1 Introduction

1.1 Objectifs du TD et démarche du rapport

Ce rapport présente les réponses au TD 1 de l’ECUE STI812 (Statistique et analyse de données) du Master S8 GC-BTP de l’Institut International d’Ingénierie de l’Eau et de l’Environnement (2iE). Le TD poursuit quatre objectifs :

prendre en main RStudio (projet, script, packages, importation) ;
calculer et interpréter des indicateurs descriptifs (position et dispersion) ;
produire des graphiques avec ggplot2 ;
mesurer des liaisons entre variables (corrélation, test du khi-deux, ANOVA à un facteur).

Ces objectifs suivent la logique habituelle d’une analyse de données : d’abord comprendre les données (structure, valeurs manquantes), ensuite les décrire (une variable à la fois), puis étudier les relations entre variables. Chaque étape prépare la suivante : on ne peut pas interpréter une corrélation sans avoir regardé la forme des variables, ni faire une ANOVA sans avoir vérifié ses conditions.

Comment lire ce rapport. Chaque question est traitée selon la même trame :

l’énoncé de la question ;
un encadré bleu « Pourquoi cette étape ? » qui explique l’utilité de l’analyse ;
le code R commenté et son résultat ;
un encadré vert « Comment lire le résultat » qui explique ce que signifient les nombres affichés ;
la réponse avec l’interprétation ;
un encadré orange « À retenir » qui résume l’idée essentielle.

1.2 Données mobilisées

airquality : 153 mesures quotidiennes de qualité de l’air à New York, de mai à septembre 1973. Variables : Ozone (ppb, moyenne entre 13 h et 15 h), Solar.R (rayonnement solaire, en Langley), Wind (vent moyen, en mph), Temp (température maximale, en °F), Month et Day. Ce jeu est proche des problématiques environnementales de 2iE : l’ozone est un polluant secondaire qui se forme sous l’effet du soleil et de la chaleur.
HairEyeColor : 592 étudiants décrits par la couleur des cheveux, celle des yeux et le sexe. C’est un jeu d’école, idéal pour illustrer le lien entre deux variables qualitatives.

Tous les tests sont menés au risque α = 5 %. Cela signifie que l’on accepte de se tromper, dans 5 % des cas, en concluant à un effet qui n’existe pas.

2 Exercice 1 : Prise en main et importation

Pourquoi commencer par là ? Avant tout calcul, il faut savoir ce que contient le jeu de données : combien de lignes, quelles variables, de quel type, et s’il manque des valeurs. Un statisticien qui saute cette étape risque d’appliquer un test inadapté (par exemple traiter un code de catégorie comme une quantité) ou de tirer des conclusions faussées par des données absentes.

2.1 Question 1 : individus, variables et types

Énoncé : Combien d’individus et de variables ? Quels sont les types de chaque variable ?

data(airquality)      # charge le jeu fourni avec R
glimpse(airquality)   # structure : dimensions, type et premières valeurs de chaque variable

## Rows: 153
## Columns: 6
## $ Ozone   <int> 41, 36, 12, 18, NA, 28, 23, 19, 8, NA, 7, 16, 11, 14, 18, 14, …
## $ Solar.R <int> 190, 118, 149, 313, NA, NA, 299, 99, 19, 194, NA, 256, 290, 27…
## $ Wind    <dbl> 7.4, 8.0, 12.6, 11.5, 14.3, 14.9, 8.6, 13.8, 20.1, 8.6, 6.9, 9…
## $ Temp    <int> 67, 72, 74, 62, 56, 66, 65, 59, 61, 69, 74, 69, 66, 68, 58, 64…
## $ Month   <int> 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,…
## $ Day     <int> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,…

summary(airquality)   # premiers indicateurs : min, quartiles, médiane, moyenne, max, NA

##      Ozone           Solar.R           Wind             Temp      
##  Min.   :  1.00   Min.   :  7.0   Min.   : 1.700   Min.   :56.00  
##  1st Qu.: 18.00   1st Qu.:115.8   1st Qu.: 7.400   1st Qu.:72.00  
##  Median : 31.50   Median :205.0   Median : 9.700   Median :79.00  
##  Mean   : 42.13   Mean   :185.9   Mean   : 9.958   Mean   :77.88  
##  3rd Qu.: 63.25   3rd Qu.:258.8   3rd Qu.:11.500   3rd Qu.:85.00  
##  Max.   :168.00   Max.   :334.0   Max.   :20.700   Max.   :97.00  
##  NAs    :37       NAs    :7                                       
##      Month            Day      
##  Min.   :5.000   Min.   : 1.0  
##  1st Qu.:6.000   1st Qu.: 8.0  
##  Median :7.000   Median :16.0  
##  Mean   :6.993   Mean   :15.8  
##  3rd Qu.:8.000   3rd Qu.:23.0  
##  Max.   :9.000   Max.   :31.0  
##

Comment lire le résultat.

glimpse() donne les dimensions (lignes × colonnes) et, pour chaque variable, son type : <int> pour un entier, <dbl> pour un nombre décimal.
summary() résume chaque variable par cinq nombres (minimum, 1er quartile, médiane, 3e quartile, maximum) et par la moyenne. La ligne NA's compte les valeurs manquantes.

Réponse. Le jeu contient 153 individus (ici, un individu correspond à un jour) et 6 variables, toutes numériques : Wind est décimale, les cinq autres sont entières. Month et Day ne sont pas des mesures : ce sont de simples repères de calendrier.

À retenir. Connaître le type d’une variable détermine ce que l’on a le droit de calculer. Une moyenne de Day n’a aucun sens physique, et Month, bien que numérique, sera recodée en facteur (variable qualitative) à l’exercice 5, car les mois sont des catégories et non des quantités.

2.2 Question 2 : valeurs manquantes

Énoncé : Combien de valeurs manquantes par variable ?

Pourquoi compter les valeurs manquantes ? Dans R, une valeur manquante (NA) « contamine » les calculs : mean(x) renvoie NA dès qu’un seul élément l’est. Il faut donc savoir où elles se trouvent, combien elles sont, et décider comment les traiter. Leur nombre indique aussi combien d’observations on perd réellement dans chaque analyse.

# is.na() renvoie VRAI pour chaque case manquante ; colSums() additionne par colonne
na <- colSums(is.na(airquality))
na

##   Ozone Solar.R    Wind    Temp   Month     Day 
##      37       7       0       0       0       0

Réponse. Il y a 44 valeurs manquantes au total, concentrées sur Ozone (37, soit 24,2 % des jours) et Solar.R (7). Seuls 111 jours sont complets sur les six variables.

