Professor: Dr. Ramon Gregório Silva
Timóteo - MG
Setembro de 2026
Consideremos o modelo original (1) e o modelo transformado por uma matriz não singular A (2):
A função de perda (Soma dos Quadrados dos Erros - SQE) a minimizar é:
Derivando em relação a β e igualando a zero (Condição de Primeira Ordem):
Isolando o estimador original *b*:
Substituindo *X̃ = XA* na função de perda:
Derivando em relação a β̃ e igualando a zero:
Isolando o estimador transformado *b̃*:
Aplicando a propriedade da inversa de um produto matricial:
Substituindo de volta na equação de β̃ e agrupando os termos:
Como `(A')⁻¹A' = I` (matriz identidade) e `(X'X)⁻¹X'y = b`, a expressão se reduz a:
Seja y = β_0 + β_1 * x + ε, em que y representa as horas trabalhadas por semana e x o salário por hora em **dólares**[cite: 1]. Use o resultado do item (a) para analisar o efeito de mudar a unidade de medida de x de dólares para **centavos** sobre o coeficiente estimado[cite: 1].
Definindo a nova variável explicativa em centavos (x*):
Portanto, a matriz de regressores transformada pode ser escrita como X* = XA, onde a matriz de transformação (escalar) é **A = 100**.
Utilizando a relação b_tilde = A⁻¹ * b demonstrada no item (a), com A = 100:
Como o salário passa a ser medido em centavos (valores 100 vezes maiores), o impacto de 1 centavo a mais no salário sobre as horas trabalhadas deve ser 100 vezes menor do que o impacto de 1 dólar a mais.
Considere os modelos:
Demonstre formalmente que a soma dos resíduos de MQO da regressão (3) é igual à soma dos resíduos de MQO da regressão (4).
Reescrevemos o modelo completo (3) agrupando as matrizes e parâmetros unificados:
onde *W = [X : Z]* e *g* é o vetor unificado de parâmetros. A função de perda a minimizar é:
Derivando em relação a *g* e igualando a zero (CPO), obtemos o estimador de MQO:
Substituindo *g* diretamente na equação do vetor de resíduos do modelo original *e = y - Wg*:
Colocando *y* em evidência, surge a matriz de projeção ortogonal completa *MW*, que ao detalhar a partição de W em X e Z e isolar por inversão em blocos, resulta explicitamente na matriz aniquiladora *MZ*:
Definimos a matriz aniquiladora em relação a Z como:
Ela é chamada de aniquiladora porque anula o efeito linear de Z (pois *MZ Z = 0*), expurgando de *y* e de *X* a influência associada a *Z*.
Pré-multiplicando o modelo original (3) por *MZ*, o termo *Zγ* é eliminado, resultando na equação (4):
Aplicando o MQO na equação transformada (4), obtemos o estimador estrutural *b̃* substituindo a forma matricial correspondente:
O vetor de resíduos da regressão auxiliar (4) é dado por substituindo *b̃* em função de *y*:
Colocando o vetor *y* em evidência na expressão acima, obtemos exatamente a estrutura da aniquiladora aplicada:
Como o vetor de resíduos do modelo completo original (3) derivado no Passo 1 por *y - Wg* resulta exatamente na mesma expressão, conclui-se formalmente que os resíduos são idênticos e, por consequência, suas somas são iguais:
Seja o modelo populacional:
com E[εi | xi] = α0 + α1xi. Encontre γ0 e γ1 em função dos β's e dos α's.
Aplicando o operador de esperança condicional em relação a xᵢ na equação estrutural:
Substituindo a premissa E[εi | xi] = α0 + α1xi:
Reagrupando os termos constantes e os termos lineares associados a xᵢ:
Comparando com a projeção linear teórica de MQO, E[yi | xi] = γ0 + γ1xi, obtém-se:
Considere o modelo linear genérico na forma matricial (sem intercepto, para isolar o foco da comparação):\[y = X\beta + \epsilon\]
Onde \[E[\epsilon \vert{} X] = 0\] e
\[V(\epsilon \vert{} X) = \sigma^2 I\].
Derivação do MQO:O método de Mínimos Quadrados Ordinários busca minimizar a soma dos quadrados dos resíduos,
\[S(\beta)\]:
\[S(\beta) = \epsilon'\epsilon = (y - X\beta)'(y - X\beta) = y'y - 2\beta'X'y + \beta'X'X\beta\]
Para encontrar o valor de \(\beta\) que minimiza essa função, tiramos a derivada em relação a \(\beta\) e igualamos a zero (Condição de Primeira Ordem):
\[\frac{\partial S(\beta)}{\partial \beta} = -2X'y + 2X'X\beta = 0\]
Isolando o vetor de parâmetros \(\hat{\beta}_{MQO}\):\[X'X\beta = X'y \implies \hat{\beta}_{MQO} = (X'X)^{-1} X' y\]
O Método dos Momentos baseia-se em igualar os momentos populacionais aos seus análogos amostrais.Derivação do MOM:A restrição de ortogonalidade populacional entre os regressores e o termo de erro é dada por:
\[E[X' \epsilon] = 0\]Substituindo o erro estrutural \(\epsilon = y - X\beta\):\[E[X' (y - X\beta)] = 0 \implies E[X'y] - E[X'X]\beta = 0\]
No Método dos Momentos aplicado com variáveis centralizadas (ou considerando a restrição de média zero no espaço amostral), substituímos a esperança matemática pelo análogo amostral (somatório dividido por \(n\)):
\[\frac{1}{n} \tilde{X}' (\tilde{y} - \tilde{X}\beta_{MOM}) = 0\]Onde \(\tilde{X}\) e \(\tilde{y}\) representam as variáveis centralizadas em relação às suas médias amostrais. Resolvendo para \(\hat{\beta}_{MOM}\):\[\hat{\beta}_{MOM} = (\tilde{X}' \tilde{X})^{-1} \tilde{X}' \tilde{y}\]
A eficiência de um estimador é julgada pela sua matriz de variância-covariância. Substituindo \(\hat{\beta} = \beta + (X'X)^{-1}X'\epsilon\), obtemos as variâncias teóricas:
Variância do MQO:
\[V(\hat{\beta}_{MQO} \vert{} X) = \sigma^2 (X'X)^{-1}\]
Variância do MOM:
\[V(\hat{\beta}_{MOM} \vert{} X) = \sigma^2 (\tilde{X}' \tilde{X})^{-1}\]
Por que o MQO é mais eficiente? (Análise Gráfica e Teórica)
Algebricamente, sabemos que a matriz de soma de quadrados não centralizada (\(X'X\)) é relacionada à matriz centralizada (\(\tilde{X}'\tilde{X}\)) pela decomposição da variância:
\[X'X = \tilde{X}'\tilde{X} + n\bar{x}^2\]Como \(n\bar{x}^2\) é uma quantidade estritamente positiva, temos a seguinte relação matricial de grandeza:
\[X'X \ge \tilde{X}'\tilde{X}\] Quando aplicamos a operação de inversão de matrizes, a desigualdade se inverte:\[(\tilde{X}'\tilde{X})^{-1} \ge (X'X)^{-1}\]
Multiplicando por \(\sigma^2\), concluímos que:
\[V(\hat{\beta}_{MOM}) \ge V(\hat{\beta}_{MQO})\]
O script inicia estabelecendo um ambiente controlado e reprodutível por meio da função set.seed(42), o que garante que os mesmos números pseudoaleatórios sejam gerados em todas as execuções. Em seguida, define-se o tamanho da amostra com duzentas observações e criam-se a variável explicativa \(x\) e o termo de erro estocástico \(\epsilon\) a partir de distribuições normais com médias e desvios padrão definidos. Com esses componentes, a variável dependente \(y\) é construída seguindo o modelo populacional verdadeiro sem intercepto, onde o parâmetro real que o código busca recuperar é igual a dois.
