1 Pregunta problema

¿Entre qué valores plausibles se encuentran los principales parámetros poblacionales asociados con el bienestar psicológico (nivel promedio de estrés, calidad del sueño, satisfacción con la vida y proporción de personas que han sufrido ansiedad) de los individuos representados por la muestra?

2 Objetivo general

Estimar, mediante intervalos de confianza, los parámetros poblacionales asociados a las variables de bienestar psicológico (nivel de estrés, calidad del sueño, satisfacción con la vida y proporción de personas con ansiedad) presentes en la base de datos seleccionada, con el fin de identificar los rangos de valores plausibles que caracterizan a la población representada por la muestra.

3 Antecedentes

El bienestar psicológico se ha estudiado ampliamente en función de variables como el estrés, la calidad del sueño, la satisfacción vital y la ansiedad (Ryff, 1989). Para caracterizar estas variables a nivel poblacional, la estadística inferencial ofrece la estimación por intervalos de confianza, que permite establecer el rango de valores donde probablemente se ubica el verdadero parámetro poblacional, superando así la limitación de reportar un único valor estimado (Rincón, 2025).

En estudiantes universitarios se ha encontrado una relación inversa y significativa entre estrés académico y bienestar psicológico (Barraza et al., 2023), así como una correlación negativa fuerte entre ansiedad y bienestar (r entre -0.79 y -0.90) confirmada con un 95% de confianza (Revista Horizontes, 2024). De igual forma, estudios internacionales han mostrado que una mala calidad del sueño se asocia con mayor insatisfacción con la vida (razón de probabilidades = 2.1; intervalo de confianza del 95%: 1.7 a 2.7) (Kronholm et al., 2009), evidenciando cómo el intervalo de confianza comunica tanto el efecto como la precisión de la estimación.

A nivel poblacional, la Organización Mundial de la Salud (2025) reporta que cerca del 4.4% de la población mundial presenta actualmente un trastorno de ansiedad, con diferencias según sexo (14.8% en mujeres frente a 13% en hombres), cifras obtenidas mediante estimaciones muestrales representativas. Estos antecedentes respaldan la pertinencia de aplicar la estimación por intervalos de confianza al análisis del bienestar psicológico en la muestra de estudio.

4 Marco teórico

Para comprender cómo se estiman los parámetros poblacionales de bienestar psicológico a partir de la muestra de 100 personas, es necesario comprender los conceptos fundamentales de la estadística inferencial que sustentan este análisis.

Población: conjunto completo de individuos sobre los cuales se desea obtener conclusiones. En este estudio, corresponde a todos los adultos entre 18 y 60 años cuyo bienestar psicológico se busca caracterizar.

Muestra: subconjunto representativo de la población. Aquí, las 100 personas registradas en la base de datos Base_Psicologia_Bienestar.

Parámetro: valor numérico que describe una característica de la población (por ejemplo, \(\mu_{estres}\) o \(p_{ansiedad}\)), fijo pero desconocido.

Estadístico: valor numérico calculado a partir de la muestra (por ejemplo, \(\bar{x}\) o \(\hat{p}\)), que se usa para estimar un parámetro.

Estimador: fórmula o regla general usada para calcular un estadístico a partir de una muestra, por ejemplo \(\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\).

Estimación puntual: valor único obtenido al aplicar el estimador a los datos, usado como mejor aproximación al parámetro (por ejemplo, \(\bar{x}_{estres} = 5.59\)).

Error estándar (EE): mide la variabilidad esperada del estadístico si se repitiera el estudio muchas veces. Para la media: \(EE_{\bar{x}} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}\); para una proporción: \(EE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\).

Margen de error (ME): cantidad que se suma y resta a la estimación puntual: \(ME = valor\ crítico \times EE\).

Nivel de confianza: proporción de veces que, repitiendo el estudio, el intervalo construido contendría el verdadero parámetro. En este taller se usa 95%.

Intervalo de confianza (IC): rango de valores plausibles para el parámetro poblacional: \(IC = Estimación\ puntual \pm ME\).

Distribución normal: modelo de probabilidad simétrico que, según el Teorema del Límite Central, aproxima la distribución de las medias muestrales cuando \(n\) es grande (\(n>30\)).

