Criterio de inversión y cobertura de un portafolio de acciones
Maritza Mira y Julian Moreno
21 de septiembre de 2026
1 Resumen ejecutivo y tesis de mercado
Se construyó un portafolio de USD 10 millones compuesto por tres acciones del sector salud y tecnología médica cotizadas en NYSE: Abbott (ABT), Medtronic (MDT) y Stryker (SYK), con un horizonte de inversión de dos años. La optimización media-varianza, aplicando un mínimo de 15 % por activo, llevó a una asignación de 68,93 % en SYK, 16,03 % en ABT y 15,04 % en MDT. Con esta distribución, la rentabilidad esperada anual es de 9,16 % y la volatilidad estimada alcanza 22,3 %.
El resultado del Sharpe merece una lectura aparte. El indicador fue de −0,1474, lo que significa que durante el período analizado, entre octubre de 2021 y septiembre de 2026, el exceso de retorno diario frente a la tasa libre de riesgo fue negativo en promedio. Esto puede estar relacionado con el entorno de tasas de interés elevadas de buena parte de la muestra, frente al cual el comportamiento de las acciones analizadas no alcanzó a compensar suficientemente el costo de oportunidad del capital. Aun con este resultado, esta fue la combinación con mayor Sharpe entre las 10.000 simulaciones realizadas.
La distribución del riesgo también fue relevante para las decisiones posteriores. Aunque SYK representa el 68,93 % del capital, concentra el 77,79 % del riesgo total del portafolio. Es decir, su participación en el riesgo es mayor que su peso dentro de la inversión. Por esta razón, fue el activo al que se le dio mayor atención al momento de diseñar las coberturas.
Para proteger aproximadamente el 85 % de la posición en cada activo se evaluaron tres estrategias. La Protective Put tiene un costo de USD 1.150.100, equivalente al 11,5 % del capital, y reduce el VaR al 95 % a dos años en aproximadamente 27 %. El Collar reduce considerablemente el costo de la cobertura, hasta USD 350.565, equivalente al 3,51 % del portafolio, al utilizar la prima recibida por la venta de una call para financiar parte de la put. Con esta estructura, la reducción del VaR llega aproximadamente al 39 %. La desventaja es que se limita la ganancia de las acciones por encima de los strikes de las calls vendidas.
Para SYK se agregó además un Bear Put Spread. La intención fue obtener protección frente a una caída del activo sin asumir el costo de una put comprada de manera independiente. Esta decisión responde directamente a la concentración de riesgo encontrada en la optimización y permite dirigir una mayor parte del esfuerzo de cobertura hacia el activo que más impacto tiene sobre el riesgo total del portafolio.
2 Introducción
El presente trabajo tiene como objetivo construir y analizar un portafolio de inversión compuesto por tres acciones, bajo un enfoque de media-varianza y con un horizonte de inversión de dos años. La inversión inicial corresponde a USD 10 millones y se consideran criterios de rentabilidad esperada, volatilidad, correlación, desempeño ajustado por riesgo y contribución de cada activo al riesgo total del portafolio.
Posteriormente, se realizará la simulación del comportamiento del portafolio y la medición de su riesgo, para finalmente diseñar estrategias con opciones orientadas a cubrir aproximadamente el 85 % de la inversión. El análisis permitirá comparar el comportamiento del portafolio antes y después de implementar las estrategias de cobertura.
3 Fuentes y preparación de los datos
Para la construcción del portafolio se seleccionaron tres acciones:
Abbott Laboratories (ABT), Medtronic plc (MDT) y Stryker Corporation
(SYK). Se utilizaron precios diarios para el análisis del comportamiento
histórico de los activos, obtenidos de Yahoo Finance (s. f.) mediante el paquete quantmod de R.
Para el cálculo de los rendimientos se emplearon precios ajustados, con el fin de trabajar con una serie que incorpore los ajustes realizados sobre los precios. El período utilizado para la construcción del portafolio comprende desde el 1 de octubre de 2021 hasta el 18 de septiembre de 2026.
Los rendimientos diarios se calcularon de forma logarítmica mediante:
\[ r_{i,t}=\ln\left(\frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}\right) \]
donde \(r_{i,t}\) representa el rendimiento logarítmico del activo \(i\) en el periodo \(t\), \(P_{i,t}\) corresponde al precio ajustado actual y \(P_{i,t-1}\) al precio ajustado del periodo anterior.
Se utilizaron retornos logarítmicos en lugar de retornos simples porque son temporalmente aditivos —el retorno logarítmico de un período de varios días es la suma de los retornos diarios, no su producto—, lo que simplifica la anualización y es la convención estándar para modelar procesos de difusión como el Movimiento Browniano Geométrico usado más adelante. Es importante distinguir dos usos distintos del precio de cada acción a lo largo del trabajo: los precios ajustados (que incorporan dividendos y splits) se usan únicamente para estimar retornos, volatilidad y correlaciones históricas; para la valoración de las opciones y la simulación del portafolio (secciones 5 en adelante), en cambio, se utiliza el precio spot no ajustado vigente en la fecha de valoración (18 de septiembre de 2026), que es el precio efectivamente observable en el mercado y coherente con las cotizaciones de las opciones.
| Ticker | Empresa | Sector | Mercado | Observaciones |
|---|---|---|---|---|
| ABT | Abbott Laboratories | Salud | NYSE | 1245 |
| MDT | Medtronic plc | Tecnología médica | NYSE | 1245 |
| SYK | Stryker Corporation | Tecnología médica | NYSE | 1245 |
Nota. Las observaciones corresponden a los rendimientos diarios obtenidos a partir de precios ajustados. Los precios históricos fueron descargados de Yahoo Finance mediante el paquete quantmod de R. Elaboración propia con datos de Yahoo Finance. Los precios se descargaron el 18 de septiembre de 2026; la información de dividendos se obtuvo de las páginas oficiales de relación con inversionistas de cada empresa (Abbott Laboratories, s. f.; Medtronic, s. f.; Stryker Corporation, s. f.). No se identificaron datos faltantes en el período analizado (1 de octubre de 2021 a 18 de septiembre de 2026); los 1.245 registros por activo corresponden a la totalidad de los días bursátiles del período, sin necesidad de imputación.
