Données : \(L=0{,}5\,m\), \(\nu=4\times10^{-5}\,m^2/s\), \(\rho=955\,kg/m^3\), \(\Delta p=482\,900\,Pa\), \(\dot m=2{,}997\times10^{-3}\,kg/s\).
\[\mu=\rho\nu=955\times4\times10^{-5}=0{,}0382\;Pa\cdot s \qquad Q=\frac{\dot m}{\rho}=3{,}138\times10^{-6}\;m^3/s\]
Loi de Hagen-Poiseuille (écoulement laminaire, établi, newtonien) : \[Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}\ \Rightarrow\ R^4=\frac{8\mu LQ}{\pi\Delta p}=\frac{8\times0{,}0382\times0{,}5\times3{,}138\times10^{-6}}{\pi\times482\,900}=3{,}16\times10^{-13}\;m^4\]
\[\boxed{R=(3{,}16\times10^{-13})^{1/4}\approx0{,}748\;mm\ \ (D\approx1{,}50\;mm)}\]
Vérification (régime laminaire) : \(V=Q/(\pi R^2)=1{,}79\;m/s\), \(Re=\rho V D/\mu\approx67<2100\) ✓ hypothèse laminaire confirmée.
a) Hypothèses et conditions frontières - Régime permanent, établi (écoulement pleinement développé) - Fluide newtonien, incompressible - \(v_x=v_y=0\) ; \(v_z=v_z(x)\) seulement (symétrie, parois latérales négligées → pas de dépendance en \(y\)) - Pression modifiée \(\mathcal P=p-\rho g z\) ne dépend que de \(z\), avec gradient constant : \((\mathcal P_0-\mathcal P_L)/L\) - Conditions frontières : non-glissement aux parois \(v_z(x=\pm B)=0\) ; symétrie \(\left.\dfrac{dv_z}{dx}\right|_{x=0}=0\)
b) Bilan de quantité de mouvement (bilan sur coquille d’épaisseur \(\Delta x\)) : \[\frac{d\tau_{xz}}{dx}=\frac{\mathcal P_0-\mathcal P_L}{L}=\text{constante}\]
Contrainte de cisaillement (linéaire, nulle au centre, max aux parois, change de signe) : \[\boxed{\tau_{xz}=\frac{\mathcal P_0-\mathcal P_L}{L}\,x}\]
Profil de vitesse (parabolique, max au centre) : \[\boxed{v_z(x)=\frac{(\mathcal P_0-\mathcal P_L)B^2}{2\mu L}\left[1-\left(\frac{x}{B}\right)^2\right]}\]
Débit volumique (largeur \(W\)) : \[\boxed{Q=\frac{2WB^3(\mathcal P_0-\mathcal P_L)}{3\mu L}}\]
Force totale sur les deux parois (bilan de force global sur le volume \(2B\times W\times L\)) : \[\boxed{F=(\mathcal P_0-\mathcal P_L)\,(2BW)}\]
(Profils qualitatifs : \(v_z(x)\) = parabole symétrique max en \(x=0\), nulle en \(x=\pm B\) ; \(\tau_{xz}(x)\) = droite passant par zéro au centre, extrema aux parois.)
a) Force sur la paroi verticale
\[dF=p(z)\,W\,dz=\rho g W z\,dz \ \Rightarrow\ F=\int_0^H \rho g W z\,dz=\frac{\rho g W H^2}{2}\]
\[F=\frac{1000\times9{,}81\times30\times10^2}{2}=\boxed{14{,}72\;MN}\]
b) Moment par rapport au bas du mur (bras de levier \(H-z\)) : \[M=\int_0^H \rho g W z(H-z)\,dz=\frac{\rho g W H^3}{6}=\frac{1000\times9{,}81\times30\times10^3}{6}=\boxed{49{,}05\;MN\cdot m}\]
(Vérification : distribution triangulaire → résultante au tiers de la hauteur à partir du bas, \(M=F\times H/3=14{,}72\times10^3\;kN\times3{,}33\;m=49{,}05\;MN\cdot m\) ✓)
a) Hypothèses : régime permanent établi, newtonien, incompressible, \(v_z=v_z(x)\) seulement, écoulement entraîné par la composante de la gravité le long du plan incliné \(g_z=g\cos\beta\) (indépendant du choix précis de \(\beta\)), pressions atmosphériques aux deux extrémités libres, effets de bouts et parois latérales négligés.
