El presente estudio analizó la satisfacción escolar de estudiantes adolescentes y su relación con la asistencia al psicólogo escolar, con el propósito de estimar parámetros poblacionales mediante intervalos de confianza y comparar el nivel promedio de satisfacción entre quienes asisten y quienes no asisten a este servicio. Se utilizó una base de datos conformada por 100 estudiantes y 11 variables de carácter personal, académico, familiar y psicosocial. Se estimaron la media poblacional de satisfacción escolar, la proporción poblacional de estudiantes que asisten al psicólogo escolar, la varianza y desviación estándar poblacionales de la satisfacción escolar, y la diferencia entre dos medias independientes. Para ello se emplearon intervalos de confianza del 95 %, utilizando la distribución t de Student para una media, la aproximación normal para una proporción, la distribución chi-cuadrado para la varianza y el método t de Welch para la comparación de medias. La media muestral de satisfacción escolar fue 5.99, con un intervalo aproximado de [5.39, 6.59]. La proporción de estudiantes que asisten al psicólogo fue 25 %, con intervalo [16.51 %, 33.49 %]. La varianza se estimó en 8.98, con intervalo [6.92, 12.12]. La diferencia de medias fue de 0.65 puntos, con intervalo [-0.70, 2.00].En conclusión, aunque quienes asisten al psicólogo presentaron una media ligeramente mayor, el intervalo de comparación incluye el valor cero, por lo que no se evidencia una diferencia poblacional clara entre ambos grupos.
Satisfacción escolar, psicología escolar, adolescentes, bienestar estudiantil, acompañamiento psicológico.
El bienestar de los adolescentes en el ámbito escolar constituye un aspecto fundamental para comprender su desarrollo académico, personal y social. La experiencia que los estudiantes tienen dentro de una institución educativa puede estar relacionada con diferentes factores, entre ellos el apoyo familiar, la autoestima, las relaciones sociales, el rendimiento académico y el acompañamiento psicológico. En este contexto, resulta importante analizar la satisfacción escolar de los estudiantes y determinar si existen diferencias entre aquellos que asisten al servicio de psicología escolar y quienes no hacen uso de este acompañamiento. La institución educativa dispone de información relacionada con características personales, académicas, familiares y psicosociales de sus estudiantes, lo que permite realizar un análisis estadístico orientado a conocer el comportamiento de estas variables. Particularmente, el estudio se centra en la satisfacción escolar y en la asistencia al psicólogo escolar, con el propósito de obtener evidencia que permita comprender si el acompañamiento psicológico se relaciona con diferencias en la percepción que tienen los adolescentes sobre su experiencia educativa.
La satisfacción escolar es un indicador relevante del bienestar de los estudiantes, debido a que refleja la percepción que estos tienen acerca de su experiencia dentro de la institución educativa. Un adecuado nivel de satisfacción puede relacionarse con una mejor adaptación al entorno escolar, mayor participación en las actividades académicas y mejores relaciones con los diferentes miembros de la comunidad educativa. Asimismo, el acompañamiento psicológico en las instituciones educativas puede constituir una estrategia de apoyo para los adolescentes frente a dificultades personales, familiares, sociales o académicas. Por esta razón, analizar estadísticamente las diferencias en la satisfacción escolar según la asistencia al psicólogo permite generar información útil para orientar acciones institucionales y fortalecer los programas de bienestar y apoyo psicológico dirigidos a los estudiantes.
Diversas investigaciones han resaltado la importancia de los factores familiares, sociales y psicológicos en el bienestar de los adolescentes. Malca-Peralta et al. (2026) encontraron una relación positiva entre el apoyo familiar y social, la autoestima, la adaptación escolar y la satisfacción con la vida en adolescentes, evidenciando la importancia que tiene el entorno cercano en su desarrollo.
De igual manera, Cilar et al. (2020), mediante una revisión sistemática de intervenciones relacionadas con el bienestar mental en instituciones educativas, identificaron resultados favorables en diferentes programas dirigidos a adolescentes y destacaron la importancia de implementar estrategias de promoción de la salud mental dentro de las escuelas.
Por su parte, Feiss et al. (2019) analizaron diferentes programas escolares orientados a la prevención del estrés, la ansiedad y la depresión en adolescentes, encontrando efectos positivos en algunas intervenciones, aunque los resultados variaron de acuerdo con las características de cada programa.
Desde una perspectiva del desarrollo adolescente, Steinberg (2020) señala que la familia, los grupos de pares y la escuela constituyen contextos fundamentales para el desarrollo psicológico y social de los adolescentes.
De forma complementaria, la Organización Mundial de la Salud (OMS, 2025) destaca la necesidad de fortalecer los servicios de salud mental dirigidos a niños y adolescentes y de facilitar el acceso a mecanismos adecuados de acompañamiento y atención.
Estos antecedentes permiten considerar que el bienestar de los estudiantes es un fenómeno multidimensional y justifican el análisis de la satisfacción escolar en relación con el acompañamiento psicológico recibido dentro de la institución educativa.
¿Existe una diferencia estadísticamente significativa en el nivel de satisfacción escolar entre los estudiantes que asisten al psicólogo escolar y aquellos que no asisten, y cuál es la magnitud de dicha diferencia?
Analizar si existe una diferencia estadísticamente significativa en el nivel de satisfacción escolar entre los estudiantes que asisten al psicólogo escolar y aquellos que no asisten, mediante la aplicación de procedimientos estadísticos inferenciales, determinando además la magnitud práctica de la diferencia observada.
La población corresponde al conjunto total de individuos sobre el cual se desea obtener información o establecer conclusiones. En este estudio, la población de interés está conformada por los estudiantes adolescentes de la institución educativa analizada. Aunque se dispone de información únicamente para una parte de los estudiantes, el propósito de la inferencia estadística es utilizar los resultados obtenidos en esa muestra para conocer mejor el comportamiento de la población de interés.