Na primeira etapa de estimação, a variável \(x\) é convertida em uma matriz coluna para viabilizar as operações lineares. O coeficiente de Mínimos Quadrados Ordinários é calculado aplicando diretamente a fórmula analítica matricial, utilizando a transposição, a multiplicação de matrizes e a inversão por meio da função solve. Na sequência, determinam-se os resíduos do modelo, estima-se a variância do erro dividindo a soma dos resíduos quadrados pelos graus de liberdade e calcula-se a matriz de variância-covariância, cuja raiz quadrada do elemento diagonal fornece o erro padrão do MQO para avaliar a precisão da estimativa.
A segunda etapa foca no Método dos Momentos aplicando a condição de momento populacional por meio de variáveis centralizadas pelas respectivas médias amostrais. Após obter as versões centralizadas de \(x\) e \(y\), o estimador MOM é computado algebricamente com as matrizes correspondentes. A variância do erro para este método utiliza um ajuste de graus de liberdade redobrado pela perda decorrente da centralização, permitindo derivar a matriz de variância-covariância e o erro padrão associado ao MOM.
Por fim, o código consolida todas as métricas geradas em um quadro de dados estruturado, organizando o método, o coeficiente estimado, a variância e o erro padrão em uma tabela comparativa. Essa simulação empírica demonstra claramente que, embora ambos os métodos recuperem valores muito próximos do parâmetro verdadeiro, a variância e o erro padrão do MOM são superiores aos do MQO, comprovando na prática a superioridade de eficiência do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários.
# Configuração inicial e reprodutibilidade
set.seed(42)
n <- 200
# Gerando a variável explicativa X e o termo de erro epsilon
x <- rnorm(n, mean = 5, sd = 2)
epsilon <- rnorm(n, mean = 0, sd = 1.5)
# Modelo populacional verdadeiro: y = 2*x + epsilon (sem intercepto)
beta_verdadeiro <- 2
y <- beta_verdadeiro * x + epsilon
# -------------------------------------------------------------
# 1. ESTIMATIVA POR MQO (Mínimos Quadrados Ordinários)
# -------------------------------------------------------------
X <- matrix(x, ncol = 1)
b_mqo <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y
# Variância do Estimador MQO
res_mqo <- y - X %*% b_mqo
sigma2_mqo <- sum(res_mqo^2) / (n - 1)
var_b_mqo <- sigma2_mqo * solve(t(X) %*% X)
ep_b_mqo <- sqrt(var_b_mqo[1, 1])
# Intervalo de Confiança 95% para MQO (usando distribuição t de Student)
t_critico <- qt(0.975, df = n - 1)
ic_inf_mqo <- b_mqo[1] - t_critico * ep_b_mqo
ic_sup_mqo <- b_mqo[1] + t_critico * ep_b_mqo
# -------------------------------------------------------------
# 2. ESTIMATIVA POR MOM (Método dos Momentos Centralizado)
# -------------------------------------------------------------
x_til <- x - mean(x)
y_til <- y - mean(y)
X_til <- matrix(x_til, ncol = 1)
b_mom <- solve(t(X_til) %*% X_til) %*% t(X_til) %*% y_til
# Variância do Estimador MOM
res_mom <- y_til - X_til %*% b_mom
sigma2_mom <- sum(res_mom^2) / (n - 2) # Ajuste de grau de liberdade pela centralização
var_b_mom <- sigma2_mom * solve(t(X_til) %*% X_til)
ep_b_mom <- sqrt(var_b_mom[1, 1])
# Intervalo de Confiança 95% para MOM
t_critico_mom <- qt(0.975, df = n - 2)
ic_inf_mom <- b_mom[1] - t_critico_mom * ep_b_mom
ic_sup_mom <- b_mom[1] + t_critico_mom * ep_b_mom
# -------------------------------------------------------------
# 3. CONSOLIDAÇÃO DOS RESULTADOS EM TABELA
# -------------------------------------------------------------
resultados <- data.frame(
Metodo = c("MQO", "MOM"),
Coeficiente_Estimado = c(b_mqo[1], b_mom[1]),
Variancia = c(var_b_mqo[1, 1], var_b_mom[1, 1]),
Erro_Padrao = c(ep_b_mqo, ep_b_mom),
IC_Inferior_95 = c(ic_inf_mqo, ic_inf_mom),
IC_Superior_95 = c(ic_sup_mqo, ic_sup_mom)
)
print(resultados)## Metodo Coeficiente_Estimado Variancia Erro_Padrao IC_Inferior_95
## 1 MQO 1.995122 0.000357336 0.01890333 1.957846
## 2 MOM 1.941427 0.002665493 0.05162842 1.839615
## IC_Superior_95
## 1 2.032399
## 2 2.043239Analisando os resultados da simulação para sabermos qual estimador ficou mais próximo do valor real (esperança de 2):
MQO: Estimou o coeficiente em 1.9951, ficando a uma distância extremamente pequena de apenas 0.0049 do valor verdadeiro (\(\beta = 2\)). Além disso, apresentou uma variância muito baixa (0.000357) e um erro padrão reduzido (0.0189), o que resultou em um intervalo de confiança bastante estreito e preciso ([1.9578, 2.0324]).
