Derivados Financieros - Laboratorio 1

1. Resumen ejecutivo y tesis de mercado

Resumen ejecutivo

En este trabajo construimos y analizamos un portafolio de USD 10 millones compuesto por JPM, NRG y RTX, que pertenecen a diferentes sectores y cotizan en la Bolsa de Nueva York. Para hacer el análisis utilizamos información histórica desde octubre de 2021 hasta septiembre de 2026. Primero construimos el portafolio buscando una combinación que tuviera un buen rendimiento esperado sin asumir demasiado riesgo. Después analizamos cómo podría comportarse el portafolio durante dos años y, por último, buscamos diferentes opciones para protegerlo en caso de que se presentaran caídas fuertes.

En el primer bloque vimos que la diversificación es importante, ya que las tres acciones no se comportan exactamente de la misma manera. Aunque tienen correlaciones positivas, sus movimientos son diferentes y al combinarlas podemos disminuir parte del riesgo. Después de analizar las diferentes combinaciones de pesos, escogimos el portafolio con el mayor índice de Sharpe, ya que fue el que presentó una mejor relación entre el rendimiento esperado y el riesgo dentro de las condiciones que planteamos.

En el segundo bloque realizamos 10.000 simulaciones para observar diferentes escenarios que podría tener el portafolio durante los dos años. Para esto utilizamos el modelo GARCH, que nos permitió tener en cuenta que la volatilidad no es siempre la misma y puede cambiar con el tiempo. Los resultados nos mostraron que, aunque existen escenarios en los que el portafolio obtiene resultados positivos, también se pueden presentar pérdidas importantes, especialmente en los escenarios más negativos.

En el tercer bloque analizamos diferentes estrategias con opciones: protective put, collar y bear put spread. Encontramos que la protective put permite tener una protección más directa y mantener el potencial de subida de las acciones, pero tiene un costo mayor. El collar permite reducir el costo de la cobertura porque la venta de la call ayuda a pagar la put, aunque esto significa que también se limita parte de las ganancias. Finalmente, el bear put spread permite tener una cobertura con un costo menor, pero la protección también es más limitada si se presenta una caída muy fuerte.

Tesis de mercado

Nuestra tesis de mercado parte de que el portafolio puede tener un comportamiento positivo durante los dos años en un escenario normal, pero no podemos asumir que siempre va a ser así. También existe la posibilidad de que se presenten períodos de mayor volatilidad y pérdidas importantes, por lo que tener tres acciones diferentes no significa que el portafolio esté completamente protegido.

Cada una de las acciones aporta características diferentes. NRG tiene una volatilidad más alta, mientras que RTX presenta un comportamiento menos sensible al mercado y JPM termina teniendo el mayor peso dentro del portafolio seleccionado. Esto nos ayuda a diversificar la inversión, aunque todavía existe exposición a posibles caídas del mercado. Por esta razón, nuestro objetivo no es eliminar completamente el riesgo, porque esto no es posible, sino tratar de reducir el impacto de las pérdidas más fuertes. Las opciones las utilizamos como una forma de protección frente a posibles caídas, teniendo en cuenta que esa protección puede tener un costo o limitar algunas ganancias. En otras palabras, buscamos que el portafolio pueda seguir teniendo posibilidades de crecimiento, pero al mismo tiempo contar con una protección que ayude a disminuir el impacto de escenarios negativos.

Bloque I – Construcción del portafolio

2. Fuentes y preparación de datos

La siguiente tabla muestra las fuentes y el tratamiento que se les dio a los datos utilizados a lo largo del trabajo. El objetivo es dejar claro de dónde salen los datos y qué procesos se realizaron antes de utilizarlos, de manera que los resultados puedan ser revisados y replicados.

Es importante registrar la fecha y hora en que se descargaron los datos, ya que Yahoo Finance puede actualizar los precios históricos ajustados cuando una empresa realiza eventos como el pago de dividendos. Por esto, si los datos se descargan nuevamente en una fecha diferente, algunos valores históricos pueden cambiar. Registrar esta información permite tener claridad sobre los datos exactos que fueron utilizados en el análisis.

Además, se presentan las observaciones disponibles para cada activo, los datos faltantes y el tratamiento que se les aplicó. También se indica el tipo de retorno utilizado y la razón de su elección, junto con la tasa libre de riesgo, su fuente y la fecha en que fue consultada. Con esto se busca dejar documentado de forma clara todo el proceso relacionado con los datos utilizados en el trabajo.

Campo	Valor
Ventana de datos	01/10/2021 al 18/09/2026 (último día hábil disponible)
Fecha y hora de descarga	25/09/2026 (UTC−05, hora de Colombia)
Fuente de precios	Yahoo Finance, vía quantmod::getSymbols
Fuente de dividendos	Yahoo Finance, vía quantmod::getDividends
Índice de mercado (CAPM)	SPY (ETF del S&P 500), Yahoo Finance
Precio para retornos	Cierre ajustado por dividendos y splits, Ad()
Precio para valorar opciones	Cierre sin ajustar (spot), Cl()
Número de observaciones y datos faltantes	Ver Tabla 1
Tratamiento	No se requirió; los tres activos cotizan en NYSE y comparten calendario bursátil
Serie de retornos	Simples en el Bloque I; logarítmicos en la simulación del Bloque II
Justificación de la serie	Los retornos simples son lineales en los pesos, condición del modelo media-varianza; los logarítmicos son aditivos en el tiempo, propiedad que requieren el MGB y el GARCH
Retorno esperado	Estimado por CAPM, no por media histórica (ambos se reportan)
Tasa libre de riesgo	Treasury a 2 años (FRED, serie DGS2); valor y conversión en la Tabla 2
Periodicidad de pago de dividendos	Trimestral en los tres activos
Ventana de la tasa de dividendo	Últimos 12 meses previos a la fecha de valoración
Tratamiento de dividendos	Incorporados en la serie ajustada para el cálculo de retornos; tratados por separado como tasa continua sobre el spot sin ajustar para la valoración de opciones del Bloque III

También se utilizaron diferentes paquetes de R, cada uno con una función específica que facilitó el análisis, la realización de cálculos y la presentación de los resultados. La siguiente tabla presenta los paquetes empleados y la función que cumple cada uno dentro de la elaboración del informe.

Paquete	Función en el trabajo
quantmod	Descarga de precios, dividendos y cadenas de opciones desde Yahoo Finance
xts	Manejo de series de tiempo financieras (cargado con quantmod)
rugarch	Estimación de los modelos GARCH(1,1) del Bloque II
knitr	Generación del informe y de las tablas

2.1 Activos seleccionados

Para la construcción y el análisis del portafolio se seleccionaron tres activos financieros negociados en el mercado estadounidense: JPM, NRG y RTX. La información histórica de precios y dividendos fue obtenida a través de Yahoo Finance, utilizando las series de datos correspondientes a cada acción.

El periodo de análisis es desde el 1 de octubre de 2021 hasta el 20 de septiembre de 2026, de acuerdo con la información solicitada. La frecuencia utilizada corresponde a datos diarios de negociación. La información recopilada incluye los precios históricos de cada activo y los registros de dividendos. La selección de los activos se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1. Activos seleccionados y preparación de datos

Ticker	Empresa	Sector	Mercado	Observaciones	Datos faltantes	Dividend yield (%)
JPM	JPMorgan Chase & Co.	Financiero	NYSE	1245	0	1.72
NRG	NRG Energy, Inc.	Servicios públicos	NYSE	1245	0	1.80
RTX	RTX Corporation	Industrial	NYSE	1245	0	1.45

Nota. Descarga realizada el 25/09/2026.. Fuente de precios y dividendos: Yahoo Finance (quantmod). Fuente de la tasa libre de riesgo: Federal Reserve Economic Data (FRED), serie DGS2. Ventana: 2021-10-04 a 2026-09-18.

Los tres activos se eligieron para que el riesgo del portafolio no dependa de un único sector económico:

• JPM (financiero). Es el banco más grande de Estados Unidos. Su resultado depende del margen de intermediación, que se amplía con tasas altas, y de la calidad de la cartera, que se deteriora en las recesiones. Es el activo más expuesto al ciclo económico y al de tasas.

• NRG (servicios públicos). Genera y comercializa energía eléctrica, con operación concentrada en Texas. Sus motores son la demanda eléctrica (que ha cobrado relevancia con el crecimiento de centros de datos), el precio del gas natural y la regulación del mercado eléctrico, variables poco ligadas al ciclo financiero.

• RTX (industrial). Contratista de defensa y fabricante de motores y componentes aeronáuticos. Sus ingresos dependen de presupuestos de defensa plurianuales y del ciclo de la aviación comercial, lo que le da un carácter más defensivo frente al mercado.

  La hipotesis es que estos motores son en buena medida independientes y que, por tanto, las correlaciones entre los activos deberían ser moderadas.

2.2 Tratamiento de precios y dividendos

Primero, se organizó la información obtenida para cada uno de los activos y se verificaron las fechas correspondientes a las jornadas de negociación, con el objetivo de identificar posibles datos faltantes o inconsistencias en las series y se conservaron solo las fechas con dato completo en los cuatro activos.

Para el análisis de los rendimientos se utilizaron los precios de cierre ajustados, debido a que estos incorporan los efectos de los dividendos. Los dividendos se conservarán como información independiente para ser utilizados despues, principalmente en la valoración de las opciones porque su efecto sobre el rendimiento ya está contenido en el precio ajustado.

Se trabajó con dos series de precios con usos separados:

• Precio ajustado (Ad) para calcular retornos. Yahoo Finance ajusta la serie hacia atrás por dividendos y splits, de modo que la variación del precio ajustado mide el retorno total del accionista (ganancia de capital más dividendo reinvertido). Es la medida correcta para estimar media, volatilidad, covarianzas y beta.

• Precio de cierre sin ajustar (Cl) reservado como precio spot para la valoración de opciones del Bloque III y para calcular el número de acciones que se compran. Los strikes de las opciones listadas están en precios de mercado reales, no en precios ajustados.

  No se mezclan, ya que en los modelos de valoración de opciones el dividendo entra de forma explícita y usar el ajustado como spot implicaría contar los dividendos dos veces.

2.3 Definición de la serie de retornos

El retorno simple, también llamado rentabilidad simple o aritmética, se define como la variación proporcional del precio de un activo entre el inicio y el final de un período, expresada como fracción del valor inicial (de Bejarry, 2024):

\[R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1\] Constituye la medida más directa del desempeño de una inversión, en tanto expresa la ganancia o pérdida del período frente al capital efectivamente comprometido, aunque no incorpora el momento en que ocurren los flujos de caja intermedios (de Bejarry, 2024).

En este trabajo se utilizan retornos simples, esta elección se debe a que los retornos simples son más consistentes con los modelos utilizados. En el modelo de media-varianza, que trabaja con un solo período, el retorno del portafolio se obtiene directamente como la suma ponderada de los retornos de cada activo. Esta relación se cumple exactamente con retornos simples, mientras que con retornos logarítmicos solo se cumple de manera aproximada. Los retornos simples son aditivos entre activos, los logarítmicos en el tiempo.

De igual forma, el CAPM se basa en excesos de retorno aritméticos, por lo que la estimación del beta y del retorno esperado debe realizarse utilizando retornos simples. Además, utilizar retornos logarítmicos podría subestimar el retorno esperado de un período. Este efecto aumenta cuando la volatilidad del activo es mayor, lo que podría afectar el cálculo del índice de Sharpe y de los pesos óptimos del portafolio, haciendo que los activos más volátiles parezcan menos atractivos de lo que realmente son.