Conséquence pratique. Pour chaque calcul, nous utilisons l’option na.rm = TRUE (ignorer les NA) ou use = "complete.obs" (n’utiliser que les lignes complètes). L’effectif utile est alors plus petit que 153 : par exemple 116 mesures d’ozone. Il faut aussi rester prudent : si les mesures manquent pour une raison liée au phénomène étudié (un capteur en panne par temps extrême, par exemple), les résultats peuvent être biaisés. Ici nous supposons que les données manquent de façon sans lien avec les valeurs mesurées.

3 Exercice 2 : Statistique univariée (variable Ozone)

Pourquoi étudier une variable seule ? Avant de relier l’ozone à d’autres variables, il faut connaître son comportement propre : autour de quelles valeurs se situe-t-elle (position), à quel point varie-t-elle (dispersion), et sa distribution est-elle équilibrée ou déformée (forme) ? Ces réponses conditionnent le choix des outils suivants : une distribution très asymétrique invite à utiliser des indicateurs robustes.

3.1 Question 1 : indicateurs de position et de dispersion

Énoncé : Calculer moyenne, médiane, écart-type, quartiles et coefficient de variation.

oz   <- airquality$Ozone
oz_v <- oz[!is.na(oz)]                  # ozone sans les valeurs manquantes

moy <- mean(oz, na.rm = TRUE)           # moyenne : somme des valeurs / effectif
med <- median(oz, na.rm = TRUE)         # médiane : valeur qui coupe l'échantillon en deux moitiés
et  <- sd(oz, na.rm = TRUE)             # écart-type : écart typique à la moyenne
cv  <- et / moy * 100                   # coefficient de variation, en %
q   <- quantile(oz, na.rm = TRUE)       # minimum, Q1, médiane, Q3, maximum

c(moyenne = moy, mediane = med, ecart_type = et, CV_pct = cv)

##    moyenne    mediane ecart_type     CV_pct 
##   42.12931   31.50000   32.98788   78.30151

##     0%    25%    50%    75%   100% 
##   1.00  18.00  31.50  63.25 168.00

Indicateurs descriptifs de l’ozone (ppb)
Indicateur	Valeur
Effectif valide	116
Minimum	1
Q1 (25 %)	18
Médiane	31.5
Moyenne	42,13
Q3 (75 %)	63.25
Maximum	168
Écart-type	32,99
IQR (Q3 − Q1)	45.25
Coefficient de variation	78,3 %

Comment lire chaque indicateur, et à quoi il sert.

Moyenne : le « centre de gravité » des valeurs. Utile pour résumer le niveau général, mais sensible aux valeurs extrêmes : une seule valeur très élevée la tire vers le haut.
Médiane : la valeur qui sépare les 50 % de jours les moins pollués des 50 % les plus pollués. Elle est robuste : elle ne bouge presque pas si une valeur extrême change.
Quartiles Q1 et Q3 : 25 % des jours ont un ozone inférieur à Q1, et 75 % inférieur à Q3. L’IQR (Q3 − Q1) est la largeur de la zone qui contient la moitié centrale des jours : c’est une mesure de dispersion robuste.
Écart-type : l’écart moyen typique entre une valeur et la moyenne, exprimé dans la même unité que la variable (ici en ppb). Il est sensible aux valeurs extrêmes, comme la moyenne.
Coefficient de variation (CV) : l’écart-type rapporté à la moyenne, en pourcentage. Il n’a pas d’unité, ce qui permet de comparer la dispersion de variables mesurées différemment (l’ozone en ppb et le vent en mph, par exemple). Un CV supérieur à environ 30 % est souvent considéré comme le signe d’une forte hétérogénéité (repère indicatif).

Interprétation. Le CV vaut 32,99 / 42,13 = 78,3 % : la variable est très dispersée. La moitié des jours ont un ozone inférieur à 31,5 ppb, et la moitié centrale des jours se situe entre 18 et 63.25 ppb, soit un IQR de 45.25 ppb.

3.2 Question 2 : symétrie de la distribution

Énoncé : La distribution est-elle symétrique ? Comparer moyenne et médiane.

Pourquoi comparer moyenne et médiane ? Dans une distribution parfaitement symétrique, les deux coïncident. Quand elles s’écartent, la distribution est déformée : si la moyenne dépasse la médiane, quelques valeurs très élevées « tirent » la moyenne vers la droite (asymétrie à droite) ; si c’est l’inverse, l’asymétrie est à gauche. Cet écart guide le choix des indicateurs à présenter.

Réponse. Non, la distribution n’est pas symétrique. La moyenne (42,13) dépasse la médiane (31,5) de 10,6 ppb. La distribution est dissymétrique à droite : la plupart des jours ont un ozone modéré, mais quelques jours de forte pollution (maximum 168 ppb) allongent la queue à droite et tirent la moyenne vers le haut sans modifier la médiane.

À retenir. Sur une variable dissymétrique comme l’ozone, la médiane et l’IQR décrivent mieux le jour « habituel » que la moyenne et l’écart-type. C’est exactement le rappel donné dans l’énoncé du TD. En revanche, pour l’ingénieur qui s’intéresse aux pics de pollution, ce sont justement les valeurs élevées qui comptent : il faut alors les regarder pour elles-mêmes.

3.3 Question 3 : histogramme, boîte à moustaches et valeurs atypiques

Énoncé : Tracer l’histogramme et la boîte à moustaches. Repérer les valeurs atypiques.

Pourquoi des graphiques en plus des chiffres ? Les indicateurs résument la distribution en quelques nombres, mais des distributions très différentes peuvent avoir les mêmes moyenne et écart-type. Le graphique montre la forme réelle : asymétrie, plusieurs pics, valeurs isolées. L’histogramme découpe la variable en classes (ici 15) et compte les jours dans chaque classe ; la boîte à moustaches résume les cinq nombres et signale automatiquement les valeurs atypiques.

ggplot(airquality, aes(x = Ozone)) +
  geom_histogram(bins = 15, fill = "#1E7A3D", colour = "white") +   # 15 classes
  geom_vline(xintercept = c(moy, med), linetype = c("dashed", "solid"),
             colour = c("#C00000", "#1F4E79")) +                    # repères moyenne / médiane
  labs(title = "Histogramme de l'ozone",
       subtitle = "Pointillé rouge : moyenne ; trait bleu : médiane",
       x = "Ozone (ppb)", y = "Effectif") +
  theme_minimal()

Distribution de l’ozone (153 jours, 37 valeurs manquantes ignorées).

ggplot(airquality, aes(y = Ozone)) +
  geom_boxplot(fill = "#DEEAF1") +
  labs(title = "Boîte à moustaches de l'ozone", y = "Ozone (ppb)") +
  theme_minimal()

Boîte à moustaches de l’ozone : les points isolés sont les valeurs atypiques (règle de Tukey).