Distribución t de Student: similar a la normal, pero con colas más pesadas; se usa cuando se desconoce la desviación estándar poblacional, con grados de libertad \(gl=n-1\).

Distribución chi-cuadrado (\(\chi^2\)): distribución asimétrica utilizada para construir intervalos de confianza para la varianza poblacional \(\sigma^2\).

Distribución F: distribución asimétrica usada para comparar la variabilidad (varianzas) entre dos grupos, como paso previo a la comparación de medias.

5 Metodología

Origen de los datos: archivo Base_Psicologia_Bienestar.xlsx, de tipo transversal, con información autorreportada sobre bienestar psicológico y hábitos de vida.

Población de interés: adultos entre 18 y 60 años cuyo bienestar psicológico se busca caracterizar.

Muestra: 100 personas seleccionadas de dicha población, asumida aleatoria y representativa.

Tamaño de muestra: \(n = 100\).

Variables seleccionadas y su naturaleza:

Variable Naturaleza Escala
nivel_estres Cuantitativa discreta (Likert) 1-10
calidad_sueno Cuantitativa discreta (Likert) 1-10
satisfaccion_vida Cuantitativa discreta (Likert) 1-10
ha_sufrido_ansiedad Cualitativa nominal dicotómica Sí / No
realiza_actividad_fisica Cualitativa nominal dicotómica Sí / No

Parámetros que serán estimados: \(\mu_{estres}\), \(\mu_{sueno}\), \(\mu_{satisfaccion}\), \(p_{ansiedad}\), \(\mu_1-\mu_2\) (satisfacción según ansiedad).

Nivel de confianza utilizado: 95% (\(\alpha=0.05\)) para todos los intervalos.

Procedimientos estadísticos: análisis exploratorio, verificación de supuestos (normalidad e igualdad de varianzas), estimación puntual, cálculo de error estándar y margen de error, construcción de intervalos de confianza (t de Student, Z, chi-cuadrado, F) y cálculo del tamaño del efecto (d de Cohen).

Software utilizado: R (versión 4.x, gratuita), RStudio (edición de código abierto, gratuita) y R Markdown, con los paquetes gratuitos readxl, ggplot2, knitr y funciones base de stats. Para exportar a PDF se utiliza la distribución gratuita TinyTeX (instalable con tinytex::install_tinytex()), que no requiere ninguna licencia de pago.

## tibble [100 × 11] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ edad                     : num [1:100] 22 38 26 43 22 38 46 49 51 29 ...
##  $ sexo                     : chr [1:100] "Femenino" "Femenino" "Femenino" "Femenino" ...
##  $ nivel_educativo          : chr [1:100] "Técnico" "Universitario" "Postgrado" "Bachillerato" ...
##  $ nivel_estres             : num [1:100] 9 4 4 2 3 4 1 5 6 6 ...
##  $ calidad_sueno            : num [1:100] 10 5 5 6 6 9 8 4 2 3 ...
##  $ realiza_actividad_fisica : chr [1:100] "NO" "NO" "NO" "NO" ...
##  $ acude_terapia            : chr [1:100] "No" "No" "No" "No" ...
##  $ uso_redes_sociales_diario: num [1:100] 1 5 4 3 4 5 1 5 1 2 ...
##  $ satisfaccion_vida        : num [1:100] 2 3 10 8 9 10 4 8 5 10 ...
##  $ red_apoyo_emocional      : chr [1:100] "Baja" "Baja" "Baja" "Baja" ...
##  $ ha_sufrido_ansiedad      : chr [1:100] "NO" "SI" "SI" "SI" ...
##       edad              sexo      nivel_educativo  nivel_estres  
##  Min.   :18.00   Length   :100   Length   :100    Min.   : 1.00  
##  1st Qu.:27.00   N.unique :  3   N.unique :  4    1st Qu.: 3.00  
##  Median :43.00   N.blank  :  0   N.blank  :  0    Median : 5.50  
##  Mean   :40.25   Min.nchar:  4   Min.nchar:  7    Mean   : 5.59  
##  3rd Qu.:52.00   Max.nchar:  9   Max.nchar: 13    3rd Qu.: 8.00  
##  Max.   :60.00                                    Max.   :10.00  
##  calidad_sueno   realiza_actividad_fisica   acude_terapia
##  Min.   : 1.00   Length   :100            Length   :100  
##  1st Qu.: 4.00   N.unique :  2            N.unique :  2  
##  Median : 6.00   N.blank  :  0            N.blank  :  0  
##  Mean   : 5.73   Min.nchar:  2            Min.nchar:  2  
##  3rd Qu.: 8.00   Max.nchar:  2            Max.nchar:  2  
##  Max.   :10.00                                           
##  uso_redes_sociales_diario satisfaccion_vida red_apoyo_emocional
##  Min.   :0.00              Min.   : 1.00     Length   :100      
##  1st Qu.:1.00              1st Qu.: 3.00     N.unique :  3      
##  Median :3.00              Median : 6.00     N.blank  :  0      
##  Mean   :2.56              Mean   : 5.72     Min.nchar:  4      
##  3rd Qu.:4.00              3rd Qu.: 8.00     Max.nchar:  5      
##  Max.   :5.00              Max.   :10.00                        
##  ha_sufrido_ansiedad
##  Length   :100      
##  N.unique :  2      
##  N.blank  :  0      
##  Min.nchar:  2      
##  Max.nchar:  2      
##

