Principios Fundamentales de Estadística
Estadística Descriptiva
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Teoría de conjuntos
Para desarrollar una teoría de la probabilidad ordenada, se necesitan algunos conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Esta teoría sienta las bases de las operaciones que se pueden desarrollar y que pueden ser extrapoladas al álgebra de eventos. Si bien los eventos pueden ser tratados como conjuntos, estos se diferencian en que se les puede asignar una probabilidad de forma coherente.
Unión
Dos operaciones básicas entre conjuntos son la unión (\(A \cup B\)) y la intersección (\(A \cap B\)).
Intersección
Técnicas de conteo
Aleatoriedad
En estadística nos enfrentamos al reto de modelar variables que no se pueden predecir de antemano. Esta idea contrasta con los experimentos determinísticos, donde se puede conocer de antemano el resultado de una manera exacta (dentro de los límites del error de medida).
Un resultado es aleatorio cuando no se puede predecir con certeza cuál será, aunque se conozcan las condiciones que lo generan.
Ejemplos cotidianos
Lanzar un dado, el tiempo que tarda un cliente en llegar a una caja, la demanda diaria de un producto.
Gerolamo Cardano (1501–1576)
Matemático, astrónomo, médico, alquimista y jugador empedernido.
El juego de la taberna
Un jugador en una taberna te propone este juego: lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras o dos cruces, él se lleva el pozo. Si sale una cara y una cruz, te lo llevas tú.
¿Aceptas la apuesta? ¿Es un juego justo o alguno tiene ventaja?
El juego de los dados
Un jugador te propone el siguiente trato en una mesa de dados: ambos ponen la misma cantidad de dinero. Si la suma de los dos dados es 10, él gana el pozo; si la suma es 9, ganas tú.
¿Es un juego justo o alguno tiene una ventaja oculta?
Experimento aleatorio y espacio muestral
Experimento aleatorio
Un experimento se dice aleatorio si su resultado no se puede definir de antemano, aunque se repita bajo las mismas condiciones.
Espacio muestral (Ω)
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: al lanzar un dado, el experimento es aleatorio y Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Variables aleatorias
Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral (Ω) y cuyo codominio son los números reales (ℝ).
\[X : \Omega \to \mathbb{R}\]
A cada resultado posible ω ∈ Ω del experimento incierto, X le asigna un número real X(ω) ∈ ℝ.
Discretas
Toman valores contables. Ejemplo: número de clientes que llegan en una hora (0, 1, 2, 3…).
Continuas
Toman cualquier valor en un rango. Ejemplo: tiempo de servicio en una caja (3.2 min, 4.75 min…).
Valor esperado
Es el promedio ponderado por la probabilidad de cada resultado: “lo que en promedio se espera” si el experimento se repitiera muchas veces.
El valor esperado se define de acuerdo al tipo de variable:
Variables discretas:
\[E(x) = \sum_{i=1}^n x_{i} \cdot P(x_i)\]
Variables continuas:
\[E(x) = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx\]
| Demanda diaria | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| Probabilidad | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
Valor esperado = 10(0.2) + 20(0.5) + 30(0.3) = 21 unidades/día
Imagina la siguiente ruleta: la flecha gira al azar y, según la región donde caiga, puedes ganar 0, 1, 2 o 10 pesos. Si la entrada para participar cuesta 1.6 pesos, ¿aceptarías jugar? Justifica tu respuesta utilizando el valor esperado. ¿Aceptas participar?
Figura 4: Juego de la ruleta
Formalmente, un juego es justo si su valor esperado es cero.
\[E(x) = 0\]
Observemos el caso de una casa de apuestas
Varianza y desviación estándar
Miden qué tanto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado — en negocios, esto es el riesgo.
\[VaR(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - E(X) ^2\]
Para una muestra \(n\) se tiene:
\[s^2 =\frac{1}{n-1} \sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar x)^2\]
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Ley de los Grandes Números
Sea \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media poblacional \(E(X_i) = \mu\) y varianza finita \(VaR(X_i) = \sigma^2 < \infty\). Si se define la media muestral como:
\[\bar{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\]
La Ley de los Grandes Números establece que:
\[P \left( \lim_{n \to \infty} \bar{X_n} = \mu \right) = 1\]
A medida que se aumenta el tamaño de la muestra, el promedio converge al valor esperado.
Ejemplo Calcular el promedio de caras al lanzar una moneda al aire cinco veces y diez mil veces.
