RSe espera que el nivel de colesterol en plasma de unos enfermos sometidos a un determinado tratamiento se distribuye según una ley normal de media 220 mg/dl Se toma una muestra de 9 enfermos, y se miden sus niveles de colesterol. Los resultado fueron:
203, 229, 215, 220, 223, 233, 208, 228, 209
Contrastar la hipótesis de que esta muestra proviene de una población con media 220 mg/dl.
Solución
Sea \( X \) la variable que da el valor de colesterol en plasma en individuo escogido al azar de la población de enfermos. El problema postula que la distribución de \( X \) sigue una ley normal de media \( \mu_0=220 \). Se toma la muestra que se muestra en el enunciado.
Denotemos por \( \mu \) la media real (desconocida) de la población de enfermos nos poden que realicemos el contraste:
\[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & \mu= 220\\ H_{1}: & \mu\neq 220 \end{array} \right. \]
Bajo estas condiciones (población normal, varianza \( \sigma_{X}^{2} \) desconocida y muestra pequeña de tamaño $n= 9 $) el test aplicaremos será un \( t \)-test que tiene como estadístico de contraste
\[ t= \frac{\overline{X}-\mu_{0}}{{\tilde{S}_X}/{\sqrt{n}}} \]
Tenemos que la media \( \overline{X}= \) 218.6667, la desviación típica \( \tilde{S}_X= \) 10.5238 y el tamaño de la muestra es \( n= \) 9. Así que el valor del estadístico de contraste es
\[ T= \frac{ 218.6667- 220}{ 10.5238/\sqrt{ 9}} = -0.3801 \]
El \( p \)-valor de este test para la hipótesis alternativa bilateral es
\[ p-\mbox{valor}=2 P\left(t_{ 8} \geq |-0.3801|\right)= 2 P\left(t_{ 8} \geq 0.3801|\right)=0.7138. \] El intervalo de confianza al nivel \( 1-\alpha=0.95 \) es
\[ \left[\overline{X} -t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\tilde{S}_{X}}{\sqrt{n}}, \overline{X}+t_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\tilde{S}_{X}}{\sqrt{n}} \right]=[215.2887, 222.0446]. \]
Informe final: El p-valor del contraste es 0.7138, y el intervalo de confianza del 95% pera el nivel medio de colesterol \( \mu \) es \( [215.2887, 222.0446] \). No hay evidencia que nos permita rechazar la hipótesis nula que \( \mu = 220 \).
Para resolverlo directamente con R basta con utilizar la funciónt.test
t.test(colesterol, mu = 220, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)
##
## One Sample t-test
##
## data: colesterol
## t = -0.3801, df = 8, p-value = 0.7138
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 220
## 95 percent confidence interval:
## 210.6 226.8
## sample estimates:
## mean of x
## 218.7
Como se observa obtenemos los mismos resultados.