Curso: Estadística Inferencial
Grupo: 6
Integrantes: - Valeria Ortiz - Laura Guevara - Maria Angel Gutierrez - Angie Serrano Olivo
Profesor: Humberto Llinás
Fecha de entrega: 25 de septiembre de 2026
Este proyecto usa la base de datos survey del paquete lsm de R para aplicar intervalos de confianza a distintas variables de una encuesta a estudiantes. Se tomaron dos muestras aleatorias (120 y 24 datos, con semilla fija) y se calcularon intervalos para la media de Age y BMI, para la diferencia de medias de BMI entre los dos grupos de Like (comparando los métodos Z, t con varianzas iguales y Welch), para las proporciones de Law y MotherCHD, para la diferencia de proporciones de Law entre grupos, y para la razón de varianzas de BMI. Con un 95% de confianza, ninguno de los intervalos de diferencia (BMI: entre -2.85 y 1.56; Law: entre -0.20 y 0.16) excluyó el cero, y el intervalo de la razón de varianzas (0.68 a 1.89) incluyó el 1. El ejercicio muestra que no hay diferencias significativas entre los grupos de Like en BMI ni en la proporción de Law, y que el supuesto de varianzas iguales usado en el método combinado estaba justificado.
En los estudios con estudiantes universitarios es habitual recolectar
variables de tipo demográfico, físico y de opinión —como la edad, el
índice de masa corporal (BMI), la actitud frente a leyes de regulación
(Law), antecedentes familiares de enfermedad coronaria (MotherCHD) o
preferencias personales (Like)— con el fin de describir a una población
y, sobre todo, de tomar decisiones respecto a ella sin tener que
censarla por completo. En la práctica casi nunca se cuenta con la
información de todos los individuos de interés, sino únicamente con una
muestra, por lo que surge la necesidad de contar con procedimientos que
permitan pasar de lo observado en esa muestra a una afirmación razonable
sobre la población de la que proviene. Este proyecto aborda precisamente
ese problema utilizando la base de datos survey del paquete
lsm de R, a partir de la cual se extraen dos muestras
aleatorias de distinto tamaño para estudiar el comportamiento de los
intervalos de confianza en variables cuantitativas (Age, BMI) y
categóricas (Law, MotherCHD), tanto de forma individual como comparando
dos grupos definidos por la variable Like.
La construcción de intervalos de confianza es un tema central en la estadística inferencial y cuenta con amplio respaldo en la literatura. Walpole et al. (2012) explican cómo, a partir del error estándar de un estimador, es posible construir un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional con un nivel de confianza dado. Montgomery y Runger (2018) complementan esta idea al mostrar su aplicación práctica en medias, proporciones y razones de varianza, resaltando la importancia de validar los supuestos antes de elegir el método.
Cuando la varianza poblacional se desconoce, se recurre a la distribución t en lugar de la Z. Para el caso de dos muestras con varianzas posiblemente distintas, Welch (1947) propuso un ajuste en los grados de libertad, apoyado en la aproximación desarrollada por Satterthwaite (1946), que sigue siendo la base del método conocido como corrección de Welch-Satterthwaite. Por su parte, dado que una de las variables del estudio es el BMI, se tomó como referencia el informe técnico de la OMS (1995), que estableció los criterios internacionales para interpretar esta variable.
Estas fuentes muestran que la elección entre los métodos Z, t (varianzas iguales) o Welch depende de supuestos que deben verificarse y no asumirse, lo cual justifica el uso del intervalo para la razón de varianzas como paso previo en este trabajo.
La comprensión de la forma en que se construyen e interpretan los intervalos de confianza es clave porque los intervalos de confianza, a diferencia de una simple estimación puntual, establecen la incertidumbre asociada al proceso de muestreo. Un valor puntual (la media muestral del BMI, por ejemplo) no dice nada acerca de la confianza en esa estimación, mientras que el intervalo de confianza sí permite extraer esa información gracias a la amplitud del intervalo. Comparar procedimientos (Z frente a t, varianzas iguales frente a Welch) y tamaños de muestras (120 frente a 24 observaciones) permite poner de manifiesto, con datos reales, principios teóricos que de otra manera quedarían en el plano de la abstracción: el efecto del tamaño de muestra en la precisión, la importancia de comprobar la condición de homogeneidad de varianzas antes de operar con la comparación de dos grupos, y las consecuencias prácticas de aplicar un método no adecuado al contexto de los datos.
Ejecutar y comparar diferentes métodos de estimación por intervalos de confianza (Z, t de Student con varianzas similares, t de Welch y F) sobre variables cuantitativas y categóricas de la base de datos survey, con el objetivo de estimar parámetros poblacionales de interés —medias, proporciones, diferencias entre grupos y razón de varianzas— y de estudiar cómo el tamaño muestral y las hipótesis distribucionales condicionan la precisión y la interpretación de esos intervalos.
A lo largo del proyecto se combinan varios conceptos de estimación por intervalos que conviene precisar en función de cómo se usaron en el análisis, más allá de su definición formal.
Estimación puntual y error estándar. Cada intervalo parte de la base de un estimador puntual (una media, una proporción o una diferencia entre ellas), que se calcula a partir de la muestra; dicho número por sí mismo no indica nada respecto a qué tanto puede estar alejado del valor poblacional real; para ello se recurre al error estándar, que en este trabajo evalúa en qué medida varía el estimador de muestra a muestra en función del tamaño de muestra y la dispersión de los datos (por ejemplo, en la comparación de medias de BMI se combinan las varianzas de ambos grupos y los tamaños de estos). Un mayor error estándar (como el que se obtuvo en la Muestra2, con sólo 24 observaciones), supone intervalos más amplios y, por tanto, estimaciones más imprecisas.