La muestra es el grupo de individuos de la población del cual se obtienen y analizan los datos. En este estudio se cuenta con una muestra de 100 estudiantes. Para cada estudiante se dispone de información relacionada con edad, sexo, grado, rendimiento académico, apoyo familiar, nivel de autoestima, uso diario de redes sociales, dificultades de aprendizaje, participación en clases, asistencia al psicólogo escolar y satisfacción escolar. La muestra constituye la base de los cálculos estadísticos realizados. Sin embargo, debido a que la información disponible no especifica el método mediante el cual fueron seleccionados los estudiantes, las generalizaciones hacia toda la población deben interpretarse con precaución.
Un parámetro es un valor numérico que describe una característica de toda la población. Generalmente, este valor es desconocido porque no se cuenta con información de todos los individuos que conforman la población. Por ejemplo, en este estudio un parámetro de interés podría ser la verdadera media de satisfacción escolar de todos los estudiantes adolescentes de la institución. Este parámetro puede representarse mediante la letra griega: \[ \mu \] donde \(\mu\) representa la media poblacional. También podría considerarse como parámetro la proporción real de estudiantes de la institución que asisten al psicólogo escolar.
Un estadístico es un valor calculado utilizando únicamente la información obtenida en la muestra. A diferencia del parámetro, el estadístico sí puede conocerse porque se calcula directamente con los datos disponibles. Por ejemplo, la media de satisfacción escolar calculada utilizando los 100 estudiantes de la muestra constituye un estadístico. La media muestral suele representarse mediante: \[ \bar{x} \] Los estadísticos permiten describir la muestra y también sirven como punto de partida para estimar parámetros desconocidos de la población.
Un estimador es una regla o procedimiento estadístico utilizado para aproximar el valor de un parámetro poblacional utilizando los datos de una muestra. Por ejemplo, la media muestral \(\bar{x}\) puede utilizarse como estimador de la media poblacional \(\mu\). En el contexto del estudio, la media de satisfacción escolar obtenida con los estudiantes de la muestra puede utilizarse para aproximarnos a la satisfacción escolar promedio que tendría la población de estudiantes de la institución. Es importante diferenciar el estimador del valor obtenido: el estimador corresponde al procedimiento o fórmula, mientras que el resultado numérico obtenido al aplicarlo se denomina estimación.
La estimación puntual consiste en utilizar un único valor obtenido de la muestra para aproximar un parámetro desconocido de la población. Por ejemplo, si se calcula la media de satisfacción escolar de los estudiantes de la muestra, ese único valor puede utilizarse como una estimación puntual de la media de satisfacción escolar de la población. De manera general: \[ \hat{\mu} = \bar{x} \] En este caso, la media de la muestra funciona como una aproximación de la media poblacional. Sin embargo, una estimación puntual por sí sola no muestra qué tan precisa es la estimación. Por esta razón, es necesario considerar otras medidas como el error estándar, el margen de error y los intervalos de confianza.
El error estándar permite medir cuánto podría variar un estadístico, como la media muestral, si se tomaran diferentes muestras de una misma población. En otras palabras, indica el nivel de precisión de la estimación obtenida. Un error estándar pequeño indica que la estimación tiende a ser más precisa, mientras que un error estándar grande indica una mayor variabilidad entre posibles muestras. Para la media, el error estándar puede calcularse mediante: \[ EE = \frac{s}{\sqrt{n}} \] donde: •\(EE\) es el error estándar; •\(s\) es la desviación estándar de la muestra; •\(n\) es el tamaño de la muestra. En este estudio, el tamaño muestral es de 100 estudiantes, por lo que el error estándar permite conocer la precisión con la que, por ejemplo, la media de satisfacción escolar obtenida en la muestra estima la media poblacional.
El margen de error representa la cantidad que se suma y se resta a una estimación puntual para construir un intervalo dentro del cual se espera encontrar el verdadero parámetro poblacional. De manera general, puede expresarse como: \[ ME = Valor\ crítico \times Error\ estándar \] El margen de error depende principalmente del nivel de confianza seleccionado, del tamaño de la muestra y de la variabilidad de los datos. Un margen de error pequeño representa una estimación más precisa, mientras que uno más amplio indica mayor incertidumbre. En este estudio, el margen de error puede utilizarse para expresar con mayor claridad la incertidumbre asociada a estimaciones como la media de satisfacción escolar.
El nivel de confianza expresa el grado de confianza utilizado en la construcción de un intervalo de confianza. Uno de los niveles más utilizados es el 95 %. Trabajar con un nivel de confianza del 95 % significa que el procedimiento utilizado para construir los intervalos está diseñado para que, si se repitiera el estudio muchas veces con diferentes muestras obtenidas bajo las mismas condiciones, aproximadamente el 95 % de los intervalos construidos contendrían el verdadero parámetro poblacional. Por esta razón, el nivel de confianza no debe interpretarse como una garantía absoluta, sino como una medida asociada al procedimiento estadístico utilizado.
Un intervalo de confianza es un rango de valores calculado a partir de la muestra que se utiliza para estimar un parámetro desconocido de la población. En lugar de proporcionar únicamente una estimación puntual, el intervalo ofrece un rango de valores plausibles para el parámetro. Su estructura general puede expresarse como: \[ Estimación\ puntual \pm Margen\ de\ error \] Por ejemplo, en este estudio se podría construir un intervalo de confianza para la media de satisfacción escolar de los estudiantes. Esto permitiría establecer no solamente cuál es la media estimada, sino también un rango dentro del cual podría encontrarse razonablemente la verdadera media poblacional. Los intervalos de confianza son importantes porque muestran la incertidumbre que existe al utilizar una muestra para realizar inferencias sobre una población.
La distribución normal es una distribución de probabilidad continua que presenta una forma simétrica alrededor de su media y tiene una apariencia similar a una campana. En una distribución perfectamente normal, la media, la mediana y la moda se encuentran aproximadamente en el mismo punto y la mayoría de las observaciones se concentran cerca del centro. La distribución normal es importante en estadística inferencial porque numerosos procedimientos estadísticos se fundamentan en ella o utilizan aproximaciones relacionadas con su comportamiento. En este estudio, analizar la forma de distribución de variables cuantitativas, como la satisfacción escolar, el nivel de autoestima o el rendimiento académico, permite evaluar si resulta apropiado aplicar procedimientos estadísticos que suponen normalidad. Para esto pueden emplearse herramientas gráficas y pruebas estadísticas de normalidad.