2.4 Tasa libre de riesgo

Treasury: Los bonos del Tesoro estadounidense son inversiones de deuda a largo plazo emitidas por el gobierno de EEUU. que pagan intereses cada 6 meses. Forman parte de la categoría más amplia de valores del Tesoro, junto con las letras y los pagarés del Tesoro. Los títulos del Tesoro, especialmente los bonos, se consideran una de las inversiones más seguras, ya que están respaldados por el gobierno estadounidense y ofrecen una rentabilidad fija. Se utilizan como referencia para otros tipos de interés, lo que los convierte en un indicador importante de la economía en general. (Vanguard, s.f., sección “Key insights”, traducción propia)

En el análisis de portafolios sirve como punto de comparación: cualquier inversión con riesgo debe ofrecer, en promedio, un rendimiento superior a esta tasa para justificar el riesgo asumido. Por eso aparece en el modelo CAPM, que estima el retorno esperado de una acción según su sensibilidad al mercado (beta), y en el índice de Sharpe, que mide cuánto retorno adicional se obtiene por cada unidad de riesgo.

Tabla 2. Documentación de la tasa libre de riesgo

Serie	DGS2 - 2-Year Treasury Constant Maturity Rate
Fuente	Federal Reserve Economic Data (FRED)
Observaciones	1246 días, alineados al calendario bursátil
Rango del período (% anual)	0.27 - 5.19
Uso 1:	Excesos diarios (beta) con serie diaria completa del período
Uso 2:	CAPM y Sharpe
Valor publicado (% anual)	4.76
Tasa efectiva anual (%)	4.8166

Se utilizó el rendimiento del bono del Tesoro de EEUU. a 2 años, serie DGS2 de FRED (Reserva Federal de St. Louis), porque su plazo coincide con el horizonte de inversión de 2 años. Los datos diarios del 01/10/2021 al 20/09/2026 se descargaron directamente desde FRED en formato CSV. Los días sin cotización, se tomaron como datos faltantes, y la serie se convirtió en serie de tiempo para cruzarla fecha a fecha con los retornos de las acciones.

Las tasas CMT del Tesoro se publican como bond-equivalent yield con cupón semestral. Por eso la tasa efectiva anual se obtiene como: \[R_f^{EA} = (1 + y/2)^2 - 1\] Y la tasa por día de negociación como: \[R_f^{d} = (1 + R_f^{EA})^{1/252} - 1\] ## 2.5 Criterios financieros para el diseño de la cobertura

Antes de la simulación y el diseño de las coberturas, dejamos definidos los criterios financieros que se aplican en todo el trabajo.

Revaloración trimestral. Las opciones no pagan cupones como un bono; su valor depende del precio del subyacente, del plazo, de la volatilidad y de las tasas. Por eso, lo “trimestral” se entiende como puntos de control: cada tres meses, durante los dos años de la inversión, se revalora cada opción a precio de mercado (mark-to-market). Con esa información se decide si la cobertura se mantiene, se ajusta (por ejemplo, si el precio se alejó mucho del strike) o se renueva porque el contrato está cerca de vencer.

Tasa Treasury según el plazo. El Treasury a 2 años (DGS2) es la referencia de largo plazo: representa el costo de oportunidad del inversionista y es la tasa del índice de Sharpe. Para valorar las opciones, en cambio, cada contrato usa la tasa del Tesoro correspondiente a su plazo al vencimiento, tomada de la curva de FRED (3 y 6 meses, 1, 2 y 3 años) e interpolada entre nodos. Como la curva no es plana, usar una sola tasa sesgaría la prima.

Cobertura activo por activo. No existen opciones listadas sobre un portafolio de JPM, NRG y RTX, solo sobre cada acción. Por eso la cobertura se hace por activo, sobre aproximadamente el 85% de las acciones de cada uno, y luego se suma al portafolio. Como cada contrato cubre 100 acciones, se reporta el porcentaje de cobertura efectivo. Una put por cada acción cubierta no neutraliza el delta del portafolio: protege contra caídas por debajo del strike, pero no elimina la sensibilidad a movimientos pequeños del precio.

Opciones europeas y americanas. Las opciones sobre acciones de Estados Unidos son americanas, es decir, se pueden ejercer antes del vencimiento. La versión europea se valora como referencia teórica con los mismos datos (spot, strike, plazo, volatilidad, tasa del plazo y dividendo), de modo que la diferencia entre las dos mide el valor del ejercicio anticipado. En las puts ese valor aumenta cuando la opción está muy dentro del dinero y disminuye con los dividendos.

Costo de las primas y apalancamiento. No suponemos que el inversionista pueda endeudarse a la tasa del Tesoro. [Las primas se pagan con recursos propios, adicionales a los 10 millones invertidos en acciones], y se reportan como costo en dólares y en porcentaje del portafolio. Así, la protección de cada estrategia se compara directamente con lo que cuesta, sin una financiación que el inversionista no tendría.

3. Construcción del portafolio media-varianza

La construcción del portafolio se realizará mediante el metodo de media-varianza, utilizando las series de rendimientos diarios de JPM, NRG y RTX. Esto facilitara el analisis del rendimiento esperado y el riesgo de los activos para establecer una combinación de pesos que sea coherente con las restricciones establecidas para el portafolio.

A partir de los rendimientos históricos se estimará el rendimiento esperado individual de cada acción y la matriz de covarianzas correspondiente. Esta última permitirá incluir no solamente la volatilidad individual de los activos, sino también la relación que existe entre sus rendimientos.

El rendimiento esperado del portafolio se determinará como el promedio ponderado de los rendimientos esperados individuales, mientras que el riesgo del portafolio será medido mediante su desviación estándar, obtenida a partir de la matriz de covarianzas.

Adicionalmente, se analizará la matriz de correlaciones con el propósito de identificar el grado en que los activos se mueven conjuntamente. Esta información es importante para evaluar los beneficios de diversificación que vienen de la combinación de JPM, NRG y RTX.

El proceso de optimización permitirá obtener las ponderaciones correspondientes al portafolio resultante. Luego, este portafolio será evaluado mediante su rendimiento esperado, volatilidad, índice de Sharpe y la contribución de cada activo al riesgo total.

3.1 Riesgo y rendimiento esperado por activo

Primero, con los retornos diarios calculamos su rendimiento y su volatilidad, y los pasamos a términos anuales para que fueran más fáciles de interpretar. Luego comparamos el comportamiento de cada acción con el del S&P 500 para medir su beta, es decir, qué tanto reacciona cuando el mercado sube o baja. Con esa información estimamos cuánto debería rendir cada acción según el CAPM, y finalmente comparamos ese resultado con lo que realmente rindió en el pasado.

Tabla 3. Riesgo, beta y rendimiento esperado de cada activo

Activo	Ret. hist. (%)	Volatilidad (%)	Beta	R²	Ret. CAPM (%)	Alfa (%)
JPM	22.67	24.35	0.873	0.380	8.51	14.16
NRG	35.28	41.57	1.105	0.209	9.49	25.79
RTX	23.68	24.30	0.550	0.151	7.14	16.54

Nota. Datos diarios, 1245 observaciones. Rf = 4.82% (DGS2 al 2026-09-18). MRP = 4.23% (Damodaran, 2026). El alfa es la diferencia entre el retorno histórico y el estimado por CAPM.

Se puede ver que NRG es la acción más volátil y también la que más rindió en el período, con un retorno histórico cercano al 35% anual, mientras que JPM y RTX tuvieron un comportamiento más estable. El beta nos muestra qué tanto se mueve cada acción cuando se mueve el mercado: si es mayor que 1, la acción se mueve más que el mercado, y si es menor que 1, se mueve menos.

Para armar el portafolio necesitamos saber cuánto esperamos que rinda cada acción. Podríamos usar el retorno histórico, pero no es confiable, ya que con solo cinco años de datos su margen de error está entre 11 y 19 puntos porcentuales, casi lo mismo que la diferencia entre una acción y otra. En otras palabras, no podemos saber si NRG realmente rinde más que JPM o si solo tuvo unos buenos años. Además, al optimizar, el modelo le da más peso a las acciones cuyo retorno está sobreestimado; por eso Michaud (1989) lo llama un “maximizador de errores”. Best y Grauer (1991) también muestran que un pequeño cambio en los retornos esperados puede cambiar mucho los pesos. Si hubiéramos usado los retornos históricos, NRG se habría quedado con el peso máximo solo por lo bien que le fue en el pasado.

Por esto usamos el CAPM para estimar el rendimiento esperado:

\[E(R_i) = R_f + \beta_i \,[E(R_m) - R_f]\]

La idea es que cada acción debería rendir lo mismo que la tasa libre de riesgo más una compensación por el riesgo de mercado que asume, que se mide con el beta.

El beta sí lo tomamos de los datos históricos, ya que, a diferencia del retorno promedio, se puede estimar con bastante precisión, como se ve en sus errores estándar. Merton (1980) explica que las medidas de riesgo, como el beta, mejoran cuando se usan datos diarios, mientras que el retorno promedio solo mejora con más años de historia. Es decir, usamos los datos históricos donde funcionan bien (el beta) y el CAPM donde no (el retorno esperado).

En el caso de NRG, el R² muestra que el mercado explica solo el 21% de sus movimientos, y el 79% restante depende de la propia empresa. Ese riesgo se puede reducir diversificando, por lo que el CAPM no lo premia. Por eso, aunque NRG sea la acción más volátil, el CAPM le asigna un rendimiento esperado moderado. La diferencia entre lo que rindió en el pasado y lo que espera el CAPM (su alfa, de unos 25 puntos porcentuales) es lo que decidimos no proyectar hacia el futuro, porque probablemente se debe a situaciones particulares de estos años.

En conclusión, con el CAPM los rendimientos esperados de las tres acciones quedan muy parecidos, entre 7.14% y 9.49% anual. Así, al optimizar, los pesos van a depender más de cómo se mueven las acciones entre sí que de diferencias de retorno poco confiables.

Sin embargo, el CAPM tiene limitaciones. En la práctica, la relación entre beta y rendimiento no es tan fuerte como dice el modelo, y hay otros factores, como el tamaño o el valor de la empresa, que también influyen en los rendimientos (Fama y French, 2004). Aun así, lo usamos porque es una forma sencilla y razonable de estimar el rendimiento esperado.

3.2 Sensibilidad de la prima de mercado

La prima de riesgo de mercado, es el rendimiento adicional que exige el inversionista por mantener el portafolio de mercado en lugar del activo libre de riesgo. No es una tasa libre de riesgo ni la reemplaza: en el CAPM ambas aparecen por separado.

Se calcularon dos estimaciones de la prima de riesgo de mercado. La primera corresponde al exceso promedio anualizado del S&P 500 sobre la tasa libre de riesgo en la ventana de análisis (11.04%), y constituye una medida de la prima efectivamente realizada. La segunda es la prima implícita estimada por Damodaran (2026) a partir de precios de mercado y flujos esperados (4.23%), y representa una expectativa prospectiva.

Tabla 4. Rendimiento esperado según la prima de mercado utilizada

Activo	Beta	MRP 4.23%	MRP 11.04%	Dif. (pp)
JPM	0.873	8.51	14.45	5.95
NRG	1.105	9.49	17.02	7.53
RTX	0.550	7.14	10.88	3.74

Nota. MRP 4.23%: prima implícita de Damodaran (2026), estimada con el treasury a 10 años. MRP 11.04%: exceso promedio anualizado de SPY sobre la tasa libre de riesgo en la ventana de análisis.

Para calcular la prima muestral (11.04%) tomamos el retorno diario del S&P 500 (SPY) y le restamos la tasa libre de riesgo de ese mismo día, obtenida de la DGS2. Así obtuvimos el exceso de retorno diario del mercado. Después promediamos esos excesos y los llevamos a términos anuales usando 252 días hábiles. Este valor muestra la prima que realmente pagó el mercado durante los cinco años de análisis.

Decidimos usar la prima implícita porque el CAPM necesita un rendimiento esperado hacia el futuro, no un promedio de lo que pasó antes. Además, la prima muestral tiene el mismo problema que el retorno histórico: con solo cinco años de datos, su margen de error (cerca de 8 puntos porcentuales) es casi del mismo tamaño que la prima. Y como estos años fueron muy buenos para el mercado, nos daría rendimientos esperados demasiado altos: para NRG, por ejemplo, cerca de 17% anual, algo difícil de sostener en el largo plazo. Por eso dejamos la prima muestral solo como análisis de sensibilidad.

