1 Pendahuluan

Indeks Pembangunan Manusia (IPM) Provinsi Jawa Barat menunjukkan tren peningkatan dari tahun ke tahun. Karena data ini bersifat runtun waktu (time series), terdapat kemungkinan pelanggaran asumsi non-autokorelasi pada model regresi linear sederhana. Laporan ini menyajikan proses pemodelan regresi awal, pendeteksian autokorelasi melalui uji Durbin-Watson, serta penanganannya menggunakan metode Hildreth-Lu.

2 Memuat Library

Package lmtest digunakan untuk melakukan uji Durbin-Watson.

library(lmtest)

3 Menyiapkan Data

Data yang digunakan adalah nilai IPM Jawa Barat selama 12 periode pengamatan (2010-2021), dengan variabel X sebagai indeks waktu dan Y sebagai nilai IPM.

tahun <- 1:12
ipm <- c(66.98, 67.33, 68.25, 68.80, 69.50, 70.05,
         70.40, 70.66, 71.30, 71.70, 72.09, 72.45)

data_ipm <- data.frame(X = tahun, Y = ipm)
data_ipm
##     X     Y
## 1   1 66.98
## 2   2 67.33
## 3   3 68.25
## 4   4 68.80
## 5   5 69.50
## 6   6 70.05
## 7   7 70.40
## 8   8 70.66
## 9   9 71.30
## 10 10 71.70
## 11 11 72.09
## 12 12 72.45

4 Pemodelan Regresi Linear Sederhana Awal (OLS)

Model regresi awal dibentuk menggunakan metode Ordinary Least Squares (OLS) dengan Y sebagai variabel terikat dan X sebagai variabel bebas.

model <- lm(Y ~ X, data = data_ipm)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X, data = data_ipm)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.37146 -0.15009  0.01583  0.11883  0.34169 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 66.69803    0.14237  468.50  < 2e-16 ***
## X            0.50171    0.01934   25.94 1.67e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2313 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9854, Adjusted R-squared:  0.9839 
## F-statistic: 672.7 on 1 and 10 DF,  p-value: 1.669e-10

Berdasarkan ringkasan model, dapat dilihat nilai koefisien intersep dan slope beserta signifikansinya, yang menjadi dasar untuk pemeriksaan asumsi selanjutnya.

5 Deteksi Autokorelasi dengan Uji Durbin-Watson

Uji Durbin-Watson digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya autokorelasi pada residual model. Hipotesis yang diuji adalah \(H_0\): tidak ada autokorelasi positif, melawan \(H_1\): terdapat autokorelasi positif.

dw_awal <- dwtest(model)
dw_awal
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 0.72034, p-value = 0.0008403
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

6 Penanganan Autokorelasi dengan Metode Hildreth-Lu

Metode Hildreth-Lu menangani autokorelasi dengan melakukan transformasi data berdasarkan nilai koefisien autokorelasi (\(\rho\)) yang meminimumkan Sum of Squared Errors (SSE), melalui pendekatan grid search.

6.1 Fungsi Transformasi Hildreth-Lu

hildreth.lu <- function(rho, model) {
  x <- model.matrix(model)[, -1]
  y <- model.response(model.frame(model))
  n <- length(y)
  t <- 2:n
  y_t <- y[t] - rho * y[t - 1]
  x_t <- x[t] - rho * x[t - 1]
  return(lm(y_t ~ x_t))
}

6.2 Grid Search Nilai Rho Optimum

Pencarian nilai \(\rho\) dilakukan pada rentang 0.01 sampai 0.99 dengan interval 0.01. Nilai \(\rho\) optimum dipilih berdasarkan SSE terkecil.

rho_seq <- seq(0.01, 0.99, by = 0.01)
sse_val <- sapply(rho_seq, function(r) deviance(hildreth.lu(r, model)))
tab_hl <- data.frame(rho = rho_seq, SSE = sse_val)

opt_rho <- tab_hl$rho[which.min(tab_hl$SSE)]
cat("Nilai rho optimum terpilih:", opt_rho, "\n")
## Nilai rho optimum terpilih: 0.68
plot(tab_hl$rho, tab_hl$SSE, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     xlab = expression(rho), ylab = "SSE",
     main = "Grafik SSE terhadap Nilai Rho")
abline(v = opt_rho, col = "red", lty = 2)

Nilai \(\rho\) optimum yang diperoleh adalah 0.68, yang selanjutnya digunakan untuk membentuk model transformasi akhir.

6.3 Model Akhir Setelah Transformasi Hildreth-Lu

model_hl <- hildreth.lu(opt_rho, model)
summary(model_hl)
## 
## Call:
## lm(formula = y_t ~ x_t)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.33515 -0.06085 -0.01155  0.13955  0.20825 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 21.54702    0.15771 136.624 3.06e-16 ***
## x_t          0.43313    0.05103   8.487 1.38e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1713 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8889, Adjusted R-squared:  0.8766 
## F-statistic: 72.03 on 1 and 9 DF,  p-value: 1.376e-05

7 Uji Durbin-Watson Setelah Penanganan

Uji Durbin-Watson kembali dilakukan pada model hasil transformasi untuk memastikan masalah autokorelasi telah teratasi.

dw_akhir <- dwtest(model_hl)
dw_akhir
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model_hl
## DW = 2.115, p-value = 0.4258
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Setelah dilakukan transformasi Hildreth-Lu, nilai statistik Durbin-Watson berubah menjadi 2.115 dengan p-value 0.4258. Hal ini mengindikasikan bahwa masalah autokorelasi pada model telah berhasil diatasi.

8 Mengembalikan Koefisien ke Bentuk Persamaan Asli

Koefisien hasil model transformasi dikembalikan ke bentuk persamaan regresi Y terhadap X yang asli, dengan intersep dibagi oleh \((1 - \rho)\).

b0_asli <- coef(model_hl)[1] / (1 - opt_rho)
b1_asli <- coef(model_hl)[2]

cat("=======================================================\n")
## =======================================================
cat("PERSAMAAN REGRESI AKHIR (setelah dikembalikan ke bentuk asli):\n")
## PERSAMAAN REGRESI AKHIR (setelah dikembalikan ke bentuk asli):
cat(sprintf("Y = %.4f + %.4f * X\n", b0_asli, b1_asli))
## Y = 67.3344 + 0.4331 * X
cat("=======================================================\n")
## =======================================================

9 Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis, model regresi OLS awal antara IPM (Y) dan waktu (X) menunjukkan indikasi autokorelasi berdasarkan uji Durbin-Watson. Penanganan dengan metode Hildreth-Lu menghasilkan nilai \(\rho\) optimum sebesar 0.68, yang kemudian digunakan untuk membentuk model transformasi. Setelah transformasi, persamaan regresi akhir yang diperoleh adalah:

\[\hat{Y} = 67.3344 + 0.4331 X\]

Persamaan ini merepresentasikan hubungan antara waktu dan nilai IPM Jawa Barat setelah masalah autokorelasi ditangani.