Diseño en Cuadrado Latino

class: center, middle, inverse

# Diseño en Cuadrado Latino

## De un problema biológico al análisis en R

**Diseño de Experimentos · Biología**

---

# El problema experimental

.pull-left[
Un biólogo desea comparar **cuatro fertilizantes (A, B, C y D)** sobre el crecimiento de plántulas de tomate.

El invernadero tiene:

- gradiente de **luz** por filas;
- gradiente de **humedad** por columnas;
- 16 unidades experimentales.
]

.pull-right[
.question[
### Participación 1

**¿Qué problema tendría usar simplemente un DCA?**

<button class="choice" data-good="0">A. Ninguno: la aleatorización elimina los gradientes</button>
<button class="choice" data-good="1">B. Ambiente y tratamiento podrían confundirse</button>
<button class="choice" data-good="0">C. Solo habría un problema de tamaño muestral</button>
<div class="feedback"></div>
]
]

---

# Construyan el diseño

.pull-left[
<div class="latin-builder" id="builder"></div>

<div class="center">
<button class="action" onclick="checkLatin()">Verificar</button>
<button class="secondary" onclick="resetLatin()">Reiniciar</button>
</div>
<div id="latinmsg" class="feedback-box"></div>
]

.pull-right[
.question[
### Participación 2

Hagan clic sobre cada celda para cambiar:

**A → B → C → D**

El objetivo es conseguir que cada tratamiento aparezca **una sola vez por fila y una sola vez por columna**.
]

<div class="hidden-answer" id="regla">
Un Cuadrado Latino de orden $p$ requiere $p^2$ unidades experimentales.
</div>

<button class="reveal" onclick="toggleBox('regla')">Revelar regla</button>
]

---

# Una solución posible

.question[
**¿Qué propiedad se conserva en cada fila y en cada columna?**
]

---

# Aleatorización

.pull-left[
<div class="latin-static" id="baseLatin"></div>
]

.pull-right[
<div class="latin-static" id="randomLatin"></div>

<div class="center">
<button class="action" onclick="randomizeLatin()">Generar otra aleatorización</button>
</div>

.question[
¿Qué cambió? ¿Qué propiedad permanece?
]
]

---

# Modelo estadístico

donde

<div class="math-display compact">
<math display="block">
<msub><mi>α</mi><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mtext>efecto de fila</mtext><mo>,</mo>
<mspace width="2em"/>
<msub><mi>β</mi><mi>j</mi></msub><mo>=</mo><mtext>efecto de columna</mtext><mo>,</mo>
<mspace width="2em"/>
<msub><mi>τ</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mtext>efecto del tratamiento</mtext><mo>.</mo>
</math>
</div>

**Restricciones de identificabilidad:**

.question[
**Participación 3:** ¿cuál es el factor de interés y cuáles son los dos factores de bloqueo?
]

---

# Supuestos: decida antes de revelar

.question[
¿Cuál de estos es especialmente importante en el Cuadrado Latino clásico?

<button class="choice" data-good="0">A. Que todos los tratamientos tengan medias iguales</button>
<button class="choice" data-good="1">B. Aditividad de los efectos</button>
<button class="choice" data-good="0">C. Que filas y columnas no expliquen variabilidad</button>
<div class="feedback"></div>
]

<div class="hidden-answer" id="adit">
El modelo clásico no permite estimar separadamente las interacciones tratamiento × fila y tratamiento × columna. Por eso la **aditividad** es una consideración estructural importante.
</div>

<button class="reveal" onclick="toggleBox('adit')">Ampliar explicación</button>

---

# Sumas de cuadrados · notación

Sea el total general:

En consecuencia, los totales marginales se escriben como
`$Y_{i\cdot\cdot}$` para la fila `$i$`, `$Y_{\cdot j\cdot}$` para la columna `$j$`
y `$Y_{\cdot\cdot k}$` para el tratamiento `$k$`.