Distribución Z y distribución t de Student. Se utilizó la distribución normal estándar (Z) cuando se asumía que las desviaciones poblacionales eran conocidas (acercándolas a las desviaciones muestrales como, por ejemplo, en el intervalo de la diferencia de medias de BMI o en los intervalos de proporciones). En este caso, en cambio, la distribución t de Student se utilizó cuando la desviación poblacional es realmente desconocida y debe ser estimada a partir de los datos; esto interpreta una fuente adicional de incertidumbre en la que la distribución t se encarga de compensar con colas más pesadas que la Z. Esto se tradujo en la práctica en valores críticos t más altos que los valores críticos Z, es decir, márgenes de error más elevados, especialmente en el caso de la muestra pequeña.
Grado de confianza. Es el porcentaje de
seguridad que se le exige al intervalo antes de construirlo, y en este
trabajo se fijó en 95% (alpha <- 0.05, ya que grado de
confianza = 1 − alpha). No es un resultado que se calcule a partir de
los datos, sino una decisión previa del grupo: significa que, si el
proceso de muestreo y construcción del intervalo se repitiera muchas
veces, se espera que el 95% de esos intervalos contengan el verdadero
valor del parámetro poblacional (la media, la proporción o la diferencia
que se esté estimando). Un grado de confianza más alto (por ejemplo 99%)
exige un intervalo más ancho para “asegurar” con mayor certeza que el
parámetro quede dentro, mientras que uno más bajo (90%) permite un
intervalo más angosto pero con mayor riesgo de no capturar el valor
real. En el código, el grado de confianza es lo que determina
directamente el valor crítico usado en cada intervalo, a través de
qnorm(1 - alpha/2) para los métodos Z y de
qt(1 - alpha/2, df = ...) para los métodos basados en la
distribución t.
Varianzas iguales frente a varianzas distintas (Welch). El intervalo con varianza combinada asume que ambos grupos comparten la misma varianza poblacional y por eso promedia (pondera) las dos varianzas muestrales en una sola. El intervalo de Welch no hace ese supuesto: calcula el error estándar sumando por separado la contribución de la varianza de cada grupo. En este proyecto, el intervalo de confianza para la razón de varianzas del BMI se usó justamente como herramienta para decidir cuál de los dos supuestos era razonable, en lugar de asumirlo de antemano.
Razón de varianzas y distribución F. Para comparar la variabilidad del BMI entre los dos grupos se usó el cociente de las varianzas muestrales, cuyo comportamiento bajo muestreo repetido sigue una distribución F. Un intervalo de confianza para este cociente que no incluye el valor 1 sugiere que las varianzas poblacionales son distintas; si el intervalo sí incluye a 1, no hay evidencia suficiente para descartar la igualdad de varianzas, lo cual respalda usar el intervalo de varianza combinada en lugar del de Welch.
Intervalo para una proporción y para la diferencia de proporciones. Para variables dicotómicas como Law o MotherCHD, el parámetro de interés ya no es una media sino una proporción poblacional. Su error estándar depende de la proporción muestral misma (p(1−p)) y del tamaño de muestra, por lo que proporciones cercanas a 0 o a 1 tienden a producir intervalos algo más angostos que proporciones cercanas a 0.5. La diferencia de proporciones entre los dos grupos de Like se construyó combinando el error estándar de ambas proporciones, de forma análoga a como se hizo con la diferencia de medias.
Se usó la base survey del paquete lsm, seleccionando las variables Age, BMI, Law, MotherCHD y Like (esta última para dividir en dos grupos). Se eliminaron los datos faltantes y se generaron dos muestras aleatorias con set.seed(2026): una de 120 observaciones (60 por grupo) y otra de 24 (12 por grupo), esta última para ver cómo se comportan los intervalos con muestras pequeñas.Con esas muestras se calcularon:
Todo se hizo en R con los paquetes lsm, knitr y kableExtra, con un nivel de confianza del [95%, ajustar según lo usado].
library(lsm) # Para acceder a la base de datos survey
library(knitr) # Para construir tablas
library(kableExtra) # Para mejorar la presentación de las tablasInterpretación.
Se cargaron las librerías lsm, knitr y kableExtra, las cuales permiten acceder a la base de datos survey y generar tablas con una mejor presentación a lo largo del documento.
survey <- lsm::survey
n_observaciones <- nrow(survey)
n_variables <- ncol(survey)
n_observaciones## [1] 800n_variables## [1] 66Interpretación.
Se cargó la base de datos survey del paquete lsm y se verificó su tamaño mediante el número de observaciones y variables. Esta información permite conocer las dimensiones de la base antes de iniciar el análisis.
kable(
data.frame(
N = seq_len(n_variables),
Variable = names(survey)
),
caption = "Tabla 1. Nombres de las variables de la base de datos survey"
)| N | Variable |
|---|---|
| 1 | Observation |
| 2 | ID |
| 3 | Gender |
| 4 | Like |
| 5 | Age |
| 6 | Smoke |
| 7 | Height |
| 8 | Weight |
| 9 | BMI |
| 10 | School |
| 11 | SES |
| 12 | Enrollment |
| 13 | Score |
| 14 | MotherHeight |
| 15 | MotherAge |
| 16 | MotherCHD |
| 17 | FatherHeight |
| 18 | FatherAge |
| 19 | FatherCHD |
| 20 | Status |
| 21 | SemAcum |
| 22 | Exam1 |
| 23 | Exam2 |
| 24 | Exam3 |
| 25 | Exam4 |
| 26 | ExamAcum |
| 27 | Definitive |
| 28 | Expense |
| 29 | Income |
| 30 | Gas |
| 31 | Course |
| 32 | Law |
| 33 | Economic |
| 34 | Race |
| 35 | Region |
| 36 | EMO1 |
| 37 | EMO2 |
| 38 | EMO3 |
| 39 | EMO4 |
| 40 | EMO5 |
| 41 | GOAL1 |
| 42 | GOAL2 |
| 43 | GOAL3 |
| 44 | Pre_STAT1 |
| 45 | Pre_STAT2 |
| 46 | Pre_STAT3 |
| 47 | Pre_STAT4 |
| 48 | Post_STAT1 |
| 49 | Post_STAT2 |
| 50 | Post_STAT3 |
| 51 | Post_STAT4 |
| 52 | Pre_IDARE1 |
| 53 | Pre_IDARE2 |
| 54 | Pre_IDARE3 |
| 55 | Pre_IDARE4 |
| 56 | Pre_IDARE5 |
| 57 | Post_IDARE1 |
| 58 | Post_IDARE2 |
| 59 | Post_IDARE3 |
| 60 | Post_IDARE4 |
| 61 | Post_IDARE5 |
| 62 | PSICO1 |
| 63 | PSICO2 |
| 64 | PSICO3 |
| 65 | PSICO4 |
| 66 | PSICO5 |
kable(
data.frame(
Variable = c("Age", "BMI", "Law", "MotherCHD", "Like"),
Tipo = c("Cuantitativa", "Cuantitativa",
"Dicotómica", "Dicotómica",
"Categórica (dos niveles)"),
Uso = c("Intervalo para la media poblacional",
"Intervalo para la media poblacional",
"Intervalo para una proporción poblacional",
"Intervalo para una proporción poblacional",
"Definición de los dos grupos a comparar")
),
caption = "Tabla 2. Variables seleccionadas y uso previsto"
)| Variable | Tipo | Uso |
|---|---|---|
| Age | Cuantitativa | Intervalo para la media poblacional |
| BMI | Cuantitativa | Intervalo para la media poblacional |
| Law | Dicotómica | Intervalo para una proporción poblacional |
| MotherCHD | Dicotómica | Intervalo para una proporción poblacional |
| Like | Categórica (dos niveles) | Definición de los dos grupos a comparar |
Interpretación.