MOM: Estimou o coeficiente em 1.9414, distanciando-se 0.0586 do valor verdadeiro (uma distância mais de dez vezes superior à do MQO). O MOM também apresentou uma variância consideravelmente maior (0.002665) e um erro padrão mais alto (0.0516), gerando um intervalo de confiança mais amplo ([1.8396, 2.0432]).
Conclusão:O MQO está muito mais próximo do valor real de 2 e demonstra superioridade empírica absoluta. Enquanto ambos os estimadores são não tendenciosos na teoria, na prática o MQO entrega uma estimativa pontual muito mais precisa e uma eficiência estatística drasticamente superior (menor variância e intervalo mais estreito), refletindo exatamente o que a teoria do Teorema de Gauss-Markov prevê.
Considere o modelo de regressão linear:
$$ y_i = \beta x_i + \epsilon_i $$em que \(\beta\) é o parâmetro populacional de interesse e \(\epsilon_i\) representa o termo de erro. Assume-se a condição de exogeneidade condicional:
$$ E\left[\epsilon_i\mid x_i\right] = 0. $$Partimos da definição analítica do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários para o modelo sem intercepto:
$$ b^{MQO} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i }{ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 }. $$Substituindo o modelo estrutural \(y_i = \beta x_i + \epsilon_i\) na expressão do estimador:
$$ b^{MQO} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i \left( \beta x_i + \epsilon_i \right) }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Distribuindo \(x_i\) dentro do parêntese:
$$ b^{MQO} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} \left( \beta x_i^2 + x_i\epsilon_i \right) }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Separando os dois componentes do numerador:
$$ b^{MQO} = \frac{ \beta\sum_{i=1}^{n}x_i^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 } + \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Como \(\beta\) é um parâmetro constante, a primeira parcela pode ser simplificada:
$$ b^{MQO} = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Agora, tomando a esperança condicional em relação a \(x\):
$$ E\left[ b^{MQO}\mid x \right] = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i E\left[ \epsilon_i\mid x_i \right] }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Pela hipótese de exogeneidade condicional:
$$ E\left[ \epsilon_i\mid x_i \right] = 0. $$Substituindo essa condição na expressão da esperança:
$$ E\left[ b^{MQO}\mid x \right] = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i(0) }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$ $$ \boxed{ E\left[ b^{MQO}\mid x \right] = \beta } $$Portanto, o estimador de MQO é não viciado, pois sua esperança condicional é igual ao verdadeiro parâmetro populacional.
Para o estimador pelo Método dos Momentos, partimos da expressão baseada na covariância amostral entre \(x_i\) e \(y_i\):
$$ b^{MOM} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }. $$Em primeiro lugar, desenvolvemos o numerador:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_i - x_i\bar{y} - \bar{x}y_i + \bar{x}\bar{y} \right). $$Distribuindo o somatório entre os diferentes termos:
$$ \sum_{i=1}^{n}x_i y_i - \bar{y}\sum_{i=1}^{n}x_i - \bar{x}\sum_{i=1}^{n}y_i + \sum_{i=1}^{n}\bar{x}\bar{y}. $$Como \(\sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}\) e \(\sum_{i=1}^{n}y_i=n\bar{y}\), temos:
$$ \sum_{i=1}^{n}x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} - n\bar{x}\bar{y} + n\bar{x}\bar{y}. $$Consequentemente, o numerador pode ser escrito como:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}. $$Da mesma forma, o denominador pode ser desenvolvido:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2 \right). $$Distribuindo o somatório:
$$ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2. $$Utilizando novamente \(\sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x}\):
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2. $$Agora substituímos \(y_i=\beta x_i+\epsilon_i\) no numerador do estimador MOM. Como \(\bar{y}=\beta\bar{x}+\bar{\epsilon}\), temos:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}) \left[ \beta(x_i-\bar{x}) + (\epsilon_i-\bar{\epsilon}) \right]. $$Distribuindo \((x_i-\bar{x})\):
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \beta \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 + \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}) (\epsilon_i-\bar{\epsilon}). $$Como \(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0\), o termo envolvendo \(\bar{\epsilon}\) desaparece:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}) (\epsilon_i-\bar{\epsilon}) = \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})\epsilon_i. $$Assim, o numerador assume a forma:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \beta \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 + \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})\epsilon_i. $$Substituindo essa expressão no estimador MOM:
$$ b^{MOM} = \frac{ \beta \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 + \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 }. $$Separando as duas parcelas:
$$ b^{MOM} = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }. $$Tomando a esperança condicional em relação a \(x\):
$$ E\left[ b^{MOM}\mid x \right] = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}) E\left[ \epsilon_i\mid x \right] }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }. $$Pela condição de exogeneidade condicional, a esperança do erro é igual a zero:
$$ E\left[ \epsilon_i\mid x \right] = 0. $$Portanto:
$$ E\left[ b^{MOM}\mid x \right] = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(0) }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }. $$ $$ \boxed{ E\left[ b^{MOM}\mid x \right] = \beta } $$Assim, o estimador MOM também é não viciado, pois sua esperança condicional coincide com o parâmetro populacional \(\beta\).
As duas demonstrações mostram que, sob a hipótese de exogeneidade condicional, tanto o estimador de MQO quanto o estimador MOM possuem esperança condicional igual ao parâmetro populacional:
$$ \boxed{ E\left[ b^{MQO}\mid x \right] = E\left[ b^{MOM}\mid x \right] = \beta } $$Portanto, ambos os estimadores são não viciados. A diferença entre eles não está no viés, mas nas propriedades de variância e eficiência, que podem ser analisadas posteriormente.
Na letra (a), foi demonstrado que os dois estimadores são não viciados. Portanto, para comparar sua eficiência, devemos analisar suas variâncias condicionais. Como ambos estimam o mesmo parâmetro \(\beta\) sem viés, o estimador com menor variância apresenta menor dispersão em torno do verdadeiro valor do parâmetro e, consequentemente, menor erro-padrão.