<div class="math-display">
<math display="block">
<msub><mi>SS</mi><mtext>Total</mtext></msub><mo>=</mo>
<munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>t</mi></munderover>
<munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>t</mi></munderover>
<msubsup><mi>Y</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow><mn>2</mn></msubsup>
<mo>−</mo><mfrac><msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mo>·</mo><mo>·</mo><mo>·</mo></mrow></msub><mn>2</mn></msup><mi>N</mi></mfrac>
</math>
</div>

.question[
Antes de avanzar: **¿qué componentes debemos retirar de la suma de cuadrados total para obtener el error?**
]

---

# Sumas de cuadrados · filas y columnas

.pull-left[
### Filas
<div class="math-display small"><math display="block">
<msub><mi>SS</mi><mtext>Filas</mtext></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac>
<munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>t</mi></munderover>
<msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>i</mi><mo>·</mo><mo>·</mo></mrow></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mfrac><msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mo>·</mo><mo>·</mo><mo>·</mo></mrow></msub><mn>2</mn></msup><mi>N</mi></mfrac>
</math></div>
]

.pull-right[
### Columnas
<div class="math-display small"><math display="block">
<msub><mi>SS</mi><mtext>Columnas</mtext></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac>
<munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>t</mi></munderover>
<msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mo>·</mo><mi>j</mi><mo>·</mo></mrow></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mfrac><msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mo>·</mo><mo>·</mo><mo>·</mo></mrow></msub><mn>2</mn></msup><mi>N</mi></mfrac>
</math></div>
]

.question[
¿Por qué aparece $1/t$ en ambas expresiones?
]

---

# Sumas de cuadrados · tratamientos y error

<div class="math-display">
<math display="block">
<msub><mi>SS</mi><mtext>Tratamientos</mtext></msub><mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac>
<munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>t</mi></munderover>
<msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mo>·</mo><mo>·</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mfrac><msup><msub><mi>Y</mi><mrow><mo>·</mo><mo>·</mo><mo>·</mo></mrow></msub><mn>2</mn></msup><mi>N</mi></mfrac><mo>.</mo>
</math>
</div>

<div class="math-display">
<math display="block">
<msub><mi>SS</mi><mi>E</mi></msub><mo>=</mo>
<msub><mi>SS</mi><mtext>Total</mtext></msub><mo>−</mo>
<msub><mi>SS</mi><mtext>Filas</mtext></msub><mo>−</mo>
<msub><mi>SS</mi><mtext>Columnas</mtext></msub><mo>−</mo>
<msub><mi>SS</mi><mtext>Tratamientos</mtext></msub><mo>.</mo>
</math>
</div>

<div class="decomp">
<span>Total</span><b>=</b><span>Filas</span><b>+</b><span>Columnas</span><b>+</b><span>Tratamientos</span><b>+</b><span>Error</span>
</div>

---

# Construyamos la tabla ANOVA

.question[
### Participación 4

Para un Cuadrado Latino de orden $t$, ¿cuáles son los grados de libertad?

<button class="reveal" onclick="toggleBox('anova')">Revelar tabla completa</button>
]

<div class="hidden-answer" id="anova">
<table class="anova-table">
<thead><tr><th>Fuente</th><th>gl</th><th>SC</th><th>CM</th><th>F</th></tr></thead>
<tbody>
<tr><td>Filas</td><td><i>t</i> − 1</td><td>SS<sub>F</sub></td><td>SS<sub>F</sub>/(<i>t</i>−1)</td><td>MS<sub>F</sub>/MS<sub>E</sub></td></tr>
<tr><td>Columnas</td><td><i>t</i> − 1</td><td>SS<sub>C</sub></td><td>SS<sub>C</sub>/(<i>t</i>−1)</td><td>MS<sub>C</sub>/MS<sub>E</sub></td></tr>
<tr><td>Tratamientos</td><td><i>t</i> − 1</td><td>SS<sub>T</sub></td><td>SS<sub>T</sub>/(<i>t</i>−1)</td><td>MS<sub>T</sub>/MS<sub>E</sub></td></tr>
<tr><td>Error</td><td>(<i>t</i>−1)(<i>t</i>−2)</td><td>SS<sub>E</sub></td><td>SS<sub>E</sub>/[(<i>t</i>−1)(<i>t</i>−2)]</td><td>—</td></tr>
<tr><td>Total</td><td><i>t</i><sup>2</sup> − 1</td><td>SS<sub>Total</sub></td><td>—</td><td>—</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>