Se identificaron las variables que serán utilizadas durante el proyecto (Age, BMI, Law, MotherCHD y Like) y se especificó el tipo de cada una junto con el procedimiento estadístico en el que será empleada.
table(survey$Law)##
## Agree In disagreement
## 418 380table(survey$MotherCHD)##
## 0 1
## 411 387table(survey$Like)##
## Network TV
## 390 408Interpretación.
Se obtuvieron las tablas de frecuencia de las variables Law, MotherCHD y Like, con el fin de conocer la distribución de sus categorías antes de seleccionar las muestras y realizar las estimaciones.
base <- survey[, c("Age", "BMI", "Law", "MotherCHD", "Like")]
base <- na.omit(base)
niveles_like <- levels(factor(base$Like))
grupo1 <- niveles_like[1]
grupo2 <- niveles_like[2]
grupo1## [1] "Network"grupo2## [1] "TV"Interpretación.
Se construyó una nueva base de datos únicamente con las variables necesarias para el análisis (Age, BMI, Law, MotherCHD y Like). Posteriormente se eliminaron las observaciones con valores faltantes utilizando na.omit() y se identificaron los dos niveles de la variable Like, que servirán para formar los grupos de comparación.
set.seed(2026)
indices_g1 <- sample(which(base$Like == grupo1), 60)
indices_g2 <- sample(which(base$Like == grupo2), 60)
Muestra1 <- base[c(indices_g1, indices_g2), ]
nrow(Muestra1)## [1] 120table(Muestra1$Like)##
## Network TV
## 60 60Interpretación.
Mediante una semilla (set.seed(2026)) se seleccionaron aleatoriamente 60 observaciones de cada nivel de la variable Like, conformando una muestra de 120 individuos. Finalmente, se verificó el tamaño de la muestra y la cantidad de observaciones por grupo.
set.seed(2026)
indices_p1 <- sample(which(base$Like == grupo1), 12)
indices_p2 <- sample(which(base$Like == grupo2), 12)
Muestra2 <- base[c(indices_p1, indices_p2), ]
nrow(Muestra2)## [1] 24table(Muestra2$Like)##
## Network TV
## 12 12Interpretación.
Mediante una semilla (set.seed(2026)) se seleccionaron aleatoriamente 12 observaciones de cada nivel de la variable Like, conformando una muestra de 24 individuos. Finalmente, se verificó el tamaño de la muestra y la cantidad de observaciones por grupo.
bmi_g1_m1 <- Muestra1$BMI[Muestra1$Like == grupo1]
bmi_g2_m1 <- Muestra1$BMI[Muestra1$Like == grupo2]
bmi_g1_m2 <- Muestra2$BMI[Muestra2$Like == grupo1]
bmi_g2_m2 <- Muestra2$BMI[Muestra2$Like == grupo2]Interpretación.
Se extrajeron los valores de la variable BMI para cada grupo definido por la variable Like en Muestra1 y Muestra2. Esta separación facilita el cálculo de las medias, desviaciones estándar e intervalos de confianza desarrollados en los procedimientos posteriores.
alpha <- 0.05
z_critico <- qnorm(1 - alpha / 2)
media1_41 <- mean(bmi_g1_m1)
media2_41 <- mean(bmi_g2_m1)
sigma1_41 <- sd(bmi_g1_m1)
sigma2_41 <- sd(bmi_g2_m1)
n1_41 <- length(bmi_g1_m1)
n2_41 <- length(bmi_g2_m1)
diferencia_41 <- media1_41 - media2_41
error_estandar_41 <- sqrt(sigma1_41^2 / n1_41 + sigma2_41^2 / n2_41)
margen_error_41 <- z_critico * error_estandar_41
inferior_41 <- diferencia_41 - margen_error_41
superior_41 <- diferencia_41 + margen_error_41
kable(
data.frame(
Medida = c("Media (Grupo 1)", "Media (Grupo 2)",
"Desviación (Grupo 1)", "Desviación (Grupo 2)",
"n (Grupo 1)", "n (Grupo 2)",
"Diferencia estimada", "Error estándar",
"Valor crítico Z", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(media1_41, media2_41, sigma1_41, sigma2_41,
n1_41, n2_41, diferencia_41, error_estandar_41,
z_critico, margen_error_41, inferior_41, superior_41), 4)
),
caption = "Tabla 3. Intervalo de confianza para la diferencia de medias de BMI (Muestra1, aproximación normal)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Media (Grupo 1) | 25.3728 |
| Media (Grupo 2) | 26.0196 |
| Desviación (Grupo 1) | 6.3407 |
| Desviación (Grupo 2) | 5.9599 |
| n (Grupo 1) | 60.0000 |
| n (Grupo 2) | 60.0000 |
| Diferencia estimada | -0.6468 |
| Error estándar | 1.1234 |
| Valor crítico Z | 1.9600 |
| Margen de error | 2.2019 |
| Extremo inferior | -2.8487 |
| Extremo superior | 1.5551 |
Interpretación.