# Seuil de la règle de Tukey : au-delà de Q3 + 1,5 x IQR, une valeur est dite atypique
seuil <- q[[4]] + 1.5 * (q[[4]] - q[[2]])
seuil

## [1] 131.125

sort(oz_v[oz_v > seuil])

## [1] 135 168

Comment lire les graphiques.

Histogramme : plus une barre est haute, plus il y a de jours dans cette classe. Ici, les barres sont hautes à gauche puis décroissent lentement vers la droite : c’est la signature d’une asymétrie à droite. Les deux traits verticaux montrent que la moyenne (rouge) est à droite de la médiane (bleu).
Boîte à moustaches : la boîte va de Q1 à Q3 et contient donc la moitié centrale des jours ; le trait épais est la médiane ; les moustaches s’étendent jusqu’aux valeurs les plus éloignées qui ne sont pas atypiques ; les points isolés sont les valeurs atypiques.
Règle de Tukey : une valeur est atypique si elle dépasse Q3 + 1,5 × IQR (ou est inférieure à Q1 − 1,5 × IQR). Le coefficient 1,5 est une convention : sur une distribution normale, elle ne signale qu’environ 0,7 % des valeurs, donc un point marqué est bien inhabituel.

Interprétation. Le seuil vaut 63.25 + 1,5 × 45.25 = 131,1 ppb. Les jours qui le dépassent sont : 135 et 168 ppb. Une valeur « atypique » n’est pas forcément une erreur : ici, ce sont des épisodes réels de forte pollution. On les conserve, mais on les signale, car ils influencent la moyenne, l’écart-type et la corrélation de Pearson.

4 Exercice 3 : Corrélation entre variables quantitatives

Pourquoi mesurer une corrélation ? Dans un projet d’ingénieur, on cherche souvent à savoir si une grandeur varie avec une autre (l’ozone avec la température, la résistance du béton avec le rapport eau/ciment). La corrélation répond à deux questions : la liaison existe-t-elle, et quelle est son sens et son intensité ? Elle ne dit pas pourquoi les variables sont liées.

4.1 Question 1 : nuage de points

Énoncé : Tracer le nuage de points Temp (abscisse) vs Ozone (ordonnée).

Pourquoi tracer le nuage avant de calculer ? Un coefficient de corrélation résume tout en un seul nombre et peut cacher une relation courbe, deux sous-groupes ou une valeur aberrante. Le nuage de points permet de vérifier que la liaison est plausible et de choisir le bon coefficient. On place la variable explicative (Temp) en abscisse et la variable à expliquer (Ozone) en ordonnée.

ggplot(airquality, aes(Temp, Ozone)) +
  geom_point(colour = "#1F4E79") +                    # un point = un jour
  geom_smooth(method = "lm", colour = "#C00000") +    # droite des moindres carrés + intervalle de confiance
  labs(x = "Température (°F)", y = "Ozone (ppb)",
       title = "Ozone en fonction de la température") +
  theme_minimal()

Nuage de points Ozone vs Température, avec droite de régression et intervalle de confiance à 95 %.

Comment lire le graphique. Chaque point est un jour. La droite rouge est la droite de régression (method = "lm" : modèle linéaire) : c’est la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés. La bande grisée autour d’elle est un intervalle de confiance à 95 % de cette droite. Le nuage monte de gauche à droite : quand la température augmente, l’ozone augmente en moyenne.

Interprétation. La relation est positive. On voit aussi que la dispersion des points augmente avec la température (les jours chauds peuvent avoir un ozone faible ou très élevé) et que la relation est légèrement courbée aux fortes valeurs : la droite décrit donc bien la tendance générale, sans être parfaite.

4.2 Question 2 : corrélation de Pearson et de Spearman

Énoncé : Calculer le coefficient de corrélation de Pearson, puis de Spearman. Commenter l’écart.

Pourquoi deux coefficients ? Ils ne mesurent pas la même chose :

Pearson (r) mesure la force d’une liaison linéaire entre les valeurs. Il est sensible aux valeurs extrêmes.
Spearman (ρ) applique Pearson aux rangs (l’ordre des valeurs) et mesure donc une liaison monotone (qui va toujours dans le même sens, même si elle n’est pas une droite). Il est insensible aux valeurs extrêmes.

Comparer les deux est un test de diagnostic rapide : s’ils sont proches, la relation est bien linéaire ; s’ils diffèrent, la forme de la relation ou des valeurs extrêmes jouent un rôle.

# use = "complete.obs" : on ne garde que les jours où Temp ET Ozone sont renseignés
r_p <- cor(airquality$Temp, airquality$Ozone, use = "complete.obs")                      # Pearson
r_s <- cor(airquality$Temp, airquality$Ozone, use = "complete.obs", method = "spearman") # Spearman
c(Pearson = r_p, Spearman = r_s)

##   Pearson  Spearman 
## 0.6983603 0.7740430

# Test de significativité de la corrélation de Pearson (H0 : la corrélation vraie est nulle)
ct <- cor.test(airquality$Temp, airquality$Ozone)
ct$estimate; ct$conf.int; ct$p.value

##       cor 
## 0.6983603

## [1] 0.5913340 0.7812111
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

## [1] 2.931897e-18

n_paires <- sum(complete.cases(airquality$Temp, airquality$Ozone))
n_paires

## [1] 116

Comment lire les coefficients.

Un coefficient varie entre −1 et +1. Le signe donne le sens (positif : les deux variables évoluent dans le même sens) ; la valeur absolue donne l’intensité (0 : aucune liaison ; 1 : liaison parfaite). Repères indicatifs : moins de 0,3 faible ; de 0,3 à 0,7 modérée ; plus de 0,7 forte.
Le carré de Pearson, r², est la part de variance de l’ozone associée à la température.
cor.test() ajoute un intervalle de confiance à 95 % pour r et une p-valeur. Si la p-valeur est inférieure à 0,05, la corrélation est significativement différente de zéro.

Résultats. Sur 116 jours avec les deux mesures, Pearson vaut 0,698 et Spearman 0,774. L’intervalle de confiance à 95 % de r est [0,59 ; 0,78] et la p-valeur est < 0,001 : la corrélation est significative.

