Laporan ini disusun untuk memenuhi Tugas Pertemuan 2 pada mata kuliah Analisis Data Kategorik. Analisis mencakup dua topik utama:
Pada bagian ini, dilakukan analisis terhadap data status kelulusan
peserta pelatihan dari sheet Data_Proporsi dengan
total \(n = 40\) peserta.
Proporsi sampel:
\[\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{29}{40} = 0{,}7250 \quad (72{,}50\%)\]
Standard Error (SE):
\[SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}7250 \times 0{,}2750}{40}} \approx 0{,}0706\]
Margin of Error (ME) pada \(\alpha = 0{,}05\) (\(z = 1{,}960\)):
\[ME = 1{,}960 \times 0{,}0706 = 0{,}1384\]
Selang Kepercayaan 95%:
\[0{,}7250 \pm 0{,}1384 \quad \text{atau} \quad (0{,}5866 \text{ sampai } 0{,}8634)\]
Sebelum menentukan metode pengujian hipotesis, syarat kecukupan sampel untuk pendekatan sebaran normal diperiksa terlebih dahulu:
\(n \times p_0 = 40 \times 0{,}80 = 32 \ge 5\) (Memenuhi)
\(n \times (1 - p_0) = 40 \times 0{,}20 = 8 \ge 5\) (Memenuhi)
Karena kedua kondisi \(n p_0 \ge 5\) dan \(n(1-p_0) \ge 5\) terpenuhi, pendekatan sebaran normal dinyatakan valid. Pengujian utama dilakukan dengan Uji Z Proporsi, disertai Uji Eksak Binomial sebagai pembanding presisi.
\(H_0: p = 0{,}80\) (Proporsi kelulusan peserta sesuai target 80%)
\(H_1: p < 0{,}80\) (Proporsi kelulusan peserta secara signifikan lebih rendah dari target 80%)
Statistik uji \(Z\):
\[Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} = \frac{0{,}7250 - 0{,}8000}{\sqrt{\frac{0{,}80 \times 0{,}20}{40}}} = \frac{-0{,}0750}{0{,}06325} = -1{,}1859\]
Nilai kritis \(Z\) pada \(\alpha = 0{,}05\) (uji satu arah kiri) adalah \(-1{,}645\). Karena \(Z_{\text{hitung}} (-1{,}1859) > -1{,}645\), statistik uji tidak jatuh pada daerah penolakan (\(p\text{-value} = 0{,}1178 > 0{,}05\)).
Sintaks R yang digunakan untuk memverifikasi perhitungan manual:
# Input ringkasan data
x <- 29
n <- 40
p0 <- 0.80
# 1. Pendugaan Proporsi dan Selang Kepercayaan Wald 95%
prop_wald <- prop.test(x = x, n = n, conf.level = 0.95, correct = FALSE)
prop_wald##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: x out of n, null probability 0.5
## X-squared = 8.1, df = 1, p-value = 0.004427
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.5716504 0.8389198
## sample estimates:
## p
## 0.725# 2. Uji Z Proporsi Satu Arah Kiri (H1: p < 0.80)
prop_left <- prop.test(x = x, n = n, p = p0, alternative = "less", correct = FALSE)
prop_left##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: x out of n, null probability p0
## X-squared = 1.4063, df = 1, p-value = 0.1178
## alternative hypothesis: true p is less than 0.8
## 95 percent confidence interval:
## 0.000000 0.824034
## sample estimates:
## p
## 0.725# 3. Uji Eksak Binomial sebagai Pembanding Presisi
binom_left <- binom.test(x = x, n = n, p = p0, alternative = "less")
binom_left##
## Exact binomial test
##
## data: x and n
## number of successes = 29, number of trials = 40, p-value = 0.1608
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.8
## 95 percent confidence interval:
## 0.0000000 0.8374785
## sample estimates:
## probability of success
## 0.725Dari total 40 peserta pelatihan yang mengikuti ujian pasca-tes, 29 orang diantaranya dinyatakan lulus. Hal ini memberikan estimasi proporsi kelulusan sampel sebesar 72,50%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, kita meyakini proporsi kelulusan populasi berada pada selang 58,66% sampai 86,34%.
Saat menguji apakah capaian 72,50% ini berada di bawah target institusi (80%), pengecekan syarat sampel menunjukkan bahwa sebaran normal layak digunakan (\(np_0 = 32\) dan \(n(1-p_0) = 8\)). Uji Z satu arah kiri menghasilkan statistik \(Z = -1{,}1859\) dengan \(p\text{-value} = 0{,}1178\) (dan Uji Eksak Binomial memberikan \(p\text{-value} = 0{,}1608\)).
Karena nilai \(p\text{-value}\) lebih besar dari taraf nyata \(\alpha = 0{,}05\), keputusannya adalah gagal menolak \(H_0\). Secara praktis, tidak ada bukti statistik yang kuat untuk menyatakan bahwa tingkat kelulusan peserta berada di bawah target 80%. Selisih antara 72,50% dan 80% masih merupakan fluktuasi acak yang wajar dalam penarikan sampel.
