Ecuaciones: descubrir la cantidad que falta
Semana 5 · Matemáticas para las Ciencias Sociales I
2026-09-07
Un informe con una cifra faltante
Una encuesta informa:
384 personas representan el 32% de quienes respondieron.
Pero el documento no dice cuántas personas respondieron en total.
¿Podemos descubrirlo con la información que tenemos?
Hoy vamos a responder estas preguntas
- ¿Cómo encontrar una cantidad que no conocemos?
- ¿Cómo escribir una ecuación a partir de un problema?
- ¿Cómo saber si nuestra respuesta funciona?
- ¿Qué podemos concluir sobre la situación que estudiamos?
Trabajaremos con encuestas, participación y programas públicos.
Ponerle un nombre a lo que falta
Llamemos \(N\) al total de personas que respondieron.
Sabemos que el 32% de ese total son 384 personas:
\[ 0{,}32N=384 \]
Esta igualdad es una ecuación.
La letra representa la cantidad que queremos encontrar.
Encontrar el total
\[ 0{,}32N=384 \]
Dividimos ambos lados por 0,32:
Lo cual elimina el 0,32 al lado del N, dejando solo N. Al otro lado de la igualdad, 384 se divide en 0,32
\[ N=\frac{384}{0{,}32} \]
\[ N =1200 \]
Respondieron 1.200 personas.
Comprobemos: \(0{,}32\times1200=384\).
¿Qué significa resolver una ecuación?
Resolver es encontrar el valor que hace verdadera una igualdad.
\[ x+7=15 \]
Si probamos con \(x=6\): \(6+7=13\). No funciona.
Si probamos con \(x=8\): \(8+7=15\). Sí funciona.
La respuesta debe cumplir lo que decía el problema.
La misma operación en ambos lados
\[ x+7=15 \]
Restamos 7 en ambos lados:
\[ x+7-7=15-7 \]
\[ x=8 \]
Hacemos lo mismo en ambos lados para mantener la igualdad.
En general, evitamos la expresión “pasamos restando” o “pasa haciendo el opuesto”, ya que puede dar pie a confusiones.
Cuando hay más de un paso
\[ 2x+150=950 \]
Primero restamos 150 a ambos lados:
\[ 2x + 150 - 150 = 950 - 150 \]
\[ 2x=800 \]
Después dividimos por 2:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{800}{2} \]
\[ x=400 \]
¿Cómo comprobarías esta respuesta?
Tu turno: Explica qué harías primero
\[ 3x+120=750 \]
- ¿Qué operación harías primero?
- ¿Qué operación harías después?
- ¿Qué valor obtienes?
- ¿Funciona al reemplazarlo en la ecuación original?
Trabaja dos minutos y compara tu procedimiento con otra persona.
Los paréntesis también importan
Ante este problema:
\[ 4(x-30)=2x+180 \]
Una persona resuelve así:
\[ 4x-30=2x+180 \]
¿Qué parte del segundo paso cambiarías?
Recuerda: el 4 multiplica a todo lo que está dentro del paréntesis.
Corregimos y seguimos
\[ 4x-120=2x+180 \]
Restamos \(2x\) en ambos lados y sumamos 120:
\[ 4x - 2x - 120 + 120 = 2x - 2x +180 +120 \]
Si vamos resolviendo, quedamos con…
\[ 2x=300 \]
\[ x=150 \]
Comprobación: \(4(150-30)=480\) y \(2(150)+180=480\).
Una encuesta: ¿quiénes están incluidos?
Un equipo contactó a un número de personas que no conocemos.
- 120 personas no respondieron la pregunta.
- Entre quienes sí respondieron, 756 apoyan una propuesta.
- Esos apoyos representan el 63% de las respuestas a esa pregunta.
¿Cuántas personas fueron contactadas?
Separar el total de quienes respondieron
Llamemos \(N\) al total de personas contactadas.
Como 120 no respondieron, quienes respondieron son:
\[ N-120 \]
El 63% de ese grupo son 756 personas:
\[ 0{,}63(N-120)=756 \]
Reconstruir las dos cantidades
Dividimos por 0,63:
\[ N-120=1200 \]
Sumamos 120:
\[ N=1320 \]
Se contactó a 1.320 personas y respondieron 1.200.
Comprobación: \(0{,}63(1320-120)=756\).
¿El 63% de quiénes?
Los mismos 756 apoyos representan:
| Grupo de referencia | Porcentaje de apoyo identificado |
|---|---|
| 1.200 personas que respondieron | 63% |
| 1.320 personas contactadas | 57,27% |
¿Podemos decir que quienes no respondieron rechazaban la propuesta?
Su opinión no se conoce con estos datos.
Una organización pierde e incorpora integrantes
Durante el año, una organización:
- Perdió el 20% de quienes estaban al inicio.