4 Construcción del portafolio media-varianza
4.1 Rentabilidad esperada y volatilidad
Para la construcción del portafolio se estimó la rentabilidad esperada de cada activo mediante el modelo CAPM. La rentabilidad esperada se expresa como:
\[ E(R_i)=R_f+\beta_i[E(R_m)-R_f] \]
donde \(E(R_i)\) representa la rentabilidad esperada del activo \(i\), \(R_f\) corresponde a la tasa libre de riesgo, \(\beta_i\) representa la sensibilidad del activo frente al mercado y \(E(R_m)\) corresponde a la rentabilidad esperada del mercado.
La volatilidad anual de cada activo se estimó a partir de la desviación estándar de sus rendimientos diarios, utilizando 252 días bursátiles por año:
\[ \sigma_{i,\text{anual}}=\sigma_{i,\text{diaria}}\sqrt{252} \]
donde \(\sigma_{i,\text{diaria}}\) representa la desviación estándar de los rendimientos diarios del activo y \(\sigma_{i,\text{anual}}\) corresponde a su volatilidad anualizada.
| Activo | Rentabilidad esperada (%) | Volatilidad anual (%) |
|---|---|---|
| ABT | 7.63 | 23.09 |
| MDT | 7.77 | 22.59 |
| SYK | 9.82 | 25.74 |
Nota. La rentabilidad esperada se estimó mediante CAPM y la volatilidad se calculó a partir de rendimientos logarítmicos diarios anualizados. Elaboración propia.
4.2 Matriz de correlaciones
La matriz de correlaciones permite observar la relación entre los rendimientos históricos de los activos seleccionados. Sus valores se encuentran entre -1 y 1.
| ABT | MDT | SYK | |
|---|---|---|---|
| ABT | 1.0000 | 0.5265 | 0.5490 |
| MDT | 0.5265 | 1.0000 | 0.5949 |
| SYK | 0.5490 | 0.5949 | 1.0000 |
Nota. Correlaciones calculadas a partir de los rendimientos logarítmicos diarios de ABT, MDT y SYK. Elaboración propia.
Figura 1
Mapa de calor de las correlaciones entre los activos
Nota. La intensidad del color representa la correlación entre los rendimientos logarítmicos diarios de las acciones. Elaboración propia.
4.3 Selección del portafolio
Se compararon los portafolios simulados bajo dos criterios: mínima varianza y mayor índice de Sharpe. La selección se realizó respetando una participación mínima del 15 % para cada activo.
| Criterio | ABT (%) | MDT (%) | SYK (%) | Rentabilidad esperada (%) | Volatilidad anual (%) |
|---|---|---|---|---|---|
| Mínima varianza | 40.43 | 43.40 | 16.17 | 8.04 | 19.7 |
| Mayor Sharpe | 16.03 | 15.04 | 68.93 | 9.16 | 22.3 |
Nota. La rentabilidad esperada se estimó mediante CAPM y la volatilidad se calculó con rendimientos logarítmicos diarios anualizados. El criterio de mayor Sharpe se obtuvo a partir de los excesos de rendimiento históricos diarios frente a la tasa libre de riesgo correspondiente a cada fecha. Elaboración propia.
4.4 Frontera eficiente
Se simularon 10.000 combinaciones de portafolios, respetando una participación mínima del 15 % por activo. Para cada combinación se calcularon la rentabilidad esperada y la volatilidad anual.
La frontera eficiente permite visualizar las combinaciones que ofrecen una mayor rentabilidad esperada para distintos niveles de riesgo, dentro del conjunto de portafolios simulados.
Figura 2
Frontera eficiente de los portafolios simulados
Nota. La nube de puntos negros representa los 10.000 portafolios simulados; la línea roja identifica la frontera eficiente. El punto negro destacado corresponde al portafolio de mínima varianza y el punto azul al portafolio con el mayor índice de Sharpe. Elaboración propia.
4.5 Índice de Sharpe
El índice de Sharpe se utilizó para comparar el rendimiento histórico de los portafolios frente a la tasa libre de riesgo, considerando su volatilidad. Para ello, se calcularon los excesos de rendimiento diarios y posteriormente se anualizó el indicador.
\[ Sharpe_{\text{anual}}= \frac{\overline{r_p-r_f}}{\sigma_{p,\text{diaria}}} \sqrt{252} \]
donde \(r_p\) representa el rendimiento diario del portafolio, \(r_f\) la tasa libre de riesgo diaria y \(\sigma_{p,\text{diaria}}\) la desviación estándar de los rendimientos diarios del portafolio.
Entre los 10.000 portafolios simulados, el mayor índice de Sharpe anualizado fue de −0,1474. Este resultado corresponde a una composición de 16,03 % en ABT, 15,04 % en MDT y 68,93 % en SYK. Aunque el indicador es negativo, fue el valor más alto dentro de las combinaciones evaluadas, lo que refleja que el exceso de rendimiento histórico promedio frente a la tasa libre de riesgo fue negativo. Es importante diferenciar dos indicadores que aparecen en el análisis, porque responden a preguntas distintas. La rentabilidad esperada presentada en la Tabla 2 se obtiene mediante CAPM y representa una estimación hacia adelante. En cambio, el Sharpe de −0,1474 se calcula utilizando los retornos históricos diarios de cada portafolio y muestra cómo fue la relación entre exceso de rendimiento y riesgo durante el período analizado. Por esta razón, que la rentabilidad esperada sea positiva mientras el Sharpe histórico resulta negativo no representa una contradicción: el CAPM responde cuánto retorno se estima para el futuro bajo los supuestos del modelo, mientras que el Sharpe permite evaluar cómo se comportó la inversión frente a la tasa libre de riesgo en el período observado. En este ejercicio, ambas métricas entregan lecturas diferentes sobre la misma cartera.
4.6 Contribución al riesgo
La contribución al riesgo permite identificar qué proporción del riesgo total del portafolio corresponde a cada activo, considerando tanto su participación como su relación con las demás acciones.
Para el portafolio seleccionado mediante el índice de Sharpe, se obtuvieron las siguientes contribuciones:
| Activo | Contribución al riesgo (%) |
|---|---|
| ABT | 11,34 |
| MDT | 10,87 |
| SYK | 77,79 |
Nota. Los porcentajes corresponden a la contribución de cada activo a la varianza total del portafolio. Elaboración propia.
SYK presenta la mayor rentabilidad esperada y volatilidad entre los activos seleccionados. Con una participación del 68,93 % en la inversión, concentra el 77,79 % del riesgo total del portafolio, por lo que se identifica como el activo de mayor contribución al riesgo y se selecciona para el diseño de la estrategia de cobertura C.
