aleatório, espaço amostral e eventos deixam explícito o que está sendo estudado.</div>
<div class="card"><b>2. Quantificar</b><br>Probabilidades clássicas dependem de equiprobabilidade; frequências observadas estimam o comportamento em dados comparáveis.</div>
<div class="card"><b>3. Atualizar</b><br>Condicionais, independência, probabilidade total e Bayes explicam como a evidência altera uma avaliação.</div>
</div>

**Resposta provisória ao problema-mote:** o alerta eleva a frequência histórica de falha de 4% para 25%; a ação depende de evidência adicional, consequências e validade dos dados.

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# Bilhete de saída

Em até quatro linhas:

1. Escreva uma diferença entre probabilidade marginal e condicional.
2. Complete: `$P(F\mid A)$` usa como denominador o total de ________.
3. Explique por que o alerta não implica 80% de chance de falha.
4. Dê um exemplo de condição que poderia tornar o histórico pouco comparável ao sistema atual.

.keep[Use suas respostas para identificar qual etapa da investigação merece retomada na próxima aula.]

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# Nota de condução docente

A sequência foi desenhada para uma abordagem de **Aprendizagem Baseada em Problemas**: o caso abre a investigação, as perguntas tornam explícitas as lacunas, os conceitos aparecem como ferramentas para resolvê-las e a turma retorna ao problema para justificar uma decisão.

Sugestão de condução: apresente o problema sem revelar a tabela; recolha hipóteses iniciais; introduza cada conceito no ponto em que ele se torna necessário; peça que estudantes expliquem os denominadores e os ramos da árvore; encerre retomando decisão, incerteza e limites dos dados.

**Ponto de atenção:** os números são dados didáticos hipotéticos, internamente coerentes; não representam desempenho observado de uma ferramenta ou empresa real.

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# Referências essenciais

- Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). *Introduction to Probability* (2nd ed.). CRC Press.
- DeGroot, M. H., & Schervish, M. J. (2012). *Probability and Statistics* (4th ed.). Pearson.
- Ross, S. M. (2014). *Introduction to Probability Models* (11th ed.). Academic Press.
- Wasserman, L. (2004). *All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference*. Springer.

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