library(readxl)Warning: package 'readxl' was built under R version 4.5.3datos <- read_excel("datos.xlsx", sheet = "Hoja1")
# Variables
Consumodeenergía <- datos$`Consumo de energía`
Temperaturadeoperación <- datos$`Temperatura de operación`Mejora Parcial 2
Integrante:
- MIGUEL ANDRES TURIZO BARRIOS
Introducción
En este parcial se estudia la inferencia estadística aplicada a modelos de regresión lineal simple y múltiple. Se utilizan pruebas de hipótesis, estadísticos teóricos y valores p para determinar la existencia de relaciones significativas entre las variables.
Datos
Los datos utilizados para realizar el análisis de regresión lineal múltiple son los siguientes:
| Lote | Tiempo de producción | Tamaño | Número de Operarios | Preparación |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 138 | 80 | 2 | 25 |
| 2 | 132 | 100 | 3 | 20 |
| 3 | 151 | 120 | 3 | 30 |
| 4 | 149 | 150 | 4 | 25 |
| 5 | 174 | 180 | 4 | 35 |
| 6 | 169 | 200 | 5 | 30 |
| 7 | 190 | 220 | 5 | 40 |
| 8 | 187 | 250 | 6 | 35 |
| 9 | 211 | 280 | 6 | 45 |
| 10 | 204 | 300 | 7 | 40 |
| 11 | 225 | 320 | 7 | 50 |
| 12 | 221 | 350 | 8 | 45 |
| 13 | 243 | 380 | 8 | 55 |
| 14 | 235 | 400 | 9 | 50 |
| 15 | 263 | 450 | 9 | 60 |
Ejercicio de regresión lineal simple
La situación relaciona:
- Variable respuesta: Consumo de energía (Y).
- Variable regresora: Temperatura (X).
- Modelo: \(Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon\).
Modelo y código completo
library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx", sheet = "Hoja1")
# Variables
Consumodeenergía <- datos$`Consumo de energía`
Temperaturadeoperación <- datos$`Temperatura de operación`
# Modelo
modelo <- lm(Consumodeenergía ~ Temperaturadeoperación)
summary(modelo)
Call:
lm(formula = Consumodeenergía ~ Temperaturadeoperación)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.10996 -0.68499 0.01146 0.81501 1.58990
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 47.02400 1.32753 35.42 2.57e-14 ***
Temperaturadeoperación 1.87858 0.04601 40.83 4.11e-15 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.087 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9923, Adjusted R-squared: 0.9917
F-statistic: 1667 on 1 and 13 DF, p-value: 4.113e-15# ANOVA
anova <- aov(modelo)
summary(anova) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Temperaturadeoperación 1 1970.6 1970.6 1667 4.11e-15 ***
Residuals 13 15.4 1.2
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Ajustados
ajustados <- modelo$fitted.values
ajustados 1 2 3 4 5 6 7 8
80.83847 84.59563 86.47421 90.23138 92.10996 93.98854 97.74570 99.62428
9 10 11 12 13 14 15
103.38145 105.26003 107.13861 110.89577 112.77436 116.53152 118.41010 # Residuales
residuales <- modelo$residuals
residuales 1 2 3 4 5 6
1.16153295 0.40436963 0.52578797 0.76862464 -2.10995702 0.01146132
7 8 9 10 11 12
-0.74570201 -0.62428367 -0.38144699 -1.26002865 0.86138968 -0.89577364
13 14 15
1.22564470 -0.53151862 1.58989971 # F TEÓRICO
qf(0.05, 1, 13, lower.tail = FALSE)[1] 4.667193# T TEÓRICO
qt(0.05 / 2, 13, lower.tail = FALSE)[1] 2.160369# CONFIANZA
confint(modelo, level = 0.95) 2.5 % 97.5 %
(Intercept) 44.156036 49.891958
Temperaturadeoperación 1.779181 1.977982Pregunta 1
Para determinar si existe una relación lineal significativa entre la temperatura de operación y el consumo de energía, se utiliza la prueba F.
Las hipótesis son:
\[ H_0:\beta_1=0 \]
\[ H_1:\beta_1\neq0 \]
Con un nivel de significancia de \(\alpha=0.05\), los grados de libertad son:
- Grados de libertad del numerador: 1.
- Grados de libertad del denominador: 13.
El estadístico F teórico se obtiene mediante:
qf(0.05, 1, 13, lower.tail = FALSE)[1] 4.667193El resultado es aproximadamente:
\[ F_{teórico}=4.66 \]
Por lo tanto, la respuesta es:
4.66
Pregunta 2
El valor p obtenido para la prueba F del modelo de regresión lineal simple es:
\[ p=4.11\times10^{-15} \]
Como:
\[ p<0.05 \]
se rechaza la hipótesis nula.
Por lo tanto, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la temperatura de operación tiene una relación lineal significativa con el consumo de energía.