Na letra (a), obtivemos a seguinte expressão para o estimador de MQO:
$$ b^{MQO} = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Como \(\beta\) é uma constante, a variância do estimador depende apenas do segundo termo:
$$ V\left( b^{MQO}\mid x \right) = V\left( \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 } \middle|x \right). $$Assumindo homocedasticidade e ausência de correlação entre os erros, temos:
$$ V(\epsilon_i\mid x)=\sigma^2. $$Assim, a variância do estimador pode ser escrita como:
$$ V\left( b^{MQO}\mid x \right) = \frac{ \sigma^2 \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }{ \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right)^2 }. $$Simplificando:
$$ \boxed{ V\left( b^{MQO}\mid x \right) = \frac{ \sigma^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 } } $$O erro-padrão é definido como a raiz quadrada da variância:
$$ EP\left( b^{MQO}\mid x \right) = \sqrt{ V\left( b^{MQO}\mid x \right) }. $$Substituindo a variância encontrada anteriormente:
$$ EP\left( b^{MQO}\mid x \right) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 } }. $$Portanto:
$$ \boxed{ EP\left( b^{MQO}\mid x \right) = \frac{ \sigma }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 } } } $$Na demonstração da letra (a), obtivemos:
$$ b^{MOM} = \beta + \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }. $$Como \(\beta\) é uma constante, a variância depende apenas do segundo termo:
$$ V\left( b^{MOM}\mid x \right) = V\left( \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 } \middle|x \right). $$Sob a hipótese de homocedasticidade, temos:
$$ V(\epsilon_i\mid x)=\sigma^2. $$Assim, a variância do estimador MOM é:
$$ V\left( b^{MOM}\mid x \right) = \frac{ \sigma^2 \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }{ \left[ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 \right]^2 }. $$Simplificando:
$$ \boxed{ V\left( b^{MOM}\mid x \right) = \frac{ \sigma^2 }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 } } $$O erro-padrão corresponde à raiz quadrada da variância:
$$ EP\left( b^{MOM}\mid x \right) = \sqrt{ V\left( b^{MOM}\mid x \right) }. $$Substituindo a expressão da variância:
$$ EP\left( b^{MOM}\mid x \right) = \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 } }. $$Portanto:
$$ \boxed{ EP\left( b^{MOM}\mid x \right) = \frac{ \sigma }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 } } } $$Para comparar a eficiência dos dois estimadores, devemos comparar os denominadores de suas variâncias. Para isso, desenvolvemos a soma dos desvios quadráticos em relação à média:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2. $$Como \(n\bar{x}^2\geq0\), segue que:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}x_i^2. $$Quando \(\bar{x}\neq0\), temos uma desigualdade estrita:
$$ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 < \sum_{i=1}^{n}x_i^2. $$Portanto, o denominador da variância do estimador MOM é menor que o denominador da variância do estimador MQO.
Como \(\sigma^2\) é positivo e aparece no numerador das duas expressões, a comparação depende exclusivamente dos denominadores. Um denominador menor implica uma variância maior. Portanto:
$$ \boxed{ V\left( b^{MQO}\mid x \right) < V\left( b^{MOM}\mid x \right) } $$Isso significa que o estimador MQO apresenta menor dispersão em torno do verdadeiro parâmetro \(\beta\).
Como o erro-padrão é a raiz quadrada da variância, uma menor variância implica também um menor erro-padrão. Assim:
$$ \sqrt{ V\left( b^{MQO}\mid x \right) } < \sqrt{ V\left( b^{MOM}\mid x \right) }. $$Portanto, podemos escrever:
$$ \boxed{ EP\left( b^{MQO}\mid x \right) < EP\left( b^{MOM}\mid x \right) } $$Como os dois estimadores são não viciados, seus erros não decorrem de uma diferença sistemática em relação ao verdadeiro parâmetro \(\beta\). A diferença está na dispersão dos erros de estimação.
$$ \operatorname{Erro}(b) = b-\beta. $$Para o MQO, o erro de estimação é:
$$ b^{MQO}-\beta = \frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 }. $$Para o MOM, o erro de estimação é:
$$ b^{MOM}-\beta = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})\epsilon_i }{ \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 }. $$A variância desses erros é exatamente a variância dos respectivos estimadores. Como demonstrado anteriormente:
$$ V\left( b^{MQO}\mid x \right) < V\left( b^{MOM}\mid x \right). $$Logo, na formulação considerada no exercício, o erro de estimação do MQO possui menor variabilidade e, portanto, o estimador MQO apresenta menor erro-padrão.
Conclusão:
Como os dois estimadores são não viciados, a eficiência pode ser comparada por meio da variância. Para
\(\bar{x}\neq0\)
, temos
\(V(b^{MQO}\mid x)
A simulação de Monte Carlo foi construída a partir do processo gerador de dados definido no enunciado da Questão 3. Considerou-se o modelo \(y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i\), em que os parâmetros verdadeiros são \((\beta_0,\beta_1,\sigma^2)=(2,1,1)\), enquanto a variável explicativa segue uma distribuição normal padrão, \(x_i\sim N(0,1)\), e o termo de erro segue \(\epsilon_i\sim NID(0,1)\). Dessa forma, os valores dos parâmetros populacionais são conhecidos antes da estimação, o que permite comparar posteriormente os valores estimados pelo MQO com os seus respectivos valores verdadeiros.
Para realizar o experimento, foi fixada a semente aleatória em 1234, conforme solicitado no enunciado. Foram realizadas 1.000 repetições independentes, sendo que cada repetição contém uma amostra de 250 observações. Em cada uma dessas amostras, inicialmente são gerados 250 valores de \(x_i\) a partir de uma distribuição \(N(0,1)\). Em seguida, são gerados 250 valores do termo de erro \(\epsilon_i\), também provenientes de uma distribuição normal com média zero e variância igual a um.
A variável dependente é então construída a partir dos valores verdadeiros dos parâmetros. Assim, para cada observação, calcula-se \(y_i\) segundo \(y_i=2+x_i+\epsilon_i\). Esse procedimento garante que os dados simulados sejam efetivamente gerados de acordo com o modelo estabelecido na questão, no qual o intercepto verdadeiro é igual a 2, o coeficiente angular verdadeiro é igual a 1 e a variância populacional do erro é igual a 1.
Após a geração de cada amostra, o modelo é estimado por Mínimos Quadrados Ordinários. Para cada uma das 1.000 repetições, são obtidos os estimadores \(\hat{\beta}_0\) e \(\hat{\beta}_1\), além da estimativa da variância dos erros. Esses resultados são armazenados separadamente para cada repetição. Ao final da simulação, portanto, temos 1.000 valores para o estimador do intercepto e 1.000 valores para o estimador do coeficiente angular. Isso permite estudar empiricamente a distribuição amostral dos estimadores de MQO.