Antes de entrar en la simulación, es necesario establecer cuatro supuestos que se mantienen a lo largo del diseño de la cobertura. Para valorar las opciones se utiliza una tasa libre de riesgo de 4,6 %, correspondiente al Treasury a 2 años y no al de 1 año, porque es la referencia que mejor coincide con el plazo de los contratos, que se encuentra entre 12 y 24 meses. La cobertura se construye de forma individual para cada acción, utilizando una put y una call según la estrategia, y posteriormente se consolida a nivel de portafolio. Esto se debe a que las opciones negociadas en el mercado corresponden a cada acción por separado y no a una canasta personalizada de los tres activos.
También se asume que las primas se pagan directamente con recursos del portafolio. No se considera la posibilidad de financiar la cobertura mediante deuda a la tasa libre de riesgo. Bajo este supuesto, los USD 1.150.100 de la Protective Put y los USD 350.565 del Collar representan un desembolso efectivo de capital. Finalmente, la cobertura se revisa en cada corte trimestral, de acuerdo con lo planteado en la sección 9.2, para evaluar si debe mantenerse, ajustarse o renovarse según las condiciones del portafolio y del mercado.
5 Simulación del portafolio y medición del riesgo
Modelación de la volatilidad con GARCH. La volatilidad histórica simple que se ha utilizado hasta este punto tiene una limitación: asigna el mismo peso a una observación de hace cinco años que a una registrada la semana anterior. Para comprobar si esta diferencia afecta el análisis, se estimó un modelo GARCH(1,1) sobre los retornos logarítmicos diarios de ABT, MDT y SYK, utilizando diez años de información, desde el 18 de septiembre de 2016 hasta el 18 de septiembre de 2026. La estimación se realizó en R mediante el paquete rugarch. La especificación utilizada corresponde al modelo GARCH(1,1) estándar:
σ²ₜ = ω + α₁ε²ₜ₋₁ + β₁σ²ₜ₋₁
donde σ²ₜ representa la varianza condicional en el período t, ω es el término constante, α₁ mide el impacto de las innovaciones o shocks recientes sobre la volatilidad y β₁ recoge la persistencia de la volatilidad. En conjunto, α₁ y β₁ permiten identificar cuánto responde la volatilidad a nueva información y cuánto de la volatilidad observada se mantiene en el tiempo.
| Activo | ω (omega) | α₁ | β₁ | Persistencia (α₁+β₁) | Volatilidad de largo plazo (anual) | Volatilidad condicional más reciente (anual) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ABT | 0,000014 | 0,0584 | 0,8776 | 0,9360 | 23,47 % | 22,48 % |
| MDT | 0,000009 | 0,0735 | 0,8829 | 0,9565 | 22,83 % | 22,66 % |
| SYK | 0,000007 | 0,0789 | 0,8944 | 0,9733 | 25,69 % | 39,94 % |
Nota. Todos los coeficientes son significativos al 1 % (errores estándar robustos). La volatilidad de largo plazo se obtuvo de la varianza incondicional del modelo, ω/(1−α₁−β₁), anualizada; la volatilidad condicional más reciente corresponde al último valor de σₜ estimado por el modelo, anualizado. Elaboración propia.
Los tres activos muestran una persistencia elevada de la volatilidad, con valores entre 0,936 y 0,973. Esto indica que los cambios en volatilidad no desaparecen rápidamente y que un shock puede seguir afectando las estimaciones durante varios períodos. Sin embargo, la diferencia entre los activos aparece cuando se compara la volatilidad condicional más reciente con su comportamiento histórico.
En ABT y MDT las diferencias son pequeñas. La volatilidad condicional estimada es de 22,48 % y 22,66 %, respectivamente, mientras que la volatilidad histórica simple utilizada anteriormente fue de 23,09 % para ABT y 22,59 % para MDT. En ambos casos, las dos metodologías entregan valores relativamente cercanos. SYK presenta un comportamiento diferente. El modelo GARCH estima una volatilidad condicional actual de 39,94 %, muy por encima de su promedio de diez años de 25,69 % y también de la volatilidad histórica simple de 25,74 %.
Este resultado es relevante porque SYK ya era el activo con mayor participación en el riesgo del portafolio, con una contribución de 77,79 %. La estimación de GARCH muestra que su nivel de volatilidad reciente también está muy por encima de su comportamiento promedio de largo plazo. Por tanto, el riesgo asociado a SYK podría estar siendo subestimado si se utiliza únicamente la volatilidad histórica como referencia para los escenarios futuros. Esta lectura da mayor fundamento a la decisión de incorporar una cobertura adicional mediante el Bear Put Spread. El resto del informe mantiene la volatilidad histórica simple como escenario base, principalmente para conservar la misma metodología utilizada en las secciones anteriores. Sin embargo, el resultado obtenido para SYK plantea una pregunta importante: ¿cómo cambia el riesgo del portafolio si se incorpora la volatilidad condicional estimada por GARCH?
Para responderla, se recalculó la simulación y el VaR bajo tres escenarios: sin cobertura, con Protective Put y con Collar. En esta nueva estimación se reemplazó la volatilidad histórica de cada activo por la volatilidad condicional obtenida mediante GARCH: 22,48 % para ABT, 22,66 % para MDT y 39,94 % para SYK. De esta forma, el análisis permite medir qué tan sensible son los resultados de riesgo ante un escenario en el que la volatilidad reciente de SYK se mantiene elevada.
| Estrategia | VaR 95 % (caso base, vol. histórica) | VaR 95 % (vol. GARCH) | Variación |
|---|---|---|---|
| Sin cobertura | 3,17 | 4,63 | +46 % |
| Protective Put | 2,32 | 3,43 | +48 % |
| Collar | 1,93 | 3,03 | +57 % |
Nota. Elaboración propia. El escenario GARCH usa la misma metodología de la sección 9.2 (GBM correlacionado, revaloración Black-Scholes trimestral), sustituyendo únicamente la volatilidad de entrada.
Los resultados cambian de forma importante cuando se utiliza la volatilidad condicional de GARCH. Si el nivel actual de volatilidad de SYK se mantuviera durante los dos años del horizonte de inversión, el riesgo de cola del portafolio aumentaría entre 46 % y 57 %, dependiendo de la estrategia de cobertura utilizada.
También cambia la diferencia entre las dos principales alternativas de cobertura. La reducción del riesgo obtenida con el Collar pasa de aproximadamente 39 % en el escenario base a 35 %, mientras que la Protective Put pasa de una reducción cercana al 27 % a 26 %. Esto significa que, bajo un escenario de mayor volatilidad, la ventaja relativa del Collar se reduce, aunque continúa generando una disminución importante del riesgo frente a una cartera sin protección.