- Incorporó 300 personas nuevas.
- Perdió el 10% de quienes la integraban en ese momento.
Terminó con 1.710 integrantes.
¿Con cuántas personas comenzó el año?
Seguir la historia en el mismo orden
Llamemos \(N\) al número inicial.
| Momento | Integrantes |
|---|---|
| Al inicio | \(N\) |
| Después de perder 20% | \(0{,}80N\) |
| Después de incorporar 300 | \(0{,}80N+300\) |
| Después de perder 10% | \(0{,}90(0{,}80N+300)\) |
La cantidad final es 1.710:
\[ 0{,}90(0{,}80N+300)=1710 \]
Resolver desde el final hacia el inicio
Dividimos por 0,90:
\[ 0{,}80N+300=1900 \]
Restamos 300:
\[ 0{,}80N=1600 \]
Dividimos por 0,80:
\[ N=2000 \]
Volver a recorrer el año
| Momento | Integrantes |
|---|---|
| Inicio | 2.000 |
| Salen 400 | 1.600 |
| Entran 300 | 1.900 |
| Salen 190 | 1.710 |
Salieron 590 personas, pero la organización terminó con 290 menos.
¿Cómo explicarías esa diferencia?
El orden puede cambiar la respuesta
Comparemos dos historias:
| Historia | Cantidad después del cambio |
|---|---|
| Primero pierde 20%; luego entran 300 | \(0{,}80N+300\) |
| Primero entran 300; luego pierde 20% | \(0{,}80(N+300)\) |
¿Son iguales estas expresiones?
En la segunda historia, las personas nuevas también están incluidas en la pérdida del 20%.
Participación: una frase que necesita aclaración
Un informe señala:
Al inicio participaba el 40% del padrón. Se incorporaron 120 participantes y la participación llegó al 50%.
¿Las 120 personas ya estaban inscritas o también son nuevas en el padrón?
Vamos a resolver ambas posibilidades.
Primera posibilidad: el padrón no cambia
Las 120 personas ya estaban inscritas, pero antes no participaban.
Si \(N\) es el total del padrón:
\[ 0{,}40N+120=0{,}50N \]
\[ 120=0{,}10N \]
\[ N=1200 \]
Participaban 480 personas; ahora participan 600.
Segunda posibilidad: el padrón también crece
Las 120 personas son nuevas en el padrón y todas participan.
\[ 0{,}40N+120=0{,}50(N+120) \]
\[ 0{,}40N+120=0{,}50N+60 \]
\[ 60=0{,}10N \]
Así, \(N=600\). Al final participan 360 personas de un padrón de 720.
Una aclaración cambia lo que podemos calcular
| Resultado | Padrón fijo | Padrón que crece |
|---|---|---|
| Personas inscritas al inicio | 1.200 | 600 |
| Personas inscritas al final | 1.200 | 720 |
| Participantes al final | 600 | 360 |
Los dos casos llegan al 50%, pero describen situaciones diferentes.
¿Qué le preguntarías a quien escribió el informe?
Un programa público y dos montos de apoyo
Un programa transfirió CLP 90 millones a 600 hogares.
- Hogares prioritarios: CLP 180.000 cada uno.
- Otros hogares: CLP 120.000 cada uno.
Cada hogar recibió una transferencia. Todo el dinero informado corresponde a esos pagos.
¿Cuántos hogares recibieron el monto prioritario?
Antes de calcular: ¿entre qué valores puede estar?
Si ninguno fuera prioritario:
\[ 600\times120000=72000000 \]
Si todos fueran prioritarios:
\[ 600\times180000=108000000 \]
Los CLP 90 millones están entre ambos extremos.
Tiene sentido buscar una combinación de los dos grupos.
Representar los dos grupos con una letra
Sea \(x\) el número de hogares prioritarios.
Los demás hogares son \(600-x\).
Para escribir menos ceros, usaremos miles de CLP:
\[ 180x+120(600-x)=90000 \]
Primer grupo + segundo grupo = total transferido.
Resolver la distribución
\[ 180x+72000-120x=90000 \]
\[ 60x=18000 \]
\[ x=300 \]
300 hogares recibieron CLP 180.000 y otros 300 recibieron CLP 120.000.
Comprobación: \(300(180)+300(120)=90000\) miles de CLP.
¿Qué significan esos 60 y esos 18.000?
Pagar CLP 120.000 a todos cuesta CLP 72 millones.
Quedan CLP 18 millones para aumentar algunos apoyos.
Cada hogar prioritario recibe CLP 60.000 adicionales:
\[ \frac{18000000}{60000}=300 \]
El dinero adicional alcanza para aumentar el apoyo de 300 hogares.
