Rúbrica de Evaluación

Pregunta 1: 50 puntos
Pregunta 2: 50 puntos

Para una pregunta de desarrollo se usa el siguiente criterio:
* Todo correcto: 100%
* Casi correcto con errores menores: 75%
* Parcialmente correcto: 50%
* Incorrecto pero se intentó: 25%
* Sin responder: 0%

Pregunta 1

Use el archivo Encuesta Casen 2024.csv en la carpeta Datos del aula virtual. Va a estudiar la relación entre los ingresos y el nivel educacional de las personas. Las variables en el archivo de datos son:

Ingreso – Ingreso medido en CLP$ mensuales.
Educacion – Nivel educacional en una escala de 1-15.

El nivel de educación no está medido en años como en la encuesta de EEUU del curso, sino que es una escala definida por el Ministerio de Educación, que va desde el mínimo nivel (“Nunca asistió”) hasta el máximo (“Doctorado”). En general, cada número representa un nivel educacional de menor a mayor nivel en la trayectoria educativa de una persona, y por ende se puede usar como una variable numérica y no categórica. (Distinto sería si el código de educación no guardara relación con la progresión de niveles en una trayectoria educativa).

La tabla a continuación indica el significado de los niveles de educación:

Educación
01. Nunca asistió
02. Sala cuna
03. Jardín Infantil (Medio menor y Medio mayor)
04. Prekínder / Kínder (Transición menor y Transición Mayor)
05. Educación Especial (Diferencial)
06. Primaria o Preparatoria (Sistema antiguo)
07. Educación Básica
08. Humanidades (Sistema Antiguo)
09. Educación Media Científico-Humanista
10. Técnica, Comercial, Industrial o Normalista (Sistema Antiguo)
11. Educación Media Técnica Profesional
12. Técnico Nivel Superior (Carreras 1 a 3 años)
13. Profesional (Carreras 4 o más años)
14. Magíster o maestría
15. Doctorado

  1. Genere un gráfico de dispersión de Ingreso versus Educación (Ingreso en el eje-y y Educación en el eje-x). Comente lo que sugiere el gráfico.
  2. Usando R, realice una regresión lineal de Ingreso como variable dependiente y Educación como variable explicativa. Escriba la estimación del coeficiente de Educación.
  3. Escriba su interpretación.
  4. Calcule el intervalo de confianza del coeficiente de Educación.
  5. Escriba su interpretación.
  6. Escriba el valor p del coeficiente de Educación.
  7. Escriba su interpretación.
  8. Escriba el coeficiente de determinación, R^{2}, del modelo.
  9. Escriba su interpretación.
  10. ¿El modelo de regresión es útil? Argumente su respuesta.

Solución

Cada respuesta incluye el código R donde corresponda.

1. Genere un gráfico de dispersión de Ingreso versus Educación (Ingreso en el eje-y y Educación en el eje-x). Comente lo que sugiere el gráfico.

Primero hay que abrir el archivo de datos Encuesta Casen 2024.csv con el Notepad++ para identificar el caracter separador de columnas. Al hacerlo, se ve que el delimitador es la pipa (“|”). Hay que informar este caracter en el parámetro sep del comando read.table.

# Paquetes
library(ggplot2)

# Cargar datos
df_datos = read.table("Casen 2024.csv", header = T, sep = "|")

# Gráfico de dispersión
ggplot(data = df_datos, mapping = aes(y=Ingreso, x=Educacion)) + 
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm")

Aunque se observa una gran dispersión del ingreso, el valor promedio del ingreso aumenta con el nivel de educación.

2. Usando R, realice una regresión lineal de Ingreso como variable dependiente y Educación como variable explicativa. Escriba la estimación del coeficiente de Educación.

# Regresión
mod.lm = lm(data = df_datos, formula = Ingreso ~ Educacion)
summary(mod.lm)
## 
## Call:
## lm(formula = Ingreso ~ Educacion, data = df_datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1354802  -333724   -73184   176816 18905737 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -599243      12428  -48.22   <2e-16 ***
## Educacion     130270       1139  114.39   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 663500 on 70387 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1568, Adjusted R-squared:  0.1567 
## F-statistic: 1.308e+04 on 1 and 70387 DF,  p-value: < 2.2e-16

Se observa en los resultados de la regresión que el valor de la estimación del coeficiente de Educación es 130270.