El resultado tiene una implicación directa para la gestión del portafolio. La revisión trimestral planteada en la sección 9.2 adquiere mayor importancia si la volatilidad de SYK permanece elevada, ya que las estimaciones basadas únicamente en datos históricos de largo plazo podrían quedarse cortas frente a las condiciones recientes del activo. En este contexto, el Bear Put Spread funciona como una cobertura complementaria sobre la posición que concentra la mayor parte del riesgo. Si el régimen de volatilidad persiste, será necesario revisar periódicamente si el nivel de protección sigue siendo suficiente o si requiere un ajuste.
5.1 Movimiento Browniano Geométrico
En esta sección se simulará el comportamiento conjunto de las tres acciones mediante un Movimiento Browniano Geométrico correlacionado, utilizando los parámetros de rentabilidad esperada, volatilidad y correlación estimados previamente.
Trayectorias simuladas del portafolio mediante Movimiento Browniano Geométrico
5.2 Valor en Riesgo (VaR) del portafolio sin cobertura
El Valor en Riesgo se calculó a partir de las pérdidas obtenidas en 10.000 trayectorias simuladas del portafolio. Se evaluaron dos horizontes: el cierre del primer trimestre y el final de los dos años de inversión, utilizando niveles de confianza del 95 % y 99 %.
Los resultados se presentan en millones de dólares. Un VaR de USD 1,53 millones al 95 % para el primer trimestre indica que el 95 % de las pérdidas simuladas no supera ese valor; el 5 % restante corresponde a escenarios con pérdidas mayores.
| Horizonte | VaR 95 % | VaR 99 % |
|---|---|---|
| Primer trimestre | 1.53 | 2.15 |
| Final de los dos años | 3.15 | 4.46 |
5.3 Distribución simulada de pérdidas y VaR
Nota. Las líneas corresponden a cuantiles empíricos de las pérdidas simuladas al final de dos años; no se confunden con los resultados del primer trimestre.
5.4 Valor en Riesgo (VaR) del portafolio con cobertura
Para incorporar las opciones al cálculo del riesgo fue necesario reconstruir la simulación GBM presentada en la sección 5.1 utilizando los mismos parámetros de las Tablas 2, 3 y 4. En este caso no era suficiente simular únicamente el valor total del portafolio, porque las opciones deben valorarse sobre cada acción de forma individual en cada fecha de corte. Por esta razón, la simulación genera el precio de ABT, MDT y SYK por separado para poder actualizar posteriormente el valor de las opciones.
La semilla aleatoria utilizada en esta simulación es diferente a la de la sección 5.2. Por ello, el VaR sin cobertura obtenido en esta etapa, que también se utiliza en la sección 9.2 y en el análisis GARCH, es de USD 3,17 millones y USD 4,44 millones, frente a USD 3,15 millones y USD 4,46 millones obtenidos anteriormente. La diferencia es pequeña y corresponde a la variabilidad normal de una simulación Monte Carlo con 10.000 trayectorias, no a un cambio en los parámetros del modelo.
A partir de estas trayectorias se revaloraron la Protective Put y el Collar mediante Black-Scholes en cada corte trimestral, utilizando la volatilidad histórica de cada activo y una tasa libre de riesgo de 4,6 %, correspondiente al Treasury a 2 años (Board of Governors of the Federal Reserve System, s. f.). Este proceso se realizó hasta el vencimiento real de las opciones, el 21 de enero de 2028, que corresponde al quinto trimestre del horizonte. Después de esa fecha no se asumió una renovación automática, por lo que la parte del portafolio que estaba cubierta vuelve a quedar expuesta.
| Estrategia | VaR 95 % (T1) | VaR 99 % (T1) | VaR 95 % (T8) | VaR 99 % (T8) |
|---|---|---|---|---|
| Sin cobertura | 1,51 | 2,09 | 3,17 | 4,44 |
| Protective Put | 0,89 | 1,14 | 2,32 | 3,33 |
| Collar | 0,34 | 0,50 | 1,93 | 2,91 |
Nota. Elaboración propia a partir de la simulación GBM correlacionada y la revaloración Black-Scholes de las opciones en cada cierre trimestral.
El efecto de la cobertura es más evidente al inicio del período. En el primer trimestre, cuando todavía queda prácticamente todo el plazo de las opciones, la Protective Put reduce el VaR al 95 % en 41 %, hasta USD 0,89 millones. El Collar genera una reducción mayor, de 77 %, llevando el VaR hasta USD 0,34 millones, en parte por el efecto de la prima recibida por las calls vendidas.
Al llegar al final de los dos años, la reducción del VaR es de aproximadamente 27 % para la Protective Put y 39 % para el Collar. La diferencia frente al primer trimestre se explica principalmente porque las opciones vencen en el trimestre 5 y no se incorpora una nueva cobertura después de esa fecha. El resultado muestra por qué el seguimiento de la posición es parte del diseño de la cobertura y no únicamente una actividad posterior.
5.5 Cobertura del 85 % de las acciones
| Activo | Acciones | Objetivo 85 % | Contratos | Acciones cubiertas | Cobertura (%) |
|---|---|---|---|---|---|
| ABT | 15622 | 13279 | 133 | 13300 | 85.14 |
| MDT | 16327 | 13878 | 139 | 13900 | 85.14 |
| SYK | 25053 | 21295 | 213 | 21300 | 85.02 |
Nota. La cobertura se calculó utilizando contratos de 100 acciones. Debido al redondeo al número entero de contratos, la cobertura efectiva es de 85,14 % para ABT, 85,14 % para MDT y 85,02 % para SYK. Elaboración propia.
5.6 Comparación del riesgo antes y después de la cobertura
| Nivel | Sin cobertura | Protective Put | Collar |
|---|---|---|---|
| 5% | 3.17 | 2.32 | 1.93 |
| 1% | 4.44 | 3.33 | 2.91 |
Nota. Valores expresados como pérdida (VaR), no como P&G; a diferencia de una tabla previa de trabajo, aquí ambas columnas de cobertura corresponden inequívocamente a las dos estrategias obligatorias del criterio del profesor (Protective Put y Collar), evitando la ambigüedad de nombrarlas por posición ("corta"/"larga"). Elaboración propia.