La distribución \(t\) de Student es una distribución de probabilidad utilizada principalmente para realizar inferencias sobre medias cuando la desviación estándar de la población es desconocida y debe estimarse utilizando la desviación estándar de la muestra. Su forma es similar a la distribución normal, pero presenta colas más amplias, lo cual refleja una mayor incertidumbre en la estimación. La forma específica de la distribución depende de los grados de libertad. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución \(t\) se aproxima progresivamente a la distribución normal. En el contexto de este estudio, la distribución \(t\) puede ser relevante al construir intervalos de confianza para medias o al realizar pruebas de hipótesis que comparen valores promedio, siempre que se cumplan los supuestos requeridos. Por ejemplo, podría utilizarse para estudiar diferencias en el promedio de satisfacción escolar entre grupos cuando las condiciones estadísticas correspondientes permitan aplicar una prueba basada en la distribución \(t\).
La distribución chi-cuadrado, representada mediante \(\chi^2\), se utiliza principalmente en procedimientos relacionados con variables cualitativas, análisis de frecuencias y análisis de varianzas. En este estudio existen diferentes variables cualitativas, como sexo, grado, apoyo familiar, dificultades de aprendizaje, participación en clases y asistencia al psicólogo escolar. Por esta razón, la distribución \(\chi^2\) podría utilizarse, cuando corresponda, para analizar si existe asociación entre dos variables categóricas. Por ejemplo, podría estudiarse si la asistencia al psicólogo escolar presenta alguna asociación con otra variable cualitativa registrada en la base de datos. En una prueba de independencia chi-cuadrado se comparan las frecuencias observadas en los datos con las frecuencias que se esperarían si las variables analizadas fueran independientes. Un estadístico \(\chi^2\) puede expresarse como: \[ \chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} \] donde: •\(O\) corresponde a la frecuencia observada; •\(E\) corresponde a la frecuencia esperada. Cuanto mayores sean las diferencias entre las frecuencias observadas y esperadas, mayor será el valor del estadístico chi-cuadrado.
La distribución \(F\) es una distribución de probabilidad utilizada principalmente para comparar variabilidades y en procedimientos como el análisis de varianza. Esta distribución toma únicamente valores positivos y depende de los grados de libertad asociados al numerador y al denominador. Uno de sus usos más conocidos se encuentra en el análisis de varianza o ANOVA, procedimiento que permite comparar las medias de tres o más grupos. En el contexto de este estudio, la distribución \(F\) podría ser relevante si se quisiera comparar una variable cuantitativa, como la satisfacción escolar, entre varias categorías de una variable cualitativa. Por ejemplo, podría emplearse un análisis de varianza para estudiar si la satisfacción escolar promedio presenta diferencias entre estudiantes con niveles de apoyo familiar Bajo, Medio y Alto, siempre que se cumplan los supuestos necesarios para aplicar este procedimiento. El estadístico F se basa en la comparación entre la variabilidad existente entre los grupos y la variabilidad existente dentro de los grupos. De manera general: \[ F = \frac{Variabilidad\ entre\ grupos}{Variabilidad\ dentro\ de\ los\ grupos} \] Valores elevados del estadístico \(F\) pueden indicar que las diferencias observadas entre las medias de los grupos son mayores de lo que se esperaría únicamente por variación aleatoria.
Para el desarrollo del estudio se utilizó la base de datos Base_Psicologia_Educativa.xlsx, suministrada para la realización del ejercicio académico. La base contiene información relacionada con características personales, académicas, familiares y psicosociales de estudiantes adolescentes de una institución educativa de Barranquilla. Los datos ya se encontraban recopilados previamente, por lo cual en este estudio se trabajó con una fuente de datos secundaria. La información fue importada y procesada en R mediante la plataforma Posit Cloud.
La población de interés está conformada por los estudiantes adolescentes de la institución educativa considerada en el estudio. El análisis busca utilizar la información disponible en la muestra para obtener estimaciones relacionadas con características de esta población, especialmente aquellas asociadas con la satisfacción escolar y la asistencia al psicólogo escolar.
La muestra corresponde al conjunto de estudiantes incluidos en la base de datos suministrada. Cada fila representa a un estudiante y contiene información acerca de sus características personales, académicas, familiares y psicosociales. La base no especifica el procedimiento mediante el cual fueron seleccionados los estudiantes. Por esta razón, no se asume un tipo de muestreo específico y las inferencias realizadas deben interpretarse teniendo en cuenta esta limitación.
El tamaño de la muestra es: \[ n = 100 \] Por lo tanto, el estudio cuenta con información de 100 estudiantes.
La base está conformada por 11 variables:
•edad; •sexo; •grado; •rendimiento académico; •apoyo familiar; •nivel de autoestima; •uso diario de redes sociales; •dificultades de aprendizaje; •participación en clases; •asistencia al psicólogo escolar; •satisfacción escolar.
Para los análisis inferenciales del estudio se prestará especial atención a las variables satisfacción escolar y asistencia al psicólogo escolar. La satisfacción escolar permitirá realizar estimaciones relacionadas con el nivel promedio de satisfacción de los estudiantes, mientras que la asistencia al psicólogo escolar permitirá diferenciar a los estudiantes en dos grupos: quienes asisten y quienes no asisten.
Las variables cuantitativas incluidas en la base son •edad; •rendimiento académico; •nivel de autoestima; •uso diario de redes sociales; •satisfacción escolar. Estas variables se expresan numéricamente y permiten calcular medidas como medias, desviaciones estándar, errores estándar e intervalos de confianza.