6 Estimación por Intervalos de Confianza

6.1 Intervalo de confianza para una media

Contexto: el nivel de estrés percibido influye fuertemente en la salud mental de la población adulta. Conocer su valor promedio poblacional permite dimensionar el problema y diseñar estrategias de intervención.

Pregunta estadística: ¿Entre qué valores se encuentra, con un 95% de confianza, el nivel promedio de estrés de la población?

Parámetro de interés: \(\mu_{estres}\) = media poblacional del nivel de estrés.

Fórmula: \[IC(\mu) = \bar{x} \pm t_{(gl,\ \alpha/2)} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}\]

## n = 100
## Media muestral (x_barra) = 5.59
## Desviacion estandar (s) = 2.8572
## Grados de libertad = 99
## Error estandar (EE) = 0.2857
## Valor critico t = 1.9842
## Margen de error (ME) = 0.5669
## IC 95% (media) = ( 5.023 ; 6.157 )
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos$nivel_estres
## t = 19.565, df = 99, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  5.023071 6.156929
## sample estimates:
## mean of x 
##      5.59

Interpretación: con un 95% de confianza, el nivel promedio de estrés de la población se encuentra entre 5.02 y 6.16 puntos (escala 1-10). La estimación puntual (\(\bar{x}\) = 5.59) sugiere un nivel moderado; el intervalo aporta el margen de error y la certeza estadística sobre el rango plausible del verdadero promedio poblacional.

6.2 Intervalo de confianza para una proporción

Contexto: la ansiedad es uno de los trastornos de salud mental más frecuentes. Estimar su proporción poblacional permite dimensionar el problema y orientar políticas de prevención.

Pregunta estadística: ¿Cuál es la proporción poblacional de personas que han sufrido ansiedad, con un 95% de confianza?

Parámetro de interés: \(p\) = proporción poblacional de personas con ansiedad.

Fórmula: \[IC(p) = \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \qquad \hat{p}=\dfrac{x}{n}\]

## x (exitos) = 55  | n = 100
## Proporcion muestral (p_gorro) = 0.55
## Error estandar (EE) = 0.0497
## Valor critico Z = 1.96
## Margen de error (ME) = 0.0975
## IC 95% (proporcion) = ( 0.4525 ; 0.6475 )
## En porcentaje: ( 45.2 % ; 64.8 % )
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x_exito out of n2, null probability 0.5
## X-squared = 1, df = 1, p-value = 0.3173
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.4524460 0.6438546
## sample estimates:
##    p 
## 0.55

Interpretación: con un 95% de confianza, la proporción poblacional de personas que han sufrido ansiedad se ubica entre 45.2% y 64.8%. Incluso en el escenario más conservador, casi la mitad de la población estaría afectada, lo cual resalta la relevancia del problema.

