1. Population et échantillon

Une population est la collection complète d’objets ou d’individus partageant des caractéristiques communes. Ces objets sont appelés des individus ou unités statistiques.

La statistique traite des propriétés des population ou des sous-populations.

L’étude de tous les individus d’une population finie est nommée recensement.

Dans la pratique, la population est souvent trop vaste pour être observée exhaustivement. On procède donc à un sondage, c’est-à-dire à l’observation d’une partie seulement de la population : l’échantillon. L’échantillon est donc la partie étudiée du sondage.

2. Variables statistiques

Chaque individu d’une population est décrit par un ensemble de variables qui peuvent être :

• Quantitatives : s’exprimant par des nombres réels sur lesquels les opérations arithmétiques courantes (somme, moyenne, variance) ont un sens.
  • Discrètes : nombre fini ou dénombrable de valeurs possibles.
  • Continues : Toutes les valeurs d’un intervalle \(\mathbb{R}\) sont acceptables.
  • Exemple de variables quantitatives :nombre d’enfants, taille, poids, PIB.
• Qualitatives : appartenance des observations à des des modalités ou catégories d’un ensemble fini.
  • Nominales : sans ordre entre les modalités (ex. : couleur des yeux, région).
  • Ordinales : avec un ordre entre les modalités

Corrigé attendu

3. Tableaux de données

Les données sont souvent présentées sous forme de tableau statistique où : - chaque ligne correspond à un individu ; - chaque colonne correspond à une variable.

Quand on observe uniquement des variables numériques, le tableau prend la forme d’une matrice à nlignes (nombre d’individus) et k colonnes (nombre de variables).

\[ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1j} & \dots & x_{1k} \\\\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2j} & \dots & x_{2k} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\\\ x_{i1} & x_{i2} & \dots & x_{ij} & \dots & x_{ik} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ x_{n1} & x_{n2} & \dots & x_{nj} & \dots & x_{nk} \end{bmatrix} \]

Lorsque les variables sont toutes qualitatives, on représente les données sous la forme d’un tableau disjonctif pour lequel \(x_{i,j}\) désigne le numéro de la catégorie de la variable j à laquelle appartient l’individu i est le tableau des codages réduits. Le tableau disjonctif est constitué de la façon suivante : à toute variable à m catégories, on substitut un ensemble de \(m_j\) variables valant 0 ou 1 (les indicatrices des catégories).

Exemple : Passage d’un tableau de données qualitatives à un tableau disjonctif complet

Pour un tableau 5x3 avec 3 variables qui prennent respectivement 2, 3 et 2 modalités.

Tableau de base :

\[ \begin{array}{c|ccc} & V_1 & V_2 & V_3 \\\\ \hline i_1 & 1 & 1 & 1 \\\\ i_2 & 2 & 2 & 2 \\\\ i_3 & 1 & 3 & 1 \\\\ i_4 & 2 & 1 & 1 \\\\ i_5 & 1 & 2 & 2 \\\\ \end{array} \]

Tableau disjonctif complet correspondant :

\[ \begin{array}{c|cc|ccc|cc} & V1\_1 & V1\_2 & V2\_1 & V2\_2 & V2\_3 & V3\_1 & V3\_2 \\\\ \hline i_1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ i_2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ i_3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ i_4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ i_5 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ \end{array} \]

Le tableau de contingence est un tableau croisé qui résulte d’un premier traitement et fourni la ventilation des n individus selon deux variables qualitatives à \(m_1\) et \(m_2\) modalités.

\[ \begin{array}{c|cccc|c} & y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{m_{2}} & \text{Total} \\ \hline x_{1} & n_{11} & n_{12} & \cdots & n_{1\,m_{2}} & n_{1\cdot} \\ x_{2} & n_{21} & n_{22} & \cdots & n_{2\,m_{2}} & n_{2\cdot} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_{m_{1}} & n_{m_{1}1} & n_{m_{1}2} & \cdots & n_{m_{1}m_{2}} & n_{m_{1}\cdot} \\ \hline \text{Total} & n_{\cdot 1} & n_{\cdot 2} & \cdots & n_{\cdot m_{2}} & n \end{array} \] Avec \(n_ij\) le nombre d’individus appartenant simultanément aux catégories i et j des deux variables.

