Tugas 4 - Analisis Deret Waktu

Berikut data jumlah pengunjung Perpustakaan Daerah Kabupaten Serang, Januari 2023 - Juni 2024 (orang/bulan):

library(knitr)

## Warning: package 'knitr' was built under R version 4.4.3

data_pengunjung <- data.frame(
  Tahun = c(rep(2023, 12), rep(2024, 6)),
  Bulan = c(month.abb, month.abb[1:6]),
  Jumlah_Pengunjung = c(
    210, 195, 220, 205, 230, 215,
    240, 225, 250, 235, 245, 260,
    255, 265, 270, 280, 275, 290
  )
)

kable(data_pengunjung)

Tahun	Bulan	Jumlah_Pengunjung
2023	Jan	210
2023	Feb	195
2023	Mar	220
2023	Apr	205
2023	May	230
2023	Jun	215
2023	Jul	240
2023	Aug	225
2023	Sep	250
2023	Oct	235
2023	Nov	245
2023	Dec	260
2024	Jan	255
2024	Feb	265
2024	Mar	270
2024	Apr	280
2024	May	275
2024	Jun	290

1. Objek Time Series dan Plot Runtun Waktu

a. Objek Time Series

data_ts <- ts(data_pengunjung$Jumlah_Pengunjung,
              start = c(2023,1),
              frequency = 12)
data_ts

##      Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 2023 210 195 220 205 230 215 240 225 250 235 245 260
## 2024 255 265 270 280 275 290

b. Plot Runtun Waktu

plot(data_ts, 
     main = "Jumlah Pengunjung Perpustakaan Daerah Kabupaten Serang",
     xlab = "Tahun",
     ylab = "Orang/Bulan",
     col = "navy",
     lwd = 2
     )

text(time(data_ts), data_ts,
     labels = data_ts,
     pos = 3, 
     cex = 0.5
     )

Berdasarkan output yang dihasilkan, plot menunjukkan adanya tren naik yang cukup jelas, meskipun polanya mengalami fluktuasi selama periode pengamatan berlangsung. Terlihat bahwa di bulan Januari 2023 jumlah pengunjung yaitu 210, nilai terus bergerak dari 210 hingga mencapai 290 di bulan Juni 2024.

2. Hitung dan Plot Single Moving Averange

a. SMA(3)

library(zoo)

## Warning: package 'zoo' was built under R version 4.4.3

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

(sma3 <- rollmean(data_ts, k = 3, align = "right", fill = NA))

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 2023       NA       NA 208.3333 206.6667 218.3333 216.6667 228.3333 226.6667
## 2024 253.3333 260.0000 263.3333 271.6667 275.0000 281.6667                  
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 2023 238.3333 236.6667 243.3333 246.6667
## 2024

# Perbandingan 6 Bulan Terakhir

(compare <- data.frame(
  Periode = c("Januari 2024", "Februari 2024", "Maret 2024",
            "April 2024", "Mei 2024", "Juni 2024"),
 data_asli = tail(data_ts, 6),
 SMA3 = tail(sma3, 6)
))

##         Periode data_asli     SMA3
## 1  Januari 2024       255 253.3333
## 2 Februari 2024       265 260.0000
## 3    Maret 2024       270 263.3333
## 4    April 2024       280 271.6667
## 5      Mei 2024       275 275.0000
## 6     Juni 2024       290 281.6667

Berdasarkan perbandingan antara data asli dan SMA(3) selama 6 bulan terakhir, nilai SMA(3) umumnya berada di bawah nilai data asli ketika jumlah pengunjung mengalami peningkatan. Namun, pada bulan Mei 2024 nilai SMA(3) sama dengan data asli yaitu 275, kemudian di bulan Juni 2024 nilainya mengalami penurunan ketika data asli naik. Jadi, secara keseluruhan SMA(3) menunjukkan adanya ketertinggalan (lag) dalam mengikuti kenaikan data aktual karena SMA(3) menggunakan nilai rata-rata tiga periode sebelumnya.

b. Plot

ts.plot(data_ts, sma3, col = c("navy","orange"))

text(time(data_ts), data_ts,
     labels = round(data_ts, 2),
     pos = 3, 
     cex = 0.5
     )

text(time(sma3), sma3,
     labels = round(sma3, 2),
     pos = 3, 
     cex = 0.5
     )

legend(
  "topleft",
  legend = c("Data Asli", "SMA3"),
  col = c("navy", "orange"),
  lty = 1
)

Pola SMA(3) mengikuti pola data asli, namun cenderung lebih halus. Pada beberapa periode, ketika data asli meningkat, nilai SMA(3) masih berada di bawah data aktual, terutama pada 6 bulan terakhir. Oleh karena itu, SMA(3) memiliki efek lag sehingga kurang cepat dalam mengikuti perubahan ketika data mengalami kenaikan.