Respuesta:
\[ \boxed{4.11\times10^{-15}} \]
Pregunta 3
Si se realiza el Análisis de Varianza, con \(\alpha=0.05\) para el modelo que relaciona las variables de la situación problema, comparando el estadístico de prueba y el estadístico teórico se podría concluir que:
Se tienen las siguientes hipótesis:
\[ H_0:\beta_1=0 \]
\[ H_1:\beta_1\neq0 \]
Los valores obtenidos son:
\[ F_0=1667.00 \]
y
\[ F_{teórico}=4.66 \]
Como:
\[ 1667.00>4.66 \]
se rechaza \(H_0\).
Por lo tanto, existe evidencia estadística suficiente para concluir que \(\beta_1\neq0\) y que existe una relación lineal entre la temperatura de operación y el consumo de energía.
Respuesta: a. Se rechaza \(H_0\), \(\beta_1\neq0\), por lo tanto existe una relación lineal.
Pregunta 4
Para realizar la inferencia sobre el parámetro \(\beta_1\) se utiliza la distribución t de Student.
Los grados de libertad son:
\[ gl=n-2=15-2=13 \]
Con \(\alpha=0.05\), para una prueba bilateral se utiliza:
qt(0.05 / 2, 13, lower.tail = FALSE)[1] 2.160369El resultado es:
\[ t_{teórico}=2.16 \]
Por lo tanto:
Respuesta: 2.16
Pregunta 5
Para el intercepto \(\beta_0\), el estadístico calculado es aproximadamente:
\[ t_0=35.42 \]
El valor p obtenido es:
\[ p=2.57\times10^{-14} \]
Como:
\[ p<0.05 \]
se rechaza la hipótesis nula para \(\beta_0\).
Por lo tanto:
\[ \boxed{p=2.57\times10^{-14}} \]
Pregunta 6
Si se realiza la inferencia sobre el parámetro \(\beta_1\), con \(\alpha=0.05\), comparando el estadístico de prueba y el estadístico teórico se podría concluir que:
Para el parámetro \(\beta_1\) se plantean las hipótesis:
\[ H_0:\beta_1=0 \]
\[ H_1:\beta_1\neq0 \]
El estadístico calculado es aproximadamente:
\[ t_0=40.83 \]
y el valor p es:
\[ p=4.11\times10^{-15} \]
Como:
\[ p<0.05 \]
se rechaza \(H_0\).
Por lo tanto, existe evidencia estadística suficiente para concluir que \(\beta_1\neq0\) y que existe una relación lineal significativa entre la temperatura y el consumo de energía.
Respuesta: d. Se rechaza \(H_0\) y existe una relación lineal significativa.
Regresión lineal múltiple
Para esta parte se analiza la relación entre el Tiempo de producción y las variables Tamaño del lote, Número de operarios y Preparación.
Datos
| Lote | Tiempo producción | Tamaño | Número de Operarios | Preparación |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 138 | 80 | 2 | 25 |
| 2 | 132 | 100 | 3 | 30 |
| 3 | 151 | 120 | 3 | 30 |
| 4 | 149 | 150 | 4 | 25 |
| 5 | 174 | 180 | 4 | 35 |
| 6 | 169 | 200 | 5 | 30 |
| 7 | 190 | 220 | 5 | 40 |
| 8 | 187 | 250 | 6 | 35 |
| 9 | 211 | 280 | 6 | 45 |
| 10 | 204 | 300 | 7 | 40 |
| 11 | 225 | 320 | 7 | 50 |
| 12 | 221 | 350 | 8 | 45 |
| 13 | 243 | 380 | 8 | 55 |
| 14 | 235 | 400 | 9 | 50 |
| 15 | 263 | 450 | 9 | 60 |
Carga de los datos desde Excel
library(readxl)
Datos2 <- read_excel(
"C:/Users/migue/OneDrive/Escritorio/PARCIAL RECUPERACION/Datos2.xlsx",
sheet = "Hoja1"
)
Datos2# A tibble: 15 × 5
Lote `Tiempo producción` Tamaño `Número de Operarios` Preparación
<dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 1 138 80 2 25
2 2 132 100 3 20
3 3 151 120 3 30
4 4 149 150 4 25
5 5 174 180 4 35
6 6 169 200 5 30
7 7 190 220 5 40
8 8 187 250 6 35
9 9 211 280 6 45
10 10 204 300 7 40
11 11 225 320 7 50
12 12 221 350 8 45
13 13 243 380 8 55
14 14 235 400 9 50
15 15 263 450 9 60Definición de las variables
Tiempoderoducción <- Datos2$`Tiempo producción`
Tamañodelote <- Datos2$Tamaño
Numerodeoperarios <- Datos2$`Número de Operarios`
Preparación <- Datos2$PreparaciónConstrucción del modelo de regresión lineal múltiple
modelo2 <- lm(
Tiempoderoducción ~ Tamañodelote + Numerodeoperarios + Preparación
)
summary(modelo2)
Call:
lm(formula = Tiempoderoducción ~ Tamañodelote + Numerodeoperarios +
Preparación)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.1687 -0.7694 0.5379 0.9721 2.6565
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 77.77270 5.69990 13.645 3.08e-08 ***
Tamañodelote 0.14548 0.07542 1.929 0.08 .