Além dos coeficientes estimados, foram armazenados todos os valores de \(x_i\), \(\epsilon_i\) e \(y_i\) produzidos durante a simulação. Como são realizadas 1.000 repetições com 250 observações cada, o banco completo contém 250.000 observações simuladas. Também foi registrada a identificação de cada repetição, permitindo posteriormente separar qualquer uma das 1.000 amostras e analisar individualmente o comportamento dos dados e dos estimadores.
A simulação também permite calcular posteriormente o erro de estimação de cada coeficiente. Para o intercepto, esse erro é definido como \(\hat{\beta}_0-\beta_0\), enquanto para o coeficiente angular é definido como \(\hat{\beta}_1-\beta_1\). Como os valores verdadeiros são conhecidos, podemos verificar se esses erros se distribuem em torno de zero. Essa propriedade será fundamental para investigar empiricamente a ausência de viés dos estimadores de MQO.
O procedimento também permite avaliar o comportamento do termo de erro utilizado na geração dos dados. Como o processo gerador estabelece \(E(\epsilon_i)=0\) e \(Var(\epsilon_i)=1\), espera-se que, ao considerar o conjunto das observações simuladas, a média dos erros fique próxima de zero e sua variância fique próxima de um. Além disso, será possível analisar a relação entre os erros e os valores de \(x_i\), verificando se a dispersão dos erros permanece aproximadamente constante ao longo da distribuição da variável explicativa, característica associada à hipótese de homocedasticidade.
Assim, nesta primeira etapa, a simulação não realiza ainda a avaliação estatística dos resultados. Seu objetivo é construir o experimento de Monte Carlo e armazenar todas as informações necessárias para a etapa seguinte. A partir das 1.000 estimativas obtidas, será possível calcular a média dos estimadores, o viés, a variância, o desvio-padrão e o erro quadrático médio, além de analisar graficamente suas distribuições. Dessa maneira, a simulação cria uma representação empírica do comportamento do estimador de MQO em repetidas amostras provenientes do mesmo processo gerador de dados.
# ============================================================
# QUESTÃO 3(a) — SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO
# ============================================================
#
# Modelo:
#
# y_i = beta_0 + beta_1*x_i + epsilon_i
#
# epsilon_i ~ NID(0, sigma^2)
#
# Parametros verdadeiros:
# beta_0 = 2
# beta_1 = 1
# sigma^2 = 1
#
# x_i ~ N(0,1)
#
# 1.000 repeticoes
# 250 observacoes por repeticao
# seed = 1234
# ============================================================
# ------------------------------------------------------------
# 1. LIMPEZA
# ------------------------------------------------------------
rm(list = ls())
# ------------------------------------------------------------
# 2. CONFIGURACAO DA SIMULACAO
# ------------------------------------------------------------
set.seed(1234)
# Numero de repeticoes de Monte Carlo
R <- 1000
# Tamanho da amostra em cada repeticao
n <- 250
# Parametros verdadeiros
beta_0 <- 2
beta_1 <- 1
# Variancia verdadeira do erro
sigma2 <- 1
# Desvio-padrao verdadeiro do erro
sigma <- sqrt(sigma2)
# ------------------------------------------------------------
# 3. OBJETOS QUE SERAO SALVOS
# ------------------------------------------------------------
# Resultados dos estimadores em cada repeticao
resultados_mc <- data.frame(
repeticao = 1:R,
beta_0_hat = numeric(R),
beta_1_hat = numeric(R),
sigma2_hat = numeric(R)
)
# ------------------------------------------------------------
# 4. OBJETO PARA ARMAZENAR TODAS AS OBSERVACOES
# ------------------------------------------------------------
#
# Como temos:
#
# 1.000 repeticoes x 250 observacoes
#
# teremos:
#
# 250.000 observacoes simuladas.
# ------------------------------------------------------------
dados_mc <- data.frame(
repeticao = integer(R * n),
observacao = integer(R * n),
x = numeric(R * n),
epsilon = numeric(R * n),
y = numeric(R * n)
)
# ------------------------------------------------------------
# 5. SIMULACAO DE MONTE CARLO
# ------------------------------------------------------------
posicao <- 1
for (r in 1:R) {
# ----------------------------------------------------------
# 5.1 Geracao da variavel explicativa
#
# x_i ~ N(0,1)
# ----------------------------------------------------------
x <- rnorm(
n = n,
mean = 0,
sd = 1
)
# ----------------------------------------------------------
# 5.2 Geracao do termo de erro
#
# epsilon_i ~ N(0,1)
# ----------------------------------------------------------
epsilon <- rnorm(
n = n,
mean = 0,
sd = sigma
)
# ----------------------------------------------------------
# 5.3 Geracao da variavel dependente
#
# y_i = beta_0 + beta_1*x_i + epsilon_i
# ----------------------------------------------------------
y <- beta_0 +
beta_1 * x +
epsilon
# ----------------------------------------------------------
# 5.4 Estimacao por MQO
#
# O modelo possui intercepto:
#
# y_i = beta_0 + beta_1*x_i + epsilon_i
# ----------------------------------------------------------
modelo_mqo <- lm(y ~ x)
# ----------------------------------------------------------
# 5.5 Extracao dos estimadores
# ----------------------------------------------------------
beta_0_hat <- coef(modelo_mqo)[1]
beta_1_hat <- coef(modelo_mqo)[2]
# ----------------------------------------------------------
# 5.6 Estimativa da variancia dos erros
# ----------------------------------------------------------
sigma2_hat <- summary(modelo_mqo)$sigma^2
# ----------------------------------------------------------
# 5.7 Salvamento dos resultados da repeticao
# ----------------------------------------------------------
resultados_mc$beta_0_hat[r] <- beta_0_hat
resultados_mc$beta_1_hat[r] <- beta_1_hat
resultados_mc$sigma2_hat[r] <- sigma2_hat
# ----------------------------------------------------------
# 5.8 Salvamento das observacoes individuais
# ----------------------------------------------------------
indices <- posicao:(posicao + n - 1)
dados_mc$repeticao[indices] <- r
dados_mc$observacao[indices] <- 1:n
dados_mc$x[indices] <- x
dados_mc$epsilon[indices] <- epsilon
dados_mc$y[indices] <- y
# Atualizacao da posicao
posicao <- posicao + n