Las variables cualitativas son: •sexo; •grado; •apoyo familiar; •dificultades de aprendizaje; •participación en clases; •asistencia al psicólogo escolar. Dentro de estas variables, grado, apoyo familiar y participación en clases presentan categorías que pueden organizarse siguiendo un determinado orden, mientras que otras representan categorías sin un orden numérico.
Debido a que no se dispone de información de toda la población, los parámetros poblacionales son desconocidos y deben estimarse a partir de los datos de la muestra. Entre los principales parámetros de interés se encuentra la media poblacional de satisfacción escolar, representada por: \[ \mu \] Esta será estimada mediante la media muestral: \[ \bar{x} \] También resulta de interés estimar la media de satisfacción escolar para cada grupo de estudiantes: \[ \mu_1 \] para los estudiantes que asisten al psicólogo escolar, y: \[ \mu_2 \] para los estudiantes que no asisten. De esta manera, también puede estudiarse la diferencia entre ambas medias poblacionales: \[ \mu_1 - \mu_2 \] Adicionalmente, cuando corresponda, podrán estimarse proporciones poblacionales asociadas con variables cualitativas, como la proporción de estudiantes que asisten al psicólogo escolar.
Para las estimaciones por intervalo se utilizará un nivel de confianza del 95 %. Por lo tanto: \[ 1 - \alpha = 0.95 \] y: \[ \alpha = 0.05 \] Este nivel de confianza permitirá construir intervalos alrededor de las estimaciones obtenidas a partir de la muestra y expresar la incertidumbre asociada al proceso de inferencia estadística.
Inicialmente se verificará la estructura de la base de datos, el número de observaciones, los tipos de variables y la presencia de valores faltantes. Posteriormente, para las variables cuantitativas se calcularán medidas descriptivas como media, mediana, desviación estándar, mínimo, máximo y cuartiles. Para las variables cualitativas se utilizarán frecuencias absolutas, frecuencias relativas y porcentajes. Como parte del análisis inferencial se calcularán estimaciones puntuales, errores estándar, márgenes de error e intervalos de confianza con un nivel de confianza del 95 %. En particular, se estimará la media de satisfacción escolar y se podrán construir intervalos de confianza para conocer un rango de valores plausibles para la media poblacional. También se analizará la satisfacción escolar de acuerdo con la asistencia al psicólogo escolar, comparando los resultados obtenidos entre los estudiantes que asisten y aquellos que no asisten. Antes de aplicar procedimientos inferenciales basados en distribuciones paramétricas, se revisarán los supuestos correspondientes, especialmente el comportamiento de las variables cuantitativas y su aproximación a una distribución normal. Dependiendo del tipo de análisis y del cumplimiento de los supuestos, podrán utilizarse procedimientos relacionados con la distribución normal, la distribución t de Student, la distribución chi-cuadrado o la distribución F. La elección de cada procedimiento estadístico se realizará teniendo en cuenta la naturaleza de las variables y el objetivo específico del análisis.
El procesamiento y análisis de los datos se realizará mediante el lenguaje de programación R, utilizando la plataforma Posit Cloud. La base de datos será importada al entorno de trabajo y los cálculos estadísticos, estimaciones, intervalos de confianza y representaciones gráficas se generarán mediante código en R. El documento final será elaborado en R Markdown y posteriormente podrá ser publicado mediante RPubs.
La satisfacción escolar constituye una de las variables principales del estudio, ya que permite conocer cómo perciben los estudiantes su experiencia dentro de la institución educativa. En la muestra analizada se cuenta con información de 100 estudiantes. La satisfacción escolar se encuentra registrada mediante una escala numérica, por lo que corresponde a una variable cuantitativa. En esta sección se construirá un intervalo de confianza del 95 % para estimar la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes de la institución.
¿Entre qué valores se puede estimar, con un nivel de confianza del 95 %, la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes de la institución educativa?
El parámetro de interés es la media poblacional de satisfacción escolar, representada mediante:
\[ \mu \]
Como este parámetro es desconocido, será estimado a partir de la media obtenida en la muestra.
A partir de la muestra se obtuvieron los siguientes valores: \[ n = 100 \] \[ \bar{x} = 5.99 \] \[ s \approx 3.00 \] donde: •\(n\) corresponde al tamaño de la muestra; •\(\bar{x}\) corresponde a la media muestral de satisfacción escolar; •\(s\) corresponde a la desviación estándar muestral. Debido a que la desviación estándar poblacional es desconocida, se utiliza la distribución \(t\) de Student. Los grados de libertad son: \[ gl = n - 1 \] \[ gl = 100 - 1 = 99 \] Para un nivel de confianza del 95 %, el valor crítico aproximado de la distribución \(t\) con 99 grados de libertad es: \[ t_{0.975,99} \approx 1.984 \]
El intervalo de confianza para una media cuando la desviación estándar poblacional es desconocida se calcula mediante: \[ IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,n-1} \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \] Primero se calcula el error estándar: \[ EE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Reemplazando los valores obtenidos: \[ EE = \frac{3.00}{\sqrt{100}} \] \[ EE = \frac{3.00}{10} \] \[ EE = 0.30 \] Posteriormente, se calcula el margen de error: \[ ME = t \times EE \] \[ ME = 1.984 \times 0.30 \] \[ ME = 0.5952 \] Finalmente, se construye el intervalo de confianza: \[ IC = 5.99 \pm 0.5952 \] Límite inferior: \[ LI = 5.99 - 0.5952 \] \[ LI = 5.3948 \] Límite superior: \[ LS = 5.99 + 0.5952 \] \[ LS = 6.5852 \] Por lo tanto, el intervalo de confianza aproximado del 95 % es: \[ IC_{95\%} = [5.39,\ 6.59] \]
# Seleccionar la variable satisfacción escolar
satisfaccion <- datos$satisfaccion_escolar
# Tamaño de la muestra
n <- length(satisfaccion)
# Media muestral
media <- mean(satisfaccion)
# Desviación estándar muestral
desviacion <- sd(satisfaccion)
# Nivel de confianza
nivel_confianza <- 0.95
# Alfa
alpha <- 1 - nivel_confianza
# Grados de libertad
gl <- n - 1
# Valor crítico t
t_critico <- qt(1 - alpha/2, df = gl)
# Error estándar
error_estandar <- desviacion / sqrt(n)
# Margen de error
margen_error <- t_critico * error_estandar
# Límites del intervalo
limite_inferior <- media - margen_error
limite_superior <- media + margen_error
# Mostrar resultados
media## [1] 5.99desviacion## [1] 2.996614error_estandar## [1] 0.2996614t_critico## [1] 1.984217margen_error## [1] 0.5945933limite_inferior## [1] 5.395407limite_superior## [1] 6.584593Con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes se encuentra aproximadamente entre 5.39 y 6.59 puntos. Esto significa que, a partir de la información obtenida en la muestra de 100 estudiantes, se considera plausible que el verdadero promedio de satisfacción escolar de la población de interés se encuentre dentro de este intervalo. La media muestral obtenida fue de 5.99 puntos y el margen de error aproximado fue de 0.60 puntos. La interpretación debe realizarse con precaución, debido a que la base de datos no especifica el procedimiento mediante el cual fueron seleccionados los estudiantes. Por esta razón, el intervalo describe adecuadamente la incertidumbre estadística asociada a la muestra analizada, pero la generalización a toda la población depende también de las condiciones bajo las cuales se obtuvo la muestra.