Commentaire de l’écart. Spearman (0,77) est supérieur à Pearson (0,70). Cela s’explique par deux phénomènes vus sur le nuage : la relation est monotone mais pas parfaitement linéaire (l’ozone croît plus vite aux fortes températures), et les valeurs extrêmes d’ozone affaiblissent Pearson alors que Spearman, calculé sur les rangs, n’y est pas sensible. La température seule est associée à environ 49 % de la variance de l’ozone (r² = 0,49) : c’est beaucoup, mais il reste la moitié à expliquer par d’autres facteurs (vent, ensoleillement, etc.).

À retenir. Une forte corrélation ne prouve pas que la température cause l’ozone. Ici l’explication physique existe (la chaleur et le soleil favorisent les réactions photochimiques), mais elle vient de la connaissance du domaine, pas du coefficient.

4.3 Question 3 : matrice de corrélation

Énoncé : Construire la matrice de corrélation des variables quantitatives et l’interpréter.

Pourquoi une matrice ? Elle donne d’un seul coup d’œil toutes les corrélations deux à deux. C’est un premier balayage pour repérer les variables les plus liées à la variable à expliquer, et aussi les variables liées entre elles, ce qui compte plus tard en régression (problème de colinéarité, TD4).

mat <- cor(airquality[, 1:4], use = "complete.obs")   # Ozone, Solar.R, Wind, Temp
kable(round(mat, 3), caption = "Matrice de corrélation de Pearson (jours complets)")

Matrice de corrélation de Pearson (jours complets)
	Ozone	Solar.R	Wind	Temp
Ozone	1.000	0.348	-0.612	0.699
Solar.R	0.348	1.000	-0.127	0.294
Wind	-0.612	-0.127	1.000	-0.497
Temp	0.699	0.294	-0.497	1.000

n_mat <- sum(complete.cases(airquality[, 1:4]))
n_mat

## [1] 111

Comment lire la matrice. Chaque case est la corrélation entre la variable de la ligne et celle de la colonne. La diagonale vaut toujours 1 (une variable est parfaitement corrélée avec elle-même) et la matrice est symétrique. Ici, use = "complete.obs" retire toute ligne contenant au moins un NA : la matrice repose donc sur 111 jours, ce qui explique une différence minime avec la valeur de la question 2 (calculée sur 116 jours).

Interprétation.

L’ozone est fortement lié à la température (0,70) : chaleur et ozone montent ensemble.
L’ozone est fortement et négativement lié au vent (-0,61) : un vent fort disperse le polluant, donc l’ozone baisse.
L’ozone est plus faiblement lié au rayonnement solaire (0,35) : le soleil intervient dans la formation de l’ozone, mais son effet est moins direct que celui de la température.
Le vent est lui-même négativement corrélé à la température (-0,50) : les jours chauds sont souvent calmes. Les effets du vent et de la température sont donc entremêlés, et une seule corrélation deux à deux ne suffit pas pour les séparer. C’est l’objet de la régression multiple (TD4).

5 Exercice 4 : Test du khi-deux d’indépendance

Pourquoi un test du khi-deux ? La corrélation ne s’applique qu’à des variables quantitatives. Pour deux variables qualitatives (couleur des cheveux et couleur des yeux), on compare le tableau des effectifs observés à celui que l’on obtiendrait si les deux variables n’avaient aucun lien. Plus l’écart est grand, plus il est difficile de soutenir qu’elles sont indépendantes.

5.1 Question 1 : tableau de contingence

Énoncé : Construire le tableau de contingence cheveux × yeux.

# HairEyeColor a 3 dimensions (cheveux, yeux, sexe) ; on somme sur le sexe
# pour ne garder que le croisement cheveux x yeux
tab <- margin.table(HairEyeColor, c(1, 2))
tab

##        Eye
## Hair    Brown Blue Hazel Green
##   Black    68   20    15     5
##   Brown   119   84    54    29
##   Red      26   17    14    14
##   Blond     7   94    10    16

Effectifs observés avec marges (totaux par ligne et par colonne)
	Brown	Blue	Hazel	Green	Sum
Black	68	20	15	5	108
Brown	119	84	54	29	286
Red	26	17	14	14	71
Blond	7	94	10	16	127
Sum	220	215	93	64	592

Comment lire le tableau. Chaque case donne le nombre d’étudiants ayant à la fois une couleur de cheveux (ligne) et une couleur d’yeux (colonne). Les marges (totaux) donnent la répartition de chaque variable prise seule : par exemple 127 étudiants blonds sur 592. Ce sont elles qui servent à calculer ce que l’on attendrait sous l’indépendance.

5.2 Question 2 : le test du khi-deux

Énoncé : Appliquer le test du khi-deux. Lire la statistique, les degrés de liberté et la p-valeur.

Comment fonctionne le test.

On pose H₀ : les deux variables sont indépendantes (la couleur des yeux ne dépend pas de celle des cheveux) contre H₁ : elles sont liées.
Sous H₀, l’effectif attendu d’une case est : (total de la ligne × total de la colonne) / total général. Par exemple, pour « blond / yeux bleus » : 127 × 215 / 592 = 46,1.
La statistique χ² additionne, sur toutes les cases, l’écart au carré entre observé et attendu, rapporté à l’attendu : χ² = Σ (observé − attendu)² / attendu. Elle vaut 0 si les effectifs observés sont exactement ceux attendus, et grandit avec l’écart.
On compare χ² à sa loi théorique, la loi du khi-deux à ddl = (nombre de lignes − 1) × (nombre de colonnes − 1) degrés de liberté. La p-valeur est la probabilité d’obtenir un écart au moins aussi grand si H₀ était vraie.

chi <- chisq.test(tab)
chi

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab
## X-squared = 138.29, df = 9, p-value < 2.2e-16

round(chi$expected, 2)   # effectifs théoriques (attendus sous H0)

##        Eye
## Hair     Brown   Blue Hazel Green
##   Black  40.14  39.22 16.97 11.68
##   Brown 106.28 103.87 44.93 30.92
##   Red    26.39  25.79 11.15  7.68
##   Blond  47.20  46.12 19.95 13.73

round(chi$stdres, 1)     # résidus standardisés : écart de chaque case, en écarts-types

##        Eye
## Hair    Brown Blue Hazel Green
##   Black   6.1 -4.3  -0.6  -2.3
##   Brown   2.2 -3.4   2.1  -0.5
##   Red    -0.1 -2.3   1.0   2.6
##   Blond  -8.3 10.0  -2.7   0.7

# V de Cramér : intensité de la liaison, entre 0 (aucune) et 1 (parfaite)
V <- sqrt(chi$statistic / (sum(tab) * (min(dim(tab)) - 1)))
V

## X-squared 
## 0.2790446

Comment lire la sortie.