¿La mitad de los hogares recibe la mitad del dinero?
| Grupo | Hogares | Recursos recibidos | Parte del total |
|---|---|---|---|
| Prioritarios | 300 | CLP 54 millones | 60% |
| Otros | 300 | CLP 36 millones | 40% |
Ambos grupos tienen el mismo tamaño, pero reciben montos diferentes.
¿Qué necesitaríamos saber para discutir si esa distribución es justa?
Un informe comunal: ¿las cifras coinciden?
El informe presenta:
| Dato | Valor |
|---|---|
| Población adulta | 48.000 |
| Participantes adultos | 13.200 |
| Participación declarada | 35% |
Las cifras corresponden a la misma fecha y comuna. Cada participante se cuenta una vez.
Calcula el porcentaje con los dos conteos. ¿Obtienes 35%?
La cuenta plantea una pregunta al informe
\[ \frac{13200}{48000}\times100=27{,}5\% \]
Con esos conteos, el porcentaje es 27,5%.
Para que participara el 35% de 48.000 personas, se necesitarían:
\[ 0{,}35\times48000=16800 \]
Encontramos una diferencia. Todavía no sabemos qué dato hay que corregir.
Hay preguntas que un total no permite responder
Ahora imagina que los 600 hogares reciben el mismo monto: CLP 120.000.
El total es CLP 72 millones.
¿Ese total permite saber cuántos hogares eran prioritarios?
Podrían ser 100, 300 o 500: el gasto sería el mismo.
Necesitamos otra información que permita distinguir los grupos.
Ahora ustedes: Reconstruir una consulta
Una consulta tenía un padrón cuyo tamaño no aparece en el informe.
- El 10% no respondió.
- Entre quienes respondieron, hubo 120 respuestas inválidas.
- El 60% de las respuestas válidas apoyó la propuesta.
- Se registraron 1.008 apoyos.
¿Cuántas personas había en el padrón?
Trabajen en parejas antes de avanzar a la solución.
Cuatro preguntas para construir la ecuación
Si \(N\) es el número de personas en el padrón:
- ¿Cómo escribimos cuántas respondieron?
- ¿Cómo descontamos las 120 respuestas inválidas?
- ¿A qué cantidad aplicamos el 60%?
- ¿Qué expresión debe ser igual a 1.008?
Después de resolver, comprueben si recuperan los 1.008 apoyos.
La ecuación de la consulta
\[ 0{,}60(0{,}90N-120)=1008 \]
Dividimos por 0,60:
\[ 0{,}90N-120=1680 \]
Sumamos 120 y dividimos por 0,90:
\[ 0{,}90N=1800 \]
\[ N=2000 \]
Volver a las personas detrás de la ecuación
| Momento del registro | Personas |
|---|---|
| Padrón | 2.000 |
| Respondieron | 1.800 |
| Respuestas válidas | 1.680 |
| Apoyaron | 1.008 |
Los apoyos son el 60% de las respuestas válidas, pero el 50,4% del padrón.
¿Por qué ambas cifras son correctas?
¿Qué frase podríamos publicar?
A. “El 60% de las respuestas válidas apoyó la propuesta”.
B. “El 60% de las personas del padrón apoyó la propuesta”.
C. “Quienes no respondieron estaban en contra”.
Elige la frase respaldada por los datos y explica qué problema tienen las otras dos.
RESULTADO AL FINAL DEL PPT
Para practicar: Una nueva encuesta
864 apoyos representan el 72% de las respuestas válidas a una pregunta.
Además, 150 personas contactadas no entregaron una respuesta válida.
- ¿Cuántas respuestas válidas hubo?
- ¿Cuántas personas fueron contactadas?
- ¿Qué ecuación permite encontrar directamente el total contactado?
- Comprueba tu resultado.
RESULTADO AL FINAL DEL PPT
Antes de terminar
Una organización conservó al 75% de sus integrantes iniciales e incorporó 180 personas nuevas. Terminó con 1.080 integrantes.
Escribe:
- La ecuación y el número inicial de integrantes.
- Cuántas personas salieron y cuál fue el cambio neto.
- Una comprobación.
¿Por qué “salieron 120 personas” sería una descripción incorrecta?
RESULTADO AL FINAL DEL PPT
Solucionario
Ejercicio diapositiva 39
La A es correcta.
B usa denominador incorrecto, el apoyo identificado es 50,4% del padrón
C atribuye una posición que no se observó. Aclarar que no se ha demostrado representatividad del padrón respecto de toda una población.
Solucionario
Ejercicio diapositiva 40
- Válidas= 1200
- Contactadas = 1350.
- Si N es contactadas: 0,72(N-150) = 864.
- Comprobación: 0,72(1350-150)=864.
Solucionario
Ejercicio diapositiva 41
- Ecuación: 0,75N+180=1080
- Número inicial: N=1200
- Salieron: 300. Entraron: 180. Saldo: -120.
- Comprobación: 900+180=1080
Matemáticas para las Cs. Sociales I