Exemple : Choix de transport selon le genre

\[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{Voiture} & \text{Transports en commun} & \text{Marche} & \text{Total} \\ \hline \text{Femme} & 50 & 40 & 15 & 105 \\ \text{Homme} & 60 & 25 & 10 & 95 \\ \hline \text{Total} & 110 & 65 & 25 & 200 \end{array} \]

1. Principaux indicateurs du centre d’une variable

Elles sont introduites par Pythagore (\(VI^e\) siècle avant J-C) à partir d’analyses géométriques. Ce sont la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique, la moyenne harmonique et la moyenne quadratique).

a. Moyenne arithmétique

Cette moyenne est centrale dans le cadre de l’analyse des données. La moyenne donne une tendance générale, un résumé compact de l’ensemble des observations : - Elle permet de comparer facilement des groupes (ex. : revenu moyen, âge moyen, rendement moyen). - Elle rend les données comparables dans le temps ou entre populations. - C’est souvent le premier indicateur utilisé dans tout diagnostic ou analyse exploratoire.

Pour une variable quantitative \(X\) observée sur \(N\) individus si tous les indivdus ont le même poids:

\[ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]

\[ \bar{x}_p = \sum_{i=1}^{N} p_i x_i \quad \text{où} \quad \sum p_i = 1 \] Exemple : trois étudiants ont obtenu les notes suivantes :

\[ x_1 = 12, \quad x_2 = 15, \quad x_3 = 9 \]

\[ \bar{x} = \frac{12 + 15 + 9}{3} = 12 \] La moyenne pondérée avec des poids \(p_i\) différents pour i = 1, …, N. On norme les poids de sorte que \(\sum p_i = 1\). Par exemple en pondérant les individus en fonction de leur effectif par rapport à l’effectif total.

# Données
notes <- data.frame(
  Matière = c("Mathématiques", "Économie", "Statistiques"),
  Note = c(10, 14, 16),
  Coefficient = c(3, 2, 1)
)

# Affichage tableau + total des coeffs
knitr::kable(
  rbind(
    notes,
    data.frame(Matière = "**Total des coefficients**", Note = "", Coefficient = sum(notes$Coefficient))
  ),
  caption = "Exemple de notes et coefficients pour la moyenne pondérée",
  align = c("l","c","c"),
  format = "html"
)

# Moyenne pondérée
notes <- c(10, 14, 16)
coeff <- c(3, 2, 1)

moyenne_ponderee <- weighted.mean(notes, coeff)
moyenne_ponderee

[1] 12.33333

\[ \bar{x}_p = \frac{10\times3 + 14\times2 + 16\times1}{3+2+1} = \frac{74}{6} \approx 12{,}33 \]

b. Le centre de gravité

Le centre de gravité d’un nuage de points découle directement de la notion de moyenne arithmétique quand on considère un ensemble de variables. Si on calcule la moyenne arithmétique de chaque variable d’une matrice Z quelconque :

\[ Z \;=\; \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1k} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{N1} & z_{N2} & \cdots & z_{Nk} \\ \hline \bar z_{1} & \bar z_{2} & \cdots & \bar z_{k} \end{bmatrix} \quad\text{avec}\quad \bar z_{j}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} z_{ij}. \] Le centre de gravité G est le vecteur dont les coordonnées sont l’ensemble des moyennes du jeu de données. \[G = (\bar z_{1}, \bar z_{2}, ..., \bar z_{j}, ..., \bar z_{k})\]

Exemple : \[ Z = \begin{bmatrix} 5 & 8 & 2 \\ 7 & 6 & 4 \\ 6 & 5 & 3 \\ \hline 6{,}0 & 6{,}3 & 3{,}0 \end{bmatrix} \quad\text{où}\quad \begin{cases} \bar{z}_1 = \dfrac{5 + 7 + 6}{3} = 6{,}0 \\\\[6pt] \bar{z}_2 = \dfrac{8 + 6 + 5}{3} = 6{,}3 \\\\[6pt] \bar{z}_3 = \dfrac{2 + 4 + 3}{3} = 3{,}0 \end{cases} \] \(G = (6 ; 6.3 ; 3)\)

G étant le concept de moyenne arithmétique dans le cadre d’une analyse multidimensionnelle.

On peut représenter les individus à partir de leurs coordonnées sur les variables dans un nuage de points (représentation des observation dans l’espace) à deux dimensions. Exemple d’un jeu de données composé de 3 individus et de 2 variables.