Se calcularon las medias, desviaciones estándar y tamaños muestrales del BMI para los dos grupos definidos por la variable Like en Muestra1. Posteriormente, se estimó la diferencia de medias utilizando una aproximación normal (Z), obteniendo el error estándar, el margen de error y los límites inferior y superior del intervalo de confianza. La Tabla 3 resume cada uno de estos cálculos y permite evaluar el rango plausible para la diferencia de medias poblacional.
media1_42 <- mean(bmi_g1_m2)
media2_42 <- mean(bmi_g2_m2)
s1_42 <- sd(bmi_g1_m2)
s2_42 <- sd(bmi_g2_m2)
n1_42 <- length(bmi_g1_m2)
n2_42 <- length(bmi_g2_m2)
diferencia_42 <- media1_42 - media2_42
gl_42 <- n1_42 + n2_42 - 2
varianza_combinada_42 <- ((n1_42 - 1) * s1_42^2 + (n2_42 - 1) * s2_42^2) / gl_42
s_combinada_42 <- sqrt(varianza_combinada_42)
error_estandar_42 <- s_combinada_42 * sqrt(1 / n1_42 + 1 / n2_42)
t_critico_42 <- qt(1 - alpha / 2, df = gl_42)
margen_error_42 <- t_critico_42 * error_estandar_42
inferior_42 <- diferencia_42 - margen_error_42
superior_42 <- diferencia_42 + margen_error_42
kable(
data.frame(
Medida = c("Media (Grupo 1)", "Media (Grupo 2)",
"s (Grupo 1)", "s (Grupo 2)",
"n (Grupo 1)", "n (Grupo 2)",
"Diferencia estimada", "Grados de libertad",
"Desviación combinada", "Error estándar",
"Valor crítico t", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(media1_42, media2_42, s1_42, s2_42,
n1_42, n2_42, diferencia_42, gl_42,
s_combinada_42, error_estandar_42,
t_critico_42, margen_error_42,
inferior_42, superior_42), 4)
),
caption = "Tabla 4. Intervalo de confianza para la diferencia de medias de BMI (Muestra2, varianzas iguales)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Media (Grupo 1) | 25.2192 |
| Media (Grupo 2) | 24.8459 |
| s (Grupo 1) | 8.0161 |
| s (Grupo 2) | 5.5010 |
| n (Grupo 1) | 12.0000 |
| n (Grupo 2) | 12.0000 |
| Diferencia estimada | 0.3733 |
| Grados de libertad | 22.0000 |
| Desviación combinada | 6.8746 |
| Error estándar | 2.8065 |
| Valor crítico t | 2.0739 |
| Margen de error | 5.8204 |
| Extremo inferior | -5.4471 |
| Extremo superior | 6.1937 |
Interpretación.
En este procedimiento se calcularon las medias y desviaciones estándar del BMI en ambos grupos de Muestra2. Luego se estimó la varianza combinada, el error estándar y el valor crítico de la distribución t para construir el intervalo de confianza bajo el supuesto de varianzas iguales. La Tabla 4 presenta cada uno de estos resultados.
media1_43 <- mean(bmi_g1_m2)
media2_43 <- mean(bmi_g2_m2)
s1_43 <- sd(bmi_g1_m2)
s2_43 <- sd(bmi_g2_m2)
n1_43 <- length(bmi_g1_m2)
n2_43 <- length(bmi_g2_m2)
diferencia_43 <- media1_43 - media2_43
termino1_43 <- s1_43^2 / n1_43
termino2_43 <- s2_43^2 / n2_43
error_estandar_43 <- sqrt(termino1_43 + termino2_43)
gl_43 <- (termino1_43 + termino2_43)^2 /
(termino1_43^2 / (n1_43 - 1) + termino2_43^2 / (n2_43 - 1))
t_critico_43 <- qt(1 - alpha / 2, df = gl_43)
margen_error_43 <- t_critico_43 * error_estandar_43
inferior_43 <- diferencia_43 - margen_error_43
superior_43 <- diferencia_43 + margen_error_43
kable(
data.frame(
Medida = c("Media (Grupo 1)", "Media (Grupo 2)",
"s (Grupo 1)", "s (Grupo 2)",
"n (Grupo 1)", "n (Grupo 2)",
"Diferencia estimada", "Grados de libertad (Welch)",
"Error estándar", "Valor crítico t",
"Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(media1_43, media2_43, s1_43, s2_43,
n1_43, n2_43, diferencia_43, gl_43,
error_estandar_43, t_critico_43,
margen_error_43, inferior_43, superior_43), 4)
),
caption = "Tabla 5. Intervalo de confianza para la diferencia de medias de BMI (Muestra2, varianzas diferentes, Welch)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Media (Grupo 1) | 25.2192 |
| Media (Grupo 2) | 24.8459 |
| s (Grupo 1) | 8.0161 |
| s (Grupo 2) | 5.5010 |
| n (Grupo 1) | 12.0000 |
| n (Grupo 2) | 12.0000 |
| Diferencia estimada | 0.3733 |
| Grados de libertad (Welch) | 19.4798 |
| Error estándar | 2.8065 |
| Valor crítico t | 2.0895 |
| Margen de error | 5.8644 |
| Extremo inferior | -5.4911 |
| Extremo superior | 6.2376 |
Interpretación.