Bagian ini menguji kesesuaian pola distribusi jenis pertanyaan
layanan akademik terbaru (\(n = 150\))
dari sheet Data_GOF terhadap tren historisnya.
Total sampel (\(n\)): 150
pertanyaan
Jumlah kategori (\(k\)): 4
kategori
Proporsi historis (\(p_{i0}\)):
Akademik (40%), Administrasi (30%), Teknis Sistem (20%), Lainnya
(10%)
Rumus statistik uji Goodness-of-Fit:
\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\]
| Kategori | Proporsi (\(p_{i0}\)) | Observasi (\(O_i\)) | Harapan (\(E_i = n \times p_{i0}\)) | Komponen \((O_i - E_i)^2 / E_i\) | Kontribusi \(\chi^2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Akademik | 0,40 | 70 | \(150 \times 0{,}40 = 60{,}0\) | \((70 - 60)^2 / 60 = 100 / 60\) | 1,6667 |
| Administrasi | 0,30 | 40 | \(150 \times 0{,}30 = 45{,}0\) | \((40 - 45)^2 / 45 = 25 / 45\) | 0,5556 |
| Teknis Sistem | 0,20 | 25 | \(150 \times 0{,}20 = 30{,}0\) | \((25 - 30)^2 / 30 = 25 / 30\) | 0,8333 |
| Lainnya | 0,10 | 15 | \(150 \times 0{,}10 = 15{,}0\) | \((15 - 15)^2 / 15 = 0 / 15\) | 0,0000 |
| Total | 1,00 | 150 | 150,0 | - | 3,0556 |
Pemeriksaan Syarat: Seluruh nilai \(E_i \ge 5\), sehingga asumsi penggunaan uji Chi-Square Goodness-of-Fit terpenuhi dengan sempurna.
\(H_0\): Distribusi jenis pertanyaan layanan akademik saat ini sesuai dengan proporsi historis (\(p_1 = 0{,}40;\ p_2 = 0{,}30;\ p_3 = 0{,}20;\ p_4 = 0{,}10\)).
\(H_1\): Minimal ada satu kategori jenis pertanyaan yang proporsinya tidak sesuai dengan proporsi historis.
Statistik hitung \(\chi^2 = 3{,}0556\). Derajat bebas \(df = k - 1 = 3\). Nilai kritis \(\chi^2_{(0{,}05; 3)} = 7{,}815\). Karena \(\chi^2_{\text{hitung}} (3{,}0556) < \chi^2_{\text{tabel}} (7{,}815)\) dan \(p\text{-value} = 0{,}3831 > 0{,}05\), keputusannya gagal menolak \(H_0\).
Sintaks R untuk melakukan pengujian kebaikan suai:
# Input frekuensi observasi dan proporsi ekspektasi
observed <- c(Akademik = 70, Administrasi = 40, Teknis_Sistem = 25, Lainnya = 15)
expected_p <- c(0.40, 0.30, 0.20, 0.10)
# 1. Uji Chi-Square Goodness-of-Fit
gof_test <- chisq.test(x = observed, p = expected_p)
gof_test##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: observed
## X-squared = 3.0556, df = 3, p-value = 0.3831# 2. Tampilkan Frekuensi Harapan (Expected Frequencies)
gof_test$expected## Akademik Administrasi Teknis_Sistem Lainnya
## 60 45 30 15# 3. Tampilkan Kontribusi Chi-Square Per Kategori
(gof_test$observed - gof_test$expected)^2 / gof_test$expected## Akademik Administrasi Teknis_Sistem Lainnya
## 1.6666667 0.5555556 0.8333333 0.0000000Pengujian Chi-Square Kebaikan Suai ini dilakukan untuk mengevaluasi apakah tren pertanyaan atau keluhan mahasiswa mengenai layanan akademik pada semester ini mengalami pergeseran dibandingkan tren historisnya. Dari total 150 pertanyaan yang tercatat, kita membandingkan frekuensi empiris sampel dengan frekuensi harapan teoretisnya.
Seluruh kategori memenuhi syarat kelayakan uji karena nilai harapannya tidak ada yang di bawah 5. Komputasi R menghasilkan statistik \(\chi^2 = 3{,}0556\) dengan \(p\text{-value} = 0{,}3831\).
Karena nilai \(p\text{-value}\) jauh melampaui taraf signifikansi 0,05 (dan nilai \(\chi^2\) hitung tidak melebihi nilai kritis 7,815), keputusannya adalah gagal menolak \(H_0\). Kesimpulannya, sebaran jenis pertanyaan layanan akademik saat ini masih sangat selaras dengan pola historisnya. Tidak ditemukan perubahan yang signifikan pada perilaku atau tren kebutuhan mahasiswa terkait layanan akademik.