En este estudio interesa conocer la proporción de estudiantes que asisten al psicólogo escolar. Esta variable es cualitativa dicotómica, debido a que presenta dos posibles respuestas: Sí y No. En la muestra analizada, 25 estudiantes indicaron que asisten al psicólogo escolar y 75 indicaron que no asisten.
El parámetro de interés es: \[ p \] donde \(p\) representa la proporción poblacional de estudiantes que asisten al psicólogo escolar. Como este valor poblacional es desconocido, se estima utilizando la proporción observada en la muestra.
La proporción muestral se representa mediante: \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \] donde: •\(x\) corresponde al número de estudiantes que presentan la característica de interés; •\(n\) corresponde al tamaño total de la muestra. En este estudio: \[ x = 25 \] \[ n = 100 \] Por lo tanto: \[ \hat{p} = \frac{25}{100} \] \[ \hat{p} = 0.25 \] Esto significa que el 25 % de los estudiantes de la muestra asiste al psicólogo escolar.
Para utilizar la aproximación normal en la construcción del intervalo de confianza se verifica que:
\[ n\hat{p} \geq 5 \] y: \[ n(1-\hat{p}) \geq 5 \] En este caso: \[ 100(0.25) = 25 \] y: \[ 100(0.75) = 75 \] Ambos valores son mayores que 5, por lo que la aproximación normal resulta adecuada para este cálculo.
El intervalo de confianza para una proporción se calcula mediante: \[ IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] Para un nivel de confianza del 95 %, el valor crítico es: \[ z_{\alpha/2} = 1.96 \]
El error estándar de la proporción se calcula mediante: \[ EE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] Reemplazando: \[ EE = \sqrt{ \frac{0.25(1-0.25)}{100} } \]
\[ EE = \sqrt{ \frac{0.25(0.75)}{100} } \]
\[ EE = \sqrt{0.001875} \]
\[ EE \approx 0.0433 \]
El margen de error se obtiene mediante: \[ ME = z_{\alpha/2} \times EE \]
\[ ME = 1.96(0.0433) \]
\[ ME \approx 0.0849 \]
El intervalo de confianza es: \[ IC = 0.25 \pm 0.0849 \] Límite inferior: \[ LI = 0.25 - 0.0849 \]
\[ LI \approx 0.1651 \] Límite superior: \[ LS = 0.25 + 0.0849 \]
\[ LS \approx 0.3349 \] Por lo tanto: \[ IC_{95\%} = [0.1651,\ 0.3349] \] Expresado en porcentaje: \[ IC_{95\%} = [16.51\%,\ 33.49\%] \]
En esta sección se estudia la variabilidad de la satisfacción escolar de los estudiantes. Esta variable es cuantitativa y permite analizar qué tan dispersos se encuentran los niveles de satisfacción respecto a su promedio. Además de estimar la media poblacional, resulta importante conocer la variabilidad existente entre los estudiantes. Para ello se construirá un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la satisfacción escolar.
El parámetro que se desea estimar es: \[ \sigma^2 \] donde \(\sigma^2\) representa la varianza poblacional de la satisfacción escolar. Adicionalmente, se obtendrá un intervalo de confianza para: \[ \sigma \] que representa la desviación estándar poblacional.