Teorema del Límite Central
Sea \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media poblacional \(E(X_i) = \mu\) y varianza finita \(VaR(X_i) = \sigma^2 < \infty\). Si se define \(U\) como:
\[U = \frac{\sum_{i = 1}^n X_i - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] donde \(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\). La función de distribución de \(U\) converge a una distribución normal estándar cuando \(n \to \infty\)
Si se promedian muchos resultados aleatorios — incluso si cada uno viene de una distribución “rara” — el promedio tiende a comportarse como una distribución normal (campana), y ese promedio se vuelve más estable entre más repeticiones se hagan.
Funciones de probabilidad o distribución de probabilidad
Esta función asigna una probabilidad a cada valor posible (variables discretas) o describe la densidad relativa de valores (variables continuas).
Variables discretas
\[P(X) \geq 0\]
\[\sum_{\forall x} P(X) = 1\]
Variables continuas
\[f(X) \geq 0\]
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(X) dx = 1\]
Función de distribución acumulada (CDF)
Esta función responde “¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea menor o igual a X?”; es decir:
\[F(X) = P(X \leq x)\]
Algunas funciones o distribuciones de probabilidad
Normal
Esta es quizá, una de las distribuciones más importantes de la estadística. Se emplea para modelar fenómenos donde los datos se agrupan en torno a un valor central. Variables biológicas como el peso, la estatura, la presión arterial siguen este comportamiento.
En economía y finanzas se emplea para modelar rendimientos. Y cuando la variable es la suma de las decisiones de muchas personas, empresas y gobiernos, sus promedios tienden a distribuirse de manera normal siempre que se aplique al cambio y no al nivel.
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
En Excel se puede obtener de la siguiente manera:
En VBA podemos emplear el siguiente código:
Se debe tener cuidado con esta distribución ya que carece de cota inferior, lo que permite la generación de valores negativos. En la práctica, este comportamiento resulta teóricamente inconsistente al modelar variables que poseen una restricción natural de no negatividad. Ejemplo de ello son el volumen de ventas, el precio de un activo financiero, tiempo de servicio o duración de una actividad.
Una regla de oro es si \(\frac{\mu}{\sigma} \geq 3.5\) se puede utilizar la normal sin preocuparse.
Uniforme: Una variable aleatoria sigue una distribución uniforme si todos los valores del rango son igualmente verosímiles.
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1} {b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]
Esta variable se emplea cuando lo único que se conoce es el rango. Es el caso de máxima ignorancia: mínimo y máximo son conocidos, ningún valor es más probable que otro. En la práctica es raro que un profesional no tenga una idea del valor más probable.
Triangular
Una variable aleatoria sigue una distribución triangular si su función de densidad crece linealmente desde el límite inferior hasta alcanzar un máximo, y luego decrece linealmente hasta el límite superior. Los 3 parámetros son:
- a: mínimo valor que puede tomar la variable.
- c: moda, el valor más probable.
- b: máximo, valor que no se puede superar.
\[ f (x) = \begin{cases} \frac{2(x - a)}{(b - 1)(c - a)} & a \leq x \leq c \\ \frac{2(b - x)}{(b-a)(b-c)} & c < x \leq b \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]
Esta función se puede emplear cuando no hay datos pero sí un experto que pueda responder la siguiente pregunta: ¿Cuál es el peor caso, el más probable y el mejor caso?
Ahora sí, vamos por la simulación.
Por qué importa para simular
- Experimentar con el sistema real es muy costoso o imposible.
- Decidir requiere conocer el riesgo. Dos proyectos con el mismo VPN pueden tener probabilidades diferentes de pérdida. Esa diferencia es la decisión completa.
- Los problemas reales generalmente no tienen solución analítica.
- Simular permite aprender de decisiones que aún no se han tomado. En la vida real cada decisión se toma una sola vez y su resultado se confunde con el azar. Un gerente puede decidir bien y perder, o decidir mal y ganar. La simulación separa la calidad de la decisión del resultado.
Existen diferentes tipos de simulación, en el curso nos vamos a enfocar en las siguientes:
- Simulación estática (Monte Carlo): usa distribuciones de probabilidad para generar escenarios de variables de negocio y así construir un futuro posible.
- Simulación de eventos discretos: usa distribuciones para generar tiempos entre llegadas y tiempos de servicio. Aquí el tiempo transcurre a saltos. El reloj no avanza de manera continua, cambia cuando un evento ocurre.
- Simulación de agentes: usa reglas probabilísticas individuales que generan un comportamiento agregado (ej. adopción de un producto). Cada agente decide según su propia regla y según lo que hacen los demás.