Une compagnie d’assurance spécialisée en assurance Vie souhaite évaluer son niveau de risque et déterminer un besoin simplifié en capital de solvabilité.
Dans le cadre de Solvabilité II, le Solvency Capital Requirement (SCR) correspond au capital nécessaire pour absorber des pertes inattendues sur un horizon d’un an, avec un niveau de confiance de 99,5 %.
La formule standard repose notamment sur plusieurs grandes catégories de risques : risque de marché, risque de souscription Vie, risque de contrepartie et risque opérationnel. Le BSCR agrège les différents modules de risque en tenant compte des effets de diversification.
Dans ce projet pédagogique, nous allons construire une version simplifiée du calcul du SCR à partir d’un portefeuille fictif d’assurance Vie.
L’analyse portera sur :
La compagnie dispose d’un portefeuille d’assurance Vie composé de contrats comportant principalement des garanties en cas de décès et des prestations d’épargne.
Nous considérons les données simplifiées suivantes :
portefeuille <- data.frame(
Indicateur = c(
"Provisions techniques",
"Actifs obligataires",
"Actifs actions",
"Actifs immobiliers",
"Trésorerie",
"Fonds propres disponibles",
"Primes annuelles",
"Dépenses annuelles"
),
Montant = c(
8500000000,
6000000000,
1800000000,
900000000,
300000000,
3200000000,
750000000,
80000000
)
)
portefeuille## Indicateur Montant
## 1 Provisions techniques 8.5e+09
## 2 Actifs obligataires 6.0e+09
## 3 Actifs actions 1.8e+09
## 4 Actifs immobiliers 9.0e+08
## 5 Trésorerie 3.0e+08
## 6 Fonds propres disponibles 3.2e+09
## 7 Primes annuelles 7.5e+08
## 8 Dépenses annuelles 8.0e+07Tous les montants sont exprimés en FCFA.
Le portefeuille présente une exposition importante aux actifs obligataires, complétée par des actions et de l’immobilier. La compagnie dispose également de fonds propres permettant d’absorber une partie des pertes potentielles.
Dans la formule standard, le BSCR est constitué de plusieurs modules de risque. Parmi eux figurent notamment le risque de marché, le risque de souscription Vie et le risque de contrepartie.
Pour notre projet, nous retenons trois principaux modules :
\[ SCR_{marché} \]
\[ SCR_{vie} \]
\[ SCR_{contrepartie} \]
auxquels nous ajouterons un risque opérationnel.
L’agrégation des principaux risques sera réalisée à l’aide d’une matrice de corrélation simplifiée.
Le risque de mortalité correspond au risque de perte résultant d’une augmentation de la mortalité lorsque celle-ci entraîne une augmentation des engagements de l’assureur. Ce risque fait partie du module de souscription Vie.
Pour simplifier l’exercice, nous supposons que le choc de mortalité entraîne une augmentation de 15 % du capital sous risque.
capital_sous_risque <- 4000000000
choc_mortalite <- 0.15
SCR_mortalite <-
capital_sous_risque *
choc_mortalite
SCR_mortalite## [1] 6e+08Le SCR simplifié de mortalité est donc obtenu en appliquant le choc retenu au capital sous risque.
Dans une application réglementaire réelle, le calcul du risque de mortalité est fondé sur les paramètres et méthodes de la formule standard Solvabilité II. Une méthode simplifiée spécifique existe également sous certaines conditions.
Le risque de longévité correspond au risque résultant d’une diminution de la mortalité lorsque cette évolution augmente la valeur des engagements de l’assureur.
Ce risque est particulièrement important pour les contrats comportant des prestations versées pendant la durée de vie des assurés.
Nous supposons ici un choc simplifié de 10 % sur les engagements concernés.
provisions_sensibles_longevite <- 5000000000
choc_longevite <- 0.10
SCR_longevite <-
provisions_sensibles_longevite *
choc_longevite
SCR_longevite## [1] 5e+08Le montant obtenu représente le besoin de capital associé au scénario simplifié de longévité.
Les risques de mortalité et de longévité ne sont pas nécessairement parfaitement corrélés.
Nous retenons ici une corrélation simplifiée de :
\[ \rho = 0,25 \]
L’agrégation est réalisée selon :
\[ SCR_{Vie} = \sqrt{ SCR_M^2 + SCR_L^2 + 2\rho SCR_M SCR_L } \]
correlation_vie <- 0.25
SCR_vie <-
sqrt(
SCR_mortalite^2 +
SCR_longevite^2 +
2 *
correlation_vie *
SCR_mortalite *
SCR_longevite
)
SCR_vie## [1] 871779789Cette agrégation permet de prendre en compte un effet de diversification entre les deux risques.
Le risque de marché représente le risque de perte lié à l’évolution défavorable des marchés financiers. Il couvre notamment les risques de taux, actions, immobilier, spread, change et concentration.