Se estimó la diferencia de medias del BMI utilizando el método de Welch, el cual no requiere asumir igualdad de varianzas entre los grupos. Para ello se calcularon el error estándar, los grados de libertad mediante la aproximación de Welch-Satterthwaite y el intervalo de confianza correspondiente. Los resultados se presentan en la tabla.
media_44 <- mean(Muestra2$Age)
s_44 <- sd(Muestra2$Age)
n_44 <- nrow(Muestra2)
gl_44 <- n_44 - 1
t_critico_44 <- qt(1 - alpha / 2, df = gl_44)
error_estandar_44 <- s_44 / sqrt(n_44)
margen_error_44 <- t_critico_44 * error_estandar_44
inferior_44 <- media_44 - margen_error_44
superior_44 <- media_44 + margen_error_44
kable(
data.frame(
Medida = c("Media", "s", "n", "Grados de libertad",
"Valor crítico t", "Error estándar", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(media_44, s_44, n_44, gl_44,
t_critico_44, error_estandar_44, margen_error_44,
inferior_44, superior_44), 4)
),
caption = "Tabla 6. Intervalo de confianza para la media de Age (Muestra2)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Media | 17.7521 |
| s | 3.1598 |
| n | 24.0000 |
| Grados de libertad | 23.0000 |
| Valor crítico t | 2.0687 |
| Error estándar | 0.6450 |
| Margen de error | 1.3343 |
| Extremo inferior | 16.4178 |
| Extremo superior | 19.0863 |
Interpretación.
A partir de la variable Age en Muestra2 se calcularon la media, la desviación estándar y el tamaño de la muestra. Con estos valores se estimó el error estándar y el intervalo de confianza utilizando la distribución t de Student, cuyos resultados se presentan en la Tabla 6.
tabla_law <- table(Muestra1$Law)
tabla_law##
## Agree In disagreement
## 63 57nivel_exito_law <- names(tabla_law)[2]
exitos_law <- as.numeric(tabla_law[nivel_exito_law])
n_45 <- nrow(Muestra1)
p_45 <- exitos_law / n_45
error_estandar_45 <- sqrt(p_45 * (1 - p_45) / n_45)
margen_error_45 <- z_critico * error_estandar_45
inferior_45 <- max(0, p_45 - margen_error_45)
superior_45 <- min(1, p_45 + margen_error_45)
kable(
data.frame(
Medida = c("Éxitos", "n", "Proporción", "Error estándar",
"Valor crítico Z", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(exitos_law, n_45, p_45, error_estandar_45,
z_critico, margen_error_45, inferior_45, superior_45), 4)
),
caption = "Tabla 7. Intervalo de confianza para la proporción de Law"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Éxitos | 57.0000 |
| n | 120.0000 |
| Proporción | 0.4750 |
| Error estándar | 0.0456 |
| Valor crítico Z | 1.9600 |
| Margen de error | 0.0893 |
| Extremo inferior | 0.3857 |
| Extremo superior | 0.5643 |
Interpretación.
Se obtuvo la frecuencia de la variable Law, identificando el número de éxitos y la proporción muestral correspondiente. Posteriormente se calculó el error estándar, el margen de error y el intervalo de confianza mediante la aproximación normal (Z). Los resultados se resumen en la Tabla 7.
tabla_mchd <- table(Muestra1$MotherCHD)
tabla_mchd##
## 0 1
## 68 52nivel_exito_mchd <- names(tabla_mchd)[2]
exitos_mchd <- as.numeric(tabla_mchd[nivel_exito_mchd])
n_46 <- nrow(Muestra1)
p_46 <- exitos_mchd / n_46
error_estandar_46 <- sqrt(p_46 * (1 - p_46) / n_46)
margen_error_46 <- z_critico * error_estandar_46
inferior_46 <- max(0, p_46 - margen_error_46)
superior_46 <- min(1, p_46 + margen_error_46)
kable(
data.frame(
Medida = c("Éxitos", "n", "Proporción", "Error estándar",
"Valor crítico Z", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(exitos_mchd, n_46, p_46, error_estandar_46,
z_critico, margen_error_46, inferior_46, superior_46), 4)
),
caption = "Tabla 8. Intervalo de confianza para la proporción de MotherCHD"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Éxitos | 52.0000 |
| n | 120.0000 |
| Proporción | 0.4333 |
| Error estándar | 0.0452 |
| Valor crítico Z | 1.9600 |
| Margen de error | 0.0887 |
| Extremo inferior | 0.3447 |
| Extremo superior | 0.5220 |
Interpretación.
Se calcularon la frecuencia de éxitos y la proporción observada para la variable MotherCHD en la muestra. A partir de estos valores se construyó un intervalo de confianza para la proporción poblacional utilizando la distribución normal. La Tabla 8 presenta los cálculos obtenidos.
# Subconjunto para cada nivel de la variable categórica "Like"
subgrupo1 <- Muestra1[Muestra1$Like == grupo1, ]
subgrupo2 <- Muestra1[Muestra1$Like == grupo2, ]
nrow(subgrupo1)## [1] 60nrow(subgrupo2)## [1] 60Interpretación.
La muestra fue dividida en dos subconjuntos de acuerdo con los niveles de la variable Like, verificando el número de observaciones presentes en cada grupo antes de realizar las comparaciones estadísticas posteriores.
bmi_grupo1 <- subgrupo1$BMI
bmi_grupo2 <- subgrupo2$BMI
kable(
data.frame(
Grupo = c(grupo1, grupo2),
n = c(length(bmi_grupo1), length(bmi_grupo2)),
Media = round(c(mean(bmi_grupo1), mean(bmi_grupo2)), 4),
Desviacion = round(c(sd(bmi_grupo1), sd(bmi_grupo2)), 4),
Varianza = round(c(var(bmi_grupo1), var(bmi_grupo2)), 4)
),
caption = "Tabla 9. Estadísticas descriptivas de BMI por grupo (Like)"
)| Grupo | n | Media | Desviacion | Varianza |
|---|---|---|---|---|
| Network | 60 | 25.3728 | 6.3407 | 40.2043 |
| TV | 60 | 26.0196 | 5.9599 | 35.5207 |
Interpretación.