Para la variable satisfacción escolar se cuenta con: \[ n = 100 \] y una varianza muestral aproximada de: \[ s^2 = 8.98 \] Los grados de libertad son: \[ gl = n - 1 \] \[ gl = 100 - 1 = 99 \] Para un nivel de confianza del 95 %: \[ \alpha = 0.05 \] y: \[ \frac{\alpha}{2} = 0.025 \]
El intervalo de confianza para la varianza poblacional se construye utilizando la distribución chi-cuadrado: \[ IC_{\sigma^2} = \left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} \right] \] Para 99 grados de libertad y un nivel de confianza del 95 %, los valores críticos aproximados son: \[ \chi^2_{0.025,99} \approx 73.36 \] y: \[ \chi^2_{0.975,99} \approx 128.42 \]
Primero se calcula: \[ (n-1)s^2 \] \[ (100-1)(8.98) \] \[ 99(8.98) = 889.02 \] El límite inferior para la varianza es: \[ LI = \frac{889.02}{128.42} \] \[ LI \approx 6.92 \] El límite superior es: \[ LS = \frac{889.02}{73.36} \] \[ LS \approx 12.12 \] Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional es: \[ IC_{95\%}(\sigma^2) = [6.92,\ 12.12] \]
Para obtener el intervalo de confianza de la desviación estándar poblacional se calcula la raíz cuadrada de los límites obtenidos para la varianza: \[ IC_{\sigma} = \left[ \sqrt{6.92}, \sqrt{12.12} \right] \] Por lo tanto: \[ IC_{95\%}(\sigma) \approx [2.63,\ 3.48] \]
# Seleccionar variable
satisfaccion <- datos$satisfaccion_escolar
# Tamaño de muestra
n_var <- length(satisfaccion)
# Varianza muestral
varianza_muestral <- var(satisfaccion)
# Desviación estándar muestral
desviacion_muestral <- sd(satisfaccion)
# Nivel de confianza
nivel_confianza_var <- 0.95
alpha_var <- 1 - nivel_confianza_var
# Grados de libertad
gl_var <- n_var - 1
# Valores críticos chi-cuadrado
chi_inferior <- qchisq(alpha_var / 2, df = gl_var)
chi_superior <- qchisq(1 - alpha_var / 2, df = gl_var)
# Intervalo para la varianza
limite_inferior_var <- (
gl_var * varianza_muestral
) / chi_superior
limite_superior_var <- (
gl_var * varianza_muestral
) / chi_inferior
# Intervalo para la desviación estándar
limite_inferior_sd <- sqrt(limite_inferior_var)
limite_superior_sd <- sqrt(limite_superior_var)
# Mostrar resultados
n_var## [1] 100varianza_muestral## [1] 8.979697desviacion_muestral## [1] 2.996614gl_var## [1] 99chi_inferior## [1] 73.36108chi_superior## [1] 128.422limite_inferior_var## [1] 6.922413limite_superior_var## [1] 12.11801limite_inferior_sd## [1] 2.631048limite_superior_sd## [1] 3.481093Con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la varianza poblacional de la satisfacción escolar se encuentra aproximadamente entre 6.92 y 12.12 puntos cuadrados. Al transformar estos límites a desviación estándar, se obtiene que la desviación estándar poblacional se encuentra aproximadamente entre 2.63 y 3.48 puntos. Esto indica que existe una variabilidad considerable en los niveles de satisfacción escolar de los estudiantes, es decir, las respuestas no se encuentran concentradas en un único valor, sino que presentan una dispersión importante alrededor de la media. Este intervalo permite estimar el grado de variabilidad existente en la población a partir de la información observada en la muestra.
En esta sección se compara el promedio de satisfacción escolar entre dos grupos independientes de estudiantes: aquellos que asisten al psicólogo escolar y aquellos que no asisten. Los grupos son independientes porque cada estudiante pertenece solamente a una de las dos categorías de asistencia al psicólogo escolar. El objetivo es estimar mediante un intervalo de confianza del 95 % la diferencia entre las medias poblacionales de satisfacción escolar de ambos grupos.
¿Entre qué valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95 %, la diferencia entre la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes que asisten al psicólogo escolar y la de aquellos que no asisten?
El parámetro de interés es: \[ \mu_1 - \mu_2 \] donde: •\(\mu_1\) representa la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes que sí asisten al psicólogo escolar; •\(\mu_2\) representa la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes que no asisten. Por lo tanto, se estimará: \[ \mu_{Si} - \mu_{No} \]
Para los estudiantes que sí asisten al psicólogo escolar:
\[ n_1 = 25 \]
\[ \bar{x}_1 = 6.48 \]
\[ s_1 \approx 2.84 \]
Para los estudiantes que no asisten:
\[ n_2 = 75 \]
\[ \bar{x}_2 \approx 5.83 \]
\[ s_2 \approx 3.05 \]
La diferencia observada entre las medias muestrales es:
\[ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 \]
\[ 6.48 - 5.83 = 0.65 \]
Por lo tanto, en la muestra los estudiantes que asisten al psicólogo presentan una satisfacción escolar promedio aproximadamente 0.65 puntos mayor.
Debido a que se comparan dos grupos independientes y no se supone que las varianzas poblacionales sean iguales, se utiliza el intervalo basado en la prueba t de Welch.
La fórmula general es:
\[ IC = (\bar{x}_1-\bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2} \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } \]
El error estándar de la diferencia se calcula mediante:
\[ EE = \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } \]
Reemplazando los valores:
\[ EE = \sqrt{ \frac{2.84^2}{25} + \frac{3.05^2}{75} } \]
\[ EE \approx 0.67 \]
Los grados de libertad aproximados mediante el método de Welch son:
\[ gl \approx 43.78 \]
Para un nivel de confianza del 95 %, el valor crítico es aproximadamente:
\[ t \approx 2.016 \]
El margen de error es:
\[ ME = t \times EE \]
\[ ME = 2.016(0.67) \]
\[ ME \approx 1.35 \]
El intervalo de confianza se calcula como:
\[ IC = 0.65 \pm 1.35 \]
Límite inferior:
\[ LI = 0.65 - 1.35 \]
\[ LI \approx -0.70 \]
Límite superior:
\[ LS = 0.65 + 1.35 \]
\[ LS \approx 2.00 \]
Por lo tanto:
\[ IC_{95\%}(\mu_1-\mu_2) \approx [-0.70,\ 2.00] \]
# Separar los dos grupos
grupo_si <- datos$satisfaccion_escolar[
datos$asiste_psicologo_escolar == "Sí"
]
grupo_no <- datos$satisfaccion_escolar[
datos$asiste_psicologo_escolar == "No"
]
# Tamaños muestrales
n1 <- length(grupo_si)
n2 <- length(grupo_no)
# Medias
media1 <- mean(grupo_si)
media2 <- mean(grupo_no)
# Desviaciones estándar
sd1 <- sd(grupo_si)
sd2 <- sd(grupo_no)
# Diferencia de medias
diferencia_medias <- media1 - media2
# Error estándar de Welch
error_estandar_dif <- sqrt(
(sd1^2 / n1) + (sd2^2 / n2)
)
# Grados de libertad de Welch
gl_welch <- (
(sd1^2 / n1 + sd2^2 / n2)^2
) / (
((sd1^2 / n1)^2 / (n1 - 1)) +
((sd2^2 / n2)^2 / (n2 - 1))
)
# Nivel de confianza
nivel_confianza <- 0.95
alpha <- 1 - nivel_confianza
# Valor crítico t
t_critico_dif <- qt(
1 - alpha/2,
df = gl_welch
)
# Margen de error
margen_error_dif <- t_critico_dif * error_estandar_dif
# Límites
limite_inferior_dif <- diferencia_medias - margen_error_dif
limite_superior_dif <- diferencia_medias + margen_error_dif
# Mostrar resultados
n1## [1] 25n2## [1] 75media1## [1] 6.48media2## [1] 5.826667sd1## [1] 2.844878sd2## [1] 3.046368diferencia_medias## [1] 0.6533333error_estandar_dif## [1] 0.6689331gl_welch## [1] 43.77862t_critico_dif## [1] 2.015655margen_error_dif## [1] 1.348339limite_inferior_dif## [1] -0.6950053limite_superior_dif## [1] 2.001672La diferencia muestral de satisfacción escolar entre los estudiantes que asisten al psicólogo y aquellos que no asisten es aproximadamente de 0.65 puntos, siendo mayor en el grupo que sí asiste. Con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la diferencia entre las medias poblacionales de satisfacción escolar se encuentra aproximadamente entre -0.70 y 2.00 puntos, tomando la diferencia como estudiantes que sí asisten menos estudiantes que no asisten. Como el intervalo de confianza contiene el valor cero, los datos son compatibles tanto con diferencias ligeramente negativas como con diferencias positivas entre las medias poblacionales. Por lo tanto, a partir de este intervalo no se obtiene evidencia suficiente para afirmar que las medias poblacionales de satisfacción escolar de los dos grupos sean diferentes. Este resultado es coherente con el análisis realizado previamente, en el cual la diferencia observada entre ambos grupos fue pequeña.