Algo importante es que la prima que escojamos cambia el nivel de los rendimientos esperados, pero no el orden de los activos. En el CAPM todos comparten la misma tasa libre de riesgo y la misma prima, así que lo único que los diferencia es el beta. Por eso NRG es el activo con mayor rendimiento esperado con cualquiera de las dos primas.

También tuvimos en cuenta que Damodaran calcula su prima con el bono del Tesoro a 10 años, que es lo más común en la práctica, mientras que usamos la tasa a 2 años porque coincide con el horizonte de inversión.

La prima refleja cuánto le pide el mercado en general a una inversión con riesgo, y eso no cambia mucho según el plazo. Además, aun con una prima muy distinta (11.04% frente a 4.23%), el orden de los activos se mantiene igual. Los pesos del portafolio dependen principalmente de cómo se mueven los activos entre sí (la matriz de covarianzas), y no de la prima.

En conclusión, la prima implícita de Damodaran es la mejor opción para nuestro trabajo: mira hacia el futuro, viene de una fuente reconocida y actualizada, y nuestras decisiones sobre el portafolio se mantienen sin importar qué prima usemos.

3.3 Relaciones entre los activos

Tabla 5. Matriz de correlaciones entre los activos

	JPM	NRG	RTX
JPM	1.000	0.305	0.363
NRG	0.305	1.000	0.243
RTX	0.363	0.243	1.000

Nota. Estimadas sobre retornos simples diarios (1245 observaciones). La correlación es invariante a la frecuencia de los datos, por lo que no requiere anualización.

Las correlaciones son todas positivas, pero están lejos de 1. Que sean positivas es lo esperable: las tres acciones cotizan en el mismo mercado y responden en parte a un factor común, el comportamiento general de la economía y de la bolsa, que resume el S&P 500. Que estén lejos de 1 muestra que una parte importante de sus movimientos proviene de factores propios de cada sector: las tasas de interés y el crédito en JPM, la demanda eléctrica y la regulación en NRG, y el gasto en defensa en RTX.

Por tanto, la hipótesis de diversificación se confirma de forma parcial. Los tres negocios no son independientes entre sí, pero tampoco se mueven juntos, y eso permite que la volatilidad del portafolio sea menor que el promedio de las volatilidades individuales. NRG es el activo que menos comparte movimientos con los demás, lo que lo hace valioso para diversificar a pesar de su alta volatilidad individual.

Hay que tener en cuenta que estas correlaciones son promedios de todo el período. En momentos de crisis, las correlaciones entre acciones tienden a aumentar, justo cuando más se necesita la diversificación.

3.4 Optimización con restricciones

Para encontrar estas carteras evaluamos 152.076 combinaciones de pesos, variando cada peso de a 0.1%. Todas cumplen las condiciones: tres activos, pesos que suman 100% y un mínimo de 15% por acción, lo que a su vez implica que ninguna puede pasar de 70%. No permitimos posiciones cortas. Cabe resaltar que Jagannathan y Ma (2003) muestran que poner límites a los pesos ayuda a corregir los errores de estimación de la matriz de covarianzas y mejora el desempeño del portafolio con datos nuevos. En otras palabras, la restricción evita que el optimizador tome decisiones extremas basadas en datos imprecisos.

Es importante aclarar que la optimización media-varianza no nos da un único portafolio “correcto”. Lo que nos da es la frontera eficiente: el conjunto de carteras en las que no se puede ganar más retorno sin asumir más riesgo. Todas las carteras de la frontera son válidas, y escoger una depende de lo que busque el inversionista, no de las matemáticas. Por eso analizamos dos puntos de la frontera y explicamos cuál elegimos y por qué.

Tabla 6. Resultados de la optimización media-varianza

	Portafolio A: máximo Sharpe (seleccionado)	Portafolio B: mínima varianza
Peso JPM (%)	60.800	41.100
Peso NRG (%)	20.400	15.000
Peso RTX (%)	18.800	43.900
Retorno esperado anualizado (%)	8.452	8.056
Volatilidad anualizada (%)	21.370	20.024
Índice de Sharpe	0.170	0.162

Nota. Evaluación de 152.076 portafolio factibles, con peso mínimo del 15% por activo y suma de pesos igual a 100%. Rf = 4.82%.

Portafolio B: mínima varianza. Este portafolio responde a la pregunta: ¿cuál es la combinación menos riesgosa que podemos armar con estas tres acciones? Solo busca bajar la volatilidad, sin fijarse en el retorno esperado, por lo que sería la opción de un inversionista cuya única prioridad es proteger su capital.

En este portafolio, RTX tiene el mayor peso (43.9%), seguido de JPM (41.1%). RTX es la acción que más ayuda a reducir el riesgo: su volatilidad es parecida a la de JPM, pero depende menos del mercado porque tiene el beta más bajo. NRG queda exactamente en 15%, el mínimo permitido.

Portafolio A: máximo Sharpe. Este portafolio responde a otra pregunta: ¿qué combinación nos da más retorno por cada unidad de riesgo que asumimos? No busca el menor riesgo ni el mayor retorno, sino el mejor equilibrio entre los dos. En la Figura 2 es el punto donde la recta que sale de la tasa libre de riesgo toca la frontera, y por eso también se le llama portafolio tangente.

En este caso ningún activo queda en el mínimo: el peso más bajo es 18.8%. Esto significa que es un portafolio interior, es decir, los pesos los decide el optimizador según el riesgo y el retorno de cada acción, y no la restricción.

Comparando, al pasar del portafolio de mínima varianza al de máximo Sharpe asumimos 1.35 puntos porcentuales más de volatilidad y ganamos 0.40 puntos porcentuales más de retorno esperado. El cambio vale la pena porque el Sharpe sube de 0.162 a 0.170, es decir, el riesgo adicional queda mejor pagado.

El portafolio elegido fue el de máximo Sharpe. Se exige invertir los 10 millones completos en las tres acciones, sin posiciones cortas, con un mínimo de 15% por activo y sin endeudamiento. Dentro de ese conjunto, el portafolio de máximo Sharpe es el que entrega más retorno esperado por cada unidad de volatilidad. El de mínima varianza solo sería preferible si el único objetivo fuera tener la menor volatilidad posible, y el mandato no lo plantea así. Además, la protección contra caídas se va a construir con opciones en el Bloque III, por lo que no es necesario renunciar al portafolio más eficiente para controlar el riesgo a la baja. El teorema de separación de Tobin (1958) también señala al portafolio tangente como la mejor cartera de activos riesgosos, pero supone que el inversionista puede prestar y endeudarse a la tasa libre de riesgo, algo que en este trabajo no aplica; por eso lo tomamos solo como referencia teórica.

3.5 Riesgo del portafolio seleccionado

Riesgo total del portafolio: El riesgo de un portafolio no es la suma de los riesgos de cada acción. Depende de dos cosas: cuánto se mueve cada activo por sí solo y qué tanto se mueven juntos. Por eso dos portafolios con las mismas acciones, pero con pesos distintos, pueden tener niveles de riesgo muy diferentes.

El efecto de la diversificación: Si las tres acciones subieran y bajaran siempre al mismo tiempo, la volatilidad del portafolio sería simplemente el promedio ponderado de sus volatilidades individuales, y combinarlas no reduciría el riesgo. Pero las correlaciones son menores que 1: cuando una acción cae, las otras no necesariamente caen en la misma medida, y parte de las pérdidas se compensa. Por eso la volatilidad del portafolio queda por debajo de ese promedio.

Lo importante es que esta reducción de riesgo no tiene costo en retorno. El retorno esperado del portafolio sí es exactamente el promedio ponderado de los retornos de cada acción, mientras que el riesgo es menor que el promedio. Esta es la justificación de la teoria de que combinar sectores con motores económicos distintos permite asumir menos riesgo para el mismo retorno.

El índice de Sharpe se calculó con el retorno esperado del CAPM, la volatilidad anualizada del portafolio y la tasa efectiva anual del Treasury a 2 años al último día de la muestra. Todos los valores están en términos anuales, así que la medida es consistente. El portafolio seleccionado alcanza un Sharpe de 0.170, el más alto entre todas las combinaciones posibles, frente a 0.162 del portafolio de mínima varianza. Pasar de uno al otro agrega 1.35 puntos de volatilidad a cambio de 0.40 puntos de retorno esperado, un intercambio que mejora la eficiencia.

El valor puede parecer bajo, pero es coherente con los supuestos. Con una prima de mercado de 4.23%, el propio S&P 500 tendría un Sharpe cercano a 0.2. Un portafolio de solo tres acciones difícilmente lo supera bajo el CAPM, porque conserva riesgo propio de cada empresa que el modelo no remunera. Por eso el Sharpe se interpreta aquí como una forma de comparar las carteras posibles entre sí, no como una promesa de superar al mercado.

El peso de un activo en el dinero invertido no es lo mismo que su peso en el riesgo. Para saber cuánto aporta cada acción a la volatilidad total se usa la descomposición de Euler (Litterman, 1996). Este método reparte el riesgo del portafolio entre los activos de forma exacta: los aportes de las tres acciones suman el 100% de la volatilidad. El aporte de cada acción depende de tres factores: cuánto dinero tiene asignado, qué tan volátil es por sí misma y qué tanto se mueve junto con las otras dos.

En este portafolio actúan fuerzas en sentidos opuestos:

NRG es la acción más volátil, lo que tiende a aumentar su aporte al riesgo. Sin embargo, la mayor parte de su riesgo es propio de la empresa (el mercado explica solo el 21% de sus movimientos), y por eso se compensa en buena medida con los movimientos de las otras dos acciones. Esa es la razón por la que el optimizador la mantiene en la cartera a pesar de su volatilidad. JPM es la acción más ligada al ciclo económico. Como se mueve más junto con el mercado, una parte de su riesgo no se compensa dentro del portafolio. RTX, la acción menos sensible al mercado, actúa principalmente como estabilizador del portafolio.

Cuando un activo aporta más riesgo que dinero, concentra el riesgo del portafolio, y aumentar su peso es lo que más elevaría la volatilidad. Cuando aporta menos riesgo que dinero, actúa como diversificador. Identificar cuál es cuál permite saber dónde está realmente expuesto el portafolio.

En conclusión el portafolio seleccionado es eficiente por dos razones, primero aprovecha la diversificación: su volatilidad es menor que el promedio de las volatilidades individuales porque las acciones no se mueven perfectamente juntas y ofrece la mejor relación entre retorno y riesgo posible dentro de las restricciones. Además, el riesgo no se reparte en proporción al dinero invertido, sino según la volatilidad y la correlación de cada activo.

Bloque II – Simulación del portafolio y medición de riesgo

4. Simulación y métricas de riesgo

4.1 Datos y parámetros de la simulación

Tabla 7. Muestra utilizada en la simulación

Ventana	21/09/2016 a 18/09/2026
Observaciones	2512
Años de historia	10
Tipo de retorno	Logarítmico
Fuente	Yahoo Finance (precios ajustados)
Ventana ampliada	Exigencia del taller: GARCH estimado con 10 años de historia

Para estimar los parámetros de la simulación recurrimos a diez años de historia, un horizonte considerablemente más amplio que el empleado en la optimización del portafolio. El taller lo exige, pero la decisión tiene además un fundamento propio: lo que se busca medir en esta etapa no es el nivel de la volatilidad sino su comportamiento en el tiempo, esto es, con qué intensidad un choque afecta la varianza de los días siguientes y con qué rapidez esta retorna a su valor habitual. Esa persistencia solo se hace visible cuando la muestra abarca varios ciclos completos de agitación y calma. Un periodo de cinco años podría recoger un único episodio de estrés, y la estimación terminaría describiendo ese episodio en lugar del comportamiento característico del activo.

Además, la ventana de diez años incorpora el desplome de marzo de 2020, un episodio de volatilidad extrema seguido de una normalización gradual que es precisamente el tipo de trayectoria que permite identificar los parámetros del modelo.