3. Escriba su interpretación.

La interpretación de la estimación del coeficiente es que, para cada nivel de educación adicional, el ingreso medio mensual de un residente de Chile aumenta en $130.270.

4. Calcule el intervalo de confianza del coeficiente de Educación.

El intervalo de confianza del coeficiente de educación es [128038, 132502].

5. Escriba su interpretación.

Significa que hay un 95% de probabilidad que el valor real de \(\beta_1\) está entre 128038 y 132502.

6. Escriba el valor p del coeficiente de Educación.

El valor p del coeficiente de Educación es \(< 2 \times 10^{-16}\).

7. Escriba su interpretación.

En términos precisos estadísticos, esto significa que, bajo la hipótesis nula que el verdadero valor de \(\beta_1\) es cero, hay una probabilidad de \(< 2 \times 10^{-16}\) de haber obtenido el valor de 130270 o más para el coeficiente. En términos prácticos, significa que tenemos un alto grado de confianza que \(\beta_1\) no es cero y por ende existe una relación signficativa entre el nivel de educación y los ingresos de una persona.

Escriba el coeficiente de determinación, \(R^{2}\), del modelo.

El coeficiente de determinación del modelo es: \(R^2 =\) 0.16.

9. Escriba su interpretación.

Esto significa que el modelo solamente explica el 16% de la varianza del ingreso. Esto es bajo, lo cual implica que el nivel de educación solamente explica una pequeña parte del ingreso de las personas en Chile, y hay otras variables que influyen en forma importante.

10. ¿El modelo de regresión es útil? Argumente su respuesta.

Por cierto, el modelo es útil, a pesar de su bajo valor de \(R^2\). Indica que la educación está relacionada con el ingreso y podría tener un efecto causal importante. Un ingreso promedio adicional de $130.270 por cada nivel adicional de educación es significativo en la calidad de vida de las personas y en el bienestar social.

La relación entre educación e ingreso no implica necesariamente que haya un efecto causal del primero sobre el segundo, pero admite la posibilidad que exista. Más adelante en el curso veremos como obtener evidencia para un efecto causal.

Pregunta 2

Sea un modelo de regresión lineal de una variable explicativa: \[y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + u_i…(1)\] donde \(u_i\) es el término de error de la observación i. Demuestre que la varianza del coeficiente pendiente, \(\hat{\beta}_1\), está dada por:

\[var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2_u}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}...(2)\]

Sugerencia: Use la descomposición del coeficiente \(\hat{\beta}_1\) en sus componentes determinista y estocástica:

\[\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(u_i-\bar{u})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}...(3)\]

y los supuestos Gauss-Markov.

Solución

Usar la ecuación (3), y simplificar el numerador:

\[\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(u_i-\bar{u}) = \sum_{i=1}^n[(x_i-\bar{x})u_i - (x_i-\bar{x}) \bar{u}]\] \[= \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})u_i - \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}) \bar{u}\] \[= \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})u_i - \bar{u}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})\] \[= \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})u_i - \bar{u}(n\bar{x}-n\bar{x})\] \[\therefore \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(u_i-\bar{u}) = \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})u_i\] Sustituir en (3):

\[\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})u_i}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}...(4)\] Asumimos que necesitamos la varianza de \(\hat{\beta}_1\) condicional en una muestra de X: \({x_1, x_2, ..., x_n}\). Entonces podemos tratar a los \(x_i\) como constantes al tomar la varianza de la ecuación (4):

\[var(\hat{\beta}_1) = \frac{1}{\left[\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\right]^2} var \left(\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})u_i \right)\] Ocupar la fórmula:

\[var(X+Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y)\] Y su corolario: \[var \left( \sum_{i=1}^nx_i \right) = \sum_{n=1}^nvar(x_i) + 2\sum_{i \ne j}cov(x_i, x_j)\]

\[var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2var(u_i) + 2\sum_{i \ne j}cov(x_i-\bar{x}, u_j)}{\left[\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\right]^2}\] Pero \(cov(x_i-\bar{x}, u_j) = 0\) para \(x_i\) dados.
Además, usamos el supuesto (5) Gauss-Markov de homocedasticidad:

\[var(u_i) = \sigma_u^2 \ \forall i\] \[\therefore var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma_u^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 }{\left[\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\right]^2}\] \[\therefore var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma_u^2 }{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\] \[Q.E.D.\]

\[-----------------------------------\]