---

# Practiquemos los grados de libertad

.question[
### Participación 4B

Seleccione un orden $t$. La diapositiva genera un ejercicio nuevo automáticamente.
]

<div class="p-practice">
<label for="pselect"><b>Orden del Cuadrado Latino:</b></label>
<select id="tselect">
<option value="3">t = 3</option>
<option value="4" selected>t = 4</option>
<option value="5">t = 5</option>
<option value="6">t = 6</option>
<option value="7">t = 7</option>
<option value="8">t = 8</option>
</select>
</div>

<div class="gl-grid">
<div>Filas<br><input id="g1" type="number"></div>
<div>Columnas<br><input id="g2" type="number"></div>
<div>Tratamientos<br><input id="g3" type="number"></div>
<div>Error<br><input id="g4" type="number"></div>
<div>Total<br><input id="g5" type="number"></div>
</div>

<div class="center">
<button class="action" onclick="checkGL()">Comprobar</button>
<button class="secondary" onclick="newT()">Otro valor de t</button>
</div>
<div id="glmsg" class="feedback-box"></div>

---

# Ejemplo completo en R

.case[
### Fertilizantes en plántulas de tomate

Un biólogo compara los fertilizantes **A, B, C y D** sobre el crecimiento (cm) de plántulas después de seis semanas. El invernadero presenta un gradiente de luz por filas y uno de humedad por columnas. Se utilizan 16 unidades experimentales en un Cuadrado Latino `$(4\times4)$`.

**Objetivos:** determinar si existen diferencias entre fertilizantes a `$(\alpha=0.05)$`, evaluar los bloqueos, comparar tratamientos cuando corresponda, calcular CV y porcentaje de variabilidad explicada y revisar supuestos.
]

.question[
Antes de R: identifique **tratamiento**, **bloques**, **respuesta**, $N$ y $gl_E$.
]

---

# RStudio · Construcción de los datos

<div class="rstudio-label">RStudio · Source · DCL_tomate.R</div>

``` r
datos <- data.frame(
  fila = factor(rep(1:4, each=4)),
  columna = factor(rep(1:4, times=4)),
  tratamiento = factor(c(
    "A","B","C","D",
    "B","C","D","A",
    "C","D","A","B",
    "D","A","B","C")),
  crecimiento = c(
    22.6,24.4,28.0,28.9,
    25.0,29.7,30.8,25.2,
    27.5,31.4,29.0,28.2,
    30.3,28.3,27.9,30.8)
)
head(datos)
```

```
##   fila columna tratamiento crecimiento
## 1    1       1           A        22.6
## 2    1       2           B        24.4
## 3    1       3           C        28.0
## 4    1       4           D        28.9
## 5    2       1           B        25.0
## 6    2       2           C        29.7
```

---

# RStudio · Primero mire los datos

.pull-left[

``` r
ggplot(datos,
       aes(tratamiento, crecimiento)) +
  geom_boxplot(width=.55,
               outlier.shape=NA) +
  geom_jitter(width=.06, size=2.8) +
  labs(x="Fertilizante",
       y="Crecimiento (cm)")
```

<img src="DCL_Clase_Interactiva_v10_files/figure-html/grafico-datos-1.png" alt="" width="88%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
.question[
### Participación 5

1. ¿Cuál tratamiento parece tener mayor crecimiento?
2. ¿El gráfico basta para declarar diferencias?
3. ¿Dónde están representados los efectos de fila y columna?
]
]

---

# RStudio · Ajuste del modelo

.pull-left[

``` r
modelo <- aov(
  crecimiento ~ fila +
    columna + tratamiento,
  data = datos
)

summary(modelo)
```

```
##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## fila         3  28.05   9.350   12.33 0.00563 **
## columna      3  15.43   5.142    6.78 0.02353 * 
## tratamiento  3  48.56  16.185   21.34 0.00133 **
## Residuals    6   4.55   0.758                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
```
]