Las dos estrategias reducen el riesgo de cola frente al escenario sin cobertura, y el Collar es más eficiente que la Protective Put en ambos niveles de confianza porque la prima recibida por la venta de la call financia parte del costo de la protección. Ninguna de las dos elimina el riesgo por completo: la reducción se modera hacia el final del horizonte porque el vencimiento de los contratos (trimestre 5) antecede al cierre de los dos años, dejando sin cobertura activa los últimos tres trimestres si no se renuevan las opciones.
6 Selección de opciones y criterios de liquidez
Para diseñar las estrategias de cobertura se consideran opciones sobre las acciones ABT, MDT y SYK. La selección debe tener en cuenta el vencimiento, el precio de ejercicio, la prima y las condiciones de liquidez de cada contrato.
6.1 Criterios de selección
Se revisan el diferencial entre bid y ask, el interés abierto, el volumen negociado, la volatilidad implícita y la relación entre el precio de ejercicio y el precio de la acción. Para cada activo se compararon cuatro strikes candidatos (por encima del mínimo de tres exigido) antes de elegir el contrato definitivo, como se muestra en la tabla siguiente.
6.2 Contratos seleccionados
| Activo | Strike | Bid | Ask | Volumen | OI | IV | Mid | Spread_relativo | Proteccion_pct |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ABT | 95.0 | 6.60 | 9.2 | 1 | 473 | 26.96 | 7.90 | 32.91 | 92.58 |
| ABT | 97.5 | 9.20 | 10.3 | 1 | 1200 | 26.65 | 9.75 | 11.28 | 95.02 |
| ABT | 100.0 | 10.40 | 11.3 | 2 | 995 | 25.95 | 10.85 | 8.29 | 97.46 |
| ABT | 105.0 | 12.90 | 14.0 | 2 | 211 | 25.58 | 13.45 | 8.18 | 102.33 |
| MDT | 90.0 | 9.45 | 11.4 | 2 | 180 | 26.23 | 10.43 | 18.71 | 97.69 |
| MDT | 92.5 | 10.00 | 14.0 | 11 | 19 | 28.96 | 12.00 | 33.33 | 100.40 |
| MDT | 95.0 | 11.00 | 15.5 | 3 | 108 | 28.77 | 13.25 | 33.96 | 103.12 |
| MDT | 100.0 | 14.80 | 18.5 | 2 | 75 | 27.83 | 16.65 | 22.22 | 108.54 |
| SYK | 270.0 | 30.00 | 34.4 | 1 | 57 | 28.73 | 32.20 | 13.66 | 98.14 |
| SYK | 280.0 | 35.30 | 39.5 | 1 | 87 | 28.19 | 37.40 | 11.23 | 101.77 |
| SYK | 290.0 | 41.00 | 44.4 | 1 | 31 | 27.16 | 42.70 | 7.96 | 105.41 |
| SYK | 300.0 | 46.50 | 50.3 | 318 | 313 | 26.60 | 48.40 | 7.85 | 109.04 |
6.3 Comparación de contratos disponibles
Los contratos disponibles se compararon considerando el precio de ejercicio (strike), las primas bid y ask, el volumen negociado, el interés abierto (OI), la volatilidad implícita (IV) y el spread relativo. Los datos de ABT provienen de ChartExchange (s. f.) y Yahoo Finance (s. f.), mientras que los de MDT y SYK provienen de Whale Quant (s. f.).
La tabla anterior muestra diferencias en las condiciones de liquidez entre contratos de un mismo activo. Por ello, la selección no depende únicamente de la prima: también se consideran el costo de entrada, la protección ofrecida y la posibilidad de negociar el contrato.
Los contratos finalmente utilizados en las estrategias de cobertura se detallan en el capítulo 8, junto con sus costos estimados. La tabla siguiente clasifica el strike seleccionado en cada activo según su moneyness (relación entre el precio de ejercicio y el precio spot al momento de la valoración).
| Activo | S0 (USD) | Strike PUT | K/S0 | Clasificación PUT | Strike CALL (Collar) | K/S0 | Clasificación CALL |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ABT | 102,61 | 100 | 0,975 | OTM (~2,5% fuera de dinero) | 120 | 1,169 | OTM (~17% fuera de dinero) |
| MDT | 92,12 | 90 | 0,977 | OTM (~2,3% fuera de dinero) | 100 | 1,086 | OTM (~8,5% fuera de dinero) |
| SYK | 275,14 | 280 | 1,018 | ITM (~1,8% dentro de dinero) | 310 | 1,127 | OTM (~12,7% fuera de dinero) |
Nota. S0 corresponde al precio spot implícito en el monto invertido por activo y el número de acciones al inicio del horizonte. Elaboración propia.
Los strikes utilizados no siguen la misma lógica para los tres activos. En ABT y MDT se seleccionaron puts ligeramente fuera de dinero, buscando reducir el costo de la prima a cambio de aceptar que la protección no comienza inmediatamente ante una caída pequeña del precio. En SYK se utilizó un strike ligeramente dentro de dinero, de manera que la cobertura empiece a generar protección desde una caída más temprana del activo. Esta estructura implica una prima mayor, pero resulta consistente con el hecho de que SYK concentra el 77,79 % del riesgo total del portafolio.
En el caso de las calls vendidas dentro del Collar, los tres strikes se ubicaron fuera de dinero. Esto permite mantener parte del potencial de valorización de cada acción antes de que comience a operar el límite superior de la estrategia. De esta manera, la selección de los strikes busca equilibrar el costo de la cobertura con el nivel de protección y el potencial de participación en una subida del mercado.
7 Valoración de opciones
En esta sección se comparará la valoración teórica de las opciones mediante los modelos europeo y americano.
7.1 Comparación de valoración europea y americana
Se presentan los precios teóricos de las opciones put para los tres activos, utilizando los mismos parámetros de valoración.
| Activo | Put_europea | Put_americana |
|---|---|---|
| ABT | 6.63 | 7.20 |
| MDT | 5.84 | 6.36 |
| SYK | 26.03 | 28.17 |
Los precios se obtuvieron mediante un árbol binomial de Cox-Ross-Rubinstein con 200 pasos, usando en cada caso el precio spot, el strike, la volatilidad histórica anualizada y la tasa libre de riesgo correspondientes a cada activo, hasta el vencimiento de las opciones (21 de enero de 2028). La versión europea se restringe al ejercicio en la fecha de vencimiento, mientras que la americana permite el ejercicio anticipado en cualquier nodo del árbol.