Exemple : représentation des individus et du centre de gravité dans le plan (z₁, z₂)

On considère trois individus décrits et deux variables ( z_1 ) et ( z_2 ) :

\[ Z = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 3 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} \quad\text{avec}\quad \begin{cases} \bar{z}_1 = \dfrac{2 + 4 + 6}{3} = 4, \\ \bar{z}_2 = \dfrac{4 + 3 + 7}{3} = 4{,}67. \end{cases} \]

Le centre de gravité du nuage est donc : \[ G( \bar{z}_1, \bar{z}_2 ) = (4,\; 4{,}67) \]

Les méthodes d’analyse de données portent sur : - Le niveau de dispersion autour de G. - Les directions principales du nuage de points (celles qui expliquent la forme du nuage de points).

c. Médiane

La médiane est la valeur qui partage la distribution en deux parties égales : 50 % des observations sont inférieures ou égales à la médiane, 50 % sont supérieures.

Étapes du calcul

1 - Trier les valeurs de la variable dans l’ordre croissant : \[ x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)} \]

2 - Identifier le nombre total d’observations ( n ).

Cas 1 — Nombre impair d’observations

La médiane est la valeur centrale : \[ r = \frac{n + 1}{2} \] et donc : \[ \text{Médiane} = x_{(r)} \]

Exemple : \[ (3,\; 5,\; 7,\; 9,\; 11) \] Ici ( n = 5 ), donc ( r = 3 ).
Médiane = ( \(x_{3}\) = 7 )

Cas 2 — Nombre pair d’observations

Il n’y a pas de valeur centrale unique :
on prend la l’interval médian délimité par les deux valeurs centrales de la série triée :

\[ \text{Me} \in \left[ x_{(\frac{n}{2})} \; ; \; x_{(\frac{n}{2}+1)} \right] \]

Exemple : \[ (3,\; 5,\; 7,\; 9,\; 11,\; 13) \] L’intervalle médian est donc :

\(\text{Me} \in [ X_3 ; X_4 ]\)

\(\text{Me} \in [ 7 ; 9 ]\)

La médiane se trouve quelque part entre ces deux valeurs.

Remarque : Contrairement à la moyenne, la valeur de la médiane n’est pas influencée par les valeurs extrêmes, elle s’approche plus du centre des distributions asymétriques par rapport à la moyenne. Par exemple, le salaire net (EQTP) moyen en 2024 dans le secteur privé en France est de 2730 € alors que le salaire médian est de 2231 € (source : INSEE). Les hauts salaires tirent la moyenne vers le haut alors que le salaire médian est plus représentatif du niveau de vie typique.

d. Mode

Le mode est la valeur (ou modalité) la plus fréquente d’une variable. Il est particulièrement pertinent pour les variables qualitatives ou discrètes.

Exemple : Calcul du mode

On reprend le tableau de contingence suivant, qui présente le choix du mode de transport selon le sexe : \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{Voiture} & \text{Transports en commun} & \text{Marche} & \text{Total} \\ \hline \text{Femme} & 50 & 40 & 15 & 105 \\ \text{Homme} & 60 & 25 & 10 & 95 \\ \hline \text{Total} & 110 & 65 & 25 & 200 \end{array} \]

Nous cherchons à Déterminer le mode de transport le plus fréquent chez les femmes, c’est-à-dire la modalité la plus représentée de la variable Transport dans cette sous-population.

Étapes de calcul

1 - On observe les effectifs pour les femmes : [ = 50, = 40, = 15 ]

2 - On recherche la modalité ayant l’effectif le plus élevé : \[ max(50; 40; 14) = 50 \] 3 - Cette valeur correspond à la modalité « Voiture ».

# Effectifs par mode de transport pour les femmes
femmes <- c(Voiture = 50, Transports = 40, Marche = 30)

# Affichage
femmes

   Voiture Transports     Marche 
        50         40         30 

# Détermination du mode
mode_femmes <- names(femmes)[which.max(femmes)]
mode_femmes

[1] "Voiture"

2. Indicateurs de dispersion

a. Variance et écart-type

Après avoir mesurer le centre d’un variable, il est pertinent de connaître le niveau de dispersion des valeurs d’une variable \(z_j\) autour de moyenne \(\bar{z_j}\). Autrement dit : - Les observations d’une variable sont-elles proches ou éloignées de leur moyenne ? - Le nuage de point est-il plus ou moins dispersé autour de son centre de gravité ?

