Un intervalo de confianza (IC) es un rango de valores, calculado a partir de una muestra, que se usa para estimar un parámetro poblacional desconocido con un nivel de confianza determinado (usualmente 90%, 95% o 99%).
En esta plantilla trabajaremos tres casos:
Cada sección incluye: la fórmula, el código en R paso a paso, y un espacio para que reemplaces los datos por los de tu propio ejercicio.
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
# ---- DATOS DE ENTRADA (reemplaza con los de tu ejercicio) ----
x_barra <- 50 # media muestral
sigma <- 8 # desviación estándar poblacional (conocida)
n <- 36 # tamaño de muestra
confianza <- 0.95 # nivel de confianza (0.90, 0.95, 0.99, etc.)
# ---- CÁLCULO ----
alpha <- 1 - confianza
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)
error_estandar <- sigma / sqrt(n)
margen_error <- z_critico * error_estandar
li <- x_barra - margen_error # límite inferior
ls <- x_barra + margen_error # límite superior
cat("Valor crítico z:", round(z_critico, 4), "\n")## Valor crítico z: 1.96cat("Margen de error:", round(margen_error, 4), "\n")## Margen de error: 2.6133cat("Intervalo de confianza al", confianza*100, "%: (", round(li, 4), ",", round(ls, 4), ")\n")## Intervalo de confianza al 95 %: ( 47.3867 , 52.6133 )Interpretación: con un 95% de confianza, la media poblacional se encuentra entre 47.39 y 52.61.
# Si tienes los datos individuales de la muestra en un vector:
datos <- c(48, 52, 49, 51, 50, 53, 47, 50, 52, 49) # <-- reemplaza con tus datos
sigma_pob <- 8 # <-- sigma conocida
z.test(x = datos, sigma.x = sigma_pob, conf.level = 0.95)##
## One-sample z-Test
##
## data: datos
## z = 19.804, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 45.14164 55.05836
## sample estimates:
## mean of x
## 50.1\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
# ---- DATOS DE ENTRADA ----
datos <- c(23, 25, 21, 27, 24, 26, 22, 25, 23, 24) # <-- reemplaza con tus datos
confianza <- 0.95
# ---- CÁLCULO usando t.test() de R base ----
resultado <- t.test(datos, conf.level = confianza)
print(resultado)##
## One Sample t-test
##
## data: datos
## t = 41.569, df = 9, p-value = 1.345e-11
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 22.69394 25.30606
## sample estimates:
## mean of x
## 24cat("\nIntervalo de confianza al", confianza*100, "%: (",
round(resultado$conf.int[1], 4), ",", round(resultado$conf.int[2], 4), ")\n")##
## Intervalo de confianza al 95 %: ( 22.6939 , 25.3061 )x_barra <- mean(datos)
s <- sd(datos)
n <- length(datos)
alpha <- 1 - confianza
t_critico <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)
error_estandar <- s / sqrt(n)
margen_error <- t_critico * error_estandar
li <- x_barra - margen_error
ls <- x_barra + margen_error
cat("Media muestral:", round(x_barra, 4), "\n")## Media muestral: 24cat("Desviación estándar muestral:", round(s, 4), "\n")## Desviación estándar muestral: 1.8257cat("Grados de libertad:", n - 1, "\n")## Grados de libertad: 9cat("Valor crítico t:", round(t_critico, 4), "\n")## Valor crítico t: 2.2622cat("Intervalo de confianza al", confianza*100, "%: (", round(li, 4), ",", round(ls, 4), ")\n")## Intervalo de confianza al 95 %: ( 22.6939 , 25.3061 )\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
# ---- DATOS DE ENTRADA ----
x_exitos <- 45 # número de éxitos (casos favorables) en la muestra
n <- 120 # tamaño de la muestra
confianza <- 0.95
# ---- CÁLCULO usando prop.test() (con corrección de continuidad) ----
resultado <- prop.test(x = x_exitos, n = n, conf.level = confianza, correct = TRUE)
print(resultado)##
## 1-sample proportions test with continuity correction
##
## data: x_exitos out of n, null probability 0.5
## X-squared = 7.0083, df = 1, p-value = 0.008113
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.2896735 0.4684481
## sample estimates:
## p
## 0.375# ---- CÁLCULO manual (aproximación normal, sin corrección de continuidad) ----
p_gorro <- x_exitos / n
alpha <- 1 - confianza
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)
error_estandar <- sqrt(p_gorro * (1 - p_gorro) / n)
margen_error <- z_critico * error_estandar
li <- p_gorro - margen_error
ls <- p_gorro + margen_error
cat("\nProporción muestral (p̂):", round(p_gorro, 4), "\n")##
## Proporción muestral (p̂): 0.375cat("Valor crítico z:", round(z_critico, 4), "\n")## Valor crítico z: 1.96cat("Intervalo de confianza (manual) al", confianza*100, "%: (", round(li, 4), ",", round(ls, 4), ")\n")## Intervalo de confianza (manual) al 95 %: ( 0.2884 , 0.4616 )Interpretación: con un 95% de confianza, la proporción poblacional se encuentra entre 28.84% y 46.16%.
