Data dan Studi Kasus

Pada Tugas Pendalaman Materi Pertemuan 2 Analisis Data Kategorik ini terdiri dari 2 bagian atau 2 studi kasus. bagian A itu mengenai Pendugaan Parameter & Uji Satu Proporsi dan bagian B itu mengenai Uji Kebaikan Suai Chi-Square. untuk datanya yaitu data simulasi berupa file excel

Soal Bagian A Mengenai Pendugaan Parameter & Uji Satu Proporsi

Pada studi kasus ini menggunakan data simulasi dengan file excel yaitu mengenai hasil pasca tes peserta pelatihan fundamental statistika (data bersifat ilustratif / simulasi untuk keperluan tugas)
1. Hitung proporsi sampel (p̂) peserta yang “Lulus” beserta selang kepercayaan 95%-nya.
2. Perusahaan menargetkan tingkat kelulusan pelatihan minimal 80% (p0 = 0,80). Periksa apakah syarat kecukupan sampel untuk pendekatan normal terpenuhi.
3. Lakukan pengujian hipotesis yang sesuai (Uji Z Proporsi atau Uji Eksak Binomial —pilih berdasarkan hasil langkah 2) untuk menguji apakah tingkat kelulusan aktual berada di bawah target 80%, pada α = 0,05.
4. Kerjakan seluruh perhitungan secara manual DAN verifikasi menggunakan R Studio. Sertakan sintaks dan tangkapan layar/salinan output R
5. Tuliskan kesimpulan dalam kalimat yang mudah dipahami, sesuai konteks permasalahan.

Soal Bagian B Mengenai Uji Kebaikan Suai Chi-Square

Pada studi kasus ini menggunakan data simulasi dengan file excel yaitu mengenai jenis layanan akademik dengan konteks distribusi jenis pertanyaan / keluhan yang masuk kelayanan akademik prodi statistika selama satu semester (data bersifat ilustratif/ simulsi untuk keperluan tugas)
1. Susun hipotesis nol dan alternatif untuk menguji apakah distribusi jenis pertanyaan terbaru masih sesuai dengan proporsi historis.
2. Hitung nilai harapan (expected frequency) untuk setiap kategori.
3. Hitung statistik uji Chi-Square dan derajat bebasnya, lalu bandingkan dengan nilai kritis pada α = 0,05.
4. Verifikasi hasil perhitungan manual menggunakan R Studio (fungsi chisq.test()).
5. Simpulkan apakah distribusi jenis pertanyaan layanan akademik saat ini masih konsisten dengan proporsi historis.

Penyelesaian

Penyelesaian Bagian A

Input Data

library(readxl)
data_proporsi <- read_excel("C:/Users/Lenovo/OneDrive - untirta.ac.id/Kuliah/Semester 5/Analisis Data Kategorik/Before UTS/Data_Simulasi_Tugas_Pertemuan2_1.xlsx", sheet = "Data Proporsi")

print(data_proporsi, n= 40)
## # A tibble: 40 × 3
##       No Peserta    `Status Kelulusan`
##    <dbl> <chr>      <chr>             
##  1     1 Peserta 1  Lulus             
##  2     2 Peserta 2  Lulus             
##  3     3 Peserta 3  Lulus             
##  4     4 Peserta 4  Lulus             
##  5     5 Peserta 5  Tidak Lulus       
##  6     6 Peserta 6  Lulus             
##  7     7 Peserta 7  Tidak Lulus       
##  8     8 Peserta 8  Lulus             
##  9     9 Peserta 9  Lulus             
## 10    10 Peserta 10 Lulus             
## 11    11 Peserta 11 Lulus             
## 12    12 Peserta 12 Lulus             
## 13    13 Peserta 13 Lulus             
## 14    14 Peserta 14 Lulus             
## 15    15 Peserta 15 Lulus             
## 16    16 Peserta 16 Lulus             
## 17    17 Peserta 17 Lulus             
## 18    18 Peserta 18 Lulus             
## 19    19 Peserta 19 Tidak Lulus       
## 20    20 Peserta 20 Lulus             
## 21    21 Peserta 21 Tidak Lulus       
## 22    22 Peserta 22 Lulus             
## 23    23 Peserta 23 Lulus             
## 24    24 Peserta 24 Lulus             
## 25    25 Peserta 25 Tidak Lulus       
## 26    26 Peserta 26 Lulus             
## 27    27 Peserta 27 Lulus             
## 28    28 Peserta 28 Lulus             
## 29    29 Peserta 29 Tidak Lulus       
## 30    30 Peserta 30 Lulus             
## 31    31 Peserta 31 Tidak Lulus       
## 32    32 Peserta 32 Tidak Lulus       
## 33    33 Peserta 33 Lulus             
## 34    34 Peserta 34 Tidak Lulus       
## 35    35 Peserta 35 Lulus             
## 36    36 Peserta 36 Lulus             
## 37    37 Peserta 37 Tidak Lulus       
## 38    38 Peserta 38 Lulus             
## 39    39 Peserta 39 Tidak Lulus       
## 40    40 Peserta 40 Lulus