Région 1 (film confiné entre le plan et le bloc fixe, épaisseur imposée \(\delta_1\), deux parois solides) : \[\mu\frac{d^2v_z^1}{dx^2}=-\rho g_z\ \Rightarrow\ \boxed{v_z^1(x)=\frac{\rho g_z}{2\mu}\,x(\delta_1-x)},\quad 0\le x\le\delta_1\] (non-glissement aux deux parois \(x=0\) et \(x=\delta_1\))
Région 2 (film libre d’épaisseur \(\delta_2\), une paroi solide + surface libre) : \[\boxed{v_z^2(x)=\frac{\rho g_z}{2\mu}\left(2\delta_2 x-x^2\right)},\quad 0\le x\le\delta_2\] (non-glissement en \(x=0\), cisaillement nul en \(x=\delta_2\) : \(dv_z^2/dx|_{\delta_2}=0\))
b) Relier les deux sections (conservation du débit, même largeur \(W\)) :
\[\frac{Q_1}{W}=\int_0^{\delta_1}v_z^1dx=\frac{\rho g_z\delta_1^3}{12\mu} \qquad \frac{Q_2}{W}=\int_0^{\delta_2}v_z^2dx=\frac{\rho g_z\delta_2^3}{3\mu}\]
\[Q_1=Q_2\ \Rightarrow\ \frac{\delta_1^3}{12}=\frac{\delta_2^3}{3}\ \Rightarrow\ \delta_2^3=\frac{\delta_1^3}{4}\]
\[\boxed{\delta_2=\dfrac{\delta_1}{4^{1/3}}\approx0{,}630\,\delta_1}\]
Le terme \(g_z=g\cos\beta\) s’annule complètement dans le rapport — ceci démontre rigoureusement que \(\delta_2\) ne dépend que de \(\delta_1\), peu importe l’angle \(\beta\) du dispositif. ∎
c) \(v_z^1(x)\) : parabole symétrique, nulle aux deux parois (\(x=0,\delta_1\)), maximale au centre. \(v_z^2(x)\) : demi-parabole, nulle en \(x=0\), maximale (et à pente nulle) à la surface libre \(x=\delta_2\).
a) Bilan de quantité de mouvement. Hypothèses : régime permanent, établi, newtonien, isotherme, incompressible, \(v_z=v_z(x)\) seulement, effets de bouts et gravité négligés. Le bilan sur une coquille donne : \[\mu\frac{d^2v_z}{dx^2}=\frac{dp}{dz}=\frac{p_L-p_0}{L}=\text{constante}\]
b) Conditions frontières (coordonnée \(x\) de la feuille \(x=0\) à la paroi de la filière \(x=B\)) : \[v_z(0)=V_0\quad(\text{surface de la feuille}) \qquad v_z(B)=0\quad(\text{paroi de la filière})\]
c) Profil de vitesse (superposition Couette + Poiseuille) : \[\boxed{v_z(x)=V_0\left(1-\frac{x}{B}\right)+\frac{(p_0-p_L)B^2}{2\mu L}\left[\frac{x}{B}-\left(\frac{x}{B}\right)^2\right]}\]
Profil : combinaison d’une droite (entraînement par la feuille) et d’une parabole (gradient de pression) — le profil se courbe vers le haut si \(p_0>p_L\) (pression favorise l’écoulement dans le sens de \(V_0\)).
d) Débit entraîné (par unité de largeur, un côté) et épaisseur \(\delta\) : \[\frac{Q}{W}=\int_0^B v_z\,dx=\frac{V_0B}{2}+\frac{(p_0-p_L)B^3}{12\mu L}\]
Par conservation de masse, ce débit alimente la couche solidifiée (mouvement uniforme à \(V_0\)) : \(Q/W=V_0\delta\)
\[\boxed{\delta=\frac{B}{2}+\frac{(p_0-p_L)B^3}{12\mu LV_0}}\]
a) Hypothèses et C.F. : permanent, établi, newtonien, incompressible, axisymétrique, \(v_z=v_z(r)\) seulement, gravité et effets de bouts négligés. \[v_z(r=\kappa R)=V \quad\text{(tige mobile)} \qquad v_z(r=R)=0\quad\text{(cylindre fixe)}\]
b) Bilan de quantité de mouvement (coordonnées cylindriques) : \[\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_z}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}=-\frac{p_0-p_L}{\mu L}\]
c) Profil de vitesse (intégration double + application des C.F., superposition Couette annulaire + Poiseuille annulaire) : \[\boxed{v_z(r)=\frac{(p_0-p_L)R^2}{4\mu L}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2-(1-\kappa^2)\frac{\ln(r/R)}{\ln\kappa}\right]+V\frac{\ln(r/R)}{\ln\kappa}}\]
d) Illustration : - i) \(p_0-p_L>0\) : composante parabolique s’ajoute au profil logarithmique de Couette → vitesses accrues dans l’entrefer. - ii) \(p_0-p_L<0\) : la composante Poiseuille s’oppose au Couette → possibilité d’un profil avec refoulement (vitesse négative dans une partie de l’entrefer). - iii) \(p_0-p_L=0\) : profil purement logarithmique (Couette annulaire pur) : \(v_z(r)=V\ln(r/R)/\ln\kappa\).