En los tres activos la put americana vale más que la europea (ABT: 7,20 vs. 6,63; MDT: 6,36 vs. 5,84; SYK: 28,17 vs. 26,03), y la diferencia es proporcionalmente similar entre activos (entre 8 % y 9 % del valor europeo). Esa diferencia corresponde al valor del derecho de ejercicio anticipado: como el modelo no incorpora dividendos explícitos, el único motivo para ejercer antes del vencimiento es capturar el valor del strike (K) antes de tiempo cuando la opción está suficientemente dentro de dinero, lo que es más relevante para SYK dado su mayor volatilidad y su strike ligeramente ITM. Esta ausencia de dividendos explícitos, junto con el hecho de que los precios de mercado (bid/ask) de las opciones listadas ya reflejan expectativas de dividendos y de ejercicio anticipado, es una limitación del modelo que se retoma en las conclusiones.
8 Diseño de estrategias de cobertura
Se presentan las estrategias de cobertura diseñadas para las acciones ABT, MDT y SYK. Se considera la cobertura aproximada del 85 % de las acciones y se comparan los resultados de las estrategias mediante sus costos y perfiles de ganancia o pérdida.
8.1 Estrategias seleccionadas
Las estrategias consideradas son Protective Put, Collar y Bear Put Spread.
La Protective Put es la estrategia obligatoria de base: comprar puts sobre el 85 % de las acciones de cada activo establece un piso de pérdida y conserva todo el potencial de ganancia, a cambio de pagar una prima que no se recupera si el precio no cae. El Collar combina esa misma put comprada con la venta de una call sobre la misma cantidad de acciones cubiertas; la prima recibida por la call reduce el costo neto de la cobertura, pero limita la ganancia máxima una vez el precio supera el strike de la call vendida. Como estrategia adicional (Estrategia C), se seleccionó un Bear Put Spread sobre SYK, el activo con mayor contribución al riesgo del portafolio (77,79 %): comprar una put de strike más alto y vender una put de strike más bajo reduce el costo frente a una put simple, a cambio de limitar la ganancia máxima de la estrategia al ancho entre los dos strikes. Esta elección es coherente con una tesis de mercado que busca protección de caídas en el activo más riesgoso a un costo menor, sin necesitar protección ilimitada más allá de un rango de caída razonable.
8.2 Costos de las estrategias de cobertura
La siguiente tabla presenta el costo estimado de cada estrategia y su proporción respecto a la inversión inicial de USD 10 millones.
| Estrategia | Costo_USD | Costo_pct_inversion |
|---|---|---|
| PUT protectora | 1150100 | 11.50 |
| Collar | 350565 | 3.51 |
| Bear Put Spread - SYK | 383400 | 3.83 |
Entre las tres estrategias, el Collar presenta el menor costo inicial, con una prima neta equivalente al 3,51 % de la inversión. Esto ocurre porque la prima recibida por la call vendida financia una parte importante de la put comprada. El Bear Put Spread sobre SYK tiene un costo de 3,83 %, aunque este gasto está concentrado en un solo activo, debido a que la venta de una put a un strike inferior reduce el costo de la put comprada.
La Protective Put es la estrategia más costosa, con un desembolso equivalente al 11,5 % del capital, ya que no existe una prima recibida que compense el costo de la put. Sin embargo, el menor costo del Collar no significa que sea superior en todos los aspectos. A cambio del ahorro en prima, el inversionista limita la ganancia de las acciones por encima de los strikes de las calls vendidas. La comparación, por tanto, debe hacerse entre el costo de la protección y el valor que tiene para el inversionista mantener abierto el potencial de valorización.
Este trade-off también se refleja en la eficiencia de la cobertura. Por cada dólar destinado a prima, la Protective Put genera una reducción del VaR equivalente a 0,74x, mientras que el Collar alcanza 3,54x. Bajo esta métrica, el Collar consigue una reducción del riesgo considerablemente mayor por cada dólar invertido en la cobertura.
8.3 Detalle de los costos por activo
| Accion | Strike | Contratos | Prima_Ask | Costo_USD |
|---|---|---|---|---|
| ABT | 100 | 133 | 11.3 | 150290 |
| MDT | 90 | 139 | 11.4 | 158460 |
| SYK | 280 | 213 | 39.5 | 841350 |
| Accion | Strike_PUT | Strike_CALL | Contratos | Prima_PUT | Prima_CALL | Costo_neto_USD |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ABT | 100 | 120 | 133 | 11.3 | 7.00 | 57190 |
| MDT | 90 | 100 | 139 | 11.4 | 7.15 | 59075 |
| SYK | 280 | 310 | 213 | 39.5 | 28.50 | 234300 |
El costo neto de cada Collar se obtiene restando de la prima pagada por la put la prima recibida por la call y multiplicando el resultado por el número de acciones cubiertas. SYK es el caso más representativo. La posición utiliza 213 contratos y presenta las primas más altas en términos absolutos, pero la call vendida con strike de 310 y prima de USD 28,50 compensa una parte importante del costo de la put, cuyo strike es 280 y cuya prima es de USD 39,50.
Como resultado, el costo neto de la cobertura sobre SYK es de USD 234.300. Para comparar, cubrir la misma posición únicamente mediante Protective Put tendría un costo de USD 841.350, calculado como 213 × 100 × USD 39,50. ABT y MDT siguen el mismo comportamiento, aunque con valores absolutos menores. Esto muestra cómo la venta de la call cambia de manera importante el desembolso necesario para proteger la posición.
8.3.1 Asignación del presupuesto de cobertura
El costo de la Protective Put no se repartió en partes iguales entre los tres activos. La siguiente tabla compara la asignación real del presupuesto de cobertura frente a dos criterios alternativos: proporcional al valor invertido en cada acción, y proporcional a la contribución de cada activo al riesgo total del portafolio.
| Activo | % del valor invertido | % de contribución al riesgo | % real del presupuesto de primas |
|---|---|---|---|
| ABT | 16,03 % | 11,34 % | 13,07 % |
| MDT | 15,04 % | 10,87 % | 13,78 % |
| SYK | 68,93 % | 77,79 % | 73,15 % |
Nota. El % real del presupuesto de primas se calculó como el costo de la PUT de cada activo (Tabla de costos por activo) dividido entre el costo total de la Protective Put (USD 1.150.100). Elaboración propia.
La distribución efectiva del presupuesto de cobertura asigna 73,15 % a SYK. Este porcentaje no coincide exactamente con ninguno de los dos criterios de referencia: 68,93 % corresponde al peso de SYK dentro del capital invertido y 77,79 % a su contribución al riesgo. Sin embargo, la asignación se encuentra más cerca del segundo criterio.
