Pruebas de hipótesis para una población: medias, proporciones y potencia

¿Qué vamos a cerrar en esta clase?

Hasta este punto ya conocemos la lógica general de una prueba de hipótesis: formular una hipótesis nula, plantear una hipótesis alternativa, fijar un nivel de significancia y utilizar información muestral para tomar una decisión.

Ahora vamos a responder cuatro preguntas que aparecen de manera recurrente en problemas reales:

1. ¿Cómo contrastamos una media poblacional cuando conocemos la desviación estándar de la población?
2. ¿Qué tan capaz es una prueba de hipótesis de detectar un cambio que realmente existe?
3. ¿Cómo contrastamos una afirmación acerca de una proporción poblacional?
4. ¿Qué cambia cuando queremos estudiar una media pero no conocemos la desviación estándar poblacional?

El objetivo no es memorizar cuatro fórmulas distintas. El objetivo es aprender a reconocer el problema estadístico y seleccionar el procedimiento adecuado.

Idea central

Una prueba de hipótesis no demuestra que una afirmación sea verdadera o falsa de manera absoluta. Evalúa si los datos observados son suficientemente incompatibles con lo que plantea \(H_0\) como para rechazarla.

Antes de calcular: identificar el problema

Antes de abrir R conviene responder tres preguntas.

¿Qué parámetro estoy estudiando?

• Si la variable es cuantitativa y el interés está en un promedio: \(\mu\).
• Si la respuesta es éxito/fracaso, sí/no, compra/no compra: \(p\).

Si estudio una media, conozco \(\sigma\)?

• Si conozco la desviación estándar poblacional: prueba \(Z\).
• Si no conozco \(\sigma\) y debo estimarla con \(s\): prueba \(t\).

¿Qué afirma la hipótesis alternativa?

Pregunta de investigación	Hipótesis alternativa	Tipo de prueba
¿El parámetro disminuyó?	\(H_1:\theta<\theta_0\)	Cola izquierda
¿El parámetro aumentó?	\(H_1:\theta>\theta_0\)	Cola derecha
¿El parámetro cambió?	\(H_1:\theta\neq\theta_0\)	Dos colas

La cola no se escoge después de mirar los datos.
La dirección de la prueba se define a partir de la pregunta de investigación y de \(H_1\).

Prueba para una media cuando se conoce la desviación estándar poblacional

Supongamos que queremos contrastar una afirmación acerca de una media poblacional:

\[ H_0:\mu=\mu_0 \]

y conocemos \(\sigma\).

Si \(H_0\) fuera verdadera, la distribución muestral de \(\bar X\) estaría centrada en \(\mu_0\) y tendría error estándar:

\[ SE_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Por ello podemos construir:

\[ Z= \frac{\bar X-\mu_0} {\sigma/\sqrt{n}} \]

El estadístico \(Z\) tiene una interpretación directa:

indica cuántos errores estándar separan la media observada del valor planteado por la hipótesis nula.

Ejemplo: ¿la mejora tecnológica redujo el tiempo de despacho?

Una empresa de comercio electrónico tiene un estándar histórico de 48 horas para despachar un pedido. Después de automatizar parte del proceso logístico, la gerencia quiere saber si el tiempo promedio realmente disminuyó.

De registros históricos se conoce que la desviación estándar poblacional es de 6 horas. Se seleccionan aleatoriamente 64 pedidos procesados después de la mejora y se obtiene una media de 46.5 horas.

Se trabajará con:

\[ \alpha=0.05 \]

Planteamiento

El parámetro es:

\[ \mu=\text{tiempo medio poblacional de despacho} \]

La pregunta es si el tiempo disminuyó, por tanto:

\[ H_0:\mu=48 \]

\[ H_1:\mu<48 \]

Es una prueba de cola izquierda.

Error estándar

\[ SE= \frac{6}{\sqrt{64}} = 0.75 \]

Esto significa que, si realmente \(\mu=48\), las medias obtenidas en muestras de 64 pedidos fluctuarían alrededor de 48 horas con una desviación estándar de aproximadamente 0.75 horas.