Adicionalmente, la serie empleada es de retornos logarítmicos, y el motivo es la aditividad temporal. Tanto el Movimiento Browniano Geométrico como el modelo GARCH están definidos sobre el logaritmo del precio, que es la variable que sí se acumula en el tiempo: el retorno de todo el horizonte equivale a la suma de los retornos diarios, \(\ln(S_T/S_0) = \sum_t r_t\). Campbell, Lo y MacKinlay (1997) sintetizan el criterio de elección: los retornos simples son aditivos entre activos y los logarítmicos lo son en el tiempo, de modo que cada uno se aplica allí donde su propiedad resulta necesaria.

4.2 Modelación de la volatilidad

Para cada acción se estima un modelo GARCH(1,1) con distribución t de Student (Bollerslev, 1986), utilizando los log-retornos de los últimos 10 años. En palabras sencillas, el GARCH sirve para modelar cómo cambia la volatilidad a lo largo del tiempo, en lugar de asumir que el riesgo de una acción es siempre el mismo.

La idea principal es que la volatilidad de hoy depende de lo que ocurrió recientemente. El modelo se expresa como:

\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2\]

donde \(\omega\) representa un nivel base, \(\alpha\) muestra cuánto reacciona la volatilidad ante un choque reciente y \(\beta\) cuánto de la volatilidad anterior se mantiene. Por eso, \(\alpha+\beta\) mide la persistencia: cuanto mayor sea este valor, más tiempo permanece el efecto de un choque.

Tabla 10. Modelo GARCH(1,1): parametros, validacion y volatilidad

Activo	α	β	α+β	Media vida (dias)	gl (t)	Ljung-Box (p)	Vol. actual (%)	Vol. largo plazo (%)
JPM	0.1166	0.8391	0.9557	15.3	4.60	0.920	19.03	26.73
NRG	0.1285	0.7988	0.9273	9.2	4.21	0.998	40.93	39.41
RTX	0.0696	0.9258	0.9953	148.3	3.56	0.969	22.50	42.99

Nota. El estadístico de Ljung-Box se aplica a los residuos estandarizados al cuadrado con 10 rezagos: un valor p superior a 0,05 indica que el modelo capturó la dinámica de la varianza.

Los resultados muestran una persistencia alta pero inferior a 1: los choques de volatilidad duran varios días antes de disiparse. La media vida indica que tardan entre 9 y 149 días en reducirse a la mitad. Los grados de libertad de la distribución t, entre 3,6 y 4,6, reflejan colas más pesadas que una normal, lo que permite representar mejor los movimientos extremos que el VaR intenta medir.

La volatilidad no es igual entre los tres activos ni constante en el tiempo. JPM y RTX están hoy por debajo de su nivel de largo plazo, así que la simulación los verá volverse más volátiles; NRG ya está en su nivel y se mantendrá cerca de él. El caso extremo es RTX: su persistencia de 0,9954 implica una media vida de 149 días, y su volatilidad de largo plazo (43,1%) casi duplica la actual (22,5%). Conviene tomar esa cifra como referencia aproximada, porque cuando la persistencia se acerca tanto a uno el modelo probablemente atribuye a RTX más riesgo del que tiene. Es un sesgo conservador, lleva a cubrir de más, no de menos, y queda como una de las limitaciones.

La Figura 3 muestra esta dinámica: la volatilidad presenta aumentos importantes en períodos de estrés, especialmente en marzo de 2020, y posteriormente disminuye. Se aprecia también que los períodos de mayor riesgo tienden a agruparse, en lugar de aparecer de forma aislada. Por eso la simulación parte de la varianza del último día, en lugar de asumir una volatilidad constante, y desde ahí evoluciona gradualmente hacia su nivel de largo plazo.

Finalmente, la prueba de Ljung-Box arroja valores p entre 0,920 y 0,998. Esto indica que el modelo capturó bien la dinámica de la volatilidad y no dejó patrones sin explicar.

4.3 Diseño de la simulación

Para la simulación se construyeron 10.000 trayectorias del portafolio a dos años, avanzando día a día durante 504 jornadas. Se partió del Movimiento Browniano Geométrico, el modelo estándar para simular precios de acciones, con tres ajustes que se detallan más abajo.

Tabla 11. Diseño de la simulación

Trayectorias	10,000
Horizonte	2 años
Pasos diarios	504
Puntos de control	8 cierres trimestrales + t = 0
Variable simulada	Precio spot sin ajustar de cada acción
Deriva	ln(1 + mu_CAPM) - q (la parte restante la aporta el dividendo)
Volatilidad	Condicional GARCH, actualizada en cada paso
Dependencia	Cholesky sobre residuos estandarizados del GARCH
Distribución de choques	t de Student (gl: 4.6, 4.2, 3.6)
Dividendos	Acumulados en caja y capitalizados a la Rf
Semilla	2026

Los tres ajustes respecto del modelo básico fueron los siguientes: Se permitió que la volatilidad cambiara cada día, recalculándola con la ecuación del GARCH y partiendo de la del último día disponible. Se hizo que las tres acciones se movieran juntas, transformando los choques aleatorios para reproducir la dependencia estimada entre los activos; de no hacerlo, la diversificación habría resultado artificialmente perfecta y el riesgo habría quedado subestimado. Y se evitó contar el dividendo dos veces, restándolo de la deriva y acumulándolo aparte en una cuenta que rinde la tasa libre de riesgo.

Se incorporó además la corrección de Itô, sin la cual el precio promedio de las trayectorias habría crecido por encima del rendimiento esperado. Su correcta aplicación se verifica con los resultados: el valor teórico del portafolio a dos años es 11.76 MM USD y el promedio simulado es 11.77 MM USD, una diferencia de 0.05%.

Cabe precisar que aquí la deriva es el rendimiento esperado de cada acción, porque el objetivo es estimar qué puede ocurrirle al portafolio. La valoración de opciones utiliza más adelante la tasa libre de riesgo, ya que responde a una pregunta distinta: cuánto vale hoy el derecho a comprar o vender en el futuro.

4.4 Resultados: bandas percentiles

Tabla 12. Valor del portafolio en t = 0 y en cierres trimestrales (millones USD)

Periodo	Días	P5	P25	Mediana	P75	P95
t = 0	0	10.000	10.000	10.000	10.000	10.000
T1	63	8.601	9.525	10.141	10.815	11.989
T2	126	8.016	9.323	10.285	11.336	13.102
T3	189	7.633	9.246	10.438	11.785	14.171
T4	252	7.368	9.161	10.564	12.151	15.278
T5	315	7.128	9.084	10.699	12.537	16.121
T6	378	6.890	9.097	10.839	12.912	17.034
T7	441	6.770	9.057	10.974	13.370	18.029
T8	504	6.628	9.017	11.152	13.735	18.940

La tabla y la figura muestran el rango de valores que podría alcanzar el portafolio en cada trimestre. Al cierre de los dos años, el resultado típico se sitúa en 11.15 MM USD y el 90% de los escenarios queda entre 6.63 MM USD y 18.94 MM USD.

Es importante entender qué son estas cifras. No son un pronóstico: son los resultados que se obtendrían si el mercado se comportara como supone el modelo. Si las condiciones cambian, y en particular si las correlaciones entre los activos aumentan durante una caída fuerte, los resultados reales podrían ser peores que los simulados.

La figura tiene forma de embudo porque la incertidumbre se acumula con el tiempo. Pero ese embudo no es simétrico: al cierre del horizonte el escenario favorable está 7.79 MM USD por encima del resultado típico, mientras que el desfavorable está solo 4.52 MM USD por debajo. La razón es simple: una acción puede subir sin límite, pero no puede bajar más allá de cero.

Esta asimetría tiene un efecto práctico. El promedio de las trayectorias simuladas es mayor que 11.15 MM USD, porque un número reducido de escenarios muy favorables lo empuja hacia arriba. Para describir lo que cabe esperar es preferible la mediana, que representa el resultado del centro de la distribución.

4.5 VaR del portafolio sin cobertura

Tabla 13. VaR del portafolio sin cobertura

Momento	VaR 95% (USD)	VaR 95% (%)	VaR 99% (USD)	VaR 99% (%)	P(pérdida)
Primer trimestre (T1)	1,398,912	13.99	2,186,403	21.86	0.436
Mitad del horizonte (T4)	2,632,370	26.32	3,789,015	37.89	0.398
Cierre del horizonte (T8)	3,371,863	33.72	4,711,821	47.12	0.369

Nota. El VaR se calcula como el negativo del percentil 5 y del percentil 1 de la distribución simulada de pérdidas y ganancias, frente a la inversión inicial de USD 10 millones.

El VaR responde a la pregunta de cuánto se podría perder en un mal escenario. Al cierre de los dos años, el VaR al 95% es de 3.37 MM USD, es decir, el 33.7% del capital: en el 5% de los escenarios simulados la pérdida igualaría o superaría esa cifra. El VaR al 99%, que corresponde al 1% de casos más adversos, asciende a 4.71 MM USD.

Los resultados dejan tres lecturas útiles para decidir la cobertura.

1. El riesgo crece con el tiempo, pero cada vez más despacio. El VaR al 95% pasa de 1.40 MM USD en el primer trimestre a 3.37 MM USD a dos años: se multiplica por 2.41 mientras transcurren ocho trimestres. El rendimiento esperado positivo va compensando parte del aumento de la dispersión.

2. Perder es menos probable a largo plazo, pero las pérdidas son mayores. La probabilidad de terminar por debajo de los 10 millones baja de 43.6% a 36.9%. Sin embargo, el monto en riesgo se duplica con creces. Ese perfil, menos frecuente pero más severo, es justamente el que justifica contratar una cobertura.

3. Los peores escenarios son más graves de lo que indica el VaR. En el 5% de casos más adversos, la pérdida promedio es de 4.23 MM USD, es decir, 1.25 veces el VaR al 95%. Aquí está la ventaja de una opción frente a simplemente vender parte del portafolio: vender reduce todo por igual, incluidas las ganancias, mientras que la opción actúa solo sobre el tramo de pérdidas.

La zona roja de la Figura 5 son precisamente esos escenarios extremos, que es lo que buscan recortar las estrategias de la siguiente sección.

Bloque III – Selección de opciones de mercado y diseño de coberturas

5. Selección de opciones de mercado y criterios de liquidez

Una vez invertidos los USD 10 millones en acciones de JPM, NRG y RTX, el siguiente paso es diseñar una estrategia para proteger ese capital contra posibles caídas significativas del mercado. Para esto se utilizarán opciones Put, las cuales funcionan como un seguro financiero: si el precio de cualquiera de estas acciones retrocede de forma importante, el contrato garantiza el derecho de venderlas a un precio fijo ya acordado, limitando el impacto negativo en el valor del portafolio. Adicionalmente, el análisis no se limitará a la protective put, sino que también se evaluará la estructura de un collar y una estrategia adicional sobre el activo con mayor contribución al riesgo.

Para armar este esquema de protección, se deben tomar cuatro decisiones clave. Primero, definir el horizonte temporal de la cobertura eligiendo un vencimiento de entre 12 y 24 meses. Segundo, evaluar y comparar diferentes strikes candidatos para seleccionar el nivel de protección adecuado según su liquidez y costo de prima. Tercero, determinar el tamaño de la cobertura, calculando los contratos necesarios para cubrir el 85% de las acciones totales en posesión. Por último, analizar el costo de la prima total y cómo se distribuye este gasto entre los tres activos, entendiendo que la prima de cada Put será distinta según la volatilidad y la política de dividendos que el mercado de opciones incorpore en cada acción.

5.1 Datos del día de valoración

Tabla 14. Precio spot sin ajustar y tasa de dividendo al 24/09/2026 (Fuente: Yahoo Finance)

Acción	Precio spot (USD)	Dividendos últimos 12 meses (USD)	Tasa de dividendo q (%)
JPM	338.56	6.00	1.77
NRG	97.85	1.86	1.91
RTX	188.61	2.82	1.50

Las opciones se valoran con el precio de cierre sin ajustar por una razón muy sencilla: el strike \(K\) de un contrato es un número fijo y nominal en dinero real. Si usáramos el precio spot ajustado, estaríamos comparando un strike de mercado actual contra un precio que ha sido modificado matemáticamente hacia atrás por dividendos pasados, lo que dañaría la lógica para calcular el valor real de la opción.