}
# ------------------------------------------------------------
# 6. OBJETOS SEPARADOS PARA FACILITAR A ANALISE POSTERIOR
# ------------------------------------------------------------
# Todas as observacoes de x
x_mc <- dados_mc$x
# Todos os erros verdadeiros
epsilon_mc <- dados_mc$epsilon
# Todas as observacoes de y
y_mc <- dados_mc$y
# Identificacao da repeticao
repeticao_mc <- dados_mc$repeticao
# ------------------------------------------------------------
# 7. ERRO DE ESTIMACAO DOS COEFICIENTES
# ------------------------------------------------------------
#
# Esses objetos serao importantes posteriormente para
# analisar o vies:
#
# erro(beta_0_hat) = beta_0_hat - beta_0
#
# erro(beta_1_hat) = beta_1_hat - beta_1
# ------------------------------------------------------------
erro_beta_0_mc <- resultados_mc$beta_0_hat - beta_0
erro_beta_1_mc <- resultados_mc$beta_1_hat - beta_1
# ------------------------------------------------------------
# 8. DIFERENCAS ENTRE ESTIMATIVAS E PARAMETROS VERDADEIROS
# ------------------------------------------------------------
resultados_mc$erro_beta_0 <- erro_beta_0_mc
resultados_mc$erro_beta_1 <- erro_beta_1_mc
# ------------------------------------------------------------
# 9. IDENTIFICACAO DOS PARAMETROS VERDADEIROS
# ------------------------------------------------------------
parametros_verdadeiros <- list(
beta_0 = beta_0,
beta_1 = beta_1,
sigma2 = sigma2,
sigma = sigma
)
# ------------------------------------------------------------
# 10. CONFIGURACAO DA SIMULACAO
# ------------------------------------------------------------
configuracao_mc <- list(
seed = 1234,
repeticoes = R,
observacoes_por_repeticao = n,
observacoes_totais = R * n,
distribuicao_x = "N(0,1)",
distribuicao_erro = "N(0,1)",
modelo = "y = beta_0 + beta_1*x + epsilon"
)
# ------------------------------------------------------------
# 11. ORGANIZACAO FINAL DOS OBJETOS
# ------------------------------------------------------------
objetos_monte_carlo <- list(
resultados = resultados_mc,
dados = dados_mc,
x = x_mc,
epsilon = epsilon_mc,
y = y_mc,
repeticao = repeticao_mc,
erro_beta_0 = erro_beta_0_mc,
erro_beta_1 = erro_beta_1_mc,
parametros_verdadeiros = parametros_verdadeiros,
configuracao = configuracao_mc
)
# ------------------------------------------------------------
# 12. SALVAMENTO DOS OBJETOS
# ------------------------------------------------------------
save(
resultados_mc,
dados_mc,
x_mc,
epsilon_mc,
y_mc,
repeticao_mc,
erro_beta_0_mc,
erro_beta_1_mc,
parametros_verdadeiros,
configuracao_mc,
objetos_monte_carlo,
file = "monte_carlo_questao_3.RData"
)A média das 1.000 estimativas de \(\hat{\beta}_0\) foi 2,002389, enquanto o verdadeiro valor do parâmetro é 2, resultando em um viés de Monte Carlo de apenas 0,002389. Para \(\hat{\beta}_1\), a média foi 1,000951, diante do verdadeiro valor 1, produzindo viés de apenas 0,000951.
Assim, os resultados indicam que não há evidência de viés relevante dos estimadores de MQO nessa simulação. As pequenas diferenças observadas em relação aos valores verdadeiros são esperadas em uma simulação finita e tendem a diminuir à medida que o número de repetições de Monte Carlo aumenta. Em termos práticos, as médias simuladas estão muito próximas dos parâmetros utilizados na geração dos dados, corroborando empiricamente a propriedade de não viés dos estimadores sob as condições estabelecidas no exercício.
# ============================================================
# QUESTÃO 3(a) — VERIFICAÇÃO DO VIÉS DOS ESTIMADORES MQO
# ============================================================
# Valores verdadeiros
beta_0 <- 2
beta_1 <- 1
# Médias das 1.000 estimativas
media_beta_0 <- mean(resultados_mc$beta_0_hat)
media_beta_1 <- mean(resultados_mc$beta_1_hat)
# Viés de Monte Carlo
vies_beta_0 <- media_beta_0 - beta_0
vies_beta_1 <- media_beta_1 - beta_1
# Tabela final
tabela_vies <- data.frame(
Estimador = c("Beta_0", "Beta_1"),
Valor_Verdadeiro = c(beta_0, beta_1),
Media_Monte_Carlo = c(media_beta_0, media_beta_1),
Vies = c(vies_beta_0, vies_beta_1)
)
# Arredondamento
tabela_vies[, 2:4] <- round(tabela_vies[, 2:4], 6)
# Mostrar resultado
tabela_vies## Estimador Valor_Verdadeiro Media_Monte_Carlo Vies
## 1 Beta_0 2 2.002389 0.002389
## 2 Beta_1 1 1.000951 0.000951# ============================================================
# QUESTÃO 3(b) — VARIÁVEL EXPLICATIVA IRRELEVANTE
# ============================================================
rm(list = ls())
set.seed(1234)
R <- 1000
n <- 250
# Valores verdadeiros
beta_0 <- 2
beta_1 <- 1
beta_2 <- 0
sigma <- 1
gamma <- 0.5
# Armazenar resultados
resultados_mc_b <- data.frame(
repeticao = 1:R,
beta_0_hat = numeric(R),
beta_1_hat = numeric(R),
beta_2_hat = numeric(R)
)
# Simulação
for (r in 1:R) {
# Variável explicativa original
x1 <- rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
# Erro da equação principal
epsilon <- rnorm(n, mean = 0, sd = sigma)
# Variável explicativa irrelevante
eta <- rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
x2 <- gamma * x1 + eta
# Variável dependente
y <- beta_0 + beta_1 * x1 + epsilon
# MQO incluindo a variável irrelevante
modelo_mqo <- lm(y ~ x1 + x2)
resultados_mc_b$beta_0_hat[r] <- coef(modelo_mqo)[1]
resultados_mc_b$beta_1_hat[r] <- coef(modelo_mqo)[2]
resultados_mc_b$beta_2_hat[r] <- coef(modelo_mqo)[3]
}
# Médias das estimativas
media_beta_0 <- mean(resultados_mc_b$beta_0_hat)
media_beta_1 <- mean(resultados_mc_b$beta_1_hat)
# Viés de Monte Carlo
vies_beta_0 <- media_beta_0 - beta_0
vies_beta_1 <- media_beta_1 - beta_1
# Tabela final
tabela_vies_b <- data.frame(
Estimador = c("Beta_0", "Beta_1"),
Valor_Verdadeiro = c(beta_0, beta_1),
Media_Monte_Carlo = c(media_beta_0, media_beta_1),
Vies = c(vies_beta_0, vies_beta_1)
)
# Arredondamento
tabela_vies_b[, 2:4] <- round(tabela_vies_b[, 2:4], 6)
tabela_vies_b## Estimador Valor_Verdadeiro Media_Monte_Carlo Vies
## 1 Beta_0 2 2.003101 0.003101
## 2 Beta_1 1 1.002340 0.002340Os dois vieses continuam muito próximos de zero. Para \(\hat{\beta}_0\), o viés foi de apenas 0,003101, enquanto para \(\hat{\beta}_1\) foi de 0,002340. As médias das estimativas permanecem muito próximas dos valores verdadeiros, 2 e 1.