Estadístico de prueba

\[ Z= \frac{46.5-48}{0.75} = -2 \]

La media observada está dos errores estándar por debajo de lo que esperaríamos si \(H_0\) fuera verdadera.

mu0 <- 48
sigma <- 6
n <- 64
x_barra <- 46.5
alpha <- 0.05

SE <- sigma / sqrt(n)

z_obs <- (x_barra - mu0) / SE

z_critico <- qnorm(alpha)

p_valor <- pnorm(z_obs)

x_critico <- mu0 + z_critico * SE

c(
  error_estandar = SE,
  z_observado = z_obs,
  z_critico = z_critico,
  media_critica = x_critico,
  p_valor = p_valor
)

## error_estandar    z_observado      z_critico  media_critica        p_valor 
##     0.75000000    -2.00000000    -1.64485363    46.76635978     0.02275013

La región crítica comienza en:

\[ z_{0.05}\approx -1.645 \]

Como:

\[ -2<-1.645 \]

el estadístico observado cae en la región de rechazo.

Visualicemos la decisión

grafica_normal_prueba(
  z_obs = z_obs,
  alpha = alpha,
  alternativa = "less",
  titulo = "Tiempo promedio de despacho: prueba de cola izquierda"
)

La zona sombreada representa resultados que serían suficientemente extremos para rechazar \(H_0\) utilizando \(\alpha=0.05\).

La línea azul muestra el resultado observado:

\[ Z=-2 \]

Como se encuentra dentro de la región crítica, rechazamos \(H_0\).

Decisión mediante el valor-p

El valor-p es:

p_valor

## [1] 0.02275013

Aproximadamente:

\[ p\text{-valor}=0.0228 \]

Como:

\[ 0.0228<0.05 \]

rechazamos \(H_0\).

Conclusión en contexto

Al nivel de significancia del 5 %, existe evidencia estadística suficiente para concluir que el tiempo medio de despacho después de la mejora tecnológica es inferior a 48 horas.

¿Qué significa realmente el valor-p?

El valor-p no es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera.

En este ejemplo significa:

suponiendo que el verdadero tiempo medio siga siendo 48 horas, la probabilidad de obtener una media muestral tan pequeña como 46.5 horas, o todavía menor, es aproximadamente 2.28 %.

Un valor tan pequeño hace que la muestra resulte poco compatible con \(H_0\).

Región crítica y valor-p: dos formas de tomar la misma decisión

En una prueba de hipótesis podemos razonar de dos maneras.

Método de región crítica

Se compara el estadístico observado con uno o más valores críticos.

Para una prueba de cola izquierda:

\[ \text{Rechazar }H_0 \quad\text{si}\quad Z<z_\alpha \]

Método del valor-p

Se calcula la probabilidad de observar un resultado igual o más extremo que el obtenido, suponiendo que \(H_0\) es verdadera.

\[ \text{Rechazar }H_0 \quad\text{si}\quad p\text{-valor}<\alpha \]

Ambos procedimientos deben llevar a la misma decisión.

Importante

“No rechazar \(H_0\)” no significa demostrar que \(H_0\) es verdadera. Significa que la muestra no produjo evidencia suficientemente fuerte para rechazarla con el nivel de significancia seleccionado.

Potencia de una prueba: ¿qué tan bien detectamos un cambio real?

Hasta ahora hemos controlado principalmente el error tipo I:

\[ \alpha= P(\text{rechazar }H_0\mid H_0\text{ verdadera}) \]

Pero existe otra posibilidad de error.

\[ \beta= P(\text{no rechazar }H_0\mid H_0\text{ falsa}) \]

La potencia de una prueba es:

\[ 1-\beta \]

y representa la probabilidad de detectar un cambio cuando dicho cambio realmente existe.

Realidad	No rechazar \(H_0\)	Rechazar \(H_0\)
\(H_0\) verdadera	Decisión correcta	Error tipo I: \(\alpha\)
\(H_0\) falsa	Error tipo II: \(\beta\)	Decisión correcta: potencia \(1-\beta\)

Continuemos con el caso de los despachos

Nuestra regla fue rechazar \(H_0\) cuando:

\[ Z<-1.645 \]

En la escala original, esto equivale a rechazar \(H_0\) cuando la media muestral sea menor que:

\[ \bar x_c = 48+ (-1.645) \left( \frac{6}{\sqrt{64}} \right) \]

mu0 <- 48
sigma <- 6
n <- 64
alpha <- 0.05

SE <- sigma / sqrt(n)
z_critico <- qnorm(alpha)

x_critico <- mu0 + z_critico * SE

x_critico

## [1] 46.76636

La frontera es aproximadamente:

\[ \bar x_c=46.766 \]

Ahora supongamos que la automatización sí funcionó y que la verdadera media poblacional pasó a ser:

\[ \mu_1=46.5 \]

La pregunta cambia:

Si la verdadera media fuera 46.5 horas, ¿cuál sería la probabilidad de que nuestra prueba detectara la reducción?

Esto es:

\[ P(\bar X<46.766\mid\mu=46.5) \]

mu1 <- 46.5

potencia <- pnorm(
  x_critico,
  mean = mu1,
  sd = SE
)

beta <- 1 - potencia

c(
  potencia = potencia,
  beta = beta
)

## potencia     beta 
##  0.63876  0.36124

La potencia es aproximadamente:

\[ 1-\beta=0.639 \]

Es decir, si la verdadera media hubiera bajado a 46.5 horas, esta prueba tendría cerca de 63.9 % de probabilidad de detectar la reducción.

Dos realidades posibles

La siguiente gráfica muestra la distribución de \(\bar X\) si \(H_0\) fuera verdadera y la distribución si la media real fuera 46.5.

se <- sigma / sqrt(n)
xx <- seq(44.5, 50.5, length.out = 2000)

dens_h0 <- dnorm(xx, mean = mu0, sd = se)
dens_h1 <- dnorm(xx, mean = mu1, sd = se)

plot(
  xx, dens_h0,
  type = "l",
  lwd = 3,
  xlab = "Media muestral de tiempo de despacho",
  ylab = "Densidad",
  main = "Distribución de la media bajo H0 y bajo una alternativa",
  bty = "l",
  ylim = c(0, max(dens_h0, dens_h1) * 1.10)
)

lines(xx, dens_h1, lwd = 3, lty = 2)

abline(v = x_critico, lty = 3, lwd = 2)

legend(
  "topright",
  legend = c(
    expression(H[0]*": "*mu==48),
    expression(H[1]*": "*mu==46.5),
    "Frontera de rechazo"
  ),
  lty = c(1, 2, 3),
  lwd = c(3, 3, 2),
  bty = "n"
)

La frontera de rechazo no cambia. Lo que cambia es la ubicación de la distribución cuando la verdadera media se aleja de 48.

Cuanto más se aleja el valor real de lo planteado por \(H_0\), más fácil resulta detectar la diferencia.

Curva de potencia

La potencia no es un único número. Depende del valor que realmente tenga el parámetro.

Podemos calcularla para distintos valores posibles de \(\mu\).

mu_reales <- seq(44, 48.5, by = 0.02)

potencia_64 <- pnorm(
  x_critico,
  mean = mu_reales,
  sd = sigma / sqrt(64)
)

n_grande <- 144
SE_grande <- sigma / sqrt(n_grande)

x_critico_grande <- mu0 +
  qnorm(alpha) * SE_grande

potencia_144 <- pnorm(
  x_critico_grande,
  mean = mu_reales,
  sd = SE_grande
)

plot(
  mu_reales,
  potencia_64,
  type = "l",
  lwd = 3,
  ylim = c(0, 1),
  xlab = expression("Media poblacional verdadera " * mu),
  ylab = "Potencia",
  main = "Curvas de potencia para dos tamaños de muestra",
  bty = "l"
)

lines(
  mu_reales,
  potencia_144,
  lwd = 3,
  lty = 2
)

abline(
  h = alpha,
  lty = 3
)

abline(
  v = mu0,
  lty = 3
)

legend(
  "topright",
  legend = c("n = 64", "n = 144"),
  lty = c(1, 2),
  lwd = 3,
  bty = "n"
)

Observemos tres ideas.

Primera: cuando la verdadera media está muy cerca de 48, es difícil detectar el cambio.

Segunda: cuando la verdadera media se aleja de 48 en la dirección de \(H_1\), la potencia aumenta.

Tercera: aumentar el tamaño de muestra incrementa la capacidad de detectar diferencias reales.

Por ejemplo, si:

\[ \mu=46.5 \]

tenemos:

potencia_n64 <- pnorm(
  x_critico,
  mean = 46.5,
  sd = sigma / sqrt(64)
)

potencia_n144 <- pnorm(
  x_critico_grande,
  mean = 46.5,
  sd = sigma / sqrt(144)
)

c(
  n_64 = potencia_n64,
  n_144 = potencia_n144
)

##      n_64     n_144 
## 0.6387600 0.9123145

Con \(n=64\), la potencia es aproximadamente 63.9 %.

Con \(n=144\), aumenta aproximadamente a 91.2 %.

Interpretación práctica

Una muestra mayor no sólo reduce el error estándar. También aumenta la capacidad de una prueba para detectar cambios reales.

Prueba para una proporción poblacional

Ahora cambia el parámetro.

Supongamos que cada individuo puede clasificarse en dos categorías:

• compra / no compra;
• renueva / no renueva;
• está satisfecho / no está satisfecho;
• presenta mora / no presenta mora.

El parámetro de interés es:

\[ p=\text{proporción poblacional} \]

y la estimación muestral es:

\[ \hat p=\frac{x}{n} \]

¿Por qué podemos usar una distribución normal?

En términos exactos, el número de éxitos sigue una distribución binomial.

Sin embargo, cuando la muestra es suficientemente grande, la distribución de \(\hat p\) puede aproximarse mediante una distribución normal.

Bajo:

\[ H_0:p=p_0 \]

el error estándar es:

\[ SE_{\hat p} = \sqrt{ \frac{p_0(1-p_0)}{n} } \]

y el estadístico es:

\[ Z= \frac{\hat p-p_0} {\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \]

Para aplicar la aproximación normal verificamos:

\[ np_0\ge5 \]

y

\[ n(1-p_0)\ge5 \]

Cuidado

En el error estándar de una prueba de hipótesis para una proporción se utiliza \(p_0\), no \(\hat p\), porque estamos calculando la variabilidad que esperaríamos si \(H_0\) fuera verdadera.

Ejemplo: ¿la campaña aumentó la adopción del servicio digital?

Antes de una campaña comercial, el 35 % de los clientes utilizaba un servicio digital de la empresa.

Después de la campaña se seleccionan aleatoriamente 250 clientes y se encuentra que 105 utilizan el servicio.

La gerencia desea determinar si la proporción aumentó.

Trabajaremos con:

\[ \alpha=0.05 \]

Planteamiento

\[ p_0=0.35 \]

\[ n=250 \]

\[ x=105 \]

La proporción muestral es:

\[ \hat p= \frac{105}{250} = 0.42 \]

Las hipótesis son:

\[ H_0:p=0.35 \]

\[ H_1:p>0.35 \]

Es una prueba de cola derecha.

Verificación de condiciones

p0 <- 0.35
n <- 250
x <- 105

n * p0

## [1] 87.5

n * (1 - p0)

## [1] 162.5

Obtenemos:

\[ np_0=87.5 \]

y:

\[ n(1-p_0)=162.5 \]

Ambos valores superan ampliamente 5.

Cálculo

alpha <- 0.05

p_hat <- x / n

SE_p <- sqrt(
  p0 * (1 - p0) / n
)

z_obs_p <- (p_hat - p0) / SE_p

z_critico_p <- qnorm(1 - alpha)

p_valor_p <- 1 - pnorm(z_obs_p)

c(
  proporcion_muestral = p_hat,
  error_estandar = SE_p,
  z_observado = z_obs_p,
  z_critico = z_critico_p,
  p_valor = p_valor_p
)

## proporcion_muestral      error_estandar         z_observado           z_critico 
##          0.42000000          0.03016621          2.32047740          1.64485363 
##             p_valor 
##          0.01015753

El estadístico es aproximadamente:

\[ Z=2.320 \]

y el valor-p:

\[ p\text{-valor}\approx0.0102 \]

Como:

\[ 0.0102<0.05 \]

rechazamos \(H_0\).

Visualización

grafica_normal_prueba(
  z_obs = z_obs_p,
  alpha = alpha,
  alternativa = "greater",
  titulo = "Adopción del servicio digital: prueba de cola derecha"
)

La línea azul se encuentra dentro de la región crítica.

Conclusión en contexto

Al nivel de significancia del 5 %, existe evidencia estadística suficiente para concluir que la proporción de clientes que utiliza el servicio digital es superior al 35 %.

Verificación con una función de R

R también puede realizar una prueba para una proporción.

prop.test(
  x = 105,
  n = 250,
  p = 0.35,
  alternative = "greater",
  correct = FALSE
)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  105 out of 250, null probability 0.35
## X-squared = 5.3846, df = 1, p-value = 0.01016
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.35
## 95 percent confidence interval:
##  0.3697802 1.0000000
## sample estimates:
##    p 
## 0.42

La opción:

correct = FALSE

permite obtener la aproximación normal sin corrección por continuidad, coherente con el desarrollo manual realizado anteriormente.

Prueba para una media cuando no se conoce la desviación estándar poblacional

En muchos problemas reales conocemos:

\[ \bar x \]

y:

\[ s \]

pero no conocemos:

\[ \sigma \]

En ese caso estimamos el error estándar mediante:

\[ \widehat{SE}_{\bar X} = \frac{s}{\sqrt n} \]

y utilizamos:

\[ t= \frac{\bar X-\mu_0} {s/\sqrt n} \]

con:

\[ gl=n-1 \]

grados de libertad.

¿Por qué aparece la distribución t?

Cuando sustituimos \(\sigma\) por \(s\), introducimos incertidumbre adicional porque \(s\) también cambia de una muestra a otra.

La distribución \(t\):

• es simétrica;
• está centrada en cero;
• tiene colas más pesadas que la normal;
• depende de los grados de libertad;
• se aproxima a la normal a medida que aumenta \(n\).

xx <- seq(-4, 4, length.out = 1500)

plot(
  xx,
  dnorm(xx),
  type = "l",
  lwd = 3,
  xlab = "Valor",
  ylab = "Densidad",
  main = "Normal estándar y distribuciones t",
  bty = "l"
)

lines(xx, dt(xx, df = 5), lwd = 2, lty = 2)
lines(xx, dt(xx, df = 15), lwd = 2, lty = 3)

legend(
  "topright",
  legend = c("Normal", "t con 5 gl", "t con 15 gl"),
  lty = c(1, 2, 3),
  lwd = c(3, 2, 2),
  bty = "n"
)

Con pocos grados de libertad, la distribución \(t\) asigna mayor probabilidad a valores alejados del centro. Esto refleja la incertidumbre adicional producida por estimar \(\sigma\).

Ejemplo: ¿aumentó el gasto promedio mensual?

Una empresa implementó un programa de fidelización. Antes del programa, la gerencia utilizaba como referencia un gasto promedio mensual de $500 000 por cliente.

Después de implementar la estrategia se seleccionan aleatoriamente 16 clientes y se obtiene:

\[ \bar x=\$548\,000 \]

\[ s=\$72\,000 \]

La gerencia quiere determinar si el gasto promedio aumentó.

Trabajaremos con:

\[ \alpha=0.05 \]

Hipótesis

\[ H_0:\mu=500000 \]

\[ H_1:\mu>500000 \]

Es una prueba de cola derecha.

Como \(\sigma\) es desconocida y utilizamos \(s\), trabajaremos con una distribución \(t\).