Se calcularon el tamaño de la muestra, la media, la desviación estándar y la varianza del BMI para cada nivel de la variable Like. Estas estadísticas descriptivas permiten comparar el comportamiento inicial de la variable entre ambos grupos antes de construir los intervalos de confianza.
tabla_law_g1 <- table(subgrupo1$Law)
tabla_law_g2 <- table(subgrupo2$Law)
nivel_exito <- names(tabla_law_g1)[2] # mismo nivel de "éxito" en ambos grupos
exitos_g1 <- as.numeric(tabla_law_g1[nivel_exito])
exitos_g2 <- as.numeric(tabla_law_g2[nivel_exito])
n_g1 <- nrow(subgrupo1)
n_g2 <- nrow(subgrupo2)
p_g1 <- exitos_g1 / n_g1
p_g2 <- exitos_g2 / n_g2
kable(
data.frame(
Grupo = c(grupo1, grupo2),
Exitos = c(exitos_g1, exitos_g2),
n = c(n_g1, n_g2),
Proporcion = round(c(p_g1, p_g2), 4)
),
caption = "Tabla 10. Proporciones de Law por grupo (Like)"
)| Grupo | Exitos | n | Proporcion |
|---|---|---|---|
| Network | 28 | 60 | 0.4667 |
| TV | 29 | 60 | 0.4833 |
Interpretación.
Se obtuvieron las frecuencias y proporciones de la variable Law en cada uno de los grupos definidos por Like. La Tabla 10 resume estas proporciones, las cuales servirán posteriormente para estimar el intervalo de confianza de la diferencia de proporciones.
resumen_grupos <- data.frame(
Grupo = c(grupo1, grupo2),
n = c(n_g1, n_g2),
Media_BMI = round(c(mean(bmi_grupo1), mean(bmi_grupo2)), 4),
Desviacion_BMI = round(c(sd(bmi_grupo1), sd(bmi_grupo2)), 4),
Varianza_BMI = round(c(var(bmi_grupo1), var(bmi_grupo2)), 4),
Proporcion_Law = round(c(p_g1, p_g2), 4)
)
kable(resumen_grupos, caption = "Tabla Z. Resumen de estadísticas por grupo")| Grupo | n | Media_BMI | Desviacion_BMI | Varianza_BMI | Proporcion_Law |
|---|---|---|---|---|---|
| Network | 60 | 25.3728 | 6.3407 | 40.2043 | 0.4667 |
| TV | 60 | 26.0196 | 5.9599 | 35.5207 | 0.4833 |
Interpretación.
Se consolidaron en una sola tabla el tamaño muestral, la media, la desviación estándar, la varianza del BMI y la proporción de Law para ambos grupos. Este resumen facilita la comparación de las características principales antes de realizar las inferencias.
# Suponemos que las sigma poblacionales son conocidas y las aproximamos
# con las desviaciones muestrales (como en la Tabla 3 del punto anterior)
sigma1 <- sd(bmi_grupo1)
sigma2 <- sd(bmi_grupo2)
media1 <- mean(bmi_grupo1)
media2 <- mean(bmi_grupo2)
diferencia_z <- media1 - media2
error_estandar_z <- sqrt(sigma1^2 / n_g1 + sigma2^2 / n_g2)
margen_error_z <- z_critico * error_estandar_z
inferior_z <- diferencia_z - margen_error_z
superior_z <- diferencia_z + margen_error_z
kable(
data.frame(
Medida = c("Diferencia de medias", "Error estándar",
"Valor crítico Z", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(diferencia_z, error_estandar_z,
z_critico, margen_error_z,
inferior_z, superior_z), 4)
),
caption = "IC para la diferencia de medias de BMI (sigma conocida)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Diferencia de medias | -0.6468 |
| Error estándar | 1.1234 |
| Valor crítico Z | 1.9600 |
| Margen de error | 2.2019 |
| Extremo inferior | -2.8487 |
| Extremo superior | 1.5551 |
Interpretación.
Utilizando las desviaciones estándar muestrales como aproximación de las desviaciones poblacionales, se estimó el intervalo de confianza para la diferencia de medias del BMI mediante la distribución normal (Z). Se calcularon el error estándar, el margen de error y los límites del intervalo, cuyos resultados se presentan en la tabla.
s1 <- sd(bmi_grupo1)
s2 <- sd(bmi_grupo2)
gl_comb <- n_g1 + n_g2 - 2
varianza_combinada <- ((n_g1 - 1) * s1^2 + (n_g2 - 1) * s2^2) / gl_comb
s_combinada <- sqrt(varianza_combinada)
error_estandar_comb <- s_combinada * sqrt(1 / n_g1 + 1 / n_g2)
t_critico_comb <- qt(1 - alpha / 2, df = gl_comb)
margen_error_comb <- t_critico_comb * error_estandar_comb
diferencia_comb <- media1 - media2
inferior_comb <- diferencia_comb - margen_error_comb
superior_comb <- diferencia_comb + margen_error_comb
kable(
data.frame(
Medida = c("Diferencia de medias", "Grados de libertad",
"Desviación combinada", "Error estándar",
"Valor crítico t", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(diferencia_comb, gl_comb, s_combinada,
error_estandar_comb, t_critico_comb,
margen_error_comb, inferior_comb, superior_comb), 4)
),
caption = "IC para la diferencia de medias de BMI (varianzas iguales)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Diferencia de medias | -0.6468 |
| Grados de libertad | 118.0000 |
| Desviación combinada | 6.1533 |
| Error estándar | 1.1234 |
| Valor crítico t | 1.9803 |
| Margen de error | 2.2247 |
| Extremo inferior | -2.8715 |
| Extremo superior | 1.5779 |
Interpretación.