Remarque : l’écart d’un point par rapport au centre à pour formule :

\(z_{ij} - \bar{z_j}\)

pour tout i = 1, .., N

Pour connaître l’écart moyen, on ne peut pas calculer :

\[ Ecart(Z) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (z_ij - \bar{Z_j}) \] Car il existe des écarts positifs et négatifs à la moyenne. Ces écarts se compensent, faussant alors l’écart moyen. On doit donc remettre tous les écarts sous le même signe en élevant les écarts au carré. C’est en calculant la moyenne arithmétique des écart élevés au carré que l’on obtient la variance. \[ Var(Z) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (z_i - \bar{z})^2 \] \[ Var(Z) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} z_i^2 - \bar{z}^2 \] La variance est donc la moyenne des écarts.

Interprétation : - Plus Var(Z) est grande et plus les observations sont dispersées autour de la moyenne. - Si Var(Z) = 0, alors tous les individus ont la même valeurs, la moyenne. - Dans la deuxième expression de la variance : la variance est la différence entre la moyenne des carrés des valeurs et le carré de la moyenne des valeurs - Une variance faible indique une homogénéité des observations ; une variance élevée traduit une forte variabilité.

Exemple

On considère les valeurs suivantes :

\[ x = [2,\; 4,\; 4,\; 4,\; 5,\; 5,\; 7,\; 9] \]

1 Calcul de la moyenne :

\[\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5\]

2️ Calcul des écarts à la moyenne et de leurs carrés :

Somme des carrés

\[\sum (x_i - \bar{x})^2 = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 \]

Variance :

L’écart-type est la racine carrée de la variance :

\[ \sigma_Z = \sqrt{Var(Z)} \] \[ 0 \leq \sigma_Z < +\infty \] Interprétation : - Il exprime la dispersion dans les mêmes unités que la variable initiale. - plus \(\sigma_Z\) est grand, plus le nuage de popints est dispersé autour de G.

Suite de l’exemple :

Écart-type : \[ s = \sqrt{4} = 2 \]

Code R

# Données
x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)

# Moyenne
mean(x)

[1] 5

# Variance
var_pop <- mean((x - mean(x))^2)
var_pop

[1] 4

# Écart-type
sd_pop <- sqrt(var_pop)
sd_pop

[1] 2

En statistiques, la base de données représente souvent un échantillon. La variance et l’écart-type sont donc liés à l’échantillon et non à la population étudiée.On calcule alors la variance empirique, c’est à dire, la variance calculéesur une partie de la population (l’échantillon) qui peut etre différente de la variance réelle (la variance de la population). La variance empirique est un estimateur de la variance réelle, qui repose sur une loi de probabilité d’avoir la vraie valeur de la variance. L’estimateur non biaisé de la variance est alors : \[ S^2(Z) = \frac{N}{N-1} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (z_i - \bar{z})^2 \] \[ S^2(Z) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (z_i - \bar{z})^2 \] La différence entre Var(Z) et \(S^2(Z)\) est quasi nulle pour N grand.

L’écart-type non biaisé repose sur le calcul de la variance non biaisée \(S^2(Z)\) :

\[ \sqrt{S^2(Z)} = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (z_i - \bar{z})^2} \] #### Suite de l’exercice

\[ s^2(X) = \frac{32}{8 - 1} = \frac{32}{7} \approx 4{,}57 \] \[ \sqrt{S(X)} = \sqrt{4{,}57} \approx 2{,}14 \]

x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)

# Moyenne
mean(x)

[1] 5

# Variance empirique
var(x)

[1] 4.571429

# Écart-type empirique
sd(x)

[1] 2.13809

b. Coefficient de variation

Le coefficient de variation (CV) permet de comparer la dispersion de deux séries exprimées en unités différentes :

\[ CV = \frac{\sigma_Z}{\bar{Z}} \times 100 \] Interprétation : Le CV indique combien l’écart-type représente de pourcentage de la moyenne.
- Plus le CV est élevé, plus les valeurs de la variable sont éloignées de la moyenne → forte dispersion.
- À l’inverse, un CV faible indique que les valeurs sont regroupées autour de la moyenne → série homogène.

Interprétation usuelle

Exemple

On reprend le jeu de données :

\[ x = [2,\; 4,\; 4,\; 4,\; 5,\; 5,\; 7,\; 9] \]

On avait déjà calculé : \[ \bar{x} = 5 \quad\text{et}\quad s = 2{,}14 \] Calcul du coefficient de variation :

\[ CV = \frac{2{,}14}{5} \times 100 = 42{,}8\% \]

# Données
x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)

# Moyenne et écart-type empirique
moyenne <- mean(x)
ecart_type <- sd(x)

# Coefficient de variation (%)
CV <- (ecart_type / moyenne) * 100
CV

[1] 42.7618

Interprétation : - Le coefficient de variation est de 42,8 %, ce qui signifie que la dispersion des valeurs représente environ 43 % de la moyenne.
- La variable présente donc une dispersion importante : les valeurs sont assez éloignées de la moyenne

3. Représentations graphiques

Les représentations graphiques permettent de visualiser la distribution d’une variable et de mieux comprendre sa structure (tendance centrale, dispersion, asymétrie, valeurs atypiques…).

a - L’histogramme

L’histogramme est une représentation graphique utilisée pour les variables quantitatives continues.
Il découpe les valeurs de la variable en classes et représente, pour chaque classe, une aire proportionnelle à sa fréquence.

