\(X_t>0\) とし、
\[ x_t := \ln X_t \]
と定義する。
さらに、
\[ x_t \sim N(\mu,\sigma^2), \qquad \sigma>0 \]
を仮定する。
このとき、
\[ X_t = e^{x_t} \]
であるため、
\[ \begin{aligned} E[X_t] &= E\!\left[e^{\ln X_t}\right] \\[4pt] &= E\!\left[e^{x_t}\right]. \end{aligned} \]
\(x_t\) は平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) の正規分布に従うので、
\[ \begin{aligned} E[e^{x_t}] &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{x_t} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ -\frac{(x_t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right] \,dx_t \\[6pt] &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ x_t-\frac{(x_t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right] \,dx_t. \end{aligned} \]
ここで、
\[ x_t = \frac{2\sigma^2x_t}{2\sigma^2} \]
であるから、
\[ \begin{aligned} E[e^{x_t}] &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ -\frac{(x_t-\mu)^2-2\sigma^2x_t} {2\sigma^2} \right] \,dx_t. \end{aligned} \]
指数部分の分子
\[ (x_t-\mu)^2-2\sigma^2x_t \]
を展開する。
\[ \begin{aligned} (x_t-\mu)^2-2\sigma^2x_t &= x_t^2-2\mu x_t+\mu^2-2\sigma^2x_t \\[4pt] &= x_t^2-2(\mu+\sigma^2)x_t+\mu^2. \end{aligned} \]
ここで平方完成すると、
\[ \begin{aligned} x_t^2-2(\mu+\sigma^2)x_t+\mu^2 &= \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 -(\mu+\sigma^2)^2+\mu^2. \end{aligned} \]
さらに、
\[ (\mu+\sigma^2)^2 = \mu^2+2\mu\sigma^2+\sigma^4 \]
であるため、
\[ \begin{aligned} (x_t-\mu)^2-2\sigma^2x_t &= \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 -2\mu\sigma^2-\sigma^4. \end{aligned} \]
したがって、
\[ \begin{aligned} & \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 -2\mu\sigma^2-\sigma^4 } {2\sigma^2} \right] \\[6pt] &= \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 } {2\sigma^2} \right] \cdot \exp\!\left[ \frac{ 2\mu\sigma^2+\sigma^4 } {2\sigma^2} \right]. \end{aligned} \]
第2項を整理すると、
\[ \begin{aligned} \frac{ 2\mu\sigma^2+\sigma^4 } {2\sigma^2} &= \mu+\frac{\sigma^2}{2}. \end{aligned} \]
よって、
\[ \begin{aligned} & \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 -2\mu\sigma^2-\sigma^4 } {2\sigma^2} \right] \\[6pt] &= \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 } {2\sigma^2} \right] \cdot e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}. \end{aligned} \]
これを期待値の式に代入する。
\[ \begin{aligned} E[e^{x_t}] &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 } {2\sigma^2} \right] e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \,dx_t. \end{aligned} \]
\(e^{\mu+\sigma^2/2}\) は積分変数 \(x_t\) に依存しないため、積分の外に出すことができる。
\[ \begin{aligned} E[e^{x_t}] &= e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 } {2\sigma^2} \right] \,dx_t. \end{aligned} \]
ここで、
\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 } {2\sigma^2} \right] \]
は、平均
\[ \mu+\sigma^2 \]
分散
\[ \sigma^2 \]
の正規分布の確率密度関数である。
したがって、全実数上で積分すると、
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[ -\frac{ \left[x_t-(\mu+\sigma^2)\right]^2 } {2\sigma^2} \right] \,dx_t = 1. \]
よって、
\[ \begin{aligned} E[e^{x_t}] &= e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \times 1 \\[4pt] &= e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}. \end{aligned} \]
以上より、
\[ \boxed{ E[e^{x_t}] = e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} } \]
が得られる。
また、\(X_t=e^{x_t}\) であるため、
\[ \boxed{ E[X_t] = e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} } \]
となる。
さらに両辺の自然対数を取ると、
\[ \boxed{ \ln E[e^{x_t}] = \mu+\frac{\sigma^2}{2} } \]
である。