Bajo el supuesto de igualdad de varianzas entre los grupos, se calculó la varianza combinada y el error estándar para estimar el intervalo de confianza de la diferencia de medias del BMI. También se obtuvieron los grados de libertad y el valor crítico de la distribución t.
termino1 <- s1^2 / n_g1
termino2 <- s2^2 / n_g2
error_estandar_welch <- sqrt(termino1 + termino2)
gl_welch <- (termino1 + termino2)^2 /
(termino1^2 / (n_g1 - 1) + termino2^2 / (n_g2 - 1))
t_critico_welch <- qt(1 - alpha / 2, df = gl_welch)
margen_error_welch <- t_critico_welch * error_estandar_welch
diferencia_welch <- media1 - media2
inferior_welch <- diferencia_welch - margen_error_welch
superior_welch <- diferencia_welch + margen_error_welch
kable(
data.frame(
Medida = c("Diferencia de medias", "Grados de libertad (Welch)",
"Error estándar", "Valor crítico t",
"Margen de error", "Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(diferencia_welch, gl_welch, error_estandar_welch,
t_critico_welch, margen_error_welch,
inferior_welch, superior_welch), 4)
),
caption = "IC para la diferencia de medias de BMI (varianzas diferentes, Welch)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Diferencia de medias | -0.6468 |
| Grados de libertad (Welch) | 117.5503 |
| Error estándar | 1.1234 |
| Valor crítico t | 1.9804 |
| Margen de error | 2.2248 |
| Extremo inferior | -2.8716 |
| Extremo superior | 1.5780 |
Interpretación.
Bajo el supuesto de igualdad de varianzas entre los grupos, se calculó la varianza combinada y el error estándar para estimar el intervalo de confianza de la diferencia de medias del BMI. También se obtuvieron los grados de libertad y el valor crítico de la distribución t.
diferencia_p <- p_g1 - p_g2
error_estandar_p <- sqrt(p_g1 * (1 - p_g1) / n_g1 + p_g2 * (1 - p_g2) / n_g2)
margen_error_p <- z_critico * error_estandar_p
inferior_p <- diferencia_p - margen_error_p
superior_p <- diferencia_p + margen_error_p
kable(
data.frame(
Medida = c("Proporción Grupo 1", "Proporción Grupo 2",
"Diferencia de proporciones", "Error estándar",
"Valor crítico Z", "Margen de error",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(p_g1, p_g2, diferencia_p, error_estandar_p,
z_critico, margen_error_p,
inferior_p, superior_p), 4)
),
caption = "IC para la diferencia de proporciones (Law)"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Proporción Grupo 1 | 0.4667 |
| Proporción Grupo 2 | 0.4833 |
| Diferencia de proporciones | -0.0167 |
| Error estándar | 0.0912 |
| Valor crítico Z | 1.9600 |
| Margen de error | 0.1787 |
| Extremo inferior | -0.1953 |
| Extremo superior | 0.1620 |
Interpretación.
Se calcularon las proporciones de la variable Law en ambos grupos definidos por Like y, a partir de ellas, se estimó la diferencia de proporciones. Posteriormente se obtuvo el error estándar, el margen de error y el intervalo de confianza correspondiente utilizando la aproximación normal.
var1 <- var(bmi_grupo1)
var2 <- var(bmi_grupo2)
razon_varianzas <- var1 / var2
gl_num <- n_g1 - 1
gl_den <- n_g2 - 1
f_inferior <- qf(alpha / 2, df1 = gl_num, df2 = gl_den)
f_superior <- qf(1 - alpha / 2, df1 = gl_num, df2 = gl_den)
inferior_f <- razon_varianzas / f_superior
superior_f <- razon_varianzas / f_inferior
kable(
data.frame(
Medida = c("Varianza Grupo 1", "Varianza Grupo 2",
"Razón de varianzas (s1²/s2²)",
"Grados de libertad numerador",
"Grados de libertad denominador",
"F inferior (tabla)", "F superior (tabla)",
"Extremo inferior", "Extremo superior"),
Valor = round(c(var1, var2, razon_varianzas,
gl_num, gl_den, f_inferior, f_superior,
inferior_f, superior_f), 4)
),
caption = "IC para la razón de varianzas poblacionales de BMI"
)| Medida | Valor |
|---|---|
| Varianza Grupo 1 | 40.2043 |
| Varianza Grupo 2 | 35.5207 |
| Razón de varianzas (s1²/s2²) | 1.1319 |
| Grados de libertad numerador | 59.0000 |
| Grados de libertad denominador | 59.0000 |
| F inferior (tabla) | 0.5973 |
| F superior (tabla) | 1.6741 |
| Extremo inferior | 0.6761 |
| Extremo superior | 1.8949 |
Interpretación.
Se calcularon las varianzas del BMI para ambos grupos y posteriormente se estimó su razón utilizando la distribución F. El intervalo de confianza obtenido permite evaluar si las varianzas poblacionales pueden considerarse iguales o diferentes, información útil para seleccionar el procedimiento más apropiado en la comparación de medias.
La distribución t se usa cuando el tamaño de la muestra es menor a 30 (muestra pequeña), mientras que con muestras de más de 30 unidades experimentales se puede usar la aproximación normal (Z), ya que ahí la distribución muestral ya se comporta prácticamente como una normal. En la práctica esto se refleja en la calidad de los resultados: con Muestra2 (n=12 por grupo, menor a 30) tocó usar t, y el valor crítico fue más alto (2.07 con varianzas iguales), lo que se traduce en un margen de error mayor (5.82) y un intervalo más ancho. Con Muestra1 (n=60, mayor a 30) se pudo usar Z con su valor crítico fijo de 1.96, y el margen de error bajó a 2.20.
Con Muestra1 (n=60 por grupo) el margen de error del intervalo para la diferencia de medias de BMI fue de 2.20, mientras que con Muestra2 (n=12 por grupo) el margen subió a 5.82 (varianzas iguales) e incluso a 5.86 con Welch. Es decir, el intervalo de Muestra2 es casi tres veces más ancho que el de Muestra1. Esto confirma lo esperado: a menor tamaño de muestra, mayor es el error estándar y por tanto menor la precisión de la estimación, aun cuando el nivel de confianza (95%) se mantiene igual en ambos casos.