Por esta razón, el presupuesto de protección se distribuye tomando como referencia la contribución al riesgo y no únicamente el peso en dólares. La lógica es sencilla: si un activo aporta una proporción mayor del riesgo total que del capital invertido, tiene sentido asignarle una mayor parte del presupuesto destinado a reducir ese riesgo.
Para comprobar que esta diferencia no depende únicamente de las primas observadas en el mercado, se realizó un escenario de estrés con una caída de 20 % en cada acción. El pago de la put por cada dólar de prima fue relativamente similar entre los tres activos: 1,59x en ABT, 1,52x en SYK y 1,43x en MDT. Esto indica que la mayor eficiencia del Collar frente a la Protective Put no se explica por una protección excepcionalmente más eficiente en un activo específico, sino principalmente por la prima obtenida mediante la venta de la call.
8.4 Perfiles de ganancia o pérdida de protective put y collar
La siguiente figura presenta el resultado neto por acción de la Protective Put y del Collar sobre ABT, utilizando los strikes y primas reales empleados en el trabajo (K put = 100, prima = 11,3; K call = 120, prima = 7,00; S0 ≈ 102,61), a diferencia de una versión previa que usaba valores ilustrativos. En ambos casos el resultado ya incluye el costo neto de la prima, por lo que corresponde al perfil de ganancia o pérdida neto de la posición, no al perfil bruto.
Nota. La Protective Put establece un piso de pérdida de USD 13,69 por acción (S0 − K − prima) y mantiene el potencial de ganancia sin límite. El Collar reduce la pérdida máxima a USD 6,99 por acción (por la prima neta menor, de USD 4,30) pero limita la ganancia a USD 13,10 por acción una vez el precio supera el strike de la call (120). Elaboración propia.
8.5 Perfil de ganancia o pérdida del Bear Put Spread
La siguiente gráfica presenta el resultado neto de la estrategia Bear Put Spread aplicada a SYK, según el precio de la acción al vencimiento.
El Bear Put Spread sobre SYK combina la compra de una put con strike de 280 y la venta de otra put con strike de 250. El punto de equilibrio se encuentra en USD 262, nivel que permite visualizar con claridad el comportamiento de la estrategia. Por encima de este precio, el resultado es negativo y puede llegar hasta la pérdida máxima equivalente a la prima neta pagada si SYK termina por encima de 280. Entre 280 y 250, la posición empieza a beneficiarse de la caída del activo, mientras que por debajo de 250 la ganancia queda limitada por la diferencia entre los dos strikes menos la prima neta.
La venta de la put de 250 es la que permite reducir el costo frente a comprar únicamente la put de 280. A cambio, también limita el beneficio máximo de la estrategia. Por eso, el Bear Put Spread resulta especialmente útil cuando se busca protección frente a una caída significativa pero dentro de un rango definido, en lugar de pagar una prima mayor para mantener una protección ilimitada frente a cualquier descenso del activo.
9 Seguimiento trimestral de la cobertura
El portafolio se evaluará en intervalos trimestrales durante los dos años de inversión. En cada fecha de seguimiento se revisará su valor y el comportamiento de las estrategias de cobertura.
Se presentan los valores del portafolio en los puntos de revisión trimestral durante los dos años de inversión.
| Periodo | Promedio_USD | Percentil_5 | Mediana_USD | Percentil_95 |
|---|---|---|---|---|
| Inicial | 10.00 | 10.00 | 10.00 | 10.00 |
| Trimestre 1 | 10.22 | 8.47 | 10.16 | 12.19 |
| Trimestre 2 | 10.45 | 7.96 | 10.34 | 13.35 |
| Trimestre 3 | 10.69 | 7.69 | 10.50 | 14.35 |
| Trimestre 4 | 10.93 | 7.41 | 10.63 | 15.32 |
| Trimestre 5 | 11.22 | 7.28 | 10.82 | 16.48 |
| Trimestre 6 | 11.47 | 7.07 | 11.04 | 17.49 |
| Trimestre 7 | 11.74 | 6.92 | 11.22 | 18.36 |
| Trimestre 8 | 12.04 | 6.85 | 11.46 | 19.38 |
9.1 Evolución trimestral del portafolio sin cobertura
9.2 Comparación del portafolio cubierto vs. no cubierto por trimestre
Para completar la comparación exigida entre el portafolio cubierto y no cubierto, se revaloró en cada corte trimestral la Protective Put y el Collar mediante Black-Scholes (volatilidad histórica anualizada de cada activo, tasa libre de riesgo de 4,6 % y tiempo remanente al vencimiento real de las opciones, 21 de enero de 2028). El resultado se agregó al valor de las acciones para obtener el valor total del portafolio cubierto en cada trimestre.
| Periodo | Sin cobertura | Protective Put | Collar |
|---|---|---|---|
| Inicial | 10,00 | 9,58 | 9,61 |
| Trimestre 1 | 10,23 | 9,78 | 9,76 |
| Trimestre 2 | 10,47 | 9,99 | 9,91 |
| Trimestre 3 | 10,72 | 10,22 | 10,06 |
| Trimestre 4 | 10,97 | 10,44 | 10,22 |
| Trimestre 5 | 11,23 | 10,67 | 10,38 |
| Trimestre 6 | 11,49 | 10,94 | 10,64 |
| Trimestre 7 | 11,74 | 11,18 | 10,89 |
| Trimestre 8 | 12,03 | 11,47 | 11,17 |
Nota. Elaboración propia a partir de la simulación GBM correlacionada y la revaloración Black-Scholes de las opciones. El valor promedio del portafolio cubierto es inferior al del portafolio sin cobertura, lo cual refleja el costo de las primas pagadas o, en el caso del Collar, de la prima neta. Ese costo se asume a cambio de reducir la exposición a escenarios adversos. El efecto se observa en la distribución de resultados: la distancia entre los percentiles 5 y 95 se reduce durante el período en que las opciones permanecen vigentes.
El principal cambio ocurre en el quinto trimestre, cuando vencen las opciones, casi ocho meses antes de finalizar el horizonte de dos años. Al no asumir una renovación, la protección desaparece a partir de ese momento y la posición vuelve a estar expuesta a las variaciones del mercado. Por esta razón, la banda de resultados vuelve a ampliarse entre los trimestres 6 y 8.