Tomando los datos de Yahoo Finance, el precio spot de JPMorgan (JPM) al 24/09/2026 fue su precio de cierre sin ajustar de USD 338,56, que es el valor real al que cruzaron las operaciones ese día. En los últimos 12 meses, la empresa pagó USD 6,00 en dividendos, lo que da una tasa de dividendo del 1,77% anual. Para una estrategia de cobertura, este 1,77% empuja la acción a la baja en las fechas ex-dividendo, haciendo que la Put tenga más probabilidades de ganar valor y, por lo tanto, encarece la prima que se paga al principio. Por el contrario, para una opción Call el efecto es el opuesto y reduce su valor, ya que esa misma caída esperada en la acción disminuye la probabilidad de que el precio suba por encima de su strike. Esto es clave para estructurar un collar, porque al comprimirse la prima de la Call, el ingreso que se recibe por venderla será menor, reduciendo el financiamiento disponible para costear la Put de protección.

Al comparar los tres activos, NRG es la que tiene la tasa más alta (q = 1,91%), seguida por JPM (1,77%) y RTX (1,50%). En igualdad de condiciones, el dividendo encarece relativamente más la put de NRG. Esto ocurre porque, al repartir más dividendos, su precio spot cae con más fuerza frente al strike, haciendo que el derecho de venta sea más valioso para el inversionista y obligando al mercado a cobrar una prima mayor. Sin embargo, como la diferencia entre las tasas (q) es bastante pequeña, el costo real de la prima lo va a determinar sobre todo la volatilidad implícita de cada acción. Como limitación metodológica del modelo de valoración, se asume que esta tasa de dividendo q se mantendrá constante hasta la fecha de vencimiento de los contratos.

5.2 Fecha de vencimiento

Tabla 15. Vencimientos disponibles entre 12 y 24 meses e interés abierto total de las puts (Fuente: Yahoo Finance)

Vencimiento	Meses hasta el vencimiento	Interés abierto puts JPM	Interés abierto puts NRG	Interés abierto puts RTX
17/12/2027	14.7	11,454	—	—
21/01/2028	15.9	21,306	2,826	4,254

Al evaluar los datos extraídos de Yahoo Finance para el rango requerido de entre 12 y 24 meses, se identificaron dos fechas de vencimiento disponibles en el mercado de opciones. La primera opción corresponde al 17 de diciembre de 2027, que representa un plazo de 14,7 meses, pero únicamente registra contratos y datos de interés abierto para JPMorgan (JPM). La segunda opción es el 21 de enero de 2028, con un plazo de 15,9 meses, fecha en la cual los tres activos de la muestra cuentan con cotizaciones simultáneas.

Bajo este escenario, la alternativa seleccionada fue el vencimiento del 21 de enero de 2028. Esta elección se justifica principalmente porque es la única alternativa que permite estandarizar la estrategia de cobertura para todo el portafolio bajo una misma ventana temporal. Además, incluso para JPM que tenía ambas fechas disponibles, la opción de enero de 2028 es sustancialmente más líquida, registrando casi el doble de interés abierto en comparación con diciembre de 2027. Al seleccionar este plazo, la protección tendrá una duración de 15,9 meses. Dado que el plazo de la inversión en el portafolio es de 24 meses, la cobertura contratada dejará una ventana final de aproximadamente 8,1 meses sin protección; una vez que las opciones Put venzan en enero de 2028, será necesario renovar la cobertura para cubrir los meses restantes del plazo de inversión, asumiendo un costo de prima que no se puede determinar en el presente debido a la incertidumbre sobre la volatilidad futura del mercado.

Por otro lado, la tabla revela una diferencia marcada en el nivel de interés abierto (el total de contratos Put que permanecen activos en el mercado). JPM lidera con la mayor liquidez al registrar 21.306 contratos, mientras que RTX se ubica en un punto intermedio con 4.254 contratos, y NRG queda claramente como el activo menos líquido con apenas 2.826 contratos. Esta diferencia en los niveles de negociación es crucial porque impacta directamente en los costos de transacción. Para JPM, al contar con una alta liquidez, la diferencia entre el precio de compra y venta (bid-ask spread) tiende a ser más estrecho, lo que facilita la ejecución de la estrategia. En cambio, para NRG, e incluso para RTX en menor medida, un interés abierto más bajo suele traducirse en un mercado más ilíquido, lo que genera spreads más anchos y un incremento en el costo efectivo de las primas al operar los contratos.

5.3 Selección del strike: comparación de candidatos

Para cada acción se compararon tres puts con vencimiento el 21 de enero de 2028, con strikes cercanos al 90%, 95% y 100% del precio spot, evaluando los criterios que se describen a continuación (Hull, 2018).

El strike o precio de ejercicio (\(K\)) es el precio fijo, establecido en el contrato, al que la put da derecho a vender la acción. A diferencia del precio spot, no cambia durante la vida de la opción.

El moneyness compara el strike (\(K\)) con el precio actual de la acción (\(S_0\)). Una put está fuera del dinero (OTM) cuando \(K < S_0\): el contrato permite vender más barato de lo que vale hoy la acción en el mercado, por lo que no se ejercería en ese momento y su prima es menor. Está en el dinero (ATM) cuando \(K \approx S_0\), es decir, cuando el strike es prácticamente igual al precio de mercado. Y está dentro del dinero (ITM) cuando \(K > S_0\): el contrato permite vender por encima del precio actual, por lo que ya tiene un valor intrínseco, y eso la hace la más costosa.

La prima es el precio que se paga por comprar el contrato de opción, y funciona como el costo del seguro: mientras mayor es la protección que ofrece la put, mayor es su prima.

El spread bid–ask relativo es la diferencia entre el precio Ask (el precio más barato al que alguien está dispuesto a vender la opción) y el precio Bid (el precio más alto que alguien está dispuesto a pagar por esa misma opción), dividida entre el precio medio. Es mejor cuando es bajo, porque indica que el mercado es más líquido y eficiente.

El interés abierto es el número de contratos que hay vigentes en el mercado. El volumen, en cambio, es la cantidad de contratos que se negociaron durante la última jornada; como solo muestra la actividad de un día, se utiliza como una señal adicional de liquidez.

La volatilidad implícita es la expectativa que tiene el mercado sobre cuánto va a oscilar el precio de una acción en el futuro, y se deduce a partir del precio de las opciones. Cuando es alta, la prima se encarece, porque aumenta la probabilidad de que la acción caiga por debajo del strike.

Tabla 16. Puts candidatas con vencimiento el 21/01/2028 (Fuente: Yahoo Finance)

Acción	Strike (USD)	Clase	K/S0 (%)	Bid	Ask	Mid	Prima (% del spot)	Spread relativo (%)	Volumen	Interés abierto	IV (%)
JPM	300	OTM	88.61	16.60	19.2	17.90	5.29	14.53	7	1,663	25.04
JPM	320	OTM	94.52	23.05	25.7	24.38	7.20	10.87	4	2,126	23.78
JPM	340	ATM	100.43	31.10	33.4	32.25	9.53	7.13	170	451	22.33
NRG	90	OTM	91.98	11.90	15.3	13.60	13.90	25.00	1	124	46.48
NRG	95	OTM	97.09	16.10	17.8	16.95	17.32	10.03	1	10	45.95
NRG	100	ITM	102.20	17.10	20.6	18.85	19.26	18.57	2	1,457	45.70
RTX	170	OTM	90.13	10.85	13.4	12.12	6.43	21.03	4	469	26.47
RTX	180	OTM	95.44	15.45	18.5	16.98	9.00	17.97	1	259	27.11
RTX	190	ATM	100.74	18.20	23.0	20.60	10.92	23.30	1	139	26.16

Selección del contrato definitivo

Para JPM se seleccionó la put con strike de USD 320 (OTM), que protege a partir de una caída de 5,5% con un costo de 7,2% del precio spot. Esta alternativa representa un punto medio entre las otras dos: la put de USD 300 era la más barata (5,3%), pero solo protegía a partir de una caída de 11,4%, lo que implica asumir una pérdida importante antes de que la cobertura se active; mientras que la put de USD 340 (ATM) ofrecía protección desde el precio actual, pero era la más cara (9,5%) y tenía el menor interés abierto (451 contratos). Además, la put de USD 320 registra el mayor interés abierto de las tres (2.126 contratos), lo que indica mayor liquidez.

Para NRG se seleccionó la put con strike de USD 100 (ITM). A primera vista, la put de USD 95 parecía la mejor alternativa, por tener el spread más estrecho (10,0%) y proteger a partir de una caída de solo 2,9%; sin embargo, registraba apenas 10 contratos abiertos, y la put de USD 90 tenía 124. Ninguna de las dos tiene suficientes contratos abiertos para cubrir el número de contratos que requiere la cobertura, por lo que no serían ejecutables en la práctica. La put de USD 100, con 1.457 contratos abiertos, es la única con liquidez suficiente, y además su spread (18,6%) es mejor que el de la put de USD 90 (25,0%). Esta elección tiene un costo: es la put más cara de las tres (19,3% del precio spot) y, al estar dentro del dinero, USD 2,15 de su prima corresponden a valor intrínseco.

Para RTX se seleccionó la put con strike de USD 180 (OTM), que protege a partir de una caída de 4,6% con un costo de 9,0% del precio spot. Esta put presenta el spread relativo más estrecho de las tres (18,0%), por lo que es la más económica de ejecutar. La put de USD 170 era más barata (6,4%) y tenía mayor interés abierto (469 contratos), pero obligaba a asumir casi un 10% de caída antes de que la protección funcionara, y su spread era más alto (21,0%). Por su parte, la put de USD 190 (ATM) quedó descartada, ya que tenía el spread más alto (23,3%), el menor interés abierto (139 contratos) y era la más cara de las tres (10,9%).

Proteger NRG con opciones Put resulta más costoso que proteger JPM o RTX debido a dos causas distintas: su volatilidad implícita es mucho mayor (cerca del 46% frente al 22%–27% de las otras), lo que eleva el precio de su prima a un rango de 13,9%–19,3% del valor de la acción, mientras que en JPM y RTX la prima se ubica entre 5,3% y 10,9%; y su menor liquidez amplía el spread bid–ask, encareciendo la ejecución de la estrategia. Por su parte, JPM ofrece la cobertura más líquida del portafolio, con 2.126 contratos abiertos en la put seleccionada, lo que permite menores costos de transacción frente a las limitaciones de profundidad que presentan RTX y NRG.

Tabla 17. Puts seleccionadas para la cobertura, vencimiento 21/01/2028

Acción	Strike (USD)	Clase	Protege desde (%)	Prima (USD)	Prima (% del spot)	Spread relativo (%)	Interés abierto	IV (%)	Criterio principal
JPM	320	OTM	-5.48	24.38	7.20	10.87	2,126	23.78	Equilibrio protección/costo y mayor interés abierto
NRG	100	ITM	2.20	18.85	19.26	18.57	1,457	45.70	Única con liquidez suficiente
RTX	180	OTM	-4.56	16.98	9.00	17.97	259	27.11	Menor spread y protección intermedia

La Tabla 17 resume los contratos seleccionados como cobertura con vencimiento al 21/01/2028 para las tres acciones:

• JPM (Strike 320, OTM): presenta el costo proporcional más bajo (7,20% del spot) y el mayor interés abierto (2.126 contratos), ofreciendo un buen equilibrio entre protección y costo.
• NRG (Strike 100, ITM): es la más costosa (19,26% del spot), elegida por ser la única con liquidez suficiente.
• RTX (Strike 180, OTM): registra un costo intermedio (9,00% del spot), seleccionada por su menor spread y su nivel de protección intermedio.

En conjunto, mientras que en JPM y RTX la protección se activa a partir de una caída cercana al 5% (-5,48% y -4,56%, respectivamente), en NRG la cobertura protege desde un 2,20% por encima del spot, al estar ITM, lo que, sumado a su mayor volatilidad implícita, explica por qué su prima proporcional es significativamente más cara.