3. Hitung Double Moving Average dengan m = 3

a. \(M'_t\)

m <- 3
(Mp  <- rollmean(data_ts, k = m, align = "right", fill = NA))

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 2023       NA       NA 208.3333 206.6667 218.3333 216.6667 228.3333 226.6667
## 2024 253.3333 260.0000 263.3333 271.6667 275.0000 281.6667                  
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 2023 238.3333 236.6667 243.3333 246.6667
## 2024

tail(Mp, 1)

## [1] 281.6667

Nilai \(M'_t\) dengan orde m = 3 mulai dapat dihitung dari bulan Maret 2023. Pada bulan Juni 2024, diperoleh nilai \(M'_t\) sebesar 281.6667. Nilai ini merupakan rata-rata dari tiga bulan terakhir yaitu April 2024 hingga Juni 2024. \[ \frac{280 + 275 + 290}{3} = 281.6667 \] Nilai ini selanjutnya digunakan dalam perhitungan Double Moving Averange (DMA).

b.\(M''_t\)

(Mpp <- rollmean(Mp, k = m, align = "right", fill = NA))

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 2023       NA       NA       NA       NA 211.1111 213.8889 221.1111 223.8889
## 2024 247.7778 253.3333 258.8889 265.0000 270.0000 276.1111                  
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 2023 231.1111 233.8889 239.4444 242.2222
## 2024

tail(Mpp, 1)

## [1] 276.1111

Perhitungan \(M''_t\) dengan orde m = 3 dimulai dari bulan Mei 2023. Hal ini karena \(M''_t\) merupakan rata-rata dari tiga nilai \(M'_t\) sebelunya. Nilai \(M''_t\) diperoleh dari rata-rata \(M'_t\) tiga bulan terakhir, yaitu sebesar 276.1111.

\[ \frac{271.6667 + 275.0000 + 281.6667}{3} = 276.1111 \] Nilai \(M''_t\) digunakan bersama \(M'_t\) untuk menghitung \(a_t\) dan \(b_t\) dalam metode DMA.

c. \(a_t\)

(a_t <- 2*Mp - Mpp)

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 2023       NA       NA       NA       NA 225.5556 219.4444 235.5556 229.4444
## 2024 258.8889 266.6667 267.7778 278.3333 280.0000 287.2222                  
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 2023 245.5556 239.4444 247.2222 251.1111
## 2024

(a_last <- tail(na.omit(a_t), 1))

## [1] 287.2222

\[ a_t = 2M'_t - M''_t \]

\[ a_t = 2(281,6667) − 276,1111 = 287,2223 ≈ 287,2222 \] Nilai \(a_t\) diperoleh sebesar 287,2222.

d. \(b_t\)

(b_t <- (2/(m-1)) * (Mp - Mpp))

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 2023       NA       NA       NA       NA 7.222222 2.777778 7.222222 2.777778
## 2024 5.555556 6.666667 4.444444 6.666667 5.000000 5.555556                  
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 2023 7.222222 2.777778 3.888889 4.444444
## 2024

(b_last <- tail(na.omit(b_t), 1))

## [1] 5.555556

\[ b_t = \frac{2}{m - 1} (M'_t - M''_t) \]

\[ b_t = \frac{2}{3 - 1} (281.6667 - 276.1111) = 5.555556 \] Nilai \(b_t\) diperoleh sebesar 5.555556.

Nilai \(a_t\) dan \(b_t\) terakhir selanjutnya digunakan untuk melakukan peramalan jumlah pengunjung pada periode selanjutnya.

4. Gunakan hasil DMA untuk meramalkan jumlah pengunjung 1 dan 2 bulan setelah data terakhir. Bandingkan dengan ramalan SMA biasa

Hasil DMA

(forecast_1 <- a_last + b_last * 1) # ramalan 1 bulan ke depan

## [1] 292.7778

(forecast_2 <- a_last + b_last * 2 ) # ramalan 2 bulan ke depan

## [1] 298.3333

Dengan metode DMA, diperoleh ramalan jumlah pengunjung untuk 1 hingga 2 bulan kedepan yaitu sebesar 292.7778 untuk bulan Juli 2024, dan 298.3333 di bulan Agustus 2024.

Ramalan SMA(3)

(sma_forecast_1 <- mean(tail(data_ts, 3))) # ramalan 1 bulan ke depan

## [1] 281.6667

(sma_forecast_2 <- mean(c(
  tail(data_ts, 2),
  sma_forecast_1
))) # ramalan 2 bulan ke depan

## [1] 282.2222

Metode SMA(3) menghasikan ramalan yang lebih rendah dari metode DMA. Di mana ramalan jumlah pengunjung di bulan Juli 2024 yaitu 281.6667, dan 282.2222 di bulan Agustus.

Perbandingan

(perbandingan <- data.frame(
  Periode = c("Juli 2024", "Agustus 2024"),
  DMA = c(forecast_1, forecast_2),
  SMA3 = c(sma_forecast_1, sma_forecast_2)
))

##        Periode      DMA     SMA3
## 1    Juli 2024 292.7778 281.6667
## 2 Agustus 2024 298.3333 282.2222

Berdasarkan perbandingan tersebut, DMA mempertimbangkan komponen dari \(a_t\) dan \(b_t\) sehingga ramalan terus mengalami peningkatan dari satu periode ke periode berikutnya. Sedangkan, SMA(3) hanya menggunakan nilai rata-rata dari tiga bulan terakhir, sehingga cenderung mengalami efek lag terhadap tren dan menghasilkan ramalan yang lebih rendah.