Dans notre portefeuille simplifié, nous considérons trois principales classes d’actifs :
actifs <- data.frame(
Classe = c(
"Obligations",
"Actions",
"Immobilier"
),
Montant = c(
6000000000,
1800000000,
900000000
),
Choc = c(
0.10,
0.30,
0.25
)
)
actifs## Classe Montant Choc
## 1 Obligations 6.0e+09 0.10
## 2 Actions 1.8e+09 0.30
## 3 Immobilier 9.0e+08 0.25Le capital requis pour chaque classe d’actifs est calculé comme suit :
\[ SCR_i = Valeur_i \times Choc_i \]
## Classe Montant Choc SCR
## 1 Obligations 6.0e+09 0.10 6.00e+08
## 2 Actions 1.8e+09 0.30 5.40e+08
## 3 Immobilier 9.0e+08 0.25 2.25e+08Nous obtenons ainsi les besoins de capital associés aux différentes classes d’actifs.
Afin de tenir compte de la diversification entre les différentes catégories d’actifs, nous utilisons une matrice de corrélation simplifiée.
correlation_marche <- matrix(
c(
1.00, 0.50, 0.40,
0.50, 1.00, 0.75,
0.40, 0.75, 1.00
),
nrow = 3,
byrow = TRUE
)
colnames(correlation_marche) <-
c("Obligations", "Actions", "Immobilier")
rownames(correlation_marche) <-
c("Obligations", "Actions", "Immobilier")
correlation_marche## Obligations Actions Immobilier
## Obligations 1.0 0.50 0.40
## Actions 0.5 1.00 0.75
## Immobilier 0.4 0.75 1.00L’agrégation est réalisée selon :
\[ SCR_{marché} = \sqrt{ \sum_i \sum_j SCR_i SCR_j \rho_{ij} } \]
scr_composantes <-
actifs$SCR
SCR_marche <-
sqrt(
t(scr_composantes) %*%
correlation_marche %*%
scr_composantes
)
as.numeric(SCR_marche)## [1] 1147377444Cette approche permet de tenir compte de l’effet de diversification entre les différents risques de marché.
Le risque de contrepartie correspond notamment au risque de perte lié à la défaillance ou à la dégradation de la qualité de crédit d’une contrepartie. Il constitue également un module du BSCR.
Dans notre exemple simplifié, nous retenons une exposition de 500 millions de FCFA et un choc de 10 %.
exposition_contrepartie <- 500000000
choc_contrepartie <- 0.10
SCR_contrepartie <-
exposition_contrepartie *
choc_contrepartie
SCR_contrepartie## [1] 5e+07Nous disposons maintenant de trois principaux modules :
Nous retenons les corrélations suivantes :
correlation_bscr <- matrix(
c(
1.00, 0.25, 0.20,
0.25, 1.00, 0.25,
0.20, 0.25, 1.00
),
nrow = 3,
byrow = TRUE
)
colnames(correlation_bscr) <-
c(
"Vie",
"Marche",
"Contrepartie"
)
rownames(correlation_bscr) <-
c(
"Vie",
"Marche",
"Contrepartie"
)
correlation_bscr## Vie Marche Contrepartie
## Vie 1.00 0.25 0.20
## Marche 0.25 1.00 0.25
## Contrepartie 0.20 0.25 1.00Nous agrégeons les différents modules :
scr_modules <- c(
SCR_vie,
as.numeric(SCR_marche),
SCR_contrepartie
)
BSCR <-
sqrt(
t(scr_modules) %*%
correlation_bscr %*%
scr_modules
)
BSCR <- as.numeric(BSCR)
BSCR## [1] 1620254691Le BSCR simplifié tient ainsi compte des effets de diversification entre les différents modules de risque.
Le risque opérationnel correspond aux pertes pouvant résulter notamment de processus internes inadéquats, d’erreurs, de systèmes défaillants ou d’événements externes.
Dans la formule standard, le risque opérationnel intervient dans le calcul final du SCR. La réglementation prévoit notamment une formule fondée sur les primes et les provisions techniques.
Pour simplifier notre projet, nous retenons un montant égal à 3 % des primes annuelles :
\[ SCR_{Op} = 3\% \times Primes \]
## [1] 22500000Dans la formule standard, le SCR tient compte du BSCR, du risque opérationnel ainsi que de l’ajustement lié à la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques et des impôts différés.
Pour notre projet pédagogique, nous ne modélisons pas cet ajustement.
Nous retenons donc :
\[ \boxed{ SCR_{simplifié} = BSCR + SCR_{Op} } \]
## [1] 1642754691Le résultat constitue notre estimation simplifiée du capital nécessaire pour couvrir les principaux risques quantifiables du portefeuille.
Nous pouvons comparer les différents modules de risque :
synthese_risques <- data.frame(
Risque = c(
"Risque Vie",
"Risque de marché",
"Risque de contrepartie",
"Risque opérationnel"
),
SCR = c(
SCR_vie,
as.numeric(SCR_marche),
SCR_contrepartie,
SCR_operationnel
)
)
synthese_risques## Risque SCR
## 1 Risque Vie 871779789
## 2 Risque de marché 1147377444
## 3 Risque de contrepartie 50000000
## 4 Risque opérationnel 22500000Nous calculons également leur poids relatif :
synthese_risques$Poids_pct <-
synthese_risques$SCR /
sum(synthese_risques$SCR) *
100
synthese_risques## Risque SCR Poids_pct
## 1 Risque Vie 871779789 41.678903
## 2 Risque de marché 1147377444 54.854946
## 3 Risque de contrepartie 50000000 2.390449
## 4 Risque opérationnel 22500000 1.075702Cette analyse permet d’identifier les principales sources de besoin en capital du portefeuille.