Portanto, a inclusão da variável explicativa irrelevante \(x_2\) não tornou os estimadores \(\hat{\beta}_0\) e \(\hat{\beta}_1\) viesados. A variável \(x_2\) possui coeficiente verdadeiro igual a zero e, sendo exógena ao erro \(\epsilon_i\), sua inclusão não altera a propriedade de não viés do MQO. As pequenas diferenças observadas são apenas variações decorrentes das 1.000 repetições da simulação.
Resposta da questão 3(b): os estimadores \(b_0\) e \(b_1\) permanecem não viesados. A inclusão de uma variável irrelevante pode afetar a precisão/variância dos estimadores, mas não seu valor esperado.
library(tidyverse)
library(knitr)
set.seed(1234)
R <- 1000
n <- 250
alpha <- 0.05
resultados <- replicate(R, {
x1 <- rnorm(n)
x2 <- 0.5 * x1 + rnorm(n)
y <- 2 + x1 + rnorm(n)
p <- summary(lm(y ~ x1 + x2))$coefficients["x2", "Pr(>|t|)"]
c(p_valor = p, rejeita = p < alpha)
})
tabela_teste <- tibble(
p_valor = resultados["p_valor", ],
rejeita = resultados["rejeita", ] == 1
) %>%
summarise(
`Nível de significância` = alpha,
`Rejeições de H0` = sum(rejeita),
`Não rejeições de H0` = sum(!rejeita),
`Proporção de rejeição` = mean(rejeita),
`Proporção de não rejeição` = mean(!rejeita)
) %>%
mutate(
`Proporção de rejeição` = round(`Proporção de rejeição`, 4),
`Proporção de não rejeição` = round(`Proporção de não rejeição`, 4)
)
kable(
tabela_teste,
align = "c",
caption = "Teste de significância da variável explicativa irrelevante"
)| Nível de significância | Rejeições de H0 | Não rejeições de H0 | Proporção de rejeição | Proporção de não rejeição |
|---|---|---|---|---|
| 0.05 | 63 | 937 | 0.063 | 0.937 |
A análise dos resultados da regressão estimada por Mínimos Quadrados Ordinários evidencia que o intercepto do modelo é de aproximadamente \(0.2169\), com um erro padrão de \(0.1086\) e um intervalo de confiança de 95% que varia entre \(0.0035\) e \(0.4302\), sendo estatisticamente significativo ao nível de 5%. Esse valor representa a expectativa matemática do logaritmo do salário quando as variáveis de escolaridade e experiência são nulas.
No que tange à escolaridade, medida pelos anos de estudo, o coeficiente estimado é de \(0.0979\) com um erro padrão de \(0.0076\) e estatística \(t\) expressiva de \(12.848\). Como a variável dependente se encontra em logaritmo, interpreta-se que, mantendo a experiência constante, cada ano adicional de escolaridade proporciona um incremento aproximado de \(9,79\%\) no salário do indivíduo. O intervalo de confiança de 95%, delimitado entre \(0.0830\) e \(0.1129\), reforça a precisão e a alta significância estatística desse retorno educacional na população.
Em relação à experiência profissional, o coeficiente estimado situa-se em \(0.0103\) com um erro padrão de \(0.0016\), gerando um intervalo de confiança de 95% que oscila entre \(0.0073\) e \(0.0134\). Mantendo a escolaridade constante, cada ano suplementar de experiência eleva o salário em cerca de \(1,03\%\). A estatística \(t\) de \(6.653\) e o p-valor reduzido atestam que o parâmetro é altamente robusto e estatisticamente significante.Por fim, a avaliação global do modelo indica um coeficiente de determinação (\(R^2\)) de \(0.2493\), o que significa que cerca de \(25\%\) da variação do logaritmo do salário é explicada conjuntamente pela escolaridade e pela experiência. Além disso, a estatística F de \(86.86\) confirma a rejeição da hipótese nula de nulidade conjunta dos regressores, atestando a relevância global da especificação econométrica adotada.
# Se estiver usando os dados do livro Wooldridge ou arquivo local:
# install.packages("wooldridge")
library(wooldridge)
data("wage1")
# (a) Regressão por MQO do logaritmo do salário (lwage)
# sobre a escolaridade (educ) e a experiência (exper)
# Nota: O R inclui a constante (intercepto) automaticamente na função lm()
modelo <- lm(lwage ~ educ + exper, data = wage1)
# Resumo do modelo com os coeficientes e erros padrão
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = lwage ~ educ + exper, data = wage1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.05800 -0.30136 -0.04539 0.30601 1.44425
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.216854 0.108595 1.997 0.0464 *
## educ 0.097936 0.007622 12.848 < 2e-16 ***
## exper 0.010347 0.001555 6.653 7.24e-11 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.4614 on 523 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2493, Adjusted R-squared: 0.2465
## F-statistic: 86.86 on 2 and 523 DF, p-value: < 2.2e-16# Intervalo de confiança de 95% para os coeficientes (incluindo intervalos completos)
confint(modelo, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 0.003518345 0.43019041
## educ 0.082961295 0.11290985
## exper 0.007291862 0.01340203modelo <- lm(lwage ~ educ + exper, data = wage1)
mean(modelo$residual)## [1] -3.95641e-18O valor obtido de aproximadamente \(-3.956 \times 10^{-18}\) representa a média dos resíduos amostrais. Por construção matemática do método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), sempre que o modelo inclui uma constante (intercepto), a soma e, por conseguinte, a média aritmética dos resíduos da amostra é obrigatoriamente igual a zero. O valor extremamente próximo de zero apresentado pelo software decorre apenas de pequenas imprecisões de arredondamento computacional (precisão de ponto flutuante).