X-squared : la statistique χ². df : les degrés de liberté. p-value : la probabilité décrite ci-dessus. R écrit < 2.2e-16 quand elle est trop petite pour être affichée.
Les résidus standardisés indiquent où se situe la dépendance : une valeur supérieure à 2 en valeur absolue signale une case où l’écart est significatif. Un résidu positif indique un excès d’effectif (plus d’étudiants que prévu), un résidu négatif un déficit.
Le V de Cramér mesure l’intensité de la liaison, là où la p-valeur indique seulement si elle existe. Avec un grand échantillon (592 individus), même une liaison faible peut être significative : c’est pourquoi on calcule V.

Lecture des résultats. χ² = 138,29, ddl = 9 [(4 − 1) × (4 − 1)] et p-valeur < 0,001. Les résidus standardisés les plus forts concernent les blonds : 10,0 pour « blond / yeux bleus » (excès) et -8,3 pour « blond / yeux marron » (déficit).

5.3 Question 3 : conclusion et condition de validité

Énoncé : Conclure sur l’indépendance au risque de 5 %. La condition de validité est-elle respectée ?

Conclusion. La p-valeur est très inférieure à 0,05 : on rejette H₀. Au risque de 5 %, la couleur des cheveux et celle des yeux sont liées. La dépendance vient surtout des blonds : 94 blonds aux yeux bleus observés contre 46,1 attendus, et seulement 7 blonds aux yeux marron contre 47,2 attendus. Le V de Cramér (0,28) indique une liaison d’intensité modérée : le lien est réel, mais la couleur des cheveux ne détermine pas entièrement celle des yeux.

Pourquoi vérifier une condition de validité ? La loi du χ² n’est qu’une approximation, correcte seulement si les effectifs attendus ne sont pas trop petits. La règle usuelle exige que tous les effectifs théoriques soient supérieurs ou égaux à 5. Si ce n’est pas le cas, la p-valeur n’est pas fiable, et il faut regrouper des modalités ou utiliser un test exact (Fisher).

Vérification. Le plus petit effectif théorique vaut 7,68 (case « cheveux roux / yeux verts »), donc supérieur à 5 : la condition est respectée et la conclusion est fiable.

À retenir. Le test du khi-deux répond à « y a-t-il un lien ? » ; le V de Cramér répond à « le lien est-il fort ? » ; les résidus standardisés répondent à « où est le lien ? ». Un rapport complet donne les trois.

6 Exercice 5 : ANOVA à un facteur (effet du mois sur la température)

Pourquoi une ANOVA ? On veut savoir si la température moyenne diffère d’un mois à l’autre. Avec deux groupes, un test t suffirait. Avec cinq mois, il faudrait faire 10 comparaisons deux à deux, et chaque test comporte un risque d’erreur de 5 % : le risque d’obtenir au moins une fausse conclusion monte alors à environ 40 %. L’ANOVA teste d’un seul coup l’hypothèse que les cinq moyennes sont égales, en gardant le risque global à 5 %.

6.1 Question 1 : facteur et boîtes à moustaches

Énoncé : Transformer Month en facteur. Tracer des boîtes à moustaches de Temp par mois.

Pourquoi transformer Month en facteur ? Pour R, Month est un nombre (5 à 9). Traité ainsi, un modèle chercherait un effet proportionnel au numéro du mois (une droite). Or on veut comparer cinq groupes indépendamment les uns des autres : il faut donc déclarer Month comme variable qualitative (facteur). Ici, on lui donne aussi les noms des mois pour des graphiques lisibles.

airquality$Month <- factor(airquality$Month, levels = 5:9,
                           labels = c("Mai", "Juin", "Juillet", "Août", "Sept."))

ggplot(airquality, aes(Month, Temp)) +
  geom_boxplot(fill = "#E2EFDA", colour = "#1E7A3D") +
  labs(x = "Mois (1973)", y = "Température (°F)",
       title = "Température maximale journalière par mois") +
  theme_minimal()

Température maximale journalière selon le mois (mai à septembre 1973).

Température par mois (°F)
Mois	Effectif	Moyenne	Écart-type	Médiane
Mai	31	65.5	6.9	66
Juin	30	79.1	6.6	78
Juillet	31	83.9	4.3	84
Août	31	84.0	6.6	82
Sept.	30	76.9	8.4	76

Interprétation. Les médianes augmentent de mai à juillet-août, puis diminuent en septembre. Mai est nettement le mois le plus frais ; juillet et août sont les plus chauds. Les boîtes de mai et de juillet-août ne se chevauchent presque pas, ce qui annonce une différence significative. Les dispersions sont comparables, sauf en septembre (écart-type le plus élevé) et en juillet (le plus faible), ce que l’on vérifiera avec le test de Bartlett.

6.2 Question 2 : ANOVA, comparaisons multiples et hypothèses

Énoncé : Réaliser l’ANOVA à un facteur. Lire la statistique de Fisher et la p-valeur.

Le principe de l’ANOVA. La variabilité totale des températures se décompose en deux parties :

la variabilité entre les mois (SCE inter) : les moyennes mensuelles s’écartent-elles de la moyenne générale ?
la variabilité à l’intérieur des mois (SCE intra, ou résiduelle) : les jours d’un même mois s’écartent-ils de la moyenne de leur mois ?

La statistique de Fisher est le rapport des deux, chacune divisée par ses degrés de liberté : F = carré moyen inter / carré moyen intra. Si les mois n’avaient aucun effet, ce rapport serait proche de 1. Plus F est grand, plus les différences entre mois dominent celles à l’intérieur des mois.

mod <- aov(Temp ~ Month, data = airquality)   # modèle : la température dépend du mois
res <- summary(mod)
res

##              Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
## Month         4   7061  1765.3   39.85 <2e-16 ***
## Residuals   148   6557    44.3                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# Extraction des éléments de la table d'ANOVA
ddl_a <- res[[1]][["Df"]]
ss    <- res[[1]][["Sum Sq"]]
Fobs  <- res[[1]][["F value"]][1]
pval  <- res[[1]][["Pr(>F)"]][1]
eta2  <- ss[1] / sum(ss)          # part de la variance totale expliquée par le mois
c(F = Fobs, p = pval, eta2 = eta2)

##            F            p         eta2 
## 3.984619e+01 1.276565e-22 5.185188e-01

Comment lire la table.