.pull-right[
.question[
### Antes de interpretar

¿Cuál fila de la tabla ANOVA responde directamente a la pregunta científica sobre los fertilizantes?
]

<div class="hidden-answer" id="intanova">
La fila **tratamiento**. Filas y columnas permiten evaluar cuánto de la heterogeneidad sistemática fue capturada por el bloqueo.
</div>
<button class="reveal" onclick="toggleBox('intanova')">Revelar interpretación</button>
]

---

# RStudio · Medias ajustadas

.pull-left[

``` r
emm <- emmeans(modelo, ~ tratamiento)

plot(emm) +
  labs(x="Media ajustada (cm)",
       y="Fertilizante")
```

<img src="DCL_Clase_Interactiva_v10_files/figure-html/emmeans-plot-1.png" alt="" width="82%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
.question[
### Participación

¿Por qué es preferible hablar aquí de **medias ajustadas** por el modelo?
]

Las medias se estiman controlando estadísticamente los efectos de **fila** y **columna**.
]

---

# RStudio · Salida de medias ajustadas

<div class="rstudio-label">RStudio · Console</div>

``` r
emm
```

```
##  tratamiento emmean    SE df lower.CL upper.CL
##  A             26.3 0.435  6     25.2     27.3
##  B             26.4 0.435  6     25.3     27.4
##  C             29.0 0.435  6     27.9     30.1
##  D             30.4 0.435  6     29.3     31.4
## 
## Results are averaged over the levels of: fila, columna 
## Confidence level used: 0.95
```

.question[
Compare las medias ajustadas. ¿Qué patrón descriptivo observa entre A, B, C y D?
]

---

# Antes de Tukey: haga una predicción

.question[
### Participación 6

Con base en las medias y el gráfico anterior:

**¿qué pares de fertilizantes anticipan que podrían diferir?**

Anote las respuestas en el chat antes de ejecutar el código.
]

---

# RStudio · Comparaciones de Tukey

<div class="rstudio-label">RStudio · Console</div>

``` r
pairs(emm, adjust="tukey")
```

```
##  contrast estimate    SE df t.ratio p.value
##  A - B       -0.10 0.616  6  -0.162  0.9983
##  A - C       -2.73 0.616  6  -4.425  0.0174
##  A - D       -4.08 0.616  6  -6.618  0.0023
##  B - C       -2.62 0.616  6  -4.263  0.0206
##  B - D       -3.98 0.616  6  -6.455  0.0027
##  C - D       -1.35 0.616  6  -2.192  0.2273
## 
## Results are averaged over the levels of: fila, columna 
## P value adjustment: tukey method for comparing a family of 4 estimates
```

.question[
Ahora contraste la predicción del grupo con los **p-valores ajustados**. ¿Qué pares presentan evidencia de diferencia?
]

---

# RStudio · Residuos vs. ajustados

.pull-left[

``` r
diag <- augment(modelo)

ggplot(diag,
       aes(.fitted, .resid)) +
  geom_hline(yintercept=0,
             linetype=2) +
  geom_point(size=2.8) +
  labs(x="Valores ajustados",
       y="Residuos")
```

<img src="DCL_Clase_Interactiva_v10_files/figure-html/resid-1.png" alt="" width="88%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
.question[
¿Qué buscaría en este gráfico?

<button class="choice" data-good="1">Dispersión sin patrón sistemático</button>
<button class="choice" data-good="0">Una línea creciente perfecta</button>
<button class="choice" data-good="0">Todos los residuos positivos</button>
<div class="feedback"></div>
]
]

---

# RStudio · QQ-plot y normalidad

.pull-left[

``` r
ggplot(diag,
       aes(sample=.std.resid)) +
  stat_qq(size=2.7) +
  stat_qq_line() +
  labs(x="Cuantiles teóricos",
       y="Residuos estandarizados")
```

<img src="DCL_Clase_Interactiva_v10_files/figure-html/qq-1.png" alt="" width="88%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[

``` r
shapiro.test(residuals(modelo))
```

```
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(modelo)
## W = 0.93997, p-value = 0.3486
```

.question[
¿Por qué **no** deberíamos decidir la validez del modelo únicamente con el p-valor de Shapiro–Wilk?
]
]