\[ (\bar{x}_1-\bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}} \]
# ---- DATOS DE ENTRADA ----
x1_barra <- 82; sigma1 <- 6; n1 <- 40 # grupo 1
x2_barra <- 78; sigma2 <- 7; n2 <- 35 # grupo 2
confianza <- 0.95
# ---- CÁLCULO ----
alpha <- 1 - confianza
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)
error_estandar <- sqrt(sigma1^2/n1 + sigma2^2/n2)
diferencia <- x1_barra - x2_barra
margen_error <- z_critico * error_estandar
li <- diferencia - margen_error
ls <- diferencia + margen_error
cat("Diferencia de medias muestrales:", round(diferencia, 4), "\n")## Diferencia de medias muestrales: 4cat("Intervalo de confianza al", confianza*100, "%: (", round(li, 4), ",", round(ls, 4), ")\n")## Intervalo de confianza al 95 %: ( 1.0276 , 6.9724 )Se usa t.test() con el argumento
var.equal = TRUE.
# ---- DATOS DE ENTRADA ----
grupo1 <- c(85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 86) # <-- reemplaza con tus datos
grupo2 <- c(78, 82, 80, 79, 81, 77, 83, 80) # <-- reemplaza con tus datos
confianza <- 0.95
resultado <- t.test(grupo1, grupo2, var.equal = TRUE, conf.level = confianza)
print(resultado)##
## Two Sample t-test
##
## data: grupo1 and grupo2
## t = 7.6026, df = 14, p-value = 2.465e-06
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 6.102056 10.897944
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 88.5 80.0cat("\nIntervalo de confianza al", confianza*100, "%: (",
round(resultado$conf.int[1], 4), ",", round(resultado$conf.int[2], 4), ")\n")##
## Intervalo de confianza al 95 %: ( 6.1021 , 10.8979 )| Parámetro | Condición | Fórmula |
|---|---|---|
| Media \(\mu\) | \(\sigma\) conocida | \(\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) |
| Media \(\mu\) | \(\sigma\) desconocida | \(\bar{x} \pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\) |
| Proporción \(p\) | – | \(\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\) |
| Diferencia de medias \(\mu_1-\mu_2\) | \(\sigma_1,\sigma_2\) conocidas | \((\bar{x}_1-\bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}\) |
| Diferencia de medias \(\mu_1-\mu_2\) | varianzas desconocidas, iguales | \(t\)-test con
var.equal = TRUE |
| Diferencia de medias \(\mu_1-\mu_2\) | varianzas desconocidas, distintas | \(t\)-test de Welch (por defecto) |
| Diferencia de medias pareadas | datos dependientes | t.test(..., paired = TRUE) |
Reemplaza los datos de cada sección con los de tu propio problema y
ejecuta (Knit) el documento completo. Verifica que: