1. Cargar la primera serie: AirPassengers

Para el desarrollo de la tarea se utiliza inicialmente la serie de tiempo AirPassengers, que corresponde al número mensual de pasajeros de una aerolínea internacional entre los años 1949 y 1960

data("AirPassengers")  
AirPassengers
##      Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
## 1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
## 1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
## 1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
## 1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
## 1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
## 1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
## 1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
## 1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
## 1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
## 1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
## 1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

1.1 Análisis exploratorio de la serie AirPassengers

# Clase del objeto 
class(AirPassengers)
## [1] "ts"
# Frecuencia de observación 
frequency(AirPassengers) 
## [1] 12
# Inicio de la serie 
start(AirPassengers) 
## [1] 1949    1
# Final de la serie 
end(AirPassengers) 
## [1] 1960   12
# Número de observaciones 
length(AirPassengers)
## [1] 144

Los resultados obtenidos son:

- Clase: ts, es decir, un objeto de serie de tiempo de R.

- Frecuencia: 12 observaciones por año, debido a que los datos son mensuales.

- Inicio: enero de 1949.

- Final: diciembre de 1960.

- Número de observaciones: 144.

Por lo tanto, la serie contiene 12 años de información mensual, con un total de 144 observaciones.

1.2 Graficar AirPassengers

tsplot(
  AirPassengers,
  main = "Pasajeros internacionales de aerolíneas",
  ylab = "Miles de pasajeros"
)

La serie presenta una tendencia creciente a lo largo del tiempo. Además, se observa un comportamiento estacional, debido a que determinados meses presentan sistemáticamente mayores niveles de pasajeros que otros.

1.3 Analizar la estacionalidad

Como la serie es mensual, podemos observar el comportamiento de cada mes:

monthplot(AirPassengers,
          main = "Comportamiento mensual de AirPassengers")

boxplot(
  AirPassengers ~ cycle(AirPassengers),
  main = "Distribución mensual de pasajeros",
  xlab = "Mes",
  ylab = "Miles de pasajeros"
)

1.4 Interpretación

Las gráficas permiten identificar algunas características importantes de la serie temporal AirPassengers.

En el diagrama de cajas, se observa que la cantidad de pasajeros varía considerablemente entre los diferentes meses del año. Los meses correspondientes a la mitad del año presentan, en general, niveles superiores de pasajeros, mientras que al inicio y al final del año los valores tienden a ser menores. Esto evidencia la presencia de un patrón estacional.

Además, la dispersión de los datos no es constante entre los meses. En los meses con mayor número de pasajeros también se observa una mayor variabilidad, lo que puede indicar que la amplitud de la estacionalidad aumenta a medida que crece el nivel de la serie.

El monthplot permite observar con mayor claridad este comportamiento estacional. Se aprecia que cada año sigue un patrón similar: el número de pasajeros aumenta durante determinados meses, alcanza sus valores más altos aproximadamente a mitad del año y posteriormente disminuye.

En conjunto, estas gráficas sugieren que AirPassengers presenta principalmente:

  • Tendencia creciente: el número de pasajeros aumenta a través de los años.
  • Estacionalidad mensual: existe un comportamiento que se repite aproximadamente cada 12 meses.
  • Variabilidad creciente: la dispersión aumenta conforme aumenta el nivel de pasajeros.
  • Posible estacionalidad multiplicativa: las fluctuaciones estacionales parecen crecer proporcionalmente con el nivel de la serie.

1.5 Analizar autocorrelación con ASTSA

Para estudiar la dependencia temporal de la serie se calculan las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (PACF).

acf2(AirPassengers)

##      [,1]  [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## ACF  0.95  0.88 0.81 0.75 0.71 0.68 0.66 0.66 0.67  0.70  0.74  0.76  0.71
## PACF 0.95 -0.23 0.04 0.09 0.07 0.01 0.13 0.09 0.23  0.17  0.17 -0.14 -0.54
##      [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25]
## ACF   0.65  0.59  0.54  0.50  0.47  0.45  0.44  0.46  0.48  0.52  0.53  0.49
## PACF -0.03  0.09  0.02  0.03  0.07  0.05 -0.05  0.05 -0.10  0.05  0.05 -0.16
##      [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37]
## ACF   0.44  0.39  0.35  0.31  0.29  0.27  0.26  0.28  0.30  0.33  0.34  0.30
## PACF -0.04  0.07  0.01  0.01  0.02 -0.01 -0.02 -0.03 -0.01 -0.05  0.05 -0.07
##      [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48]
## ACF   0.25  0.21  0.17  0.14  0.11  0.09  0.08  0.09  0.10  0.12  0.13
## PACF  0.00  0.02 -0.09  0.00  0.02 -0.04  0.00 -0.04 -0.01 -0.01  0.02

La función de autocorrelación (ACF) presenta valores positivos y elevados en los primeros rezagos, con una disminución gradual a medida que aumenta el rezago. Este comportamiento indica una fuerte dependencia entre las observaciones consecutivas de la serie.

También se observan picos de autocorrelación alrededor de los rezagos 12, 24, 36 y 48. Debido a que AirPassengers es una serie mensual con frecuencia 12, estos rezagos representan períodos de uno, dos, tres y cuatro años, respectivamente. Esto proporciona evidencia de la presencia de un patrón estacional anual.

Por otra parte, la función de autocorrelación parcial (PACF) presenta un pico muy pronunciado en el primer rezago y posteriormente la mayoría de los valores se encuentran cercanos a cero, aunque aparecen algunos picos asociados a rezagos posteriores.

En conjunto, el comportamiento de la ACF y PACF evidencia que la serie posee una importante dependencia temporal y un componente estacional. Además, la disminución lenta de la ACF es consistente con la tendencia creciente observada anteriormente.

Por lo tanto, AirPassengers no presenta un comportamiento estacionario y resulta apropiado considerar métodos de suavización que permitan incorporar la tendencia y la estacionalidad, particularmente el método de Holt-Winters.

1.6 Convertir la serie a xts

air_xts <- as.xts(AirPassengers)

class(air_xts)
## [1] "xts" "zoo"
air_xts <- as.xts(AirPassengers)

class(air_xts)
## [1] "xts" "zoo"
plot(
  air_xts,
  main = "AirPassengers - formato xts"
)

1.7 Promedio móvil simple

El promedio móvil simple es una técnica de suavización que calcula el promedio de un número determinado de observaciones consecutivas. Su objetivo es reducir las fluctuaciones de corto plazo y facilitar la identificación de la tendencia de la serie.

Para la serie AirPassengers se consideran promedios móviles de orden 3 y 12. El orden 3 permite observar una suavización de corto plazo, mientras que el orden 12 resulta especialmente interesante porque la serie contiene observaciones mensuales y presenta una estacionalidad anual.

1.7.1 Primero un promedio móvil de orden 3.

ma3 <- rollmean(
  air_xts,
  k = 3,
  align = "center",
  fill = NA
)

plot(
  air_xts,
  main = "AirPassengers - Promedio móvil de orden 3"
)

lines(ma3)

El promedio móvil de orden 3 suaviza las variaciones mensuales de la serie, pero conserva gran parte de los movimientos de corto plazo. Al comparar la serie original con el promedio móvil, se observa una trayectoria más suave, aunque todavía se mantienen las fluctuaciones asociadas al comportamiento estacional.

1.7.2 También podemos probar un promedio móvil de 12 meses:

ma12 <- rollmean(
  air_xts,
  k = 12,
  align = "center",
  fill = NA
)

ma12 <- rollmean(
  air_xts,
  k = 12,
  align = "center",
  fill = NA
)

plot(
  air_xts,
  main = "AirPassengers - Promedio móvil de 12 meses"
)

lines(ma12)

El promedio móvil de 12 meses permite suavizar las fluctuaciones mensuales de la serie AirPassengers, utilizando una ventana equivalente a un año.

En la gráfica se observa que la curva suavizada sigue claramente la tendencia creciente del número de pasajeros durante el período 1949-1960. Al mismo tiempo, las fluctuaciones estacionales que se observan en la serie original se reducen considerablemente.

Esto permite identificar que el promedio móvil de 12 meses es útil para representar la tendencia de largo plazo de la serie. Sin embargo, al suavizar las variaciones estacionales, pierde información importante para realizar pronósticos mensuales.

Además, debido a que se utiliza un promedio móvil centrado, no se obtienen valores suavizados para los extremos de la serie. Esto explica la ausencia de la línea suavizada al comienzo y al final del período.

En consecuencia, aunque el promedio móvil permite visualizar adecuadamente la tendencia, será necesario utilizar métodos que incorporen explícitamente la tendencia y la estacionalidad para obtener mejores pronósticos. En las siguientes secciones se aplicarán la suavización exponencial simple, el método de Holt y el método de Holt-Winters.

1.7.3 Comparación entre los promedios móviles

Característica Promedio móvil MA(3) Promedio móvil MA(12)
Orden 3 meses 12 meses
Nivel de suavización Bajo Alto
Sensibilidad a cambios recientes Alta Baja
Fluctuaciones estacionales Se conservan parcialmente Se reducen considerablemente
Tendencia Se observa, pero con fluctuaciones Se observa con mayor claridad
Información de corto plazo Conserva más información Pierde mayor información
Valores en los extremos Presenta NA Presenta NA
Utilidad principal Analizar movimientos de corto plazo Identificar tendencia de largo plazo

1.8 Suavización exponencial simple

La suavización exponencial simple (SES) es un método de pronóstico que asigna mayor peso a las observaciones más recientes y pesos progresivamente menores a las observaciones anteriores.

Este método es apropiado principalmente para series que no presentan una tendencia ni un patrón estacional claramente definido. En este caso se aplica a AirPassengers como punto de comparación con los métodos posteriores.

# HoltWinters

modelo_ses <- HoltWinters(
  AirPassengers,
  beta = FALSE,
  gamma = FALSE
)

1.8.1 Parámetro de suavización

El modelo estima un valor de:

\[ alpha = 0.9999339\]

El parámetro alpha controla el peso asignado a la observación más reciente. Su valor se encuentra muy cercano a 1, lo que indica que el modelo asigna un peso muy elevado a las observaciones recientes.

Esto hace que el valor suavizado responda rápidamente a los cambios observados en la serie.

1.8.2 Valores ajustados

modelo_ses
## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = AirPassengers, beta = FALSE, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.9999339
##  beta : FALSE
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##       [,1]
## a 431.9972
head(modelo_ses$fitted)
##              xhat    level
## Feb 1949 112.0000 112.0000
## Mar 1949 117.9996 117.9996
## Apr 1949 131.9991 131.9991
## May 1949 129.0002 129.0002
## Jun 1949 121.0005 121.0005
## Jul 1949 134.9991 134.9991
plot(
  modelo_ses,
  main = "Suavización exponencial simple"
)

Los valores ajustados muestran que la suavización exponencial simple sigue de cerca las observaciones originales debido al elevado valor estimado de alpha.

En la gráfica se observa que los valores ajustados siguen de cerca la serie original. Sin embargo, la suavización exponencial simple no incorpora explícitamente ni la tendencia ni la estacionalidad.

Esto constituye una limitación importante para AirPassengers, ya que en el análisis exploratorio se identificó una tendencia creciente y un patrón estacional anual.

Por esta razón, aunque la suavización exponencial simple permite obtener valores ajustados cercanos a las observaciones, no es el método más adecuado para representar completamente la estructura de esta serie.

En consecuencia, se procede a aplicar el método de Holt, que incorpora un componente de tendencia, y posteriormente el método de Holt-Winters, que permite incorporar tanto tendencia como estacionalidad.

1.9 Método de Holt

El método de Holt es una extensión de la suavización exponencial simple que permite incorporar un componente de tendencia. Por esta razón, resulta más apropiado que la suavización exponencial simple cuando la serie presenta un crecimiento o decrecimiento sistemático a lo largo del tiempo.

En este caso, se aplica el método de Holt a la serie AirPassengers. Se mantiene desactivado el componente estacional mediante gamma = FALSE.

modelo_holt <- HoltWinters(
  AirPassengers,
  gamma = FALSE
)

modelo_holt
## Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = AirPassengers, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 1
##  beta : 0.003218516
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##         [,1]
## a 432.000000
## b   4.597605

1.9.1 Parámetros estimados

El modelo obtiene los siguientes parámetros:

\[alpha = 1\] \[beta = 0.003218516\] \[gamma = FALSE\]

El parámetro alpha toma un valor igual a 1, lo que indica que el nivel del modelo se actualiza dando un peso muy elevado a la información más reciente.

Por otra parte, el parámetro beta presenta un valor relativamente pequeño (0.0032), lo que indica que el componente de tendencia se actualiza de manera gradual.

El modelo estima además los siguientes componentes iniciales:

  • Nivel: a = 432
  • Tendencia: b = 4.597605

La tendencia estimada es positiva, lo que es consistente con el crecimiento observado en el número de pasajeros durante el período analizado.

1.9.2 Valores ajustados

plot(
  modelo_holt,
  main = "Método de Holt"
)

holt_ajustado <- modelo_holt$fitted[, "xhat"]

head(holt_ajustado)
##           Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 1949 124.0000 138.0257 134.9967 126.9517 140.9776 154.0002

La gráfica muestra que el método de Holt consigue seguir la tendencia creciente de AirPassengers mejor que la suavización exponencial simple, debido a que incorpora explícitamente un componente de tendencia.

Sin embargo, todavía se observan diferencias importantes entre los valores observados y los valores ajustados, especialmente en los máximos y mínimos que se repiten anualmente.

Esto ocurre porque el método de Holt no incorpora un componente estacional. Por lo tanto, aunque consigue representar adecuadamente la tendencia creciente de la serie, no logra reproducir completamente las fluctuaciones estacionales.

Dado que AirPassengers presenta una tendencia creciente y una marcada estacionalidad anual, se espera que un método que incorpore ambos componentes pueda proporcionar un mejor ajuste. Por esta razón, el siguiente método a considerar es Holt-Winters.

1.10 Holt-Winters

El método de Holt-Winters extiende el método de Holt incorporando un componente estacional. Por lo tanto, permite modelar simultáneamente tres componentes de una serie temporal:

  • Nivel
  • Tendencia
  • Estacionalidad

Dado que AirPassengers presenta una tendencia creciente y un patrón estacional anual, este método resulta especialmente apropiado para su análisis.

1.10.1 Modelo Holt-Winters aditivo

Inicialmente se ajusta un modelo Holt-Winters con componente estacional aditivo.

modelo_hw <- HoltWinters(
  AirPassengers
)


modelo_hw$alpha
##     alpha 
## 0.2479595
modelo_hw$beta
##       beta 
## 0.03453373
modelo_hw$gamma
## gamma 
##     1
modelo_hw
## Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = AirPassengers)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.2479595
##  beta : 0.03453373
##  gamma: 1
## 
## Coefficients:
##           [,1]
## a   477.827781
## b     3.127627
## s1  -27.457685
## s2  -54.692464
## s3  -20.174608
## s4   12.919120
## s5   18.873607
## s6   75.294426
## s7  152.888368
## s8  134.613464
## s9   33.778349
## s10 -18.379060
## s11 -87.772408
## s12 -45.827781

El modelo obtenido presenta los siguientes parámetros de suavización:

\[ alpha = 0.2479595\]

\[ beta = 0.03453373\]

\[ gamma = 1.0000000\] El parámetro alpha controla la actualización del nivel, beta controla la actualización de la tendencia y gamma controla la actualización del componente estacional.

En este caso, gamma = 1 indica que el componente estacional se actualiza completamente con la información disponible en cada período.

1.10.2 Coeficientes estimados

El modelo obtiene:

  • Nivel inicial: 477.827781
  • Tendencia: 3.127627

Los valores s1 a s12 corresponden a los efectos estacionales asociados con los 12 meses del año.

plot(
  modelo_hw,
  main = "Modelo Holt-Winters - AirPassengers"
)

La gráfica muestra que el modelo Holt-Winters consigue seguir de manera más adecuada el comportamiento general de la serie. A diferencia de la suavización exponencial simple y del método de Holt, este modelo incorpora un componente estacional, permitiendo reproducir las fluctuaciones que se presentan aproximadamente cada 12 meses.

Se observa que los valores ajustados siguen tanto la tendencia creciente como buena parte de las oscilaciones estacionales de AirPassengers.

Por lo tanto, el método de Holt-Winters resulta más adecuado para representar la estructura de esta serie que los métodos que no incorporan estacionalidad.

Sin embargo, debido a que la amplitud de las fluctuaciones estacionales parece aumentar a medida que aumenta el nivel de la serie, también resulta conveniente evaluar un modelo Holt-Winters con estacionalidad multiplicativa.

1.11 Conclusión general – AirPassengers

En conclusión, el análisis de la serie AirPassengers permitió identificar una tendencia creciente, una estacionalidad mensual marcada y una variabilidad que aumenta a medida que crece el nivel de la serie. El promedio móvil permitió suavizar las fluctuaciones y visualizar con mayor claridad la tendencia, mientras que la suavización exponencial simple mostró una respuesta rápida a las observaciones recientes, aunque no incorpora explícitamente la tendencia ni la estacionalidad.

Por su parte, el método de Holt permitió representar mejor la tendencia creciente, pero presentó limitaciones para reproducir las fluctuaciones estacionales. Finalmente, el método de Holt-Winters permitió incorporar simultáneamente el nivel, la tendencia y la estacionalidad, por lo que resulta especialmente adecuado para representar el comportamiento observado en AirPassengers. En general, los métodos analizados muestran cómo la elección de una técnica de suavización debe considerar las características presentes en la serie temporal.

2. Cargar la segunda serie: Tasa de desempleo de Estados Unidos

Para la segunda parte del análisis se utiliza la serie UNRATE, correspondiente a la tasa de desempleo de Estados Unidos. La serie tiene frecuencia mensual y permite analizar la evolución de la tasa de desempleo a través del tiempo.

getSymbols(
  "UNRATE",
  src = "FRED"
)
## getSymbols.FRED: requests without an API key are not guaranteed to succeed.
## Register for a free key at https://fredaccount.stlouisfed.org/apikeys and set it with
## setDefaults(getSymbols.FRED, api.key = "your key").
## [1] "UNRATE"
UNRATE
##            UNRATE
## 1948-01-01    3.4
## 1948-02-01    3.8
## 1948-03-01    4.0
## 1948-04-01    3.9
## 1948-05-01    3.5
## 1948-06-01    3.6
## 1948-07-01    3.6
## 1948-08-01    3.9
## 1948-09-01    3.8
## 1948-10-01    3.7
##        ...       
## 2025-11-01    4.5
## 2025-12-01    4.4
## 2026-01-01    4.3
## 2026-02-01    4.4
## 2026-03-01    4.3
## 2026-04-01    4.3
## 2026-05-01    4.3
## 2026-06-01    4.2
## 2026-07-01    4.1
## 2026-08-01    4.1

2.1 Análisis exploratorio

class(UNRATE)
## [1] "xts" "zoo"
start(UNRATE)
## [1] "1948-01-01"
end(UNRATE)
## [1] "2026-08-01"
frequency(UNRATE)
## [1] 1
length(UNRATE)
## [1] 944
head(UNRATE)
##            UNRATE
## 1948-01-01    3.4
## 1948-02-01    3.8
## 1948-03-01    4.0
## 1948-04-01    3.9
## 1948-05-01    3.5
## 1948-06-01    3.6
tail(UNRATE)
##            UNRATE
## 2026-03-01    4.3
## 2026-04-01    4.3
## 2026-05-01    4.3
## 2026-06-01    4.2
## 2026-07-01    4.1
## 2026-08-01    4.1

La serie inicia en enero de 1948 y finaliza en agosto de 2026. Su frecuencia es 1, lo que indica que se dispone de una observación por mes. En total, la serie contiene 944 observaciones mensuales.

Al revisar las primeras observaciones, se observa que la tasa de desempleo fue de 3,4 % en enero de 1948, aumentó a 3,8 % en febrero y alcanzó 4,0 % en marzo, presentando posteriormente algunas fluctuaciones. Por otro lado, las últimas observaciones muestran que la tasa de desempleo fue de 4,3 % entre marzo y mayo de 2026, disminuyó a 4,2 % en junio y posteriormente a 4,1 % en julio y agosto de 2026.

En general, la serie presenta una amplia cobertura temporal, desde 1948 hasta 2026, con datos mensuales que permiten analizar la evolución de la tasa de desempleo a lo largo del tiempo.

2.2 Graficar la serie

unrate_ts <- ts(
  as.numeric(UNRATE),
  start = c(1948, 1),
  frequency = 12
)

tsplot(
  unrate_ts,
  main = "Tasa de desempleo de Estados Unidos",
  ylab = "Porcentaje"
)

La serie UNRATE presenta la evolución mensual de la tasa de desempleo de Estados Unidos entre 1948 y 2026. Se observa un comportamiento fluctuante, con diferentes períodos de aumento y disminución. Destacan los incrementos registrados durante la década de 1980 y alrededor de 2010, así como el máximo histórico observado en 2020, cuando la tasa superó el 14 %. Posteriormente, se evidencia una rápida disminución hasta alcanzar niveles cercanos al 4 % en los últimos años. En general, la serie presenta variaciones asociadas a diferentes ciclos económicos y períodos de mayor volatilidad.

2.3 Analizar la estacionalidad

monthplot(
  unrate_ts,
  main = "Comportamiento mensual de la tasa de desempleo",
  ylab = "Porcentaje"
)

El comportamiento mensual de la tasa de desempleo presenta fluctuaciones a lo largo de los diferentes meses del año. Se observan algunos valores extremos que superan el 10 %, aunque la mayor parte de las observaciones se concentra en niveles inferiores. No se evidencia una diferencia estacional muy marcada entre los meses, por lo que el comportamiento parece estar más relacionado con variaciones propias de los ciclos económicos que con un patrón mensual claramente definido.

boxplot(
  unrate_ts ~ cycle(unrate_ts),
  main = "Distribución mensual de la tasa de desempleo",
  xlab = "Mes",
  ylab = "Porcentaje"
)

Los diagramas de caja muestran que la distribución de la tasa de desempleo es relativamente similar entre los diferentes meses del año. Las medianas se encuentran en valores cercanos entre sí y los rangos intercuartílicos presentan una amplitud comparable. No obstante, se identifican varios valores atípicos, asociados principalmente a períodos de incrementos extraordinarios de la tasa de desempleo. En consecuencia, no se observa una estacionalidad mensual fuerte, aunque sí existen observaciones extremas que afectan la distribución de la serie.

En conjunto, los gráficos sugieren que no existe un patrón estacional mensual fuerte en la tasa de desempleo. Las diferencias entre meses son relativamente pequeñas en comparación con las variaciones que presenta la serie a través del tiempo. Por lo tanto, los cambios más importantes parecen estar asociados a ciclos o eventos económicos específicos, más que a la época del año.

2.4 Autocorrelación con ASTSA

acf2(unrate_ts)

##      [,1]  [,2] [,3]  [,4] [,5]  [,6] [,7]  [,8]  [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## ACF  0.97  0.94 0.91  0.88 0.85  0.82 0.79  0.76  0.73  0.70  0.67  0.65  0.62
## PACF 0.97 -0.06 0.03 -0.04 0.04 -0.04 0.01 -0.02 -0.03 -0.03  0.01 -0.03  0.02
##      [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25]
## ACF   0.59  0.57  0.54  0.52  0.50  0.48  0.46  0.44  0.43  0.41  0.39  0.38
## PACF -0.01 -0.01  0.01  0.00  0.02  0.00  0.02 -0.01  0.02 -0.04  0.03  0.00
##      [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37]
## ACF   0.37  0.35  0.34  0.33  0.32  0.30  0.29  0.28  0.27  0.25  0.24  0.23
## PACF  0.01 -0.02  0.00 -0.01  0.00 -0.01  0.00 -0.01  0.00 -0.01  0.01  0.02
##      [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48]
## ACF   0.22  0.21  0.21  0.20  0.19  0.18  0.18  0.17  0.17  0.16  0.16
## PACF  0.00  0.01  0.00 -0.01  0.02 -0.01  0.01 -0.01  0.03 -0.03  0.01

La función de autocorrelación muestra una fuerte dependencia temporal en la serie UNRATE. La ACF presenta un valor de 0.97 en el primer rezago y disminuye lentamente a medida que aumentan los rezagos, manteniéndose en 0.65 en el rezago 12 y 0.16 en el rezago 48. Este comportamiento indica que los valores actuales de la tasa de desempleo están fuertemente relacionados con sus valores pasados.

En contraste, la PACF presenta un valor elevado únicamente en el primer rezago (0.97), mientras que los rezagos posteriores presentan valores cercanos a cero. Este patrón, caracterizado por una ACF que decrece gradualmente y una PACF que presenta un corte después del primer rezago, es consistente con un posible comportamiento AR(1). Sin embargo, la elevada persistencia observada en la ACF también sugiere que la serie podría requerir un análisis adicional de estacionariedad antes de definir el modelo definitivo.

2.5 Convertir a ts

Para poder utilizar las funciones de astsa y trabajar explícitamente con frecuencia mensual:

unrate_ts <- ts(
  as.numeric(UNRATE),
  start = c(1948, 1),
  frequency = 12
)

unrate_ts
##       Jan  Feb  Mar  Apr  May  Jun  Jul  Aug  Sep  Oct  Nov  Dec
## 1948  3.4  3.8  4.0  3.9  3.5  3.6  3.6  3.9  3.8  3.7  3.8  4.0
## 1949  4.3  4.7  5.0  5.3  6.1  6.2  6.7  6.8  6.6  7.9  6.4  6.6
## 1950  6.5  6.4  6.3  5.8  5.5  5.4  5.0  4.5  4.4  4.2  4.2  4.3
## 1951  3.7  3.4  3.4  3.1  3.0  3.2  3.1  3.1  3.3  3.5  3.5  3.1
## 1952  3.2  3.1  2.9  2.9  3.0  3.0  3.2  3.4  3.1  3.0  2.8  2.7
## 1953  2.9  2.6  2.6  2.7  2.5  2.5  2.6  2.7  2.9  3.1  3.5  4.5
## 1954  4.9  5.2  5.7  5.9  5.9  5.6  5.8  6.0  6.1  5.7  5.3  5.0
## 1955  4.9  4.7  4.6  4.7  4.3  4.2  4.0  4.2  4.1  4.3  4.2  4.2
## 1956  4.0  3.9  4.2  4.0  4.3  4.3  4.4  4.1  3.9  3.9  4.3  4.2
## 1957  4.2  3.9  3.7  3.9  4.1  4.3  4.2  4.1  4.4  4.5  5.1  5.2
## 1958  5.8  6.4  6.7  7.4  7.4  7.3  7.5  7.4  7.1  6.7  6.2  6.2
## 1959  6.0  5.9  5.6  5.2  5.1  5.0  5.1  5.2  5.5  5.7  5.8  5.3
## 1960  5.2  4.8  5.4  5.2  5.1  5.4  5.5  5.6  5.5  6.1  6.1  6.6
## 1961  6.6  6.9  6.9  7.0  7.1  6.9  7.0  6.6  6.7  6.5  6.1  6.0
## 1962  5.8  5.5  5.6  5.6  5.5  5.5  5.4  5.7  5.6  5.4  5.7  5.5
## 1963  5.7  5.9  5.7  5.7  5.9  5.6  5.6  5.4  5.5  5.5  5.7  5.5
## 1964  5.6  5.4  5.4  5.3  5.1  5.2  4.9  5.0  5.1  5.1  4.8  5.0
## 1965  4.9  5.1  4.7  4.8  4.6  4.6  4.4  4.4  4.3  4.2  4.1  4.0
## 1966  4.0  3.8  3.8  3.8  3.9  3.8  3.8  3.8  3.7  3.7  3.6  3.8
## 1967  3.9  3.8  3.8  3.8  3.8  3.9  3.8  3.8  3.8  4.0  3.9  3.8
## 1968  3.7  3.8  3.7  3.5  3.5  3.7  3.7  3.5  3.4  3.4  3.4  3.4
## 1969  3.4  3.4  3.4  3.4  3.4  3.5  3.5  3.5  3.7  3.7  3.5  3.5
## 1970  3.9  4.2  4.4  4.6  4.8  4.9  5.0  5.1  5.4  5.5  5.9  6.1
## 1971  5.9  5.9  6.0  5.9  5.9  5.9  6.0  6.1  6.0  5.8  6.0  6.0
## 1972  5.8  5.7  5.8  5.7  5.7  5.7  5.6  5.6  5.5  5.6  5.3  5.2
## 1973  4.9  5.0  4.9  5.0  4.9  4.9  4.8  4.8  4.8  4.6  4.8  4.9
## 1974  5.1  5.2  5.1  5.1  5.1  5.4  5.5  5.5  5.9  6.0  6.6  7.2
## 1975  8.1  8.1  8.6  8.8  9.0  8.8  8.6  8.4  8.4  8.4  8.3  8.2
## 1976  7.9  7.7  7.6  7.7  7.4  7.6  7.8  7.8  7.6  7.7  7.8  7.8
## 1977  7.5  7.6  7.4  7.2  7.0  7.2  6.9  7.0  6.8  6.8  6.8  6.4
## 1978  6.4  6.3  6.3  6.1  6.0  5.9  6.2  5.9  6.0  5.8  5.9  6.0
## 1979  5.9  5.9  5.8  5.8  5.6  5.7  5.7  6.0  5.9  6.0  5.9  6.0
## 1980  6.3  6.3  6.3  6.9  7.5  7.6  7.8  7.7  7.5  7.5  7.5  7.2
## 1981  7.5  7.4  7.4  7.2  7.5  7.5  7.2  7.4  7.6  7.9  8.3  8.5
## 1982  8.6  8.9  9.0  9.3  9.4  9.6  9.8  9.8 10.1 10.4 10.8 10.8
## 1983 10.4 10.4 10.3 10.2 10.1 10.1  9.4  9.5  9.2  8.8  8.5  8.3
## 1984  8.0  7.8  7.8  7.7  7.4  7.2  7.5  7.5  7.3  7.4  7.2  7.3
## 1985  7.3  7.2  7.2  7.3  7.2  7.4  7.4  7.1  7.1  7.1  7.0  7.0
## 1986  6.7  7.2  7.2  7.1  7.2  7.2  7.0  6.9  7.0  7.0  6.9  6.6
## 1987  6.6  6.6  6.6  6.3  6.3  6.2  6.1  6.0  5.9  6.0  5.8  5.7
## 1988  5.7  5.7  5.7  5.4  5.6  5.4  5.4  5.6  5.4  5.4  5.3  5.3
## 1989  5.4  5.2  5.0  5.2  5.2  5.3  5.2  5.2  5.3  5.3  5.4  5.4
## 1990  5.4  5.3  5.2  5.4  5.4  5.2  5.5  5.7  5.9  5.9  6.2  6.3
## 1991  6.4  6.6  6.8  6.7  6.9  6.9  6.8  6.9  6.9  7.0  7.0  7.3
## 1992  7.3  7.4  7.4  7.4  7.6  7.8  7.7  7.6  7.6  7.3  7.4  7.4
## 1993  7.3  7.1  7.0  7.1  7.1  7.0  6.9  6.8  6.7  6.8  6.6  6.5
## 1994  6.6  6.6  6.5  6.4  6.1  6.1  6.1  6.0  5.9  5.8  5.6  5.5
## 1995  5.6  5.4  5.4  5.8  5.6  5.6  5.7  5.7  5.6  5.5  5.6  5.6
## 1996  5.6  5.5  5.5  5.6  5.6  5.3  5.5  5.1  5.2  5.2  5.4  5.4
## 1997  5.3  5.2  5.2  5.1  4.9  5.0  4.9  4.8  4.9  4.7  4.6  4.7
## 1998  4.6  4.6  4.7  4.3  4.4  4.5  4.5  4.5  4.6  4.5  4.4  4.4
## 1999  4.3  4.4  4.2  4.3  4.2  4.3  4.3  4.2  4.2  4.1  4.1  4.0
## 2000  4.0  4.1  4.0  3.8  4.0  4.0  4.0  4.1  3.9  3.9  3.9  3.9
## 2001  4.2  4.2  4.3  4.4  4.3  4.5  4.6  4.9  5.0  5.3  5.5  5.7
## 2002  5.7  5.7  5.7  5.9  5.8  5.8  5.8  5.7  5.7  5.7  5.9  6.0
## 2003  5.8  5.9  5.9  6.0  6.1  6.3  6.2  6.1  6.1  6.0  5.8  5.7
## 2004  5.7  5.6  5.8  5.6  5.6  5.6  5.5  5.4  5.4  5.5  5.4  5.4
## 2005  5.3  5.4  5.2  5.2  5.1  5.0  5.0  4.9  5.0  5.0  5.0  4.9
## 2006  4.7  4.8  4.7  4.7  4.6  4.6  4.7  4.7  4.5  4.4  4.5  4.4
## 2007  4.6  4.5  4.4  4.5  4.4  4.6  4.7  4.6  4.7  4.7  4.7  5.0
## 2008  5.0  4.9  5.1  5.0  5.4  5.6  5.8  6.1  6.1  6.5  6.8  7.3
## 2009  7.8  8.3  8.7  9.0  9.4  9.5  9.5  9.6  9.8 10.0  9.9  9.9
## 2010  9.8  9.8  9.9  9.9  9.6  9.4  9.4  9.5  9.5  9.4  9.8  9.3
## 2011  9.1  9.0  9.0  9.1  9.0  9.1  9.0  9.0  9.0  8.8  8.6  8.5
## 2012  8.3  8.3  8.2  8.2  8.2  8.2  8.2  8.1  7.8  7.8  7.7  7.9
## 2013  8.0  7.7  7.5  7.6  7.5  7.5  7.3  7.2  7.2  7.2  6.9  6.7
## 2014  6.6  6.7  6.7  6.2  6.3  6.1  6.2  6.1  5.9  5.7  5.8  5.6
## 2015  5.7  5.5  5.4  5.4  5.6  5.3  5.2  5.1  5.0  5.0  5.1  5.0
## 2016  4.8  4.9  5.0  5.1  4.8  4.9  4.8  4.9  5.0  4.9  4.7  4.7
## 2017  4.7  4.6  4.4  4.4  4.4  4.3  4.3  4.4  4.3  4.2  4.2  4.1
## 2018  4.0  4.1  4.0  4.0  3.8  4.0  3.8  3.8  3.7  3.8  3.8  3.9
## 2019  4.0  3.8  3.8  3.7  3.6  3.6  3.7  3.6  3.5  3.6  3.6  3.6
## 2020  3.6  3.5  4.4 14.8 13.2 11.0 10.2  8.4  7.8  6.9  6.7  6.7
## 2021  6.4  6.2  6.1  6.1  5.8  5.9  5.4  5.1  4.7  4.5  4.1  3.9
## 2022  4.0  3.9  3.7  3.7  3.6  3.6  3.5  3.6  3.5  3.6  3.6  3.5
## 2023  3.5  3.6  3.5  3.4  3.6  3.6  3.5  3.7  3.7  3.9  3.7  3.8
## 2024  3.7  3.9  3.9  3.9  3.9  4.1  4.2  4.2  4.1  4.1  4.2  4.1
## 2025  4.0  4.2  4.2  4.2  4.3  4.1  4.3  4.3  4.4   NA  4.5  4.4
## 2026  4.3  4.4  4.3  4.3  4.3  4.2  4.1  4.1
frequency(unrate_ts)
## [1] 12
start(unrate_ts)
## [1] 1948    1
end(unrate_ts)
## [1] 2026    8
length(unrate_ts)
## [1] 944

2.6 Gráfico de la segunda serie

tsplot(
  unrate_ts,
  main = "Tasa de desempleo de Estados Unidos",
  ylab = "Porcentaje",
  xlab = "Año"
)

La serie de la tasa de desempleo presenta importantes fluctuaciones a lo largo del tiempo, con periodos de incremento asociados a diferentes ciclos económicos. A diferencia de AirPassengers, no se observa inicialmente una tendencia creciente sostenida durante todo el periodo, sino cambios de nivel y variaciones en el tiempo.

2.7 Analizar estacionalidad

monthplot(
  unrate_ts,
  main = "Comportamiento mensual de la tasa de desempleo",
  ylab = "Porcentaje"
)

boxplot(
  unrate_ts ~ cycle(unrate_ts),
  main = "Distribución mensual de la tasa de desempleo",
  xlab = "Mes",
  ylab = "Porcentaje"
)

tsplot(unrate_ts)

monthplot(unrate_ts)

acf2(unrate_ts)

##      [,1]  [,2] [,3]  [,4] [,5]  [,6] [,7]  [,8]  [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## ACF  0.97  0.94 0.91  0.88 0.85  0.82 0.79  0.76  0.73  0.70  0.67  0.65  0.62
## PACF 0.97 -0.06 0.03 -0.04 0.04 -0.04 0.01 -0.02 -0.03 -0.03  0.01 -0.03  0.02
##      [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25]
## ACF   0.59  0.57  0.54  0.52  0.50  0.48  0.46  0.44  0.43  0.41  0.39  0.38
## PACF -0.01 -0.01  0.01  0.00  0.02  0.00  0.02 -0.01  0.02 -0.04  0.03  0.00
##      [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37]
## ACF   0.37  0.35  0.34  0.33  0.32  0.30  0.29  0.28  0.27  0.25  0.24  0.23
## PACF  0.01 -0.02  0.00 -0.01  0.00 -0.01  0.00 -0.01  0.00 -0.01  0.01  0.02
##      [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48]
## ACF   0.22  0.21  0.21  0.20  0.19  0.18  0.18  0.17  0.17  0.16  0.16
## PACF  0.00  0.01  0.00 -0.01  0.02 -0.01  0.01 -0.01  0.03 -0.03  0.01

2.8 Análisis exploratorio de la serie

La serie de la tasa de desempleo de Estados Unidos presenta un comportamiento variable a lo largo del tiempo, con períodos de aumento y disminución. Se observan varios picos importantes, especialmente alrededor de las décadas de 1980, 1990, 2000 y 2020. A diferencia de la serie AirPassengers, no se observa una tendencia creciente o decreciente permanente.

En el gráfico mensual se observa una alta variabilidad entre las observaciones, pero no se identifica un patrón estacional mensual claramente definido. Por esta razón, la estacionalidad no parece ser una característica predominante de esta serie.

Por otra parte, el análisis de autocorrelación muestra una dependencia temporal importante. La ACF presenta valores elevados en los primeros rezagos y una disminución gradual, mientras que la PACF presenta un pico predominante en el primer rezago. Esto indica que los valores actuales de la tasa de desempleo están relacionados con sus valores anteriores.

En general, la serie UNRATE se caracteriza principalmente por su variabilidad y dependencia temporal, sin presentar una estacionalidad mensual tan marcada como la observada en AirPassengers.

2.9 Promedio móvil simple

Para suavizar las fluctuaciones de corto plazo de la tasa de desempleo se utilizaron promedios móviles de 3 y 12 meses.

library(xts)

unrate_xts <- xts(
  as.numeric(UNRATE),
  order.by = index(UNRATE)
)

ma3 <- rollmean(
  unrate_xts,
  k = 3,
  fill = NA,
  align = "center"
)

ma12 <- rollmean(
  unrate_xts,
  k = 12,
  fill = NA,
  align = "center"
)

2.9.1 MA(3)

Primero observemos el promedio móvil de tres meses

plot(
  unrate_xts,
  main = "Promedio móvil de 3 meses - UNRATE",
  ylab = "Tasa de desempleo (%)",
  xlab = "Año"
)

lines(
  ma3,
  lwd = 2
)

2.9.2 MA(12)

Ahora utilizamos una ventana de 12 meses:

plot(
  unrate_xts,
  main = "Promedio móvil de 12 meses - UNRATE",
  ylab = "Tasa de desempleo (%)",
  xlab = "Año"
)

lines(
  ma12,
  lwd = 2
)

El promedio móvil de 3 meses permite reducir parte de las fluctuaciones mensuales de la serie, conservando en mayor medida los cambios de corto plazo. Por otra parte, el promedio móvil de 12 meses produce un mayor suavizamiento, permitiendo observar con mayor claridad el comportamiento general de la tasa de desempleo y reduciendo los cambios bruscos presentes en la serie original.

En comparación con la serie original, el promedio móvil de 12 meses presenta una trayectoria más estable, aunque pierde información sobre variaciones de corto plazo.

2.10 Suavización exponencial simple

Aquí es importante recordar algo de la primera serie: la suavización exponencial simple es apropiada cuando queremos modelar principalmente el nivel de la serie, sin incorporar explícitamente tendencia ni estacionalidad.

Para UNRATE tiene bastante sentido probarla porque en el análisis exploratorio no encontramos una estacionalidad mensual marcada.

sum(is.na(unrate_ts))
## [1] 1
sum(is.nan(unrate_ts))
## [1] 0
sum(is.infinite(unrate_ts))
## [1] 0
which(!is.finite(unrate_ts))
## [1] 934
time(unrate_ts)[934]
## [1] 2025.75
unrate_ts[933:935]
## [1] 4.4  NA 4.5
unrate_ts[934] <- 4.45

sum(is.na(unrate_ts))
## [1] 0

2.10.1 Tratamiento del valor faltante

Durante la revisión de la serie se identificó un único valor faltante, correspondiente a la observación 934. Los valores inmediatamente anterior y posterior fueron 4.4 y 4.5, respectivamente. Debido a que se trata de una única observación faltante ubicada entre dos valores consecutivos, se realizó una interpolación lineal, obteniendo un valor de 4.45.

De esta manera, la serie queda completa para la aplicación de los métodos de suavización.

modelo_ses <- HoltWinters(
  unrate_ts,
  beta = FALSE,
  gamma = FALSE
)

modelo_ses
## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = unrate_ts, beta = FALSE, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.9999242
##  beta : FALSE
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##   [,1]
## a  4.1
modelo_ses$alpha
## [1] 0.9999242
plot(
  modelo_ses,
  main = "Suavización exponencial simple - UNRATE"
)

Se aplicó el método de suavización exponencial simple a la serie UNRATE, sin incorporar componentes de tendencia ni estacionalidad. El parámetro de suavizamiento obtenido fue \(\alpha = 0.9999242\).

Este valor, cercano a 1, indica que el modelo asigna un peso muy elevado a las observaciones más recientes y un peso reducido a las observaciones anteriores. Por lo tanto, la suavización exponencial simple responde rápidamente a los cambios recientes de la tasa de desempleo.

El nivel estimado por el modelo fue de 4.1. En la gráfica se observa que la serie suavizada sigue de cerca el comportamiento de las observaciones originales, especialmente debido al elevado valor del parámetro \(\alpha\).

2.11 Holt

Holt incorpora un componente de tendencia, pero seguimos sin incluir estacionalidad.

modelo_holt <- HoltWinters(
  unrate_ts,
  gamma = FALSE
)

modelo_holt
## Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = unrate_ts, gamma = FALSE)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 1
##  beta : 0.02887913
##  gamma: FALSE
## 
## Coefficients:
##           [,1]
## a  4.100000000
## b -0.007654423
modelo_holt$alpha
## alpha 
##     1
modelo_holt$beta
##       beta 
## 0.02887913
plot(
  modelo_holt,
  main = "Método de Holt - UNRATE"
)

Se aplicó el método de Holt a la serie UNRATE, incorporando un componente de tendencia, pero sin incluir un componente estacional. El modelo obtuvo un parámetro de nivel \(\alpha = 1\) y un parámetro de tendencia \(\beta = 0.02887913\).

El valor de \(\alpha = 1\) indica que el nivel estimado depende principalmente de la observación más reciente, por lo que el modelo responde rápidamente a los cambios de la tasa de desempleo.

Por otra parte, el parámetro \(\beta = 0.02887913\) indica una actualización relativamente gradual del componente de tendencia. La tendencia estimada fue \(b = -0.007654423\), cuyo signo negativo indica una tendencia ligeramente decreciente, aunque de magnitud pequeña.

En general, el método de Holt permite representar el nivel y la tendencia de la serie, aunque la tendencia estimada es débil debido al comportamiento variable de la tasa de desempleo.

2.12 Holt-Winters

En UNRATE no hay una estacionalidad mensual claramente marcada, así que podemos aplicar Holt-Winters para comprobar el comportamiento del modelo, pero debemos interpretar que el componente estacional puede ser poco relevante.

modelo_hw <- HoltWinters(
  unrate_ts
)

modelo_hw
## Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = unrate_ts)
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.9625428
##  beta : 0.0120463
##  gamma: 1
## 
## Coefficients:
##            [,1]
## a    4.03333772
## b   -0.01140803
## s1   0.05840698
## s2   0.03839956
## s3  -0.02574695
## s4  -0.11247610
## s5  -0.20328833
## s6  -0.23343359
## s7  -0.23718059
## s8   0.10216961
## s9  -0.10939011
## s10 -0.07960008
## s11  0.03389889
## s12  0.06666228
modelo_hw$alpha
##     alpha 
## 0.9625428
modelo_hw$beta
##      beta 
## 0.0120463
modelo_hw$gamma
## gamma 
##     1
plot(
  modelo_hw,
  main = "Modelo Holt-Winters - UNRATE"
)

Finalmente, se aplicó el modelo de Holt-Winters a la serie UNRATE, incorporando componentes de nivel, tendencia y estacionalidad aditiva. El modelo obtuvo un parámetro de nivel \(\alpha = 0.9625428\), un parámetro de tendencia \(\beta = 0.0120463\) y un parámetro estacional \(\gamma = 1\).

El valor elevado de \(\alpha\) indica que el modelo asigna un peso importante a las observaciones recientes, permitiendo que el ajuste responda rápidamente a los cambios en la tasa de desempleo. Por otra parte, el valor reducido de \(\beta\) indica que el componente de tendencia se actualiza de manera gradual. La tendencia estimada fue \(b=-0.01140803\), lo que representa una tendencia ligeramente decreciente.

El parámetro \(\gamma=1\) indica una actualización intensa del componente estacional. Sin embargo, debido a que en el análisis exploratorio no se identificó una estacionalidad mensual claramente marcada, este componente debe interpretarse con precaución.

En general, el modelo Holt-Winters logra seguir adecuadamente las fluctuaciones de la serie, aunque la incorporación de un componente estacional no parece ser tan relevante para UNRATE como lo fue para AirPassengers

2.12 Conclusión de la segunda serie: UNRATE

El análisis de la serie UNRATE permitió observar un comportamiento variable de la tasa de desempleo a lo largo del tiempo, con períodos de incrementos y disminuciones importantes. A diferencia de AirPassengers, no se identificó una estacionalidad mensual claramente definida.

El promedio móvil permitió reducir las fluctuaciones de corto plazo y facilitar la identificación del comportamiento general de la serie. El promedio móvil de 12 meses produjo un mayor nivel de suavizamiento que el promedio móvil de 3 meses, aunque con una menor capacidad para representar cambios de corto plazo.

La suavización exponencial simple presentó un valor de \(\alpha = 0.9999242\), indicando que el modelo asigna un peso muy elevado a las observaciones recientes. El método de Holt incorporó un componente de tendencia y obtuvo \(\alpha = 1\) y \(\beta = 0.02887913\), con una tendencia estimada ligeramente decreciente.

Finalmente, el modelo Holt-Winters obtuvo \(\alpha = 0.9625428\), \(\beta = 0.0120463\) y \(\gamma = 1\). Aunque este modelo incorpora un componente estacional, su importancia debe interpretarse con precaución debido a que el análisis exploratorio no mostró una estacionalidad mensual claramente marcada.

En general, los métodos de suavización permitieron representar diferentes características de la serie. Para UNRATE, los métodos que dan mayor peso a las observaciones recientes resultan particularmente relevantes debido a las variaciones que presenta la tasa de desempleo a lo largo del tiempo.

3. Conclusiones generales

El análisis de las series AirPassengers y UNRATE permitió aplicar y comparar diferentes métodos de suavización para identificar sus principales características y comportamiento a lo largo del tiempo.

La serie AirPassengers presentó una tendencia creciente y una estacionalidad mensual claramente definida. En este caso, el promedio móvil permitió visualizar la tendencia general, mientras que la suavización exponencial simple permitió dar mayor importancia a las observaciones recientes. El método de Holt permitió incorporar la tendencia, y el modelo Holt-Winters resultó especialmente adecuado al considerar simultáneamente el nivel, la tendencia y la estacionalidad de la serie.

Por otra parte, UNRATE presentó un comportamiento más variable, con importantes fluctuaciones a lo largo del tiempo, pero sin una estacionalidad mensual claramente identificada. Los promedios móviles permitieron reducir las fluctuaciones de corto plazo, mientras que la suavización exponencial simple y el método de Holt mostraron una alta respuesta a las observaciones recientes. Aunque Holt-Winters incorporó un componente estacional, este componente no parece ser tan relevante como en AirPassengers.

En conclusión, la aplicación de los métodos de suavización muestra que la selección de una técnica debe realizarse teniendo en cuenta las características de cada serie temporal. Cuando existe una tendencia marcada puede ser conveniente utilizar métodos que incorporen este componente, mientras que cuando existe una estacionalidad definida, el método Holt-Winters permite incorporarla al proceso de suavización. Por lo tanto, el análisis exploratorio de la serie constituye un paso fundamental para seleccionar e interpretar adecuadamente los métodos de suavización.