6. Valoración binomial europea y americana

El modelo binomial es una herramienta financiera que se utiliza para valorar opciones. Se basa en dividir el tiempo de vida de la opción en varios períodos y modelar el comportamiento del precio del activo subyacente: en cada período, el precio solo puede subir o bajar en una proporción determinada por su volatilidad, lo que genera un árbol con todas las trayectorias posibles (Cox et al., 1979; Hull, 2018). Al vencimiento se calcula el pago de la put en cada precio posible y luego se recorre el árbol hacia atrás, descontando con la tasa libre de riesgo, hasta obtener su valor hoy. En la versión europea la opción solo puede ejercerse al vencimiento, mientras que en la americana, en cada nodo se compara el valor de seguir esperando con el de ejercerla de inmediato y se toma el mayor. Por esta razón, la put americana nunca vale menos que la europea. El modelo utiliza seis insumos: el precio spot (\(S_0\)), el strike (\(K\)), el tiempo al vencimiento (\(T\)), la volatilidad (\(\sigma\)), la tasa libre de riesgo (\(r\)) y la tasa de dividendo (\(q\)). Como volatilidad se usó la volatilidad implícita de cada contrato seleccionado, y el árbol se construyó con 500 pasos.

Tabla 18. Parámetros comunes de la valoración binomial (Fuente: Yahoo Finance y FRED)

Parámetro	Valor
Fecha del precio spot	24/09/2026
Fecha de cotización de las opciones	25/09/2026
Vencimiento	21/01/2028
Tiempo al vencimiento (años)	1.3233
Treasury 1 año (DGS1)	4.51%
Treasury 2 años (DGS2)	4.87%
Tasa interpolada al plazo	4.626%
Tasa efectiva anual	4.68%
Tasa continua usada (r)	4.574%
Pasos del árbol (N)	500

La tasa libre de riesgo no puede tomarse directamente del Treasury a 1 año, porque las opciones vencen en 1,32 años; es decir, su plazo es mayor a un año. Para que la tasa sea coherente con el vencimiento del contrato, se interpoló linealmente entre el Treasury a 1 año (4,51%) y a 2 años (4,87%), obteniendo 4,626%. Esta tasa se convirtió a efectiva anual (4,68%) y luego a tasa continua (4,574%), que es la forma en que la utiliza el modelo binomial.

Tabla 19. Valoración binomial de las puts seleccionadas frente al precio de mercado

Acción	S0 (USD)	Strike (USD)	IV (%)	Prima de mercado (Mid)	Put europea	Put americana	Valor del ejercicio anticipado	Mercado − americana
JPM	338.56	320	23.78	24.38	21.58	22.54	0.96	1.84
NRG	97.85	100	45.70	18.85	19.01	19.55	0.54	-0.70
RTX	188.61	180	27.11	16.98	15.06	15.72	0.66	1.26

En las tres acciones, la put americana vale más que la europea, porque tiene la ventaja de poder ejercerse en cualquier momento antes del vencimiento, mientras que la europea solo puede ejercerse al final. Sin embargo, el valor de este derecho de ejercicio anticipado es pequeño: USD 0,96 en JPM, USD 0,54 en NRG y USD 0,66 en RTX, lo que equivale aproximadamente al 4,4%, 2,8% y 4,4% del valor europeo, respectivamente. Esto se explica en parte por los dividendos: cuando la acción paga dividendos su precio baja, lo que le conviene a quien tiene la put, por lo que tiene incentivos para esperar en lugar de ejercerla antes. En el caso de NRG, el valor relativo del ejercicio anticipado es el más bajo, a pesar de ser la única put dentro del dinero ITM (in the money). Esto ocurre porque NRG presenta la volatilidad más alta del portafolio (46%): si la acción se mueve mucho, esperar vale más, puesto que su precio todavía puede caer aún más.

Al comparar el modelo con el mercado, las primas de NRG (USD 19,55) y RTX (USD 15,72) calculadas con el modelo se ubican dentro del rango entre el bid y el ask de cada contrato, por lo que el modelo es coherente con los precios observados. En JPM, en cambio, el valor del modelo (USD 22,54) queda ligeramente por debajo del bid (USD 23,05). Esta diferencia puede deberse a la amplitud del spread, a los supuestos propios que utiliza Yahoo Finance para calcular la volatilidad implícita y al día de diferencia entre la fecha del precio spot (24/09/2026) y la de cotización de las opciones (25/09/2026).

7. Diseño de coberturas

7.1 Número de contratos: objetivo del 85%

Tabla 20. Tamaño de la cobertura: contratos para proteger aproximadamente el 85% de las acciones

Acción	Peso (%)	Inversión (USD)	Acciones	Contratos	Cobertura efectiva (%)	Interés abierto del strike	Costo protective put a Mid (USD)	Costo protective put a Ask (USD)
JPM	60.8	6,080,000	17,387	148	85.12	2,126	360,750	380,360
NRG	20.4	2,040,000	19,679	167	84.86	1,457	314,795	344,020
RTX	18.8	1,880,000	9,690	82	84.62	259	139,195	151,700

Nota. El número de acciones se calculó con los precios de cierre del 18/09/2026, los mismos utilizados en la simulación del Bloque II.

El portafolio quedó concentrado en JPM, con un peso de 60,8%, lo que significa que de los USD 10 millones invertidos, JPM se lleva USD 6,08 millones, que a su precio equivalen a 17.387 acciones. Como cada contrato de opciones cubre 100 acciones y el objetivo es cubrir el 85% de cada posición, para JPM se necesitan 147,8 contratos, que al redondear quedan en 148. Dado que no se pueden comprar fracciones de contrato, la cobertura efectiva no es exactamente del 85%, sino de 85,12% en JPM, 84,86% en NRG y 84,62% en RTX.

En cuanto a la liquidez, el mercado alcanza para cubrir JPM y NRG, ya que los contratos requeridos representan apenas el 7% y el 11% del interés abierto de cada strike, respectivamente. En RTX, en cambio, comprar 82 contratos equivale al 32% de los 259 contratos abiertos, una proporción demasiado alta que podría presionar al alza el precio de la opción durante la ejecución.

El costo total de la protective put para el portafolio asciende a USD 814.740 si se valora a precio Mid (8,1% del portafolio), o a USD 876.080 a precio Ask (8,8% del portafolio). Lo que más llama la atención de NRG es la enorme desproporción entre su peso y su costo de cobertura: con solo el 20,4% del capital asignado, consume USD 314.795 de prima, lo que equivale a casi el 39% del costo total. Esta asimetría se debe principalmente a su volatilidad implícita, significativamente más alta que la de las demás acciones, sumado a que su opción se estructuró dentro del dinero (ITM), ofreciendo protección inmediata.

Tabla 21. Sensibilidad: protective put 1:1 frente a cobertura delta

Acción	Delta de la put	Contratos (85% de acciones)	Delta neutralizado con esos contratos (%)	Contratos para neutralizar el delta del 85%
JPM	-0.309	148	26.272	479
NRG	-0.377	167	31.969	444
RTX	-0.325	82	27.475	254

La delta de la put de JPM (−0,309) significa que por cada dólar que cae el precio de la acción, el valor de la opción aumenta aproximadamente USD 0,31. El signo negativo refleja esta relación inversa: la put gana valor cuando la acción pierde precio, compensando en ese momento cerca del 31% de la pérdida de cada acción cubierta.

Por esta razón, la cobertura 1:1 no neutraliza el delta del portafolio. Con los contratos definidos para cubrir el 85% de las acciones, solo se neutraliza entre el 26% y el 32% de la exposición, según la acción (26,3% en JPM). Para lograr una neutralización real del delta en JPM se requerirían 479 contratos, es decir, unas 3,2 veces más de los planteados, lo cual triplicaría el costo en primas. En RTX la estrategia resultaría inviable, pues exigiría 254 contratos frente a un interés abierto de apenas 259.

La protective put no está diseñada para eliminar las fluctuaciones menores del día a día, sino para actuar como un piso de pérdida ante caídas fuertes. Como la delta no es constante, si la acción sufre una caída severa, la delta de la put se aproxima a −1 y la protección se vuelve casi total, sin obligar al inversionista a asumir la carga financiera de mantener una cobertura delta neutral que debería ajustarse permanentemente.

7.2 Estrategia A: Protective put

Tabla 22. Protective put: piso de protección y costo

Acción	Strike (USD)	Prima por acción (USD)	Piso por acción (USD)	Pérdida máxima de la parte cubierta (%)	Costo total (USD)	Costo (% del portafolio)
JPM	320	24.38	295.62	-12.68	360,750	3.61
NRG	100	18.85	81.15	-17.07	314,795	3.15
RTX	180	16.98	163.02	-13.57	139,195	1.39

El piso es el valor mínimo asegurado que garantiza la estrategia para cada acción al vencimiento, y determina lo peor que puede ocurrirle a la posición cubierta. Se calcula restándole la prima pagada al precio de ejercicio:

\[\text{Piso} = \text{Strike} - \text{Prima pagada}\]

En el caso de JPM, con un strike de USD 320 y una prima de USD 24,38, el piso resultante es de USD 295,62. Esto significa que, aunque JPM cayera a USD 200, la opción permite vender a USD 320 y, tras descontar el costo del seguro, la pérdida máxima queda acotada en −12,68% frente al precio actual de USD 338,56.

NRG presenta un resultado que a primera vista parece contradictorio: aunque su put dentro del dinero (ITM) activa la protección de inmediato desde el precio actual, tiene la peor pérdida máxima del portafolio (−17,07%). Esto ocurre porque su prima es extremadamente costosa (USD 18,85, casi el 19% del precio de la acción), de modo que el propio costo del seguro termina “comiéndose” buena parte de la protección.

La acción mejor protegida es JPM: al utilizar una put fuera del dinero (OTM) con una prima más económica, logra el piso más favorable del grupo (−12,68%, frente al −13,57% de RTX y el −17,07% de NRG). En conjunto, la protective put cuesta el 8,15% del portafolio. Cabe recordar que este piso aplica únicamente al 85% cubierto de cada posición; el 15% restante no cuenta con protección.

La Figura 6 muestra el perfil de pérdidas y ganancias de la protective put al vencimiento. A la izquierda del strike, la línea azul se mantiene horizontal: por más que el precio de la acción siga cayendo, la put compensa las caídas adicionales, por lo que la pérdida queda limitada a cerca de USD 42,94 por acción en JPM, USD 16,70 en NRG y USD 25,59 en RTX. Este tramo plano representa el piso de la estrategia.

A la derecha del strike, la línea azul sube en paralelo a la línea gris (la acción sin cobertura) y sin ningún límite máximo, de modo que la estrategia conserva el potencial alcista. La única diferencia es que el beneficio será menor, ya que la línea azul está desplazada hacia abajo exactamente por el monto de la prima pagada.

Para alcanzar el punto de equilibrio y recuperar el costo del seguro, JPM debe llegar a USD 362,94 (un alza de 7,2%), RTX a USD 205,59 (9,0%) y NRG a USD 116,70 (19,3%). Nuevamente llama la atención NRG: debido a lo costosa que es su prima, necesita una subida de casi el 20% solo para quedar en cero, mientras que las otras dos acciones requieren alzas inferiores al 10%.

7.3 Estrategia B: Collar

Tabla 23. Calls candidatas para el collar, vencimiento 21/01/2028 (Fuente: Yahoo Finance)

Acción	Strike (USD)	K/S0 (%)	Bid	Ask	Mid	Prima (% del spot)	Spread relativo (%)	Volumen	Interés abierto	IV (%)
JPM	360	106.33	35.60	39.10	37.35	11.03	9.37	5	1,173	29.29
JPM	370	109.29	31.00	34.30	32.65	9.64	10.11	4	266	28.54
JPM	390	115.19	24.55	27.25	25.90	7.65	10.42	2	566	28.09
NRG	105	107.31	19.50	22.40	20.95	21.41	13.84	1	46	53.06
NRG	110	112.42	17.80	20.50	19.15	19.57	14.10	1	65	52.60
NRG	115	117.53	16.20	20.00	18.10	18.50	20.99	5	48	50.77
RTX	200	106.04	22.15	24.25	23.20	12.30	9.05	26	592	32.89
RTX	210	111.34	18.25	20.35	19.30	10.23	10.88	16	589	32.38
RTX	220	116.64	14.35	16.55	15.45	8.19	14.24	2	350	31.43

Para el collar, las calls se venden, por lo que existe un intercambio entre la prima recibida y el techo de ganancia: un strike más bajo genera más ingreso, pero recorta el potencial alcista. Además, se deben vender tantos contratos como puts se compraron.