El valor crítico de Z siempre fue 1.96, no cambia. El de t sí cambió según los grados de libertad: 2.07 con 22 g.l., 2.09 con Welch (19.48 g.l.) y 1.98 con 118 g.l. cuando se usó toda la muestra. La razón es que con pocos grados de libertad la t tiene colas más anchas que la normal, para cubrir la incertidumbre de no conocer la varianza real. Cuando los grados de libertad suben (como con 118), la t se va pareciendo cada vez más a la Z.
El margen de error de Law fue 0.0893 (IC de 0.386 a 0.564) y el de MotherCHD fue 0.0887 (IC de 0.345 a 0.522). Son casi iguales, pero MotherCHD salió un poco más preciso. Esto pasa porque su proporción (0.433) está más lejos de 0.5 que la de Law (0.475), y la varianza de una proporción es más grande justo cuando p está cerca de 0.5, entonces entre más se aleje de ahí, más chico el error y más angosto el intervalo.
Los intervalos de confianza construidos para la diferencia de medias de BMI y para la diferencia de proporciones de Law incluyeron el valor cero en todos los casos, por lo que, con un 95% de confianza, no hay evidencia suficiente para afirmar que los dos grupos definidos por Like difieran en estas variables a nivel poblacional.
El intervalo para la razón de varianzas del BMI incluyó el valor 1, lo que respalda el supuesto de homogeneidad de varianzas entre los grupos y justifica, en este caso, el uso del intervalo de diferencia de medias con varianza combinada como procedimiento apropiado por encima del de Welch.
Los intervalos calculados con la muestra pequeña (Muestra2, 24 observaciones) resultaron sistemáticamente más anchos que los obtenidos con la muestra grande (Muestra1, 120 observaciones), lo que evidencia que un mayor tamaño de muestra reduce el error estándar y, con ello, aumenta la precisión de la estimación.
Los valores críticos de la distribución t de Student fueron siempre mayores que los de la distribución Z para el mismo nivel de confianza, generando márgenes de error más amplios; esta diferencia fue más marcada en Muestra2, donde los grados de libertad son menores, que en Muestra1.
Las estimaciones puntuales de las proporciones y medias resultaron coherentes entre los distintos procedimientos empleados, lo que sugiere que, aunque el método (Z, t con varianzas iguales o Welch) afecta la amplitud del intervalo, no altera de manera relevante el valor central de la estimación cuando los supuestos de cada método son razonables para los datos.
Los intervalos de confianza construidos a lo largo del proyecto permiten afirmar, con un 95% de confianza, que no existe evidencia suficiente para sostener que los dos grupos definidos por la variable Like difieran a nivel poblacional, ni en el BMI promedio ni en la proporción de personas con Law, dado que en ambos casos el intervalo de la diferencia incluyó el valor cero. De manera similar, el intervalo para la razón de varianzas de BMI incluyó el valor 1, lo cual indica que, a partir de la evidencia muestral disponible, es razonable asumir que las varianzas poblacionales de BMI son iguales entre ambos grupos. En conjunto, estos resultados describen una población en la que los grupos comparados son estadísticamente similares en las variables analizadas, dentro del margen de incertidumbre propio del muestreo.
El tamaño de muestra tuvo un efecto claro sobre la precisión de las estimaciones: los intervalos calculados con la muestra de 24 observaciones fueron notablemente más anchos que los calculados con la muestra de 120, reflejando un mayor error estándar y, por tanto, mayor incertidumbre sobre el verdadero valor poblacional cuando se dispone de menos datos. Este mismo efecto se refleja en la comparación entre los procedimientos Z y t: mientras que Z asume que la desviación poblacional es conocida, la distribución t incorpora la incertidumbre adicional de tener que estimarla a partir de la muestra, lo cual se traduce en valores críticos mayores y, en consecuencia, en márgenes de error más amplios, sobre todo cuando los grados de libertad son pocos, como ocurrió en la muestra pequeña.
Finalmente, es importante reconocer las limitaciones de los intervalos obtenidos. Todos ellos dependen de supuestos que no siempre pueden verificarse por completo con muestras pequeñas, como la normalidad de las variables o la aproximación de las desviaciones poblacionales mediante las muestrales en el método Z. Además, un intervalo que incluya el cero (o el uno, en el caso de la razón de varianzas) no demuestra que no exista diferencia poblacional; únicamente indica que la evidencia muestral disponible no permite descartar esa posibilidad con el nivel de confianza utilizado, por lo que muestras más grandes o repeticiones del estudio podrían modificar esta conclusión.
declaracion_ia <- data.frame(
Aspecto = c("Uso de IA", "Herramienta utilizada", "Uso realizado", "Porcentaje estimado de utilización"),
Información = c("Sí", "Claude (Anthropic)",
"Apoyo en redacción y corrección de estilo del resumen y estilo del knit, metodología y respuestas de la sección de comparación de procedimientos; verificación de resultados numéricos mediante ejecución del código",
"45 %")
)
knitr::kable(declaracion_ia, caption = "Declaración de uso de Inteligencia Artificial")| Aspecto | Información |
|---|---|
| Uso de IA | Sí |
| Herramienta utilizada | Claude (Anthropic) |
| Uso realizado | Apoyo en redacción y corrección de estilo del resumen y estilo del knit, metodología y respuestas de la sección de comparación de procedimientos; verificación de resultados numéricos mediante ejecución del código |
| Porcentaje estimado de utilización | 45 % |
Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied statistics and probability for engineers (7th ed.). Wiley.
Organización Mundial de la Salud. (1995). Physical status: the use and interpretation of anthropometry. Report of a WHO Expert Committee (WHO Technical Report Series 854). Ginebra: OMS.
Satterthwaite, F. E. (1946). An approximate distribution of estimates of variance components. Biometrics Bulletin, 2(6), 110–114.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson Educación.
Welch, B. L. (1947). The generalization of ‘Student’s’ problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34(1/2), 28–35.