La compagnie dispose de :
## [1] 3.2e+09Le ratio de solvabilité simplifié est défini par :
\[ Ratio\ de\ solvabilité = \frac{Fonds\ propres\ éligibles} {SCR} \]
## [1] 1.947948En pourcentage :
## [1] 194.7948Un ratio supérieur à 100 % signifie que les fonds propres disponibles sont supérieurs au SCR calculé dans notre modèle simplifié.
Nous pouvons également calculer la marge disponible après couverture du SCR :
\[ Marge = Fonds\ propres - SCR \]
## [1] 1557245309Une marge positive signifie que les fonds propres disponibles dépassent le besoin de capital calculé selon notre approche simplifiée.
L’assurance Vie est particulièrement sensible aux évolutions des marchés financiers.
Nous considérons un scénario défavorable dans lequel les besoins de capital associés au risque de marché augmentent de 30 %.
## [1] 1491590678Nous recalculons ensuite le BSCR :
scr_modules_stress <- c(
SCR_vie,
SCR_marche_stress,
SCR_contrepartie
)
BSCR_stress <-
sqrt(
t(scr_modules_stress) %*%
correlation_bscr %*%
scr_modules_stress
)
BSCR_stress <- as.numeric(BSCR_stress)
SCR_stress <-
BSCR_stress +
SCR_operationnel
SCR_stress## [1] 1944019559Le stress test permet d’évaluer la sensibilité du besoin de capital à une détérioration du risque de marché.
comparaison <- data.frame(
Scenario = c(
"Situation centrale",
"Stress marché"
),
BSCR = c(
BSCR,
BSCR_stress
),
SCR = c(
SCR_simplifie,
SCR_stress
),
Fonds_propres = c(
fonds_propres,
fonds_propres
),
Ratio_solvabilite = c(
fonds_propres / SCR_simplifie,
fonds_propres / SCR_stress
)
)
comparaison$Ratio_solvabilite_pct <-
comparaison$Ratio_solvabilite * 100
comparaison## Scenario BSCR SCR Fonds_propres Ratio_solvabilite
## 1 Situation centrale 1620254691 1642754691 3.2e+09 1.947948
## 2 Stress marché 1921519559 1944019559 3.2e+09 1.646074
## Ratio_solvabilite_pct
## 1 194.7948
## 2 164.6074Cette comparaison permet de mesurer l’impact d’une détérioration du risque de marché sur le besoin global en capital et sur le ratio de solvabilité.
L’analyse du SCR permet de passer d’une simple mesure des engagements à une vision globale du profil de risque de l’entreprise.
Dans notre portefeuille, le besoin en capital dépend notamment :
\[ \boxed{ Risque\ Vie + Risque\ de\ marché + Risque\ de\ contrepartie + Risque\ opérationnel } \]
Ces risques ne doivent cependant pas être additionnés mécaniquement. L’utilisation d’une matrice de corrélation permet de prendre en compte les effets de diversification entre les différents modules.
Dans la formule standard Solvabilité II, le BSCR repose précisément sur une agrégation des différents modules de risque.
Le calcul réglementaire complet est cependant plus complexe que notre approche pédagogique. Il nécessite notamment une modélisation détaillée des actifs, des engagements, des chocs réglementaires, des effets de diversification et des mécanismes d’absorption des pertes.
Le calcul présenté dans ce projet constitue une illustration pédagogique du raisonnement conduisant au SCR.
Il ne doit pas être interprété comme un calcul réglementaire Solvabilité II.
Les principales simplifications sont les suivantes :
Dans une application professionnelle, le calcul du SCR suit la méthodologie réglementaire applicable et repose sur une modélisation beaucoup plus détaillée.
L’analyse du SCR permet à l’actuaire d’évaluer le capital nécessaire pour absorber des pertes inattendues sur le portefeuille.
La logique générale peut être résumée par :
\[ \boxed{ Données \rightarrow Identification\ des\ risques \rightarrow Chocs \rightarrow Agrégation \rightarrow SCR \rightarrow Ratio\ de\ solvabilité } \]
Le risque de marché, le risque de souscription Vie, le risque de contrepartie et le risque opérationnel contribuent au besoin global en capital.
L’analyse du SCR permet ainsi de compléter l’analyse actuarielle traditionnelle en intégrant directement les problématiques de gestion des risques, de solvabilité et d’allocation du capital.
Dans une approche plus avancée, ce projet pourrait être prolongé par une modélisation ALM, des chocs de taux, des chocs de spread, des sensibilités du BEL, une projection des flux de trésorerie et une analyse détaillée des risques de mortalité et de longévité.