Df : degrés de liberté. Inter : 5 mois − 1 = 4. Intra : 153 jours − 5 mois = 148.
Sum Sq : sommes des carrés (SCE inter = 7061,1 ; SCE intra = 6556,8). Mean Sq : sommes des carrés divisées par les ddl.
F value : le rapport des deux carrés moyens. Pr(>F) : la p-valeur, c’est-à-dire la probabilité d’obtenir un F au moins aussi grand si les cinq moyennes étaient égales.
η² (êta carré) = SCE inter / SCE totale : la part de la variance de la température expliquée par le mois. Repères indicatifs : 0,01 petit effet, 0,06 effet moyen, 0,14 grand effet.

Lecture. F(4 ; 148) = 39,85, p-valeur < 0,001. Le mois explique η² = 52 % de la variance de la température : c’est un effet très important.

6.2.1 Comparaisons multiples de Tukey

Pourquoi un test post-hoc ? L’ANOVA répond seulement à « au moins un mois diffère des autres ». Elle ne dit pas lesquels. Le test de Tukey compare tous les couples de mois en ajustant les p-valeurs pour tenir compte du nombre de comparaisons (ce qui évite le risque cumulé vu plus haut).

tk <- as.data.frame(TukeyHSD(mod)$Month)
tk$Décision <- ifelse(tk$`p adj` < 0.05, "Différent", "Non différent")
kable(tk, digits = 3,
      col.names = c("Différence", "IC inf.", "IC sup.", "p ajustée", "Décision"),
      caption = "Comparaisons multiples de Tukey (°F)")

Comparaisons multiples de Tukey (°F)
	Différence	IC inf.	IC sup.	p ajustée	Décision
Juin-Mai	13.552	8.844	18.259	0.000	Différent
Juillet-Mai	18.355	13.686	23.024	0.000	Différent
Août-Mai	18.419	13.750	23.088	0.000	Différent
Sept.-Mai	11.352	6.644	16.059	0.000	Différent
Juillet-Juin	4.803	0.095	9.511	0.043	Différent
Août-Juin	4.868	0.160	9.575	0.039	Différent
Sept.-Juin	-2.200	-6.946	2.546	0.704	Non différent
Août-Juillet	0.065	-4.604	4.734	1.000	Non différent
Sept.-Juillet	-7.003	-11.711	-2.295	0.001	Différent
Sept.-Août	-7.068	-11.775	-2.360	0.001	Différent

Comment lire le tableau. Chaque ligne compare deux mois (par exemple « Juin-Mai » : moyenne de juin moins moyenne de mai). La colonne Différence donne l’écart de moyennes en °F ; l’intervalle de confiance à 95 % de cet écart est donné à côté ; la p ajustée est la p-valeur corrigée pour les 10 comparaisons. Si l’intervalle de confiance ne contient pas 0 (ou si p ajustée < 0,05), les deux mois sont significativement différents.

Interprétation. Les mois se regroupent en trois niveaux :

mai est le plus frais et diffère de tous les autres mois ;
juin et septembre ne sont pas significativement différents l’un de l’autre ;
juillet et août sont les plus chauds et ne sont pas différents entre eux. Juin se distingue de justesse de juillet et d’août (p ≈ 0,04), et septembre est plus frais que juillet et août.

C’est cohérent avec la saison : la température monte de mai à l’été, puis redescend en septembre.

6.2.2 Vérification des hypothèses et tests robustes

Pourquoi vérifier les hypothèses ? La p-valeur de l’ANOVA n’est exacte que si trois conditions sont remplies :

Normalité des résidus (les écarts à la moyenne de chaque mois suivent une loi normale) → test de Shapiro-Wilk et diagramme quantile-quantile.
Homogénéité des variances (la dispersion est la même dans tous les mois) → test de Bartlett.
Indépendance des observations → liée au plan d’étude (voir la remarque plus bas).

Pour ces tests d’hypothèses, l’hypothèse nulle est que la condition est vérifiée : une p-valeur inférieure à 0,05 signale donc un problème. On ajoute deux tests robustes, qui ne dépendent pas de ces conditions : celui de Welch (accepte des variances inégales) et celui de Kruskal-Wallis (test non paramétrique sur les rangs, sans hypothèse de normalité). Si tous conduisent à la même conclusion, celle-ci est solide.

sh <- shapiro.test(residuals(mod))                     # normalité des résidus
ba <- bartlett.test(Temp ~ Month, data = airquality)   # homogénéité des variances
we <- oneway.test(Temp ~ Month, data = airquality)     # Welch : variances non supposées égales
kw <- kruskal.test(Temp ~ Month, data = airquality)    # non paramétrique
sh; ba; we; kw

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(mod)
## W = 0.98249, p-value = 0.0491

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  Temp by Month
## Bartlett's K-squared = 12.023, df = 4, p-value = 0.01718

## 
##  One-way analysis of means (not assuming equal variances)
## 
## data:  Temp and Month
## F = 43.3, num df = 4.00, denom df = 72.62, p-value < 2.2e-16

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  Temp by Month
## Kruskal-Wallis chi-squared = 73.328, df = 4, p-value = 4.496e-15

Tests de validité et tests robustes
	Test	Question	Statistique	p-valeur
W	Shapiro-Wilk	Résidus normaux ?	0,982	0,049
Bartlett’s K-squared	Bartlett	Variances égales ?	12,02	0,017
F	Welch	Moyennes égales (variances inégales) ?	43,3	< 0,001
Kruskal-Wallis chi-squared	Kruskal-Wallis	Distributions identiques ?	73,33	< 0,001

Graphiques de diagnostic des résidus :

par(mfrow = c(1, 2))

# Gauche : résidus vs valeurs ajustées (la dispersion doit être à peu près constante)
plot(fitted(mod), residuals(mod),
     main = "Résidus vs valeurs ajustées",
     xlab = "Valeurs ajustées (°F)", ylab = "Résidus (°F)", pch = 19, col = "#1F4E79")
abline(h = 0, lty = 2, col = "#C00000")

# Droite : diagramme quantile-quantile (les points doivent suivre la droite)
qqnorm(residuals(mod),
       main = "Normalité des résidus (ANOVA Temp ~ Mois)",
       xlab = "Quantiles théoriques", ylab = "Quantiles des résidus (°F)", pch = 19, col = "#1F4E79")
qqline(residuals(mod), lty = 2, col = "#C00000")

Diagnostics du modèle ANOVA : résidus contre valeurs ajustées (gauche) et diagramme quantile-quantile des résidus (droite).

par(mfrow = c(1, 1))

Comment lire les diagnostics.

