1 Ejercicios sobre pruebas de hipótesis
1.1 Prueba de hipótesis para una media con muestras grandes
Ejercicio. El organismo a cargo de garantizar la calidad del agua en cierto poblado decide tomar una muestra de \(n=40\) precipitaciones. En cada precipitación se mide el pH y se obtiene un promedio de \(\bar{x}=3.7\), con una desviación estándar de \(\sigma=0.5\).
Se desea contrastar, mediante una prueba unilateral izquierda, si la media poblacional es menor que 5.7.
1.1.1 Planteamiento de hipótesis
\[\begin{align} H_{0}: \mu &\geq 5.7 \\ H_{1}: \mu &< 5.7 \end{align}\]
1.1.2 Regla de decisión
Si \(\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} \leq -Z_{\alpha}\), se rechaza \(H_{0}\).
Si \(\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} > -Z_{\alpha}\), no se rechaza \(H_{0}\).
Utilizando la información del ejemplo:
\[ Z=\frac{3.7-5.7}{0.5/\sqrt{40}}=-25.298 \]
Para un nivel de significancia de \(\alpha=0.05\), el valor crítico es \(-1.645\).
1.1.3 Cálculo en R
El estadístico de prueba se obtiene mediante:
ene <- 40
hachecero <- 5.7
equibarra <- 3.7
des_estan <- 0.5
alfa <- 0.05
zeta_pru <- (equibarra - hachecero) / (des_estan / sqrt(ene))
zeta_pru#> [1] -25.29822Mediante el siguiente código se compara el estadístico de prueba con el valor crítico \(Z_{\alpha}\):
#> [1] "Rechazar H0"Y comparando el p-valor con el nivel de significancia:
#> [1] "Rechazar H0"Conclusión. Tanto la comparación con el valor crítico como la comparación mediante el p-valor conducen a la misma decisión estadística.
1.2 Prueba de hipótesis para proporciones con muestras grandes
Ejercicio. Una fundación dedicada a la prevención del cáncer realiza una campaña contra el consumo de tabaco. Investigaciones previas indican que el 20% de la población mayor de 15 años fuma.
Después de seis meses de campaña radial y televisiva se selecciona una muestra aleatoria de 1000 adultos. Se observa que el 12% fuma habitualmente.
La fundación desea evaluar si la campaña ha disminuido la proporción de fumadores.
1.2.1 Planteamiento de hipótesis
\[\begin{align} H_{0}: P &\geq 0.20 \\ H_{1}: P &< 0.20 \end{align}\]
Cuando \(n\) es grande, la proporción muestral puede aproximarse mediante una distribución Normal. Bajo \(H_0\), su varianza es
\[ \operatorname{Var}(\hat{P})=\frac{P_0Q_0}{n}, \qquad \operatorname{DE}(\hat{P})=\sqrt{\frac{P_0Q_0}{n}}. \]
Por tanto, al estandarizar se obtiene:
\[ Z=\frac{\hat{P}-P_{0}}{\sqrt{P_{0}Q_{0}/n}}\sim N(0,1). \]
1.2.2 Región de rechazo
1.2.3 Regla de decisión
Rechazar \(H_{0}\) con nivel de significancia \(\alpha\) si:
\(\displaystyle \frac{\bar{p}-P_{0}}{\sqrt{P_{0}Q_{0}/n}} \leq -Z_{\alpha}\)
No rechazar \(H_{0}\) si:
\(\displaystyle \frac{\bar{p}-P_{0}}{\sqrt{P_{0}Q_{0}/n}} > -Z_{\alpha}\)
Si el investigador fija \(\alpha=0.05\), entonces \(Z_{0.05}=1.645\).
1.2.4 Cálculo en R
proporci_cero <- 0.20
ene <- 1000
propo_obser <- 0.12
alfa <- 0.05
estad_zeta <- (propo_obser - proporci_cero) /
sqrt(proporci_cero * (1 - proporci_cero) / ene)
estad_zeta#> [1] -6.324555El valor del estadístico \(Z\) calculado es -6.3246.
Utilizando el p-valor y el nivel de significancia \(\alpha\):
#> [1] 1.269814e-10#> [1] "Rechazar H0"Y utilizando el estadístico \(Z\) y el valor crítico:
#> [1] -1.644854#> [1] "Rechazar H0"Conclusión. La decisión puede obtenerse de forma equivalente a partir de la región crítica o del p-valor, siempre que se utilice la cola correcta de la distribución.
1.3 Prueba de hipótesis para razón de varianzas
Ejercicio. Se desea probar la igualdad de las varianzas poblacionales en el ejemplo de las vacas lecheras. Se considera un nivel de significancia de \(\alpha=0.05\).
\(s_A^2=2.4\) y \(s_B^2=4.1\)
1.3.1 Planteamiento de hipótesis
\[\begin{align} H_0 &: \sigma_A^2 = \sigma_B^2 \\ H_1 &: \sigma_A^2 \neq \sigma_B^2 \end{align}\]
La hipótesis alternativa es bilateral: se considera evidencia contra \(H_0\) tanto cuando una varianza es mucho mayor como cuando es mucho menor que la otra.
1.3.2 Estadístico de prueba
\[ F=\frac{s_B^2}{s_A^2}=\frac{4.1}{2.4}=1.71 \]
Como ambos grupos tienen el mismo tamaño:
\[ n_A-1=n_B-1=10-1=9 \]
El estadístico se obtiene en R mediante:
ese_a2 <- 2.4
ese_be2 <- 4.1
enes <- 10
alfa <- 0.05
# Se coloca la mayor varianza en el numerador, por lo que F >= 1
efex <- ese_be2 / ese_a2
efex#> [1] 1.7083331.3.3 Decisión mediante el p-valor bilateral
Como la prueba es bilateral, el área de la cola superior debe duplicarse cuando se ha colocado la mayor varianza en el numerador.
p_upper <- pf(efex, enes - 1, enes - 1, lower.tail = FALSE)
p_value_F <- min(1, 2 * p_upper)
p_value_F#> [1] 0.4372445#> [1] "No rechazar H0"1.3.4 Decisión mediante el valor crítico
Al colocar la mayor varianza en el numerador, basta comparar \(F\) con el punto crítico de la cola superior correspondiente a \(\alpha/2\).
#> [1] 4.025994#> [1] "No rechazar H0"Con \(F=\,1.7083\) y un valor crítico superior de \(4.026\), el estadístico no cae en la región de rechazo. El p-valor bilateral es \(0.4372\).
Conclusión del ejercicio. Al nivel de significancia \(\alpha=0.05\), no se rechaza \(H_0\); los datos no proporcionan evidencia suficiente para afirmar que las varianzas poblacionales sean diferentes. Esto no demuestra que las varianzas sean exactamente iguales, sino que no se detecta una diferencia estadísticamente significativa con la información disponible.
En una prueba de hipótesis, el estadístico de prueba resume la evidencia muestral respecto a \(H_0\). La decisión puede formularse comparando dicho estadístico con un valor crítico o, de forma equivalente, comparando el p-valor con \(\alpha\).