Para JPM se seleccionó la call de USD 390. Aunque la de USD 360 paga una prima mayor, recorta bastante el potencial alcista, dejando el techo en solo +6,3%. La de USD 390, en cambio, ofrece un techo más amplio (+15,2%) y genera prácticamente un collar de costo cero, ya que su prima (USD 25,90) cubre casi en su totalidad el costo de la put (USD 24,38). La call de USD 370 se descartó por liquidez: con un interés abierto de solo 266 contratos, vender los 148 requeridos absorbería el 56% del mercado existente, lo que resulta inviable operativamente.

Para NRG se seleccionó la call de USD 110 como la alternativa menos desfavorable. Las tres calls candidatas comparten una severa falta de liquidez, con un interés abierto extremadamente bajo (46, 65 y 48 contratos) que no alcanza para los 167 contratos que se necesitan vender. Dentro de esa limitación de mercado, la de USD 110 ofrece el mayor interés abierto disponible (65), un spread aceptable (14,1%) y un techo de +12,4%. Por lo tanto, el collar de NRG debe entenderse como un ejercicio teórico, ya que en la práctica no sería ejecutable en su totalidad.

Para RTX se seleccionó la call de USD 210. Si bien la de USD 200 tiene un spread ligeramente más estrecho (9,05%), castiga en exceso el beneficio futuro, dejando el techo en un escaso +6%. La de USD 210 equilibra mejor la posición: conserva una liquidez similar (interés abierto de 589), mantiene un spread adecuado (10,9%) y prácticamente duplica el espacio de subida, permitiendo capturar hasta un +11,3% de ganancia.

Tabla 24. Collar: costo neto, piso y techo de la posición cubierta

Acción	Strike put	Strike call	Prima put	Prima call	Prima neta	Piso (%)	Techo (%)	Costo a Mid (USD)	Costo ejecutable (USD)	Ahorro frente a protective put (%)
JPM	320	390	24.38	25.90	-1.52	-5.03	15.64	-22,570	17,020	106.26
NRG	100	110	18.85	19.15	-0.30	2.50	12.72	-5,010	46,760	101.59
RTX	180	210	16.98	19.30	-2.32	-3.33	12.57	-19,065	2,050	113.70

El collar reduce drásticamente el costo de la cobertura: mientras la protective put cuesta USD 814.740 (8,1% del portafolio), el collar genera un crédito neto cercano a USD 46.645, porque en las tres acciones la prima de la call vendida supera la de la put comprada. Sin embargo, al ejecutarlo a precios Bid y Ask, los spreads convierten ese crédito en un costo de USD 65.830 (0,66% del portafolio), concentrado principalmente en NRG por su menor liquidez.

A cambio, el piso mejora de forma significativa: la pérdida máxima pasa de −12,68% a −5,03% en JPM y de −13,57% a −3,33% en RTX, mientras que en NRG el piso llega a ser positivo (+2,50%). Lo que se sacrifica es el potencial alcista, ya que la ganancia máxima queda limitada a +15,64% en JPM, +12,72% en NRG y +12,57% en RTX. Por la baja liquidez de sus calls, el collar de NRG debe interpretarse como un ejercicio teórico.

7.4 Estrategia C: estrategia adicional sobre el activo de mayor riesgo

La estrategia C se aplica sobre JPM, el activo con mayor contribución al riesgo del portafolio (61.8% del riesgo total, con un peso de 60.8%).

Tabla 25. Estrategia C sobre JPM

Posición	Strike (USD)	Prima por acción (USD)	Interés abierto	Costo total (USD)
Put comprada	320	24.38	2,126	360,750
Put vendida	290	14.88	612	-220,150
Neto (bear put spread)	—	9.50	—	140,600

La estrategia C se aplica sobre JPM porque concentra el 60,8% del capital y es el activo que más riesgo aporta. Dado que la tesis del equipo anticipa correcciones moderadas más que un desplome extremo, se eligió un bear put spread: al vender la put de USD 290 (con 612 contratos de interés abierto, suficiente liquidez para los 148 requeridos), la prima neta baja a USD 9,50 por acción y el costo total pasa de USD 360.750 a USD 140.600, un ahorro del 61%.

A cambio, se sacrifica la protección ante desplomes severos. Como muestra la Figura 8, la estrategia protege entre USD 320 y USD 290 (caídas de −5,5% a −14,3%), pero por debajo de ese nivel la posición vuelve a perder al mismo ritmo que la acción; por ello, solo resulta inferior a la protective put si JPM cae más de 19%. Se descartó la covered call porque responde a una tesis neutral o ligeramente alcista y dejaría la acción prácticamente sin protección ante caídas, lo que no es coherente con el objetivo de cobertura del equipo.

7.5 Reparto del costo de la cobertura

Tabla 26. Costo de proteger cada activo y variables de los criterios de reparto

Acción	Costo protective put 85% (USD)	Participación en el costo (%)	Peso (%)	Contribución al riesgo (%)	Reducción del VaR 95% en T5 (USD)	Reducción del VaR por USD de prima
JPM	360,750	44.28	60.8	61.78	715,014	1.98
NRG	314,795	38.64	20.4	26.20	130,808	0.42
RTX	139,195	17.08	18.8	12.02	140,163	1.01

Tabla 27. Reparto del mismo presupuesto de primas según tres criterios

Acción	Presupuesto por valor (USD)	Cobertura (%)	Presupuesto por riesgo (USD)	Cobertura (%)	Presupuesto por eficiencia (USD)	Cobertura (%)
JPM	495,362	100.00	503,336	100.00	474,322	100.00
NRG	166,207	44.72	213,489	57.42	99,442	26.42
RTX	153,171	92.88	97,915	58.82	240,976	100.00

Tabla 28. Costo total de cada estrategia de cobertura

Estrategia	Costo total (USD)	Costo (% del portafolio)
A. Protective put (tres acciones)	814,740	8.15
B. Collar (tres acciones)	-46,645	-0.47
C. Bear put spread sobre JPM	140,600	1.41

Proteger el 85% de cada activo mediante una protective put cuesta USD 360.750 en JPM, USD 314.795 en NRG y USD 139.195 en RTX, para un total equivalente al 8,15% del portafolio. JPM recibe el mayor presupuesto, absorbiendo el 44,3% del costo total. En NRG se observa una clara ineficiencia: aunque representa solo el 20,4% del capital y el 26,2% del riesgo del portafolio, consume el 38,6% del presupuesto de primas. Esto se refleja en su baja eficiencia, ya que cada dólar invertido en su put reduce apenas USD 0,38 de VaR, frente a USD 1,92 en JPM y USD 1,02 en RTX.

Al repartir el mismo presupuesto según tres criterios, JPM queda cubierta al 100% en todos los casos, y la diferencia está en NRG y RTX. Por valor invertido, NRG alcanzaría una cobertura del 44,7% y RTX del 92,9%; por contribución al riesgo, ambas quedarían cerca del 58%. Se eligió el criterio de eficiencia, que asigna el presupuesto según la reducción de VaR por dólar de prima, porque es el más adecuado desde el punto de vista financiero: concentra los recursos donde más riesgo se reduce y evita destinar una parte desproporcionada a un activo cuya prima es muy elevada. Con este criterio, JPM y RTX quedan cubiertas al 100% y NRG al 24,4%. Como limitación, el excedente que sobra tras cubrir al 100% a JPM podría redistribuirse para no dejar a NRG tan desprotegida.

En términos de costo, la estrategia más económica es el collar (B), con un costo neto negativo a precio medio (−0,47% del portafolio), ya que la venta de las calls financia la compra de las puts, aunque a cambio limita el potencial alcista. Si se prefiere no acotar las ganancias, la alternativa intermedia es el bear put spread (C), con un costo de 1,41%, significativamente menor que el 8,15% de la protective put tradicional (A).

8. Seguimiento trimestral y comparación cubierto/no cubierto

8.1 Valor del portafolio cubierto y no cubierto en los cierres trimestrales

Tabla 29. Valor del portafolio cubierto y no cubierto por trimestre (millones USD)

Periodo	Días	Mediana sin cobertura	Mediana protective put	Mediana collar	P5 sin cobertura	P5 protective put	P5 collar
t = 0	0	10.000	10.000	10.000	10.000	10.000	10.000
T1	63	10.141	9.917	9.775	8.601	8.877	9.257
T2	126	10.285	9.992	9.935	8.016	8.559	9.157
T3	189	10.438	10.060	10.102	7.633	8.407	9.138
T4	252	10.564	10.111	10.286	7.368	8.305	9.145
T5	315	10.699	10.186	10.519	7.128	8.264	9.170
T6	378	10.839	10.383	10.512	6.890	7.795	8.510
T7	441	10.974	10.537	10.625	6.770	7.467	8.073
T8	504	11.152	10.731	10.756	6.628	7.229	7.711

Nota. Las opciones vencen el 21/01/2028. En T5 (a los 15 meses), último cierre trimestral antes del vencimiento, las opciones se venden a su valor de mercado; a partir de T6 (18 meses), el portafolio queda sin cobertura.

En el escenario típico (mediana), el portafolio sin cobertura obtiene el mejor resultado (11,08 millones en T8, frente a 10,69 millones de la protective put y 10,76 millones del collar), porque cuando el mercado sube las opciones no se ejercen y la prima pagada reduce el rendimiento lo que representa el precio del seguro. En cambio, en un escenario desfavorable (percentil 5), la cobertura cumple su función: en T5 (quinto cierre trimestral, a los 15 meses), último cierre antes del vencimiento, la pérdida sin cobertura es de 28,4%, frente a 17,3% con la protective put y solo 8,2% con el collar, que es la estrategia que más protege.

Tras el vencimiento, entre T5 y T6, las líneas del percentil 5 vuelven a caer porque el portafolio queda sin protección, aunque se mantienen por encima del no cubierto. Por ello, entre T1 y T4 se recomienda mantener la cobertura, y en T5 renovarla, para no dejar expuesto el tramo final de la inversión.

8.2 VaR del portafolio cubierto

Tabla 30. VaR del portafolio sin cobertura y cubierto

Momento	Portafolio	VaR 95% (USD)	VaR 95% (%)	VaR 99% (USD)	VaR 99% (%)	Reducción del VaR 95% (%)
Primer trimestre (T1)	Sin cobertura	1,398,912	13.99	2,186,403	21.86	0.00
Primer trimestre (T1)	A. Protective put	1,123,201	11.23	1,498,911	14.99	19.71
Primer trimestre (T1)	B. Collar	743,384	7.43	972,603	9.73	46.86
Último cierre con cobertura (T5)	Sin cobertura	2,871,933	28.72	4,116,342	41.16	0.00
Último cierre con cobertura (T5)	A. Protective put	1,735,551	17.36	1,957,388	19.57	39.57
Último cierre con cobertura (T5)	B. Collar	829,801	8.30	1,044,934	10.45	71.11
Cierre del horizonte (T8)	Sin cobertura	3,371,863	33.72	4,711,821	47.12	0.00
Cierre del horizonte (T8)	A. Protective put	2,771,383	27.71	3,897,186	38.97	17.81
Cierre del horizonte (T8)	B. Collar	2,288,721	22.89	3,438,783	34.39	32.12

En T5, último cierre antes del vencimiento, la protective put reduce el VaR 95% en 39% (de USD 2,84 millones a 1,73 millones) y el collar en 71% (a solo USD 0,82 millones). El collar es la estrategia que más reduce el riesgo, y lo logra a un costo prácticamente nulo, frente a los USD 0,81 millones que cuesta la protective put. La diferencia es aún mayor en el VaR 99%, que con el collar baja de USD 4,15 millones a 1,05 millones. La Figura 10 lo muestra gráficamente: con cobertura, la cola izquierda de la distribución queda recortada cerca de −2 millones, lo que evidencia el piso de protección.