Los grados de libertad son:

\[ gl=n-1=15 \]

Cálculo

mu0 <- 500000
x_barra <- 548000
s <- 72000
n <- 16
alpha <- 0.05

gl <- n - 1

SE_t <- s / sqrt(n)

t_obs <- (x_barra - mu0) / SE_t

t_critico <- qt(
  1 - alpha,
  df = gl
)

p_valor_t <- 1 - pt(
  t_obs,
  df = gl
)

c(
  grados_libertad = gl,
  error_estandar = SE_t,
  t_observado = t_obs,
  t_critico = t_critico,
  p_valor = p_valor_t
)

## grados_libertad  error_estandar     t_observado       t_critico         p_valor 
##    15.000000000 18000.000000000     2.666666667     1.753050356     0.008797577

Obtenemos aproximadamente:

\[ t=2.667 \]

El valor crítico es:

\[ t_{0.95,15}\approx1.753 \]

y:

\[ p\text{-valor}\approx0.0088 \]

Visualización

grafica_t_prueba(
  t_obs = t_obs,
  gl = gl,
  alpha = alpha,
  alternativa = "greater",
  titulo = "Gasto promedio mensual: prueba t de cola derecha"
)

Como:

\[ 2.667>1.753 \]

el estadístico observado cae dentro de la región de rechazo.

Además:

\[ 0.0088<0.05 \]

por lo que nuevamente rechazamos \(H_0\).

Conclusión en contexto

Al nivel de significancia del 5 %, existe evidencia estadística suficiente para concluir que el gasto promedio mensual de los clientes después del programa de fidelización es superior a $500 000.

¿De dónde salen los grados de libertad?

En una muestra de tamaño \(n\), las desviaciones respecto de la media cumplen:

\[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)=0 \]

Una vez conocidas \(n-1\) desviaciones, la última queda determinada por esta restricción.

Por ello, cuando estimamos la variabilidad mediante \(s\), utilizamos:

\[ gl=n-1 \]

No es simplemente una regla para memorizar: representa la cantidad de información independiente disponible para estimar la variabilidad.

¿Cuál prueba debo utilizar?

Situación	Parámetro	Información disponible	Estadístico
Media con \(\sigma\) conocida	\(\mu\)	\(\bar x,\mu_0,\sigma,n\)	\(\displaystyle Z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\)
Proporción	\(p\)	\(\hat p,p_0,n\)	\(\displaystyle Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)
Media con \(\sigma\) desconocida	\(\mu\)	\(\bar x,\mu_0,s,n\)	\(\displaystyle t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\)
Potencia	\(\mu\) u otro parámetro	valor alternativo específico	\(1-\beta\)

Antes de calcular, pregúntese siempre:

1. ¿Estoy estudiando una media o una proporción?
2. Si es una media, ¿conozco \(\sigma\)?
3. ¿La pregunta busca una disminución, un aumento o cualquier cambio?
4. ¿Qué significaría cometer un error tipo I en este contexto?
5. ¿Qué significaría cometer un error tipo II?

Errores frecuentes que debemos evitar

Elegir la cola después de conocer el resultado.
La dirección se define antes de analizar la muestra.

Decir que “se acepta \(H_0\)”.
Es preferible decir que no se rechaza \(H_0\). Ausencia de evidencia contra \(H_0\) no equivale a demostrarla.

Confundir \(\sigma\) con \(s\).
\(\sigma\) describe la población; \(s\) se calcula con una muestra.

Interpretar el valor-p como \(P(H_0\text{ es verdadera})\).
El valor-p se calcula suponiendo que \(H_0\) es verdadera.

Usar \(\hat p\) en el error estándar de la prueba para una proporción.
Bajo \(H_0\), el error estándar se construye con \(p_0\).

Confundir significancia estadística con importancia práctica.
Una diferencia puede ser estadísticamente detectable y, aun así, ser demasiado pequeña para tener relevancia administrativa.

Verificación rápida

Situación A

Una empresa conoce, por registros históricos, que la desviación estándar del tiempo de entrega es de 4 días. Se desea comprobar si el tiempo promedio disminuyó de 20 días.

¿Qué prueba corresponde?

