Secretaría de Ciencia, Humanidades, Tecnología e Innovación y Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL · EMED — MEB 2026

Sesión 1

Intervalos de confianza para diferencia de medias y varianzas

Dr. Héctor de la Torre Gutiérrez Última actualización: 28/09/2026

1 Diferencia de medias y comparación de varianzas

1.1 Planteamiento

Ejercicio. La altura media de los alumnos de un centro educativo se distribuye como una distribución Normal con desviación estándar de 15 cm, y la de las alumnas como una Normal con desviación estándar de 18 cm.

Para estimar las diferencias de altura media de los hombres y de las mujeres, se elige una muestra al azar de 40 alumnos y 35 alumnas. Las alturas medias son:

\(\bar{x}_{alumnos}=170\;cm\) y \(\bar{x}_{alumnas}=160\;cm\)

Estimar mediante un intervalo de confianza la diferencia de altura media de hombres y mujeres. Utilice un nivel de confianza del \(95\%\).

Supuesto de trabajo. A diferencia del ejercicio resuelto con varianzas poblacionales conocidas, aquí se supone que las varianzas poblacionales no son conocidas. Por ello, primero se analiza si pueden considerarse iguales.

1.2 Datos de la muestra

La evidencia muestral disponible es:

\(n_{alumnos}\)40

\(n_{alumnas}\)35

\(\bar X_{alumnos}\)170 cm

\(\bar X_{alumnas}\)160 cm

\(s^2_{alumnos}\)\(15^2\)

\(s^2_{alumnas}\)\(18^2\)

Por tanto,

\(\bar X_{alumnos}-\bar X_{alumnas}=10\;cm\)

1.3 ¿Pueden considerarse iguales las varianzas?

Se construye el intervalo correspondiente para la razón de varianzas. Si el intervalo contiene el valor 1, se considera compatible con la hipótesis de igualdad de varianzas.

xbar1 <- 170
n1 <- 40
var1 <- 15^2

xbar2 <- 160
n2 <- 35
var2 <- 18^2

alfa <- 0.05

inf_var <- (var2 / var1) *
  (1 / qf(alfa / 2, n2 - 1, n1 - 1, lower.tail = FALSE))

sup_var <- (var2 / var1) *
  (1 / qf(1 - (alfa / 2), n2 - 1, n1 - 1, lower.tail = FALSE))

inf_var

#> [1] 0.7493687

sup_var

#> [1] 2.80918

if (inf_var < 1 && sup_var > 1) {
  "Varianzas iguales"
} else {
  "Varianzas no iguales"
}

#> [1] "Varianzas iguales"

Decisión. El intervalo contiene el valor 1. Por lo tanto, para este ejercicio se utiliza la fórmula de diferencia de medias con varianzas poblacionales desconocidas, pero consideradas iguales.

1.4 Intervalo de confianza para la diferencia de medias

Bajo el supuesto anterior se emplea la estimación combinada de la varianza, \(S_p^2\).

esep2 <- (((n1 - 1) * var1) + ((n1 - 1) * var1)) / (n1 + n2 - 2)

lim_infe <- (xbar1 - xbar2) -
  qt(alfa / 2, n1 + n2 - 2, lower.tail = FALSE) *
  (sqrt(esep2) * sqrt((1 / n1) + (1 / n2)))

lim_sup <- (xbar1 - xbar2) +
  qt(alfa / 2, n1 + n2 - 2, lower.tail = FALSE) *
  (sqrt(esep2) * sqrt((1 / n1) + (1 / n2)))

lim_infe

#> [1] 2.847623

lim_sup

#> [1] 17.15238

Resultado

La estimación de \(S_p^2\) es 240.41.

El intervalo de confianza va de 2.85 a 17.15 cm.

1.5 ¿Qué ocurriría si las varianzas no fueran iguales?

Si la prueba anterior indicara que las varianzas no pueden considerarse iguales, se utilizarían grados de libertad ponderados y el intervalo correspondiente.

# Grados de libertad ponderados
gra_liver <- (((var1 / n1) + (var2 / n2))^2) /
  ((((var1 / n1)^2) / (n1 - 1)) + (((var2 / n2)^2) / (n2 - 1)))

lim_infe_dife <- (xbar1 - xbar2) -
  qt(alfa, round(gra_liver), lower.tail = FALSE) *
  sqrt((var1 / n1) / (var1 / n2))

lim_sup_dife <- (xbar1 - xbar2) +
  qt(alfa, round(gra_liver), lower.tail = FALSE) *
  sqrt((var1 / n1) / (var2 / n2))

lim_infe_dife

#> [1] 8.439476

lim_sup_dife

#> [1] 11.30044

Interpretación del ejercicio. El intervalo de confianza para la diferencia de estaturas va de 8.44 a 11.30. En el planteamiento original, este resultado se interpreta como evidencia de una diferencia positiva entre las medias de ambos grupos.

2 Diferencia de medias con muestras pareadas

2.1 Planteamiento

Ejemplo. Vestigios de metales en el agua potable afectan su sabor y concentraciones demasiado altas pueden representar un riesgo para la salud.

Para la realización de un artículo científico, se estudió el suministro de agua de seis localidades —los objetos experimentales— y se midió la concentración de zinc (mg/L) tanto en la superficie como en el fondo del agua.

Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la concentración media de zinc en el fondo y en la superficie.

2.2 Cálculo del intervalo

Para datos pareados se trabaja con las diferencias individuales

\(d_i = Fondo_i - Superficie_i\)

y el intervalo se construye a partir de la media y la varianza de dichas diferencias.

alfa2 <- 0.05

datos_zinc <- as.data.frame(matrix(
  c(
    0.43,  0.415,
    0.266, 0.238,
    0.567, 0.390,
    0.531, 0.410,
    0.707, 0.605,
    0.716, 0.609
  ),
  byrow = TRUE,
  ncol = 2
))

colnames(datos_zinc) <- c("Fondo", "Superficie")

de_datos <- datos_zinc$Fondo - datos_zinc$Superficie  # d_i
de_media <- mean(de_datos)                             # media de d
de_var <- var(de_datos)                                # varianza de d
de_cuanti <- qt(alfa2 / 2, nrow(datos_zinc) - 1, lower.tail = FALSE)

lim_inf_di <- de_media - de_cuanti * sqrt(de_var / nrow(datos_zinc))
lim_sup_di <- de_media + de_cuanti * sqrt(de_var / nrow(datos_zinc))

lim_inf_di

#> [1] 0.02797823

lim_sup_di

#> [1] 0.1553551

Resultado e interpretación

El intervalo va de 0.0280 a 0.1554 mg/L.

De acuerdo con el ejercicio, este intervalo indica que la concentración media de zinc es mayor en el fondo que en la superficie.