Diagramme quantile-quantile (graphique de droite) : si les résidus suivent une loi normale, les points se placent sur la droite en pointillé. Ici, l’alignement est bon avec un léger écart en queue haute : la normalité est limite mais acceptable, ce qui rejoint la p-valeur de Shapiro (0,049, juste sous 0,05).
Résidus contre valeurs ajustées (graphique de gauche) : on cherche une dispersion verticale à peu près constante d’un groupe à l’autre. Une différence marquée signale des variances inégales, ce que confirme Bartlett (p = 0,017).

Remarque sur l’indépendance. Les températures de jours consécutifs sont en réalité corrélées (une journée chaude est souvent suivie d’une autre journée chaude). L’hypothèse d’indépendance n’est donc qu’approximativement respectée. Cela n’invalide pas la différence entre mois, très marquée, mais c’est une limite à mentionner.

6.3 Question 3 : conclusion

Énoncé : Conclure : les températures moyennes diffèrent-elles selon les mois ?

Conclusion. Oui. Au risque de 5 %, la température moyenne diffère significativement selon les mois (F = 39,85 ; p < 0,001 ; η² = 52 %). Les hypothèses sont à la limite (Shapiro p = 0,049 ; Bartlett p = 0,017), mais :

l’ANOVA est réputée robuste à de faibles écarts à ces conditions lorsque les groupes ont des tailles voisines (ici 30 ou 31 jours par mois) ;
le test de Welch (F = 43,3, p < 0,001) et celui de Kruskal-Wallis (p < 0,001) conduisent à la même décision.

La conclusion ne dépend donc pas des hypothèses de l’ANOVA classique : elle est solide.

À retenir. La démarche complète d’une ANOVA est : (1) visualiser, (2) tester l’effet global avec F, (3) localiser les différences avec un test post-hoc, (4) vérifier les hypothèses, (5) confirmer avec des tests robustes si elles sont douteuses, (6) quantifier l’effet avec η².

7 Partie théorique : le khi-deux à la main

Pourquoi refaire le calcul à la main ? Un logiciel donne un résultat, mais seul le calcul manuel montre d’où il vient. Refaire chaque étape permet de comprendre ce que chaque nombre mesure, et de repérer une erreur si le résultat de R surprend. Ici, on reprend le test d’indépendance sur un petit tableau de 100 ménages : « accès à l’eau potable » selon la « zone » (urbaine ou rurale).

m <- matrix(c(40, 10, 20, 30), nrow = 2,
            dimnames = list(Acces = c("oui", "non"), Zone = c("Urbaine", "Rurale")))
kable(addmargins(m), caption = "Effectifs observés (n = 100 ménages)")

Effectifs observés (n = 100 ménages)
	Urbaine	Rurale	Sum
oui	40	20	60
non	10	30	40
Sum	50	50	100

7.1 Question 1 : effectifs théoriques

Énoncé : Calculer les effectifs théoriques n̂ₖₗ = nₖ• · n•ₗ / n sous l’hypothèse d’indépendance.

Raisonnement. Si l’accès à l’eau était indépendant de la zone, la proportion de ménages avec accès serait la même partout, égale à la proportion générale : 60 / 100 = 60 %. Dans une zone de 50 ménages, on attendrait donc 60 % × 50 = 30 ménages avec accès. C’est exactement ce que donne la formule (60 × 50) / 100.

# outer() calcule tous les produits (total ligne x total colonne) ; on divise par n
E <- outer(rowSums(m), colSums(m)) / sum(m)
E

##     Urbaine Rurale
## oui      30     30
## non      20     20

Réponse. Les effectifs théoriques sont 30 et 30 pour « accès : oui » (urbaine et rurale) et 20 et 20 pour « accès : non ». Tous sont supérieurs à 5 : la condition de validité du test est respectée.

7.2 Question 2 : statistique du khi-deux et degrés de liberté

Énoncé : En déduire la statistique χ² = Σ (nₖₗ − n̂ₖₗ)² / n̂ₖₗ et son nombre de degrés de liberté.

contrib <- (m - E)^2 / E     # contribution de chaque case
contrib

##      Zone
## Acces  Urbaine   Rurale
##   oui 3.333333 3.333333
##   non 5.000000 5.000000

chi2 <- sum(contrib)         # somme des contributions
ddl  <- (nrow(m) - 1) * (ncol(m) - 1)
c(chi2 = chi2, ddl = ddl)

##     chi2      ddl 
## 16.66667  1.00000

Comment lire le calcul. Chaque case apporte une contribution : (observé − théorique)² / théorique. Le carré évite que les écarts positifs et négatifs s’annulent ; la division par l’effectif théorique donne un poids relatif (un écart de 10 compte davantage sur un effectif attendu de 20 que de 30). Ici : (40 − 30)² / 30 = 3,33 ; (20 − 30)² / 30 = 3,33 ; (10 − 20)² / 20 = 5 ; (30 − 20)² / 20 = 5.

Les degrés de liberté représentent le nombre de cases que l’on peut remplir librement une fois les totaux imposés : dans un tableau 2 × 2, une seule case suffit à déterminer les trois autres, donc ddl = (2 − 1) × (2 − 1) = 1.

Réponse. χ² = 3,33 + 3,33 + 5 + 5 = 16,67, avec ddl = 1.

7.3 Question 3 : décision et vérification sous R

Énoncé : Le quantile théorique à 5 % pour 1 ddl vaut 3,84. Conclure, puis vérifier avec chisq.test.

D’où vient 3,84 ? C’est la valeur critique : le seuil que le χ² à 1 ddl dépasse dans seulement 5 % des cas si H₀ est vraie. Si notre χ² calculé dépasse ce seuil, l’écart observé est trop grand pour être attribué au hasard, et on rejette l’indépendance. C’est la même décision que « p-valeur < 0,05 », vue depuis l’autre côté.

qchisq(0.95, df = 1)                 # valeur critique à 5 % pour 1 ddl

## [1] 3.841459

chisq.test(m, correct = FALSE)       # sans correction : coïncide avec le calcul à la main

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  m
## X-squared = 16.667, df = 1, p-value = 4.456e-05

chisq.test(m)                        # avec correction de Yates (défaut de R pour un tableau 2 x 2)

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  m
## X-squared = 15.042, df = 1, p-value = 0.0001052

Pourquoi deux résultats différents ? Pour un tableau 2 × 2, R applique par défaut la correction de continuité de Yates, qui réduit légèrement le χ² pour compenser le fait qu’une loi continue (le khi-deux) approche des effectifs discrets. Le calcul à la main correspond à la version sans correction (correct = FALSE). Les deux versions mènent ici à la même décision.