En T8 la reducción es menor (18% con la protective put y 35% con el collar), porque las opciones vencen entre T5 y T6 y el portafolio pasa los últimos trimestres sin cobertura, por lo que vuelve a quedar expuesto a pérdidas extremas.

9. Conclusiones, limitaciones y recomendación final

Conclusiones del Bloque I – Construcción del portafolio

Aquí nos dimos cuenta de que no es suficiente escoger acciones que tengan buenos rendimientos, sino que también debemos mirar cómo se comportan entre ellas. Al combinar JPM, NRG y RTX, que pertenecen a diferentes sectores, logramos diversificar la inversión y reducir parte del riesgo. Sin embargo, NRG presentó una volatilidad más alta, lo que muestra que cada acción aporta un nivel de riesgo diferente.

Después de analizar las diferentes combinaciones de pesos, escogimos el portafolio de máximo Sharpe, con un resultado de 0,170, frente a 0,162 del portafolio de mínima varianza. Por lo tanto, preferimos una combinación que asumiera un poco más de riesgo, pero que también tuviera una mejor relación entre rendimiento esperado y riesgo. Esto nos permitió definir cómo distribuir los USD 10 millones entre las tres acciones.

Conclusiones del Bloque II – Simulación y medición del riesgo

En este bloque vimos que el riesgo del portafolio no se mantiene igual durante todo el tiempo.Al utilizar el modelo GARCH(1,1), pudimos tener en cuenta que existen períodos de mayor y menor volatilidad y que algunos cambios fuertes pueden seguir afectando a los activos durante varios días. Además, al utilizar la distribución t de Student pudimos considerar movimientos más extremos. Las 10.000 simulaciones nos permitieron ver diferentes escenarios posibles para el portafolio, entendiendo que no son una predicción exacta de lo que va a pasar, sino resultados que dependen de los supuestos del modelo.

Los resultados del VaR nos mostraron que debemos prestar especial atención a los escenarios de pérdidas fuertes. Al aumentar el horizonte de inversión, también aumentan las pérdidas potenciales, y en los escenarios más extremos las pérdidas pueden ser mucho mayores que en un escenario normal. Esto nos permitió entender que, aunque el portafolio puede tener resultados positivos en condiciones normales, todavía existe una exposición importante ante movimientos fuertes del mercado. Por esta razón, consideramos necesario complementar el portafolio con una estrategia de cobertura que ayude a disminuir el impacto de estas posibles pérdidas.

Conclusiones del Bloque III – Opciones y cobertura

En este bloque vimos que existen diferentes formas de proteger el portafolio y que cada una tiene sus ventajas y desventajas.La protective put nos permite tener una protección más directa frente a las caídas, pero tiene un costo alto: para cubrir aproximadamente el 85% de las posiciones, la prima fue de USD 814.740 a precio Mid, es decir, cerca del 8,15% del portafolio. El collar permite reducir bastante este costo porque la venta de la call ayuda a financiar la put, aunque a cambio limita parte de las ganancias. Por otro lado, el bear put spread sobre JPM también permite disminuir el costo de la protección, pero su cobertura es más limitada frente a caídas muy fuertes.

El seguimiento trimestral nos permitió ver que la cobertura debe revisarse y no mantenerse igual durante todo el período. En el quinto cierre trimestral, la protective put redujo el VaR 95% de USD 2,84 millones a USD 1,73 millones, mientras que el collar lo redujo hasta aproximadamente USD 0,82 millones. Esto muestra que las opciones pueden ayudar a disminuir las pérdidas en escenarios negativos, pero ninguna estrategia elimina completamente el riesgo. Por eso, durante los dos años es importante revisar cómo están cambiando los precios de las opciones y el nivel de riesgo del portafolio para decidir si se mantiene o se ajusta la cobertura.

Conclusión general

A partir del desarrollo completo del trabajo, pudimos observar que la construcción de un portafolio de inversión no depende únicamente de buscar activos con buenos rendimientos, sino de analizar conjuntamente el rendimiento, el riesgo y la relación que existe entre los activos. En este caso, la combinación de JPM, NRG y RTX permitió aplicar el principio de diversificación y entender cómo las características individuales de cada acción influyen en el comportamiento del portafolio.

El análisis de media-varianza permitió obtener una distribución de los USD 10 millones entre los tres activos considerando las restricciones establecidas. La comparación entre las alternativas de mínima varianza y máximo Sharpe mostró que diferentes criterios de optimización pueden generar portafolios con características distintas de rendimiento y riesgo. Esto permitió entender que la composición del portafolio debe analizarse de manera conjunta y no solamente a partir del comportamiento individual de cada acción.

Por otra parte, la simulación y las medidas de riesgo permitieron complementar el análisis histórico con diferentes escenarios posibles para el comportamiento futuro del portafolio. El uso de GARCH(1,1), la distribución t de Student y las 10.000 simulaciones permitió incorporar cambios en la volatilidad y movimientos extremos que no necesariamente se reflejan al utilizar únicamente medidas de riesgo constantes. Los resultados del VaR evidenciaron que las pérdidas potenciales pueden aumentar cuando se considera un horizonte de tiempo más amplio y que los escenarios extremos pueden generar impactos importantes sobre el valor del portafolio. Es importante aclarar que estos resultados corresponden a escenarios derivados de los supuestos del modelo y no representan una predicción exacta del comportamiento futuro.

Finalmente, el análisis de las opciones permitió evaluar cómo una estrategia de cobertura puede modificar el perfil de riesgo del portafolio. La protective put ofreció una protección más directa frente a las caídas, pero implicó un costo importante en primas. El collar permitió reducir este costo mediante la venta de calls, aunque limitando parte del potencial de valorización del portafolio, mientras que el bear put spread presentó una alternativa con menor costo y un nivel de protección más limitado. El seguimiento trimestral mostró además que la efectividad de una cobertura puede cambiar a medida que varían los precios de los activos, las volatilidades y las condiciones del mercado.

En conjunto, el trabajo permitió comprender que la gestión de un portafolio es un proceso que debe considerar diferentes etapas: primero, la construcción de una combinación diversificada de activos; después, la medición y simulación de los riesgos a los que está expuesto; y finalmente, el análisis de alternativas que permitan controlar parte de esas pérdidas potenciales. Los resultados también muestran que ninguna metodología elimina completamente el riesgo, por lo que las decisiones sobre la composición y cobertura del portafolio deben revisarse periódicamente de acuerdo con la evolución de las condiciones del mercado y con los objetivos establecidos.

Limitaciones

Durante el desarrollo del trabajo se identificaron algunas limitaciones que deben tenerse en cuenta al interpretar los resultados obtenidos. En primer lugar, los modelos utilizados para la estimación del riesgo y la simulación del portafolio dependen de los supuestos establecidos y del comportamiento de los datos históricos. Aunque el modelo GARCH(1,1) permite incorporar cambios en la volatilidad y la distribución t de Student considera movimientos más extremos, estos elementos no garantizan que se representen todas las situaciones que podrían presentarse en el mercado. Por esta razón, los resultados de las simulaciones deben entenderse como escenarios posibles y no como una predicción exacta del comportamiento futuro de los activos.

Otra limitación corresponde al uso de información histórica para estimar los parámetros de los modelos. El comportamiento observado durante el período analizado no necesariamente se mantiene en el futuro, ya que pueden presentarse cambios en las condiciones económicas, financieras y de mercado que afecten los precios, la volatilidad y las relaciones entre JPM, NRG y RTX. Además, la diversificación obtenida mediante la combinación de los tres activos no elimina completamente el riesgo, especialmente cuando pueden presentarse movimientos conjuntos durante períodos de estrés.

En el caso de las opciones, la evaluación de las estrategias depende de los precios de mercado, la volatilidad implícita, la liquidez y los costos de ejecución disponibles en la fecha de análisis. En particular, se identificaron limitaciones de liquidez en las opciones de NRG, lo que puede dificultar la ejecución de las operaciones en las cantidades necesarias y afectar los costos reales de la cobertura. Por lo tanto, los costos calculados a partir de los precios Bid, Ask y Mid deben interpretarse como estimaciones bajo las condiciones observadas, y no como una garantía del precio al que se podría ejecutar toda la operación.

También se debe considerar que las estrategias de cobertura analizadas tienen diferentes niveles de protección y costos. La protective put tiene un costo elevado, mientras que el collar reduce el costo mediante la venta de calls, limitando parte de las ganancias potenciales. Por su parte, el bear put spread no ofrece protección completa frente a caídas muy fuertes. En consecuencia, ninguna de las estrategias evaluadas elimina totalmente el riesgo del portafolio.

Finalmente, el seguimiento trimestral considera que las opciones se liquidan al vencimiento y que no se realiza una renovación automática de la cobertura. Esto genera una limitación importante, debido a que el portafolio queda expuesto durante el período posterior al vencimiento de las opciones. Por lo tanto, los resultados del seguimiento deben analizarse teniendo en cuenta que una estrategia de cobertura aplicada durante un período específico no garantiza el mismo nivel de protección durante todo el horizonte de inversión.

Recomendación final

A partir de los resultados obtenidos en los tres bloques del trabajo, recomendamos mantener el portafolio diversificado compuesto por JPM, NRG y RTX, acompañado de una estrategia de cobertura que se revise periódicamente de acuerdo con la evolución del riesgo y las condiciones del mercado. La decisión de cubrir el portafolio debe considerar no solamente el costo de las primas, sino también el nivel de protección que ofrece cada estrategia y las posibles limitaciones que pueden presentarse durante su ejecución.

Entre las alternativas analizadas, el collar se presenta como una estrategia que permite reducir de manera importante el riesgo del portafolio a un costo relativamente bajo, debido a que la venta de las calls ayuda a financiar la compra de las puts. En el quinto cierre trimestral, esta estrategia redujo el VaR 95% de USD 2,84 millones a aproximadamente USD 0,82 millones, mientras que la protective put lo redujo a USD 1,73 millones. Sin embargo, el collar limita parte del potencial de valorización, por lo que su utilización debe ser coherente con el objetivo de protección y con el nivel de ganancias que se está dispuesto a renunciar.

Por esta razón, se recomienda considerar el collar como la alternativa principal dentro del escenario analizado, siempre que el objetivo sea disminuir las pérdidas potenciales y aceptar un límite sobre las ganancias. Si el objetivo prioritario fuera mantener el potencial alcista sin vender calls, la protective put y el bear put spread pueden ser considerados como alternativas, teniendo en cuenta que presentan diferencias en costos, alcance de la protección y exposición a pérdidas.

Adicionalmente, es importante realizar un seguimiento trimestral de la cobertura y evaluar su renovación antes del vencimiento de las opciones. Los resultados muestran que, después del vencimiento, el portafolio vuelve a estar expuesto a pérdidas extremas, por lo que no se debería asumir que la protección inicial permanece vigente durante los dos años completos. La renovación debe analizarse considerando los precios de las opciones, la volatilidad implícita, la liquidez y el nivel de riesgo actualizado del portafolio.

Finalmente, se recomienda prestar especial atención a NRG, debido a su mayor costo de cobertura y a las limitaciones de liquidez identificadas en sus opciones. La asignación del presupuesto de protección debe revisarse de acuerdo con la contribución al riesgo, la eficiencia de la cobertura y las condiciones de ejecución, evitando que el costo de proteger un activo reduzca de manera desproporcionada los recursos disponibles para el resto del portafolio.

En conclusión, la gestión del portafolio debe ser dinámica y combinar la diversificación de los activos con una estrategia de cobertura que se adapte a los cambios del mercado. Los resultados del trabajo muestran que es posible reducir el impacto de escenarios negativos mediante el uso de opciones, pero la elección de la estrategia debe reconocer los costos, las limitaciones de protección y la necesidad de mantener un seguimiento constante durante el horizonte de inversión.

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