Ver respuesta

Se estudia una media y se conoce \(\sigma\). Corresponde una prueba \(Z\) de cola izquierda:

\[ H_0:\mu=20 \]

\[ H_1:\mu<20 \]

Situación B

Una entidad financiera quiere determinar si más del 12 % de sus clientes presenta mora.

¿Qué parámetro se estudia?

Ver respuesta

Se estudia una proporción poblacional:

\[ p \]

La hipótesis alternativa sería:

\[ H_1:p>0.12 \]

Situación C

En una muestra de 18 establecimientos se obtiene un ingreso promedio de 42 millones y una desviación estándar muestral de 6 millones. No se conoce \(\sigma\).

¿Qué distribución corresponde?

Ver respuesta

Corresponde una distribución \(t\) con:

\[ gl=18-1=17 \]

Situación D

Una prueba tiene una potencia de 0.88 para detectar que la media es 45 cuando \(H_0:\mu=50\).

¿Qué significa?

Ver respuesta

Si la verdadera media fuera 45, la prueba tendría aproximadamente 88 % de probabilidad de rechazar correctamente \(H_0\).

El error tipo II correspondiente sería:

\[ \beta=1-0.88=0.12 \]

Para practicar

Problema 1 — Control de tiempos

Un centro de atención afirma que el tiempo medio de respuesta es de 12 minutos. Se conoce una desviación estándar poblacional de 3 minutos. Después de una reorganización se toma una muestra de 49 atenciones y se obtiene una media de 11 minutos.

Con \(\alpha=0.05\), determine si existe evidencia de que el tiempo promedio disminuyó.

Desarrolle:

• hipótesis;
• tipo de prueba;
• error estándar;
• estadístico;
• valor-p;
• decisión;
• interpretación empresarial.

Problema 2 — Conversión comercial

Históricamente, el 18 % de los visitantes de una plataforma realiza una compra. Después de rediseñar el sitio, 104 de 500 visitantes realizaron una compra.

Con \(\alpha=0.05\), determine si la tasa de conversión aumentó.

Antes de realizar la prueba, verifique que la aproximación normal sea adecuada.

Problema 3 — Facturación promedio

Una compañía considera que la facturación promedio por cliente es de $850 000. Se selecciona una muestra aleatoria de 20 clientes y se obtiene:

\[ \bar x=\$910\,000 \]

\[ s=\$140\,000 \]

Con \(\alpha=0.05\), determine si existe evidencia de que la facturación promedio es superior a $850 000.

Problema 4 — Potencia y tamaño de muestra

Considere nuevamente el problema del tiempo de despacho:

\[ H_0:\mu=48 \]

\[ H_1:\mu<48 \]

con:

\[ \sigma=6 \]

y:

\[ \alpha=0.05 \]

Calcule la potencia para detectar una media verdadera de:

\[ \mu=46.5 \]

cuando:

\[ n=36,\quad n=64,\quad n=100,\quad n=144 \]

Construya una gráfica de potencia frente al tamaño de muestra e interprete el resultado.

Cierre

Las pruebas trabajadas en esta clase pueden parecer diferentes, pero todas responden a la misma lógica:

\[ \text{afirmación sobre la población} \rightarrow \text{evidencia muestral} \rightarrow \text{variabilidad esperada} \rightarrow \text{estadístico de prueba} \rightarrow \text{valor-p} \rightarrow \text{decisión} \]

El cálculo es apenas una parte del procedimiento.

La competencia realmente importante es poder justificar:

• qué parámetro se está estudiando;
• qué hipótesis representan la pregunta;
• qué distribución corresponde;
• qué evidencia proporciona la muestra;
• qué riesgo de error se está aceptando;
• y qué decisión puede defenderse a partir de los datos.

Idea final

En inferencia estadística no basta con obtener un valor-p. El objetivo es transformar evidencia muestral en una decisión razonada sobre una población, reconociendo siempre que la decisión se toma bajo incertidumbre.

Referencia

Levin, R. I. y Rubin, D. S. Estadística para administración y economía. Séptima edición. Pearson Educación. Capítulo 8: Prueba de hipótesis de una sola muestra.