a) Bilan et profil de vitesse (plaque inférieure \(y=0\) mobile à \(V_0\), plaque supérieure \(y=b\) fixe) : \[\mu\frac{d^2v_x}{dy^2}=\frac{dp}{dx}=\text{constante}\]
\[\boxed{v_x(y)=V_0\left(1-\frac{y}{b}\right)+\frac{(p_0-p_L)b^2}{2\mu L}\cdot\frac{y}{b}\left(1-\frac{y}{b}\right)}\]
b) Illustration : - \(p_0-p_L=0\) : profil linéaire pur (Couette). - \(p_0-p_L>0\) (gradient favorable) : profil convexe, vitesses augmentées partout. - \(p_0-p_L<0\) (gradient défavorable) : profil concave, possibilité de refoulement près de la paroi fixe (vitesse négative localement).
c) Débit et condition de débit nul : \[\frac{Q}{W}=\int_0^b v_x\,dy=\frac{V_0b}{2}+\frac{(p_0-p_L)b^3}{12\mu L}\]
\[\boxed{Q=0 \iff p_0-p_L=-\dfrac{6\mu LV_0}{b^2}}\]
C’est-à-dire lorsqu’un gradient de pression défavorable suffisamment fort annule exactement le débit net entraîné par la plaque mobile (le refoulement près de la paroi fixe compense exactement l’écoulement entraîné près de la paroi mobile).
\[v_z(x,y)=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}(y-H)(3x^2-y^2)\]
Le non-glissement est satisfait sur les 3 parois. ✓
Avec \(v_x=v_y=0\) et \(v_z=v_z(x,y)\) (indépendant de \(z\)) : \[\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0+0+0=0 \ ✓\]
Composantes \(x\) et \(y\) : triviales (\(0=-\partial p/\partial x\), \(0=-\partial p/\partial y\), car \(p=p(z)\) seulement).
Composante \(z\) : il faut vérifier \(\mu\nabla^2v_z=dp/dz\).
\[\frac{\partial^2v_z}{\partial x^2}=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\times6(y-H) \qquad \frac{\partial^2v_z}{\partial y^2}=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\times(2H-6y)\]
\[\nabla^2v_z=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\left[6y-6H+2H-6y\right]=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\times(-4H)=-\frac{p_0-p_L}{\mu L}\]
\[\mu\nabla^2v_z=-\frac{p_0-p_L}{L}=\frac{p_L-p_0}{L}=\frac{dp}{dz}\ ✓\]
Le profil satisfait rigoureusement les trois composantes de l’équation du mouvement. ∎
Pour \(y\) fixe (\(0\le y\le H\)), \(x\) varie de \(-y/\sqrt3\) à \(y/\sqrt3\) : \[\int_{-y/\sqrt3}^{y/\sqrt3}(3x^2-y^2)\,dx=-\frac{4y^3}{3\sqrt3}\]
\[Q=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\int_0^H(y-H)\left(-\frac{4y^3}{3\sqrt3}\right)dy=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\times\frac{4}{3\sqrt3}\int_0^H(Hy^3-y^4)\,dy\]
\[\int_0^H(Hy^3-y^4)dy=\frac{H^5}{4}-\frac{H^5}{5}=\frac{H^5}{20}\]
\[Q=\frac{p_0-p_L}{4\mu LH}\times\frac{4}{3\sqrt3}\times\frac{H^5}{20}=\frac{(p_0-p_L)H^4}{60\sqrt3\,\mu L}=\boxed{\dfrac{\sqrt3(p_0-p_L)H^4}{180\mu L}}\ ✓\]
Contrainte à la paroi \(y=H\) : \[\tau_{yz}\Big|_{y=H}=-\mu\left.\frac{\partial v_z}{\partial y}\right|_{y=H}=\frac{p_0-p_L}{4LH}\left(H^2-3x^2\right)\]
Force sur cette paroi (largeur \(2H/\sqrt3\), longueur \(L\)) : \[F_{paroi}=L\int_{-H/\sqrt3}^{H/\sqrt3}\tau_{yz}\Big|_{y=H}\,dx=\frac{\sqrt3(p_0-p_L)H^2}{9}\]
Par symétrie du triangle équilatéral, les trois parois portent la même force : \[\boxed{F_{total}=3F_{paroi}=\dfrac{(p_0-p_L)H^2}{\sqrt3}}\]
Vérification par bilan de force global : \(F_{total}=(p_0-p_L)\times A_{section}\), avec \(A_{section}=\frac12\times\frac{2H}{\sqrt3}\times H=\dfrac{H^2}{\sqrt3}\) → \(F_{total}=(p_0-p_L)H^2/\sqrt3\) ✓ (concordance parfaite)
Variables pertinentes : débit \(Q\) (ou vitesse caractéristique du jet \(V=4Q/\pi d^2\)), diamètre de buse \(d\), hauteur \(h\), diamètre \(D\) et hauteur \(H\) du réservoir, \(\rho\), \(\mu\), \(g\), tension superficielle \(\sigma\).