Los desarrollos matemáticos de cada intervalo de confianza fueron realizados previamente en las secciones 6.1, 6.2, 6.3 y 6.4, antes de presentar los comandos en R. En cada procedimiento se siguió la estructura solicitada: Parámetro → Estimador → Error estándar → Valor crítico → Margen de error → Intervalo de confianza Para el intervalo de la media se utilizó la distribución t de Student; para el intervalo de una proporción, la distribución normal estándar; para el intervalo de una varianza, la distribución chi-cuadrado; y para la comparación de dos medias independientes, la distribución t de Welch. En el caso del intervalo para la varianza, el procedimiento no se expresa mediante la forma simétrica estimador ± margen de error, sino a través de los valores críticos de la distribución chi-cuadrado, tal como se desarrolló en la sección correspondiente. De esta manera, cada intervalo fue resuelto matemáticamente antes de ser implementado en R.
La implementación en R de cada procedimiento fue presentada inmediatamente después del desarrollo matemático de los intervalos correspondientes en las secciones 6.1, 6.2, 6.3 y 6.4. En cada caso, los comandos de R fueron utilizados para reproducir y verificar los cálculos realizados manualmente. Los resultados obtenidos mediante R fueron comparados con los valores calculados matemáticamente y se observaron únicamente pequeñas diferencias asociadas al uso de un mayor número de decimales en el software. Por lo tanto, los resultados obtenidos en R fueron consistentes con los procedimientos matemáticos desarrollados previamente.
En esta sección se interpretan los intervalos de confianza obtenidos para la media, la proporción, la varianza y la diferencia entre dos medias independient es. En todos los casos se utilizó un nivel de confianza del 95 %.
El parámetro estimado fue la media poblacional de satisfacción escolar, representada por \(\mu\). La estimación puntual obtenida mediante la media muestral fue:
\[ \bar{x} = 5.99 \]
El intervalo de confianza del 95 % obtenido fue aproximadamente:
\[ IC_{95\%}(\mu) = [5.39,\ 6.59] \]
Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la media poblacional de satisfacción escolar de los estudiantes se encuentra aproximadamente entre 5.39 y 6.59 puntos. En el contexto del estudio, este intervalo permite establecer un rango de valores plausibles para el promedio de satisfacción escolar de la población de interés a partir de la información proporcionada por los 100 estudiantes de la muestra. La estimación puntual de 5.99 proporciona un único valor como aproximación de la media poblacional. Sin embargo, el intervalo de confianza aporta información adicional porque muestra la incertidumbre asociada a esa estimación. En lugar de asumir que la media poblacional es exactamente 5.99, se reconoce que puede encontrarse dentro de un rango compatible con los datos observados.
El parámetro estimado fue la proporción poblacional de estudiantes que asisten al psicólogo escolar, representada por \(p\). En la muestra, 25 de los 100 estudiantes indicaron asistir al psicólogo escolar, por lo que la estimación puntual fue:
\[ \hat{p} = \frac{25}{100} = 0.25 \]
Esto corresponde al:
\[ 25\% \]
El intervalo de confianza del 95 % obtenido fue:
\[ IC_{95\%}(p) = [0.1651,\ 0.3349] \]
Expresado en porcentaje:
\[ IC_{95\%}(p) = [16.51\%,\ 33.49\%] \]
Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la proporción poblacional de estudiantes que asisten al psicólogo escolar se encuentra aproximadamente entre 16.51 % y 33.49 % En el contexto del estudio, aunque en la muestra exactamente el 25 % de los estudiantes manifestó asistir al psicólogo escolar, el intervalo muestra que la verdadera proporción poblacional podría encontrarse dentro de un rango más amplio. La estimación puntual indica únicamente que el 25 % de la muestra presenta la característica de interés. El intervalo de confianza complementa esta información al mostrar el grado de incertidumbre asociado a la estimación de la proporción poblacional.
