Estadística Descriptiva

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Estadística

Suponga que el \(30\%\) de las personas de una ciudad van a votar por Diamante para la alcaldía de ciudad gótica. Se le pregunta a una muestra aleatoria de 20 personas su intención de voto. Las 20 afirman votar por Diamante. ¿Indica esto que el candidato va a ganar la elección?

Aleatoriedad

¿Es la aleatoriedad una ley de la naturaleza o simplemente es la manifestación de la limitación humana? ¿Realmente el universo es aleatorio o es falta de conocimiento humano?

“Dios no juega a los dados”

Albert Einstein

“No le digas a Dios lo que debe hacer”

Niels Bohr

El teorema de Bell demuestra matemática y experimentalmente que el universo, a nivel fundamental, es indeterminista.

Simulación interactiva: ¿gana o pierde?

Generemos \(16\) números aleatorios uniformes en \((0,1)\). Convención: si el número es menor a \(0.5\) decimos que perdió (0); si es mayor o igual a \(0.5\), decimos que ganó (1).

viewof clic = Inputs.button("🎲 Generar 16 números", {label: ""})

resultados = {
  clic;
  return Array.from({length: 16}, () => {
    const u = Math.random();
    return { u: u, r: u < 0.5 ? 0 : 1 };
  });
}

html`<div style="display:grid;grid-template-columns:repeat(8,1fr);gap:10px;margin-top:25px;">
${resultados.map(d => html`<div style="text-align:center;padding:10px;border-radius:8px;background:${d.r === 1 ? "#d4edda" : "#f8d7da"};border:2px solid ${d.r === 1 ? "#28a745" : "#dc3545"};">
  <div style= "font-size:1.6em;font-weight:bold;color:${d.r === 1 ? "#28a745" : "#dc3545"};">${d.r}</div>
</div>`)}
</div>`

Gerolamo Cardano (1501–1576)

Matemático, astrónomo, médico, alquimista y jugador empedernido.

El juego de la taberna

Un jugador en una taberna te propone este juego: lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras o dos sellos, él se lleva el pozo. Si sale una cara y un sello, te lo llevas tú.

¿Aceptas la apuesta? ¿Es un juego justo o alguno tiene ventaja?

El juego de los dados

Un jugador te propone el siguiente trato en una mesa de dados: ambos ponen la misma cantidad de dinero. Si la suma de los dos dados es 10, él gana el pozo; si la suma es 9, ganas tú.

¿Es un juego justo o alguno tiene una ventaja oculta?

Teoría de conjuntos

Para desarrollar una teoría de la probabilidad ordenada, se necesitan algunos conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Esta teoría sienta las bases de las operaciones que se pueden desarrollar en el álgebra de eventos. Si bien los eventos pueden ser tratados como conjuntos, estos se diferencian en que se les puede asignar una probabilidad de forma coherente 🤔.

Vamos a definir un conjunto como una colección de objetos y serán denotados con letras mayúsculas(\(A, B, C\)). A cada objeto en la colección lo vamos a denominar elemento.

A la totalidad de esos puntos se le llama espacio, universo o conjunto universo y se denotará como \(\Omega\). El conjunto nulo, o vacío, denotado por \(\emptyset\), es el conjunto que no tiene elementos. Entonces, \(\emptyset\) es un subconjunto de todo subconjunto.

Ejemplo:

\(\Omega = R^2\) es la colección de puntos \(\omega\) en el plano \(XY\).

Los conjuntos y las relaciones entre conjuntos se pueden representar en forma conveniente con el uso de diagramas de Venn.

Unión

Sean dos conjuntos arbitrarios \(A\) y \(B\). La unión entre \(A\) y \(B\), denotada por \(A \cup B\), es el conjunto de todos los puntos que están en \(A\), en \(B\) o en ambos.

Intersección

La intersección de \(A\) y \(B\) denotada por \(A \cap B\), es el conjunto de todos los puntos en \(A\) y en \(B\).

Figura 3: Intersección: A ∩ B

Complemento

Si \(A\) es un subconjunto de \(\Omega\), el complemento de \(A\), denotado por \(\bar{A}\), es el conjunto de puntos que están en \(\Omega\) pero no en \(A\).

Figura 4: Complemento: Ā

Propiedades de la unión, intersección y complemento

1. Ley conmutativa:

\[A \cup B = B \cup A\] \[A \cap B = B \cap A\]

2. Ley asociativa:

\[A \cup (B \cup C) = (A\cup B) \cup C\] \[A \cap (B \cap C) = (A\cap B) \cap C\]

Nota: No cumple si hay mezclas de uniones e intersecciones 😱.