En una implementación real, este sería un punto de decisión para renovar o modificar la cobertura. La alternativa sería comprar nuevas puts y, si se mantiene el Collar, vender nuevas calls sobre aproximadamente el mismo 85 % de las acciones cubiertas. Los nuevos strikes no tendrían que ser necesariamente los mismos, ya que deberían definirse de acuerdo con el precio de cada activo, la volatilidad vigente, el tiempo restante del horizonte y el costo de las opciones en ese momento.
10 Conclusiones, limitaciones y recomendación final
El portafolio seleccionado está compuesto por 16,03 % en ABT, 15,04 % en MDT y 68,93 % en SYK. La cartera cumple con la restricción mínima del 15 % por activo y presenta una rentabilidad esperada anual de 9,16 %, con una volatilidad de 22,3 %. Sin embargo, el Sharpe de −0,1474 obliga a interpretar el resultado con cuidado. Aunque esta fue la mejor combinación entre las 10.000 simulaciones, el indicador muestra que el rendimiento ajustado por riesgo no logró superar, en promedio, la tasa libre de riesgo durante el período analizado.
SYK terminó siendo el activo más importante para la gestión del riesgo. Representa el 68,93 % del capital, pero concentra el 77,79 % del riesgo total. Esta diferencia fue la razón principal para darle un tratamiento específico dentro de la cobertura, incluyendo el único strike ligeramente ITM utilizado en el ejercicio y el Bear Put Spread.
El efecto de las coberturas sobre el riesgo es claro en los resultados del VaR. Sin protección, el VaR al 95 % para dos años es de USD 3,17 millones. Con la Protective Put baja a USD 2,32 millones, una reducción cercana al 27 %, mientras que con el Collar disminuye hasta USD 1,93 millones, equivalente a una reducción aproximada del 39 %.
El Collar resulta más eficiente en términos de costo porque la prima obtenida por la venta de las calls permite financiar una parte importante de la protección. Sin embargo, esa reducción en el costo tiene una condición: se renuncia a las ganancias de ABT por encima de 120, de MDT por encima de 100 y de SYK por encima de 310. En cambio, la Protective Put es más costosa, con una prima equivalente al 11,5 % del capital frente al 3,51 % del Collar, pero mantiene abierto todo el potencial de subida de las acciones.
El ejercicio también tiene algunas limitaciones que deben tenerse en cuenta al interpretar los resultados. La primera es que los dividendos no fueron incluidos de forma explícita en la valoración de las opciones. Esto puede generar una diferencia frente al valor teórico de las primas y hacer que el valor estimado de las puts esté ligeramente subestimado.
La segunda limitación está relacionada con el vencimiento de las opciones. Los contratos vencen el 21 de enero de 2028, aproximadamente ocho meses antes de finalizar el horizonte de inversión. Esto significa que la cobertura deja de estar vigente durante los últimos tres trimestres si no se realiza una renovación. Por eso, las bandas más amplias observadas en la sección 9.2 son consistentes con una mayor exposición del portafolio después del vencimiento.
La tercera limitación corresponde a las fuentes utilizadas para los datos de liquidez. Para ABT se utilizaron ChartExchange y Yahoo, mientras que para MDT y SYK se utilizó WhaleQuant. Al provenir de fuentes diferentes, existe cierta diferencia metodológica que puede introducir ruido en las estimaciones y que no necesariamente representa un cambio real en las condiciones del mercado.
Con estos resultados, el Collar sería la alternativa principal de cobertura, principalmente porque permite reducir el riesgo con un costo de prima mucho menor que la Protective Put. Esta estrategia puede complementarse con el Bear Put Spread sobre SYK, donde se concentra la mayor parte del riesgo del portafolio. La decisión, sin embargo, no debería mantenerse sin cambios durante los dos años. La cobertura debe revisarse periódicamente teniendo en cuenta el precio de las acciones, la volatilidad, el tiempo restante al vencimiento y el costo de renovar las opciones.
El punto más importante está en enero de 2028. Si el nivel de volatilidad observado en SYK mediante el modelo GARCH continúa, será necesario evaluar nuevamente la cobertura antes de que los contratos lleguen a vencimiento. En ese momento se deberá determinar si conviene mantener una estructura similar, modificar los strikes o renovar la protección. De no hacerlo, una parte importante del portafolio quedaría sin cobertura durante el tramo final del horizonte de inversión.
En términos de costo y reducción del riesgo, los resultados favorecen al Collar frente a la Protective Put dentro de los supuestos utilizados en este ejercicio. Sin embargo, la cobertura no debe evaluarse únicamente por la reducción inicial del VaR. También importa cuánto cuesta mantenerla y qué parte del potencial de valorización se está sacrificando. Por eso, la gestión del vencimiento y la revisión periódica de las condiciones de mercado terminan siendo tan importantes como la selección inicial de las opciones.
11 Referencias
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Abbott Laboratories. (s. f.). Financial snapshot. https://abbottinvestor.gcs-web.com/financials/fundamentals/financial-snapshot
Board of Governors of the Federal Reserve System. (s. f.). Market yield on U.S. Treasury securities at 2-year constant maturity [DGS2] [Conjunto de datos]. FRED, Federal Reserve Bank of St. Louis. https://fred.stlouisfed.org/series/DGS2
ChartExchange. (s. f.). Abbott Laboratories (ABT): Option chain, January 21, 2028. https://chartexchange.com/symbol/nyse-abt/optionchain/?date=20280121
Medtronic. (s. f.). Dividend history. https://investorrelations.medtronic.com/dividend-history
Stryker Corporation. (s. f.). Stock information. https://investors.stryker.com/stock-information/
Whale Quant. (s. f.). Medtronic (MDT): Options chain, January 21, 2028. https://whalequant.io/en/stocks/MDT/options/2028-01-21
Whale Quant. (s. f.). Stryker (SYK): Options chain, January 21, 2028. https://whalequant.io/en/stocks/SYK/options/2028-01-21
Yahoo Finance. (s. f.). Abbott Laboratories (ABT): Historical data. https://finance.yahoo.com/quote/ABT/history/
Yahoo Finance. (s. f.). Abbott Laboratories (ABT): Options, January 21, 2028. https://finance.yahoo.com/quote/ABT/options/?date=1832025600
Yahoo Finance. (s. f.). Medtronic plc (MDT): Historical data. https://finance.yahoo.com/quote/MDT/history/
Yahoo Finance. (s. f.). Stryker Corporation (SYK): Historical data. https://finance.yahoo.com/quote/SYK/history/