Conclusion. Comme 16,67 > 3,84, on rejette l’indépendance au risque de 5 % : l’accès à l’eau potable dépend de la zone. La proportion de ménages avec accès est de 80,0 % en zone urbaine contre 40,0 % en zone rurale. Le calcul manuel est confirmé par R (χ² = 16,67, p < 0,001). Avec la correction de Yates, χ² = 15,04. L’intensité de la liaison, mesurée par le coefficient φ = √(χ² / n) = 0,41, est forte.

À retenir. Ce résultat a une portée pratique pour l’ingénieur : l’écart d’accès entre zones urbaine et rurale est trop grand pour être dû au hasard, ce qui justifie de cibler les investissements en adduction d’eau vers les zones rurales.

8 Conclusion générale

Ce TD a permis de parcourir une démarche complète d’analyse : comprendre les données, décrire une variable, puis mesurer des liaisons entre variables, en vérifiant à chaque fois les conditions de validité.

Étape	Outil	Question posée	Résultat principal
Exercice 1	`glimpse`, `is.na`	Que contiennent les données ?	153 jours, 6 variables, 44 valeurs manquantes
Exercice 2	Moyenne, médiane, CV, boîte	Comment se distribue l’ozone ?	Asymétrique à droite, très dispersé
Exercice 3	Pearson, Spearman	L’ozone dépend-il de la température ?	Liaison positive forte (r ≈ 0,70)
Exercice 4	Khi-deux	Cheveux et yeux sont-ils liés ?	Oui, liaison modérée
Exercice 5	ANOVA, Tukey	La température varie-t-elle selon le mois ?	Oui, 3 niveaux, η² ≈ 52 %
Théorie	Khi-deux manuel	L’accès à l’eau dépend-il de la zone ?	Oui, χ² = 16,67

Trois enseignements de méthode.

Regarder avant de calculer : un graphique révèle ce qu’un indicateur cache (asymétrie, valeurs atypiques, courbure).
Choisir l’outil selon le type de variable : corrélation pour deux variables quantitatives, khi-deux pour deux qualitatives, ANOVA pour une quantitative selon une qualitative.
Distinguer significativité et intensité : une p-valeur dit si un effet existe, une mesure d’effet (r, V de Cramér, η²) dit s’il est important.

Limites. Les analyses portent sur les données disponibles (116 mesures d’ozone ; 111 jours complets pour la matrice de corrélation). Les données couvrent une seule saison (1973, New York) : les résultats décrivent cet échantillon et ne se généralisent pas sans précaution. Une corrélation ou une association ne prouve pas une relation de cause à effet. Enfin, les mesures journalières successives ne sont pas indépendantes, ce qui limite la portée stricte des tests.

9 Glossaire des notions utilisées

Écart-type : dispersion moyenne des valeurs autour de la moyenne.
Quartiles / IQR : valeurs qui coupent l’échantillon en quatre parts égales ; l’IQR est l’écart Q3 − Q1.
Valeur atypique : valeur très éloignée des autres (règle de Tukey : au-delà de 1,5 × IQR des quartiles).
Corrélation : mesure de la force et du sens d’une liaison entre deux variables quantitatives.
Hypothèse nulle (H₀) : hypothèse d’absence d’effet, que le test cherche à réfuter.
p-valeur : probabilité d’observer un résultat au moins aussi extrême si H₀ est vraie ; petite, elle conduit à rejeter H₀.
Risque α : probabilité acceptée de rejeter H₀ à tort (ici 5 %).
Degrés de liberté (ddl) : nombre de valeurs pouvant varier librement une fois les contraintes imposées.
Effectif théorique : effectif attendu dans une case si les variables étaient indépendantes.
Résidu : écart entre une observation et la valeur prédite par le modèle.
η², V de Cramér : mesures d’intensité d’un effet (ANOVA, khi-deux), complémentaires de la p-valeur.
Test post-hoc : test de comparaisons deux à deux réalisé après une ANOVA significative.

10 Reproductibilité

Version de R et des packages utilisés pour produire ce rapport :

sessionInfo()

## R version 4.6.1 (2026-06-24 ucrt)
## Platform: x86_64-w64-mingw32/x64
## Running under: Windows 11 x64 (build 22631)
## 
## Matrix products: default
##   LAPACK version 3.12.1
## 
## locale:
## [1] LC_COLLATE=French_France.utf8  LC_CTYPE=French_France.utf8   
## [3] LC_MONETARY=French_France.utf8 LC_NUMERIC=C                  
## [5] LC_TIME=French_France.utf8    
## 
## time zone: Etc/UTC
## tzcode source: internal
## 
## attached base packages:
## [1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     
## 
## other attached packages:
##  [1] knitr_1.52      lubridate_1.9.5 forcats_1.0.1   stringr_1.6.0  
##  [5] dplyr_1.2.1     purrr_1.2.2     readr_2.2.0     tidyr_1.3.2    
##  [9] tibble_3.3.1    ggplot2_4.0.3   tidyverse_2.0.0
## 
## loaded via a namespace (and not attached):
##  [1] Matrix_1.7-5       gtable_0.3.6       jsonlite_2.0.0     compiler_4.6.1    
##  [5] tidyselect_1.2.1   jquerylib_0.1.4    splines_4.6.1      scales_1.4.0      
##  [9] yaml_2.3.12        fastmap_1.2.0      lattice_0.22-9     R6_2.6.1          
## [13] labeling_0.4.3     generics_0.1.4     bslib_0.12.0       pillar_1.11.1     
## [17] RColorBrewer_1.1-3 tzdb_0.5.0         rlang_1.3.0        stringi_1.8.9     
## [21] cachem_1.1.0       xfun_0.61          sass_0.4.10        S7_0.2.2          
## [25] otel_0.2.0         timechange_0.4.0   cli_3.6.6          mgcv_1.9-4        
## [29] withr_3.0.3        magrittr_2.0.5     digest_0.6.39      grid_4.6.1        
## [33] rstudioapi_0.19.0  hms_1.1.4          nlme_3.1-169       lifecycle_1.0.5   
## [37] vctrs_0.7.3        evaluate_1.0.5     glue_1.8.1         farver_2.1.2      
## [41] rmarkdown_2.32     tools_4.6.1        pkgconfig_2.0.3    htmltools_0.5.9

TD1 : Initiation à R et statistique descriptive

STI812, Statistique et analyse de données, Master S8 GC-BTP : version commentée et détaillée

BERTE MOHAMED Z

30/09/2026