3. Ley distributiva:

\[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\]

\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\]

🤯🤯🤯🤯 😯😯😯

Algunas identidades:

Ejercicios

1. Abogados y mentirosos. Hay 100 personas en una reunión, 40 son mentirosos y 25 son abogados. Sea \(A\) el conjunto de mentirosos, \(B\) el conjunto de abogados. ¿A qué es igual \(A \cup B\)?
2. Respecto al ejercicio anterior, se sabe que 15 personas son abogados y mentirosos. ¿A qué es igual \(A \cup B\)?
3. Una encuesta encontró lo siguiente:
   • El 77% probaron marihuana.
   • El 32% probaron cocaína.
   • El 25% probaron LSD.
   • El 25% probaron marihuana y cocaína.
   • El 20% probaron marihuana y LSD.
   • El 15% probaron cocaína y LSD.
   • El 13% probaron las tres.

¿Qué porcentaje no probó ninguna droga? ¿Qué porcentaje probó solo marihuana?

Técnicas de conteo

La probabilidad, de manera frecuentista, se define como la totalidad de eventos favorables sobre el total de eventos.

Hay experimentos donde realizar una enumeración exhaustiva es impráctico. Se recurre al análisis combinatorio.

Principio fundamental del conteo

Si una acción puede realizarse de \(n_1\) maneras y una segunda acción puede realizarse de \(n_2\) maneras, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de \(n_1 \cdot n_2\) formas diferentes.

Generalizar: \(n_1 \cdot n_2 \cdots n_r\) acciones secuenciales.

Ejemplos:

• Observar las caras arriba al lanzar un par de dados → \(6 \times 6 = 36\)
• Número total de placas, compuesta por 3 letras y 3 números, donde las letras no se repiten y el 000 no se permite → \(27 \times 26 \times 25 \times 9 \times 9 \times 9\)

Diagrama de árbol

Representación gráfica que permite enumerar las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones.

Ejemplo. Lanzar una moneda 3 veces → \(2 \times 2 \times 2 = 8\)

Figura 5: Diagrama de árbol: lanzar una moneda 3 veces

Ejemplo. Un hombre tiene 2 camisas y 4 corbatas. ¿De cuántas maneras se puede escoger una camisa y una corbata? → \(2 \times 4 = 8\)

Figura 6: Diagrama de árbol: camisa y corbata

Principio aditivo

Si una acción puede realizarse de \(n_1\) maneras, una segunda acción puede realizarse de \(n_2\) maneras, y no es posible realizar ambas conjuntamente, entonces la actividad puede realizarse de \(n_1 + n_2 + \cdots + n_r\) maneras.

Ejemplo:

• Para viajar a la costa hay 5 rutas en avión y 8 por tierra. ¿Cuántas rutas hay? → \(5 + 8 = 13\)

Ejercicio - Mi teléfono es 22856. Estoy buscando uno que sé que es par y difiere del mío en una cifra. Los números solo empiezan por 2, 3 y 5. ¿Entre cuántos puede encontrarse el buscado?

¿Cuándo puede usarse cada principio?

El principio multiplicativo se puede emplear cuando La tarea se divide en etapas que se hacen todas.

El principio aditivo se usa caundo la tarea se puede realizar de una u otra.

Factorial

El factorial de un número \(n\) se define como la productoria de 1 hasta \(n\).

\[n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1\] \[n! = n \cdot (n-1)!\] \[0! = 1\]

Los principios fundamentales del conteo y los factoriales permiten construir fórmulas generales para el conteo. No se deben usar indiscriminadamente, sino mirar el contexto y cuándo aplicar cada principio.

Permutaciones

Diferentes maneras en que se pueden ordenar \(n\) objetos. Tiene los mismos elementos, pero se consideran diferentes. Para calcular el número de permutaciones se procede de la siguiente manera:

El primer objeto se puede poner de \(n\) maneras, el segundo de \(n-1\) y así sucesivamente.

\[P_n = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1\] \[P_n = n!\]

Ejemplo. En la biblioteca hay 12 libros, ¿de cuántas maneras se pueden acomodar?

\[P_n = 12!\]

Ejemplo.

Existen tres objetos en mi biblioteca: A, B, C. ¿De cuántas maneras se puede acomodar?

\(3 \times 2 \times 1 = 6\)

Ejemplo. Hay 3 libros de estadística, 2 de cálculo, 5 de probabilidad y 4 de álgebra. ¿De cuántas formas se pueden acomodar los libros?

¿De cuántas si los de la misma materia deben quedar juntos?