---

# RStudio · Coeficiente de variación

.pull-left[

``` r
tab <- anova(modelo)
MSE <- tab["Residuals","Mean Sq"]

CV <- sqrt(MSE) /
  mean(datos$crecimiento) * 100

CV
```

```
## [1] 3.110083
```
]

.pull-right[
.question[
¿Qué información aporta el CV sobre la **precisión experimental** que no aporta directamente el p-valor?
]
]

---

# RStudio · ¿Quién explica la variabilidad?

<div class="math-display compact">
<math display="block">
<mo>%</mo><msub><mi>V</mi><mi>j</mi></msub><mo>=</mo>
<mfrac><msub><mi>SS</mi><mi>j</mi></msub><msub><mi>SS</mi><mtext>Total</mtext></msub></mfrac>
<mo>×</mo><mn>100</mn><mo>.</mo>
</math>
</div>

.pull-left[

``` r
pct <- data.frame(
 Fuente=rownames(tab),
 Porcentaje=100*tab[,"Sum Sq"]/
            sum(tab[,"Sum Sq"])
)

ggplot(pct,
 aes(reorder(Fuente,Porcentaje),
     Porcentaje)) +
 geom_col() +
 coord_flip() +
 labs(x=NULL,
      y="% de variabilidad")
```

<img src="DCL_Clase_Interactiva_v10_files/figure-html/porcentaje-1.png" alt="" width="88%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
.question[
Si filas y columnas explican una proporción importante de la variabilidad, ¿eso apoya o contradice la decisión de bloquear?
]
]

---

# Detectives del diseño

<div class="detective">
<div><b>A.</b> 4 fertilizantes; parcelas homogéneas. <button onclick="showCase(this,'DCA')">Ver</button><span></span></div>
<div><b>B.</b> 4 fertilizantes; un gradiente conocido. <button onclick="showCase(this,'DBCA')">Ver</button><span></span></div>
<div><b>C.</b> 4 fertilizantes; dos gradientes perpendiculares. <button onclick="showCase(this,'Cuadrado Latino')">Ver</button><span></span></div>
<div><b>D.</b> Fertilizante × riego; interesa la interacción. <button onclick="showCase(this,'Factorial')">Ver</button><span></span></div>
</div>

---

# Reto final

.case[
Se comparan **cinco dietas** en una instalación animal. Existe un gradiente térmico norte–sur y otro de ventilación oeste–este.
]

En grupos, respondan:

1. ¿Puede utilizarse un Cuadrado Latino?
2. ¿Cuántas unidades experimentales se requieren?
3. ¿Cuántas veces aparece cada dieta?
4. ¿Cuáles son los gl de filas, columnas, tratamientos y error?
5. ¿Qué supuesto estructural es especialmente importante?

<button class="reveal" onclick="toggleBox('retofinal')">Revelar solución</button>

<div class="hidden-answer" id="retofinal">
<div class="solution-grid">
<div><b>¿Cuadrado Latino?</b><br>Sí: hay 5 tratamientos y dos fuentes de bloqueo.</div>
<div><b>Unidades experimentales</b><br>25</div>
<div><b>Repeticiones por dieta</b><br>5</div>
</div>

<div class="math-display compact">
<math display="block">
<msub><mi>gl</mi><mtext>Filas</mtext></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mspace width="1.2em"/>
<msub><mi>gl</mi><mtext>Columnas</mtext></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mspace width="1.2em"/>
<msub><mi>gl</mi><mtext>Tratamientos</mtext></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>,</mo><mspace width="1.2em"/>
<msub><mi>gl</mi><mi>E</mi></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mn>5</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>12</mn><mo>.</mo>
</math>
</div>

<p><b>Supuesto estructural clave:</b> aditividad de los efectos; el modelo clásico no estima separadamente interacciones tratamiento × fila o tratamiento × columna.</p>
</div>

El supuesto estructural clave es la **aditividad**.

</div>

---

class: center, middle, inverse

# Idea central

<div class="final-idea">Bloquear es retirar variabilidad sistemática del error</div>

## para comparar tratamientos con mayor precisión.