Numerodeoperarios 0.95276 2.80055 0.340 0.74
Preparación 1.86935 0.24094 7.759 8.73e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.823 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9984, Adjusted R-squared: 0.998
F-statistic: 2287 on 3 and 11 DF, p-value: 1.185e-15El modelo de regresión lineal múltiple permite explicar el Tiempo de producción a partir del Tamaño del lote, el Número de operarios y el tiempo de Preparación.
La ecuación estimada del modelo es:
\[ \hat{Y}=77.7727+0.1455X_1+0.9528X_2+1.8694X_3 \]
Donde:
- \(Y\): Tiempo de producción.
- \(X_1\): Tamaño del lote.
- \(X_2\): Número de operarios.
- \(X_3\): Preparación.
Análisis de varianza ANOVA
anova2 <- aov(modelo2)
summary(anova2) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Tamañodelote 1 22174 22174 6670.9 < 2e-16 ***
Numerodeoperarios 1 434 434 130.6 1.92e-07 ***
Preparación 1 200 200 60.2 8.73e-06 ***
Residuals 11 37 3
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1El análisis ANOVA permite determinar si el modelo de regresión es estadísticamente significativo. La prueba se basa en el estadístico \(F\) y su respectivo valor p.
Valores ajustados
valores_ajustados <- fitted(modelo2)
valores_ajustados 1 2 3 4 5 6 7 8
138.0501 132.5657 154.1687 150.1390 173.1968 167.7124 189.3154 185.2857
9 10 11 12 13 14 15
208.3435 202.8591 224.4621 220.4324 243.4902 238.0058 263.9731 Los valores ajustados corresponden a los tiempos de producción estimados por el modelo para cada observación.
Residuos
residuos <- residuals(modelo2)
residuos 1 2 3 4 5 6
-0.05012225 -0.56566539 -3.16870416 -1.13901502 0.80317848 1.28763535
7 8 9 10 11 12
0.68459658 1.71428571 2.65647922 1.14093608 0.53789731 0.56758645
13 14 15
-0.49022005 -3.00576319 -0.97310513 Los residuos representan la diferencia entre los valores observados y los valores estimados por el modelo.
Estadístico F teórico
Para la regresión lineal múltiple se tienen 3 variables explicativas y 11 grados de libertad para el error.
F_teorico <- qf(0.05, 3, 11, lower.tail = FALSE)
F_teorico[1] 3.587434El valor obtenido es aproximadamente:
\[ F_{teórico}=3.58 \]
Intervalos de confianza de los parámetros
confint(modelo2, level = 0.95) 2.5 % 97.5 %
(Intercept) 65.22730443 90.3181025
Tamañodelote -0.02053134 0.3114849
Numerodeoperarios -5.21121801 7.1167367
Preparación 1.33905023 2.3996504Los intervalos de confianza permiten estimar el rango en el cual se encuentran los parámetros poblacionales del modelo con un nivel de confianza del 95%.
Pregunta 7
El coeficiente correspondiente al Tamaño del lote es:
\[ \hat{\beta}_1=0.14547677 \]
Con dos cifras decimales truncadas:
\[ \hat{\beta}_1=0.14 \]
Esto significa que, manteniendo constantes las demás variables, por cada unidad adicional en el tamaño del lote, el tiempo de producción aumenta aproximadamente en 0.14 unidades de tiempo.
Respuesta: 0.14
Pregunta 8
El error cuadrático medio obtenido para el modelo es aproximadamente: \[ SSE = SS_Residuals \] \[ SSE = 37 \] \[ DFE= n-(k+1) \]
\[ n = 15 \]
\[ k = 3 \]
\[ k+1 = 4 \]
\[ DFE = 15-4 \] \[ DFE = 11 \] \[ MSE = SSE / DFE \] \[ MSE = 37/11 \]
\[ MSE = 3.36 \]
Este valor representa la variabilidad promedio de los errores del modelo.
Respuesta: 3.36
Pregunta 9
El estadístico \(F\) teórico calculado para la regresión lineal múltiple es:
\[ F_{teórico}=3.58 \]
Respuesta: 3.58
Pregunta 10
Si se realiza la inferencia sobre el modelo completo, se podría concluir que:
De acuerdo con el análisis realizado, el modelo de regresión lineal múltiple presenta evidencia estadística suficiente para afirmar que las variables Tamaño del lote, Número de operarios y Preparación explican significativamente el Tiempo de producción.
Respuesta: b. El modelo de regresión es significativo.
Conclusión
El modelo de regresión lineal múltiple permite explicar el tiempo de producción a partir del tamaño del lote, el número de operarios y la preparación. Los resultados del ANOVA muestran que el modelo es estadísticamente significativo, ya que el estadístico \(F\) calculado es considerablemente mayor que el valor crítico y el valor p es muy pequeño. Por lo tanto, las variables incluidas aportan información relevante para explicar el comportamiento del tiempo de producción.