6.3 Intervalo de confianza para una varianza

Contexto: más allá del promedio, interesa conocer qué tan homogénea es la calidad del sueño en la población, para identificar posibles subgrupos con experiencias distintas.

Pregunta estadística: ¿Entre qué valores se encuentra, con un 95% de confianza, la varianza poblacional de la calidad del sueño?

Parámetro de interés: \(\sigma^2\) = varianza poblacional de la calidad del sueño.

Fórmula: \[IC(\sigma^2) = \left[\ \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(\alpha/2,\ gl)}} \ ;\ \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(1-\alpha/2,\ gl)}} \ \right]\]

## n = 100  | Varianza muestral (s^2) = 8.6435
## gl = 99
## chi2(0.975, 99 ) = 128.422
## chi2(0.025, 99 ) = 73.3611
## IC 95% (sigma^2) = ( 6.6633 ; 11.6644 )
## IC 95% (sigma)   = ( 2.5813 ; 3.4153 )

Interpretación: con un 95% de confianza, la varianza poblacional de la calidad del sueño se encuentra entre 6.66 y 11.66, equivalente a una desviación estándar poblacional entre 2.58 y 3.42 puntos, evidenciando una dispersión considerable en la población.

6.4 Intervalo de comparación: diferencia de dos medias independientes

Contexto: interesa evaluar si las personas que han sufrido ansiedad reportan una satisfacción con la vida distinta a quienes no la han sufrido.

Pregunta estadística: ¿Existe una diferencia, con un 95% de confianza, entre la satisfacción con la vida promedio de ambos grupos?

Parámetro de interés: \(\mu_1-\mu_2\) = diferencia entre las medias poblacionales (sin ansiedad vs. con ansiedad).

Fórmula (varianzas iguales): \[IC(\mu_1-\mu_2) = (\bar{x}_1-\bar{x}_2) \pm t_{(gl,\ \alpha/2)} \cdot S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} \qquad S_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\]

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  grupo_no and grupo_si
## F = 0.97976, num df = 44, denom df = 54, p-value = 0.9514
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.5589291 1.7464204
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.9797641
## Grupo 'No':  n= 45  media= 6.1556  var= 7.2707
## Grupo 'Si':  n= 55  media= 5.3636  var= 7.4209
## Sp^2 = 7.3535  | Sp = 2.7117
## Error estandar de la diferencia = 0.5451
## gl = 98  | t critico = 1.9845
## Diferencia de medias = 0.7919
## Margen de error = 1.0817
## IC 95% (diferencia de medias) = ( -0.2898 ; 1.8736 )
## Tamano del efecto (d de Cohen) = 0.292
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  grupo_no and grupo_si
## t = 1.4529, df = 98, p-value = 0.1495
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.2897689  1.8736073
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  6.155556  5.363636

Interpretación: con un 95% de confianza, la diferencia entre la satisfacción con la vida de quienes no han sufrido ansiedad y quienes sí la han sufrido se encuentra entre -0.29 y 1.87 puntos. Como este intervalo incluye el cero, no hay evidencia suficiente para afirmar una diferencia poblacional real; el tamaño del efecto (d = 0.29) confirma que, de existir, sería de magnitud pequeña.

7 Gráficos exploratorios

8 Verificación de supuestos estadísticos

La validez de los intervalos basados en la distribución t de Student y chi-cuadrado depende del supuesto de normalidad. Se verifica mediante la prueba de Shapiro-Wilk y gráficos Q-Q, ambas disponibles en el paquete base de R (sin necesidad de instalar nada adicional).

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$nivel_estres
## W = 0.93582, p-value = 0.0001082
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$calidad_sueno
## W = 0.92535, p-value = 2.737e-05
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$satisfaccion_vida
## W = 0.94141, p-value = 0.0002354

Discusión del supuesto: las tres variables presentan valores p menores a 0.05 en la prueba de Shapiro-Wilk, indicando una desviación significativa de la normalidad, esperable en escalas Likert discretas. Sin embargo, gracias al Teorema del Límite Central y al tamaño de muestra (n=100), la distribución muestral de las medias se aproxima razonablemente a la normal, lo que permite sostener el uso robusto de la distribución t de Student. Adicionalmente, la prueba F (sección anterior) no encontró evidencia para rechazar la igualdad de varianzas entre los grupos comparados, respaldando el uso del procedimiento de varianzas iguales (pooled).