Permutaciones con n objetos tomados de r a la vez

\[P(n,r) = n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \cdot \frac{(n-r)!}{(n-r)!}\]

\[P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]

Permutaciones circulares

En estos casos lo que importa son las posiciones relativas entre los objetos y no las posiciones absolutas respecto al círculo.

\[P_{en} = (n-1)!\]

Ejemplo. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 6 personas de un comité alrededor de una mesa?

\[P_{en} = (6-1)! = 5!\]

¿Si dos deben quedar juntos?

\[P_{en} = (5-1)! \cdot 2!\]

Permutaciones con grupos de objetos iguales

Permutaciones con \(n\) elementos cuando hay \(k_r\) iguales.

\[_nP_{x_1 x_2 \cdots x_k} = \frac{n!}{x_1! \, x_2! \cdots x_k!}\]

¿De cuántas maneras se puede arreglar la palabra MISSISSIPI?

\[\frac{10!}{(1!)(4!)(4!)(1!)} = 6300\]

Prueba ordenada

El análisis combinatorio a veces interesa la escogencia de una sola tomada de una jarra que contiene \(n\) bolas, una carta de una baraja, etc.

• Con sustitución: se saca una bola, se registra y se vuelve a ingresar.

\[(n)(n)(n) \cdots (n) = n^r\] \[r = \text{número de veces que se repite el experimento}\]

• Sin sustitución: permutación.

Combinaciones

Se escogen \(r\) objetos de \(n\) posibles, de manera que una combinación es distinta a las demás si como mínimo difiere en uno de los objetos; no importa el orden.

El orden es irrelevante, mínimo un elemento debe ser diferente.

\[nC_r \to C_n^r \to \binom{n}{r}\]

\[\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

Ejemplo. a, b, c

Permutaciones → \(3! = 6\)

Combinaciones → \(3\)

Combinaciones

Ejemplo. En un grupo hay 5 hombres y 3 mujeres. Se requiere escoger un comité de 3 personas.

1. ¿Cuántas son las selecciones posibles?

\[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56\]

2. ¿Si en el comité debe haber por lo menos una mujer? Por lo menos = una o dos o tres.

\[\binom{3}{1}\binom{5}{2} + \binom{3}{2}\binom{5}{1} + \binom{3}{3}\binom{5}{0} = 16\]

3. ¿Si hay dos hombres que no se llevan bien? Pasan dos cosas: se incluye a uno de los dos o a ninguno.

\[\binom{2}{1}\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = 50\]

4. Hay un hombre y una mujer que quieren ir juntos y solo aceptan si ambos van.

\[\binom{6}{1} + \binom{6}{3} = 26\]

(se lleva la pareja / no se lleva la pareja)

Combinaciones

Ejemplo. ¿Cuántas ensaladas diferentes se pueden hacer con lechuga, tomate, cebolla, aguacate y zanahoria?

\[_5C_1 + {_5C_2} + {_5C_3} + {_5C_4} + {_5C_5}\]

Ejemplo. ¿Cuántas palabras de 4 consonantes diferentes y 3 vocales distintas se pueden formar a partir de 7 consonantes y 5 vocales?

\[_7C_4 \cdot {_5C_3} \cdot 7!\]

(consonantes · vocales · todos los órdenes)

Permutaciones ordenadas

Ejemplo. En una urna hay 7 bolas. ¿De cuántas maneras se pueden sacar primero 2 bolas, luego 3 y por último 2?

\[\binom{7}{2}\binom{5}{3}\binom{2}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} \cdot \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{7!}{2! \, 3! \, 2!} = \frac{n!}{n_1! \, n_2! \cdots n_r!}\]

Número de particiones ordenadas diferentes.

Ejemplo. Distribuir 9 juguetes entre 4 niños: al menor le dan 3 y a los otros 2.

\[\frac{9!}{3! \, 2! \, 2! \, 2!} = 7560\]

Coeficientes binomiales

\[\binom{n}{r} \to \text{Coeficiente de la expansión binomial}\]

\[(x+y)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^{n-i} y^i\]

\[\binom{n}{0}x^0y^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n}x^{n-n}y^n\]

Resultados de un juego de póker

Una mano de póker se compone de 5 cartas, tomadas de una baraja de 52 (13 valores × 4 pintas).

1. ¿De cuántas maneras se puede obtener un par?

\[\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 1\,098\,240\]

(maneras de seleccionar 1 número → se selecciona la pinta → quedan 2 cartas para seleccionar 3 → se toman las pintas)

Resultados de un juego de póker

2. Dos pares

\[\binom{13}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 123\,552\]

3. Una terna

\[\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\]

4. Terna y par

\[\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{1}\binom{4}{2}\]

5. Escalera sucia (arranca y termina en A)

\[\binom{10}{1}\binom{4}{1}^5 - \binom{10}{1}\]

6. Color

\[\binom{13}{5}\binom{4}{1} - \binom{10}{1}\binom{10}{1}\]

7. Póker

\[\binom{13}{1}\binom{4}{4} - \binom{10}{1}^5\]

8. Escalera de color

\[\binom{10}{1}\binom{4}{1} - \binom{4}{1}\]

9. Carta alta

\[\binom{13}{5} - 10\]

10. Escalera imperial

\[\binom{4}{1}\]