Groupes adimensionnels (Buckingham-\(\pi\)), avec \(V\) et \(d\) comme échelles caractéristiques :
\[\boxed{Re=\frac{Vd}{\nu}}\ (\text{forces visqueuses/inertielles}) \qquad \boxed{Fr=\frac{V^2}{gd}}\ (\text{forces gravitationnelles/inertielles, essentiel car le jet impacte la surface libre})\]
\[We=\frac{\rho V^2d}{\sigma}\ (\text{tension superficielle, entraînement de bulles})\]
Rapports géométriques à respecter : \(\dfrac{h}{d}\), \(\dfrac{D}{d}\), \(\dfrac{H}{d}\) identiques entre modèle et prototype (similitude géométrique).
Critères de similitude dynamique : \[Re_{mod\grave ele}=Re_{prototype} \qquad \text{et} \qquad Fr_{mod\grave ele}=Fr_{prototype}\]
Ces deux conditions sont généralement incompatibles simultanément avec le même fluide (eau) à échelle réduite : l’égalité de \(Fr\) impose \(V_m/V_p=\sqrt{d_m/d_p}=\sqrt\lambda\) (échelle réduite → vitesse réduite), alors que l’égalité de \(Re\) imposerait \(V_m/V_p=d_p/d_m=1/\lambda\) (vitesse augmentée) — contradiction classique de la modélisation à échelle réduite (analogue au problème de la coque de navire).
Conclusion pratique : puisque le comportement du jet à la surface libre (splash, entraînement d’air) est dominé par la gravité, on privilégie la similitude de Froude (\(Fr_m=Fr_p\)), en s’assurant que \(Re\) reste suffisamment élevé (turbulent) dans les deux cas pour que les effets visqueux résiduels soient d’importance secondaire (indépendance de \(Re\) à grand nombre de Reynolds).
Profil de Poiseuille : \(v_z(r)=\dfrac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2)\), donc \(\dfrac{dv_z}{dr}=-\dfrac{\Delta p}{2\mu L}r\)
\[\boxed{\Phi_v(r)=\left(\frac{dv_z}{dr}\right)^2=\frac{(\Delta p)^2r^2}{4\mu^2L^2}}\]
\[\int_V\Phi_v\,dV=\int_0^L\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R\Phi_v\,r\,dr\,d\theta\,dz=2\pi L\times\frac{(\Delta p)^2}{4\mu^2L^2}\times\frac{R^4}{4}=\frac{\pi(\Delta p)^2R^4}{8\mu^2L}\]
\[\mu\int_V\Phi_v\,dV=\frac{\pi(\Delta p)^2R^4}{8\mu L}\]
Or, par Hagen-Poiseuille : \(Q=\dfrac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L} \Rightarrow Q\Delta p=\dfrac{\pi R^4(\Delta p)^2}{8\mu L}\)
\[\boxed{\mu\int_V\Phi_v\,dV=Q\Delta p}\ ✓\]
Ce résultat exprime que toute la puissance fournie par le gradient de pression est dissipée par frottement visqueux (bilan d’énergie mécanique en régime établi, sans variation d’énergie cinétique).
\(\mu=100\,Pa\cdot s\), \(\rho=800\,kg/m^3\), \(C_p=2500\,J/(kg\cdot K)\), \(L=0{,}3\,m\), \(d=5\,mm\), \(\Delta p=150\,kPa\).
Bilan d’énergie adiabatique (toute la dissipation chauffe le fluide) : \(\dot m C_p\Delta T=Q\Delta p=\dot m\dfrac{\Delta p}{\rho}\Rightarrow\)
\[\boxed{\Delta T=\dfrac{\Delta p}{\rho C_p}}\]
Résultat remarquable : indépendant de la géométrie du capillaire (D, L, μ n’interviennent pas) !
\[\Delta T=\frac{150\,000}{800\times2500}=\boxed{0{,}075\;°C}\]
(Vérification via \(Q\) : \(R=2{,}5\,mm\), \(Q=\pi R^4\Delta p/(8\mu L)=7{,}67\times10^{-8}\,m^3/s\), \(\dot m=\rho Q=6{,}14\times10^{-5}\,kg/s\), \(\Delta T=Q\Delta p/(\dot mC_p)=0{,}0115\,W/(0{,}1534\,W/K)=0{,}075\,K\) ✓)