9 Resultados e interpretación (resumen)

Resumen de los intervalos de confianza construidos
Parámetro Estimación puntual Límite inferior Límite superior Confianza
Media estres (mu) 5.59 5.023 6.157 95%
Proporcion ansiedad (p) 0.55 0.452 0.648 95%
Varianza sueno (sigma2) 8.64 6.663 11.664 95%
Diferencia medias (mu1-mu2) 0.79 -0.290 1.874 95%

10 Conclusiones

  1. En respuesta a la pregunta problema planteada, se logró determinar los valores plausibles de los principales parámetros poblacionales del bienestar psicológico: el nivel promedio de estrés se ubica entre 5.02 y 6.16 puntos, la proporción de personas con ansiedad entre 45.2% y 64.8%, y la variabilidad de la calidad del sueño (desviación estándar) entre 2.58 y 3.42 puntos, caracterizando de forma integral a la población representada por la muestra.

  2. Se cumplió el objetivo general del taller al estimar mediante intervalos de confianza al 95% los parámetros poblacionales asociados a las variables de bienestar psicológico seleccionadas, complementando cada estimación puntual con su margen de error respectivo.

  3. Los resultados evidencian que el estrés y la ansiedad no son fenómenos marginales en la población estudiada: incluso en el escenario más conservador, una proporción considerable de la población habría experimentado ansiedad, resaltando la importancia de fortalecer estrategias de prevención en salud mental.

  4. Al comparar la satisfacción con la vida entre quienes han sufrido ansiedad y quienes no, el intervalo de confianza incluyó el valor cero, por lo que no se encontró evidencia estadística suficiente de una diferencia poblacional real; el tamaño del efecto (d de Cohen = 0.29) confirmó que, de existir, sería de magnitud pequeña.

  5. La verificación de supuestos mostró que, aunque las variables no cumplen estrictamente el supuesto de normalidad, el tamaño de muestra permite sostener el uso robusto de la distribución t de Student gracias al Teorema del Límite Central, validando metodológicamente los intervalos de confianza construidos y respondiendo de manera integral al objetivo de este taller.

11 Referencias

Barraza, A., Contreras, K., & Loera, N. (2023). Estrés académico y bienestar psicológico en estudiantes universitarios. Revista PIAA.

Kronholm, E., Härmä, M., Hublin, C., Aro, A. R., & Partonen, T. (2009). Prevalencia y determinantes de la insatisfacción con la vida asociada a la mala calidad del sueño en gemelos finlandeses. American Journal of Epidemiology, 169(2), 206-213. https://doi.org/10.1093/aje/kwn305

Organización Mundial de la Salud. (2025). World mental health today [Informe técnico]. https://www.who.int/es/news/item/02-09-2025-over-a-billion-people-living-with-mental-health-conditions-services-require-urgent-scale-up

Revista Horizontes. (2024). La ansiedad y el bienestar psicológico en estudiantes universitarios. Revista Horizontes: Revista de Investigación en Ciencias de la Educación.

Rincón, L. (2025). Estadística inferencial. Universidad del Norte.

Ryff, C. D. (1989). Happiness is everything, or is it? Explorations on the meaning of psychological well-being. Journal of Personality and Social Psychology, 57(6), 1069-1081. https://doi.org/10.1037/0022-3514.57.6.1069

12 Declaración de uso de Inteligencia Artificial

Como parte de las buenas prácticas de transparencia académica, se declara a continuación el uso de herramientas de Inteligencia Artificial (IA) en el desarrollo del presente informe.

Declaración de uso de Inteligencia Artificial
Aspecto Detalle
¿Se utilizó Inteligencia Artificial? Sí
Herramienta utilizada LucIA
Finalidad de uso Escribir los códigos necesarios para la realización del trabajo y búsqueda de referencias.
Porcentaje estimado de utilización 30%