• Les rectangles sont juxtaposés, car les classes sont contiguës.
  
• L’axe des abscisses représente les valeurs ou les classes.
  
• L’axe des ordonnées représente les effectifs ou fréquences.

Interprétation • La forme de l’histogramme indique la symétrie ou la dissymétrie de la distribution. • Une forme centrée et équilibrée → distribution symétrique. • Une forme étirée à droite → distribution asymétrique à droite (valeurs élevées rares). • Une forme étirée à gauche → asymétrique à gauche.

Exemple 1

# Jeu de données
x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)

# Histogramme simple
hist(x,
     main = "Histogramme des valeurs de x",
     xlab = "Valeurs de x",
     ylab = "Fréquence",
     col = "lightblue",
     border = "white")

Exemple 2

# Simulation d'une distribution d'âges (en années)
set.seed(123)
age <- round(rnorm(100, mean = 40, sd = 12)) # moyenne 40 ans, écart-type 12

# Aperçu des premières valeurs
head(age)

[1] 33 37 59 41 42 61

hist(age,
     main = "Distribution des âges dans une population",
     xlab = "Âge (en années)",
     ylab = "Fréquence",
     col = "lightblue",
     border = "white",
     breaks = 10)

# Ajouter la moyenne
abline(v = mean(age), col = "red", lwd = 2, lty = 2)
legend("topright",
       legend = c("Moyenne"),
       col = c("red"),
       lty = c(2, 3), bty = "n")

• Diagramme en barres (variables qualitatives)
• Boîte à moustaches (boxplot) (analyse de la dispersion et des valeurs atypiques)
• Polygone des fréquences ou courbe des effectifs cumulés

Remarque

Un histogramme bien construit doit : • utiliser un nombre de classes raisonnable (ni trop, ni trop peu), • représenter des classes d’amplitude égale pour faciliter la lecture, • indiquer la moyenne et la médiane pour aider à l’interprétation.

b - Diagramme en barre

Le diagramme en barres est utilisé pour les variables qualitatives (ou quantitatives discrètes avec peu de valeurs). Chaque modalité est représentée par une barre séparée, dont la hauteur est proportionnelle à la fréquence #### Exemple

# Variable qualitative : mode de transport
transport <- c("Voiture", "Transports", "Marche")
effectifs <- c(50, 40, 30)

barplot(effectifs,
        names.arg = transport,
        main = "Diagramme en barres : mode de transport",
        ylab = "Effectifs",
        col = c("steelblue", "skyblue", "lightgray"))

Interprétation - Permet de comparer visuellement les fréquences des différentes modalités. - L’ordre des barres peut être alphabétique ou par fréquence décroissante (pour améliorer la lisibilité). - Les barres sont séparées : les catégories sont discrètes.

c - Boîte à Moustache (boxplot)

La boîte à moustaches (ou boxplot) est utilisée pour résumer la distribution d’une variable quantitative à l’aide de cinq valeurs clés :

• le minimum
• le premier quartile ( \(Q_1\) )
• la médiane ( \(Q_2\) )
• le troisième quartile ( \(Q_3\) )
• le maximum

boxplot(x,
        main = "Boîte à moustaches de la variable x",
        ylab = "Valeurs de x",
        col = "lightgreen")

# Ajouter la moyenne
points(mean(x), col = "red", pch = 19)

Interprétation

•   La boîte représente l’intervalle interquartile $[Q_1, Q_3]$, où se trouve 50 % des observations.
•   La médiane est représentée par une ligne à l’intérieur de la boîte.
•   Les moustaches s’étendent jusqu’aux valeurs extrêmes non atypiques.
•   Les points isolés représentent les valeurs aberrantes.

Note pour l’étudiant : L’analyse descriptive repose sur une logique d’observation et de synthèse. Elle ne cherche pas à expliquer les causes, mais à décrire les faits observés avec rigueur et clarté.