El parámetro estimado fue la varianza poblacional de la satisfacción escolar, representada por:
\[ \sigma^2 \]
La estimación puntual fue la varianza muestral:
\[ s^2 \approx 8.98 \]
El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional fue aproximadamente:
\[ IC_{95\%}(\sigma^2) = [6.92,\ 12.12] \]
Esto significa que, con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la varianza poblacional de la satisfacción escolar se encuentra aproximadamente entre 6.92 y 12.12 puntos cuadrados. Adicionalmente, se obtuvo el intervalo para la desviación estándar poblacional:
\[ IC_{95\%}(\sigma) = [2.63,\ 3.48] \]
Por lo tanto, la desviación estándar poblacional de la satisfacción escolar se estima aproximadamente entre 2.63 y 3.48 puntos. En el contexto del estudio, estos resultados muestran que la satisfacción escolar presenta una variabilidad importante entre los estudiantes. Esto indica que las respuestas no se encuentran concentradas alrededor de un único nivel de satisfacción, sino que existe una dispersión considerable entre las experiencias escolares registradas. La estimación puntual de la varianza, 8.98, proporciona una medida única de la dispersión observada en la muestra. El intervalo de confianza aporta información adicional porque permite conocer un rango de valores plausibles para la verdadera variabilidad existente en la población.
En este análisis se comparó la satisfacción escolar entre dos grupos independientes: - estudiantes que sí asisten al psicólogo escolar; - estudiantes que no asisten al psicólogo escolar. El parámetro estimado fue la diferencia entre las medias poblacionales:
\[ \mu_1 - \mu_2 \]
donde \(\mu_1\) representa la media poblacional de satisfacción escolar de quienes sí asisten al psicólogo y \(\mu_2\) la media de quienes no asisten. Las medias muestrales fueron aproximadamente:
\[ \bar{x}_1 = 6.48 \]
para quienes sí asisten, y:
\[ \bar{x}_2 = 5.83 \]
para quienes no asisten. La estimación puntual de la diferencia fue:
\[ \bar{x}_1-\bar{x}_2 \approx 0.65 \]
Esto indica que, en la muestra, los estudiantes que asisten al psicólogo escolar presentaron una satisfacción promedio aproximadamente 0.65 puntos mayor que quienes no asisten.
El intervalo de confianza del 95 % obtenido para la diferencia entre las medias fue aproximadamente:
\[ IC_{95\%}(\mu_1-\mu_2) = [-0.70,\ 2.00] \]
Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95 %, la diferencia entre las medias poblacionales de satisfacción escolar podría encontrarse aproximadamente entre -0.70 y 2.00 puntos. En el contexto del estudio, el intervalo contiene el valor cero. Esto indica que los datos son compatibles con la posibilidad de que no exista diferencia entre las medias poblacionales de satisfacción escolar de los dos grupos. Aunque la estimación puntual muestra una diferencia de aproximadamente 0.65 puntos a favor de los estudiantes que asisten al psicólogo, el intervalo de confianza permite observar que existe suficiente incertidumbre como para incluir también diferencias cercanas a cero e incluso ligeramente negativas. Por esta razón, la estimación puntual por sí sola podría sugerir que existe una mayor satisfacción entre quienes asisten al psicólogo, mientras que el intervalo de confianza proporciona una interpretación más completa al mostrar que dicha diferencia no está claramente establecida a nivel poblacional con los datos disponibles.
Los intervalos de confianza construidos permiten complementar las estimaciones puntuales obtenidas a partir de la muestra. Mientras una estimación puntual proporciona un único valor como aproximación del parámetro poblacional, el intervalo de confianza incorpora la incertidumbre asociada al proceso de estimación. En este estudio, los intervalos permitieron estimar la media poblacional de satisfacción escolar, la proporción de estudiantes que asisten al psicólogo escolar, la variabilidad de la satisfacción escolar y la diferencia entre las medias de satisfacción de los estudiantes según su asistencia al psicólogo. En conjunto, los resultados muestran que la satisfacción escolar presenta una variabilidad considerable y que, aunque descriptivamente los estudiantes que asisten al psicólogo obtuvieron una media ligeramente superior, el intervalo de confianza para la diferencia de medias incluye el valor cero. Por lo tanto, los datos disponibles no permiten establecer con claridad una diferencia poblacional entre ambos grupos.
La satisfacción escolar promedio de los estudiantes de la muestra fue de 5.99 puntos. Mediante un intervalo de confianza del 95 %, se estimó que la media poblacional de satisfacción escolar se encuentra aproximadamente entre 5.39 y 6.59 puntos. Este intervalo permite complementar la estimación puntual al mostrar el rango de valores plausibles para la media de la población.
En la muestra, el 25 % de los estudiantes indicó asistir al psicólogo escolar. El intervalo de confianza del 95 % para esta proporción se ubicó entre 16.51 % y 33.49 %, lo que evidencia que la proporción poblacional no debe interpretarse únicamente a partir del valor puntual observado en la muestra. En el estudio original, 25 de los 100 estudiantes reportaron asistir al psicólogo escolar.
La satisfacción escolar presentó una varianza muestral aproximada de 8.98. El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional se estimó entre 6.92 y 12.12, mientras que el intervalo para la desviación estándar se ubicó aproximadamente entre 2.63 y 3.48 puntos. Estos resultados muestran que existe una variabilidad considerable en los niveles de satisfacción escolar de los estudiantes.
Al comparar la satisfacción escolar entre los estudiantes que asisten al psicólogo escolar y aquellos que no asisten, se observó una diferencia muestral aproximada de 0.65 puntos a favor del grupo que sí asiste. Sin embargo, el intervalo de confianza del 95 % para la diferencia entre las medias fue aproximadamente [-0.70, 2.00]. Debido a que este intervalo contiene el valor cero, los datos no permiten establecer con claridad una diferencia entre las medias poblacionales de satisfacción escolar de ambos grupos. En el análisis previo, las medias fueron 6.48 para quienes asistían al psicólogo y 5.83 para quienes no asistían.
En relación con la pregunta problema y el objetivo general, el análisis inferencial permitió estimar los principales parámetros de interés y cuantificar la incertidumbre asociada a ellos. Aunque descriptivamente los estudiantes que asisten al psicólogo presentaron una satisfacción escolar ligeramente mayor, los resultados del intervalo de comparación no aportan evidencia suficiente para afirmar que exista una diferencia poblacional entre los dos grupos.
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