Este resultado não nos informa diretamente qual é a média exata dos termos de erro na população, existindo diferenças concetuais e práticas fundamentais entre ambos: Resíduo Amostral (\(\hat{\epsilon}_i = y_i - \hat{y}_i\)): Trata-se de uma entidade calculada empiricamente com base nos dados observados da amostra. A sua média amostral é forçada a ser zero por desenho algébrico do estimador de MQO quando o modelo contém um termo constante.Termo de Erro Populacional (\(\epsilon_i\)): É uma variável aleatória inobservável que pertence à verdadeira estrutura teórica da população.
Os pressupostos econométricos assumem que a esperança condicional do erro é nula (\(E[\epsilon_i \mid x_i] = 0\)), o que implica que a sua média populacional é zero, mas isto constitui uma hipótese teórica sobre a distribuição real e não uma identidade matemática imposta pelos dados.Portanto, embora o resíduo amostral funcione como uma estimativa empírica do erro populacional, a média zero observada é uma propriedade mecânica e algébrica da amostra e dos graus de liberdade utilizados na estimação, e não a revelação direta do parâmetro populacional subjacente.
Com uma estatística \(t\) de aproximadamente \(3.665\) e um valor-p de cerca de \(0.00027\) (\(0,027\%\)), que é consideravelmente menor do que os níveis de significância tradicionais (como 1%, 5% ou 10%), rejeitamos a hipótese nula (\(H_0: \beta_{\text{educ}} = 0.07\)).Isso significa que há evidências estatísticas muito fortes de que o verdadeiro retorno da educação na população é diferente (e estatisticamente maior) do que o valor fixado de \(0.07\).
# Coordenadas extraídas do modelo para a variável 'educ'
beta_est <- 0.097936
ep <- 0.007622
df <- 523 # Graus de liberdade dos resíduos
# Valor sob a hipótese nula
beta_nulo <- 0.07
# Cálculo da estatística t
t_stat <- (beta_est - beta_nulo) / ep
# Cálculo do valor-p (teste bicaudal)
p_valor <- 2 * (1 - pt(abs(t_stat), df))
cat("Estatística t:", t_stat, "\n")## Estatística t: 3.66518cat("Valor-p:", p_valor, "\n")## Valor-p: 0.0002723954# Adicionando a dummy 'south' ao modelo de MQO
modelo_south <- lm(lwage ~ educ + exper + south, data = wage1)
# Visualizando os resultados e o teste t para a dummy south
summary(modelo_south)##
## Call:
## lm(formula = lwage ~ educ + exper + south, data = wage1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.07582 -0.30948 -0.04724 0.29761 1.42581
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.246117 0.111368 2.210 0.0275 *
## educ 0.096975 0.007663 12.655 < 2e-16 ***
## exper 0.010377 0.001555 6.674 6.37e-11 ***
## south -0.049778 0.042309 -1.177 0.2399
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.4612 on 522 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2513, Adjusted R-squared: 0.247
## F-statistic: 58.41 on 3 and 522 DF, p-value: < 2.2e-16# Intervalo de confiança para todos os coeficientes
confint(modelo_south, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 0.027332820 0.46490161
## educ 0.081920092 0.11202926
## exper 0.007322276 0.01343104
## south -0.132894311 0.03333743Podemos estruturar essa conclusão com base nos dois principais critérios estatísticos que você apontou:
O Valor-p (\(0.2399\)): Como o valor-p é substancialmente maior do que os níveis de significância tradicionais (como 5% ou 10%), não rejeitamos a hipótese nula de que o coeficiente é igual a zero. Isso indica que o regressor não tem significância estatística.
O Intervalo de Confiança (\([-0.1329, 0.0333]\)): O intervalo abrange o valor zero (passando de negativo para positivo). Isso significa que o valor zero é um parâmetro perfeitamente plausível para a população, reforçando a ausência de um efeito regional estatisticamente detectável.
Conclusão Prática:
Controlando pelos anos de escolaridade e pela experiência, não há evidência estatística de diferença salarial entre o sul dos Estados Unidos e as demais regiões. A variação observada na amostra pode ser apenas fruto do acaso, de modo que podemos tratar os salários como estatisticamente equivalentes entre as regiões no modelo especificado.
# Modelo com interações completas (intercepto e inclinações diferentes para south)
modelo_interacao <- lm(lwage ~ educ + exper + south + educ:south + exper:south, data = wage1)
# Ou de forma mais compacta usando o asterisco:
# modelo_interacao <- lm(lwage ~ (educ + exper) * south, data = wage1)
# Ver os resultados
summary(modelo_interacao)##
## Call:
## lm(formula = lwage ~ educ + exper + south + educ:south + exper:south,
## data = wage1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.04065 -0.32252 -0.03093 0.30060 1.42786
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.115818 0.140009 0.827 0.4085
## educ 0.104361 0.010005 10.430 < 2e-16 ***
## exper 0.012541 0.001847 6.791 3.06e-11 ***
## south 0.380175 0.227858 1.668 0.0958 .
## educ:south -0.023882 0.015766 -1.515 0.1304
## exper:south -0.007717 0.003417 -2.258 0.0243 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.4596 on 520 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2594, Adjusted R-squared: 0.2523
## F-statistic: 36.43 on 5 and 520 DF, p-value: < 2.2e-16Para responder à questão (f), estimou-se um modelo econométrico irrestrito que inclui a variável dummy south juntamente com termos de interação cruzada com a escolaridade e a experiência (educ:south e exper:south). Essa especificação flexibiliza o modelo para testar se os mercados de trabalho diferem tanto no nível salarial base quanto nos retornos marginais de estudo e experiência entre o Sul e as demais regiões.
Ao analisar os resultados, observa-se que o termo de interação da escolaridade (educ:south) não apresentou significância estatística ao nível de 5% (\(p = 0.1304\)), indicando que o retorno marginal dos anos de estudo não difere de maneira estatisticamente robusta entre as regiões. Em contrapartida, o termo de interação da experiência (exper:south) apresentou um coeficiente de \(-0.0077\) com um valor-p de \(0.0243\), revelando-se estatisticamente significativo. Esse resultado demonstra que o retorno anual da experiência profissional no Sul é menor do que no restante do país, reduzindo-se de cerca de \(1,25\%\) para aproximadamente \(0,48\%\) ao ano.
Portanto, há evidências estatísticas para rejeitar a hipótese de que os mercados de trabalho são totalmente idênticos. Embora a escolaridade exerça um efeito equivalente em ambas as regiões, o mercado de trabalho sulista apresenta uma heterogeneidade estrutural marcante na valorização da experiência profissional, penalizando ou recompensando esse fator de forma distinta.