1. Hitung proporsi sampel (p̂) peserta yang “Lulus” beserta selang kepercayaan 95%-nya.

# Jumlah seluruh peserta
n <- nrow(data_proporsi)

# Jumlah peserta yang lulus
x <- sum(data_proporsi$`Status Kelulusan`== "Lulus")

alpha <- 0.05

# Proporsi Sampel 
p_hat <- x / n
p_hat
## [1] 0.725
# Selang kepercayaan 95% dengan prop.test()
prop.test(x, n, conf.level = 0.95, correct = FALSE)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability 0.5
## X-squared = 8.1, df = 1, p-value = 0.004427
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5716504 0.8389198
## sample estimates:
##     p 
## 0.725

Interpretasi:
Proporsi sampel peserta yang lulus adalah \(\hat{p} = 0{,}725\) atau 72,5%. Selang kepercayaan 95% yang diperoleh adalah (0,5717 ; 0,8389). Artinya, dengan tingkat keyakinan 95%, proporsi peserta lulus di populasi berada antara 57,17% sampai 83,89%.

2. Perusahaan menargetkan tingkat kelulusan pelatihan minimal 80% (p0 = 0,80). Periksa apakah syarat kecukupan sampel untuk pendekatan normal terpenuhi.

p0 <- 0.80
np0  <- n * p0
n_q0 <- n * (1 - p0)

np0      
## [1] 32
n_q0     
## [1] 8
np0  >= 5   
## [1] TRUE
n_q0 >= 5   
## [1] TRUE

Interpretasi:
Diperoleh \(np_0 = 32\) dan \(n(1-p_0) = 8\), keduanya \(\ge 5\). Maka syarat kecukupan sampel terpenuhi dan Uji Z Proporsi dapat digunakan.

3. Lakukan pengujian hipotesis yang sesuai (Uji Z Proporsi atau Uji Eksak Binomial —pilih berdasarkan hasil langkah 2) untuk menguji apakah tingkat kelulusan

Karena syarat kecukupan sampel pada Nomor 2 terpenuhi, maka Uji Z Proporsi digunakan di Nomor 3. Uji ini bertujuan untuk menguji apakah proporsi peserta yang lulus berada di bawah target 80%.

Hipotesis:

\[H_0: p \ge 0{,}80\] \[H_1: p < 0{,}80\]

Taraf signifikansi: \(\alpha = 5\%\)

Statistik uji: \[Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}\]

# Proporsi sampel
p_hat <- x / n
p_hat
## [1] 0.725
# Standar error di bawah H0
se_p0 <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
se_p0
## [1] 0.06324555
# Statistik uji Z
z_hitung <- (p_hat - p0) / se_p0
z_hitung
## [1] -1.185854
# Nilai kritis satu arah kiri
z_kritis <- qnorm(alpha)
z_kritis
## [1] -1.644854
# Nilai-p satu arah kiri
p_value_manual <- pnorm(z_hitung)
p_value_manual
## [1] 0.11784

Keputusan
Berdasarkan perhitungan manual, diperoleh statistik uji \(Z = -1{,}186\). Nilai kritis untuk uji satu arah kiri pada \(\alpha = 5\%\) adalah \(Z_{0{,}05} = -1{,}645\). Karena \(Z_{\text{hitung}} = -1{,}186\) lebih besar dari \(Z_{\text{kritis}} = -1{,}645\) (tidak berada di daerah penolakan), maka gagal tolak \(H_0\). Nilai-p yang diperoleh sebesar \(0{,}1178\) juga lebih besa* dari \(\alpha = 0{,}05\), yang menguatkan keputusan yang sama.
Kesimpulan Berdasarkan taraf signifikansi 5% Tidak cukup bukti untuk menyatakan tingkat kelulusan peserta berada di bawah target 80%.

4. Kerjakan seluruh perhitungan secara manual DAN verifikasi menggunakan R Studio. Sertakan sintaks dan tangkapan layar/salinan output R
Fungsi prop.test() di R digunakan untuk memastikan bahwa hasil perhitungan manual konsisten dengan output R.

prop.test(x, n, p = p0, alternative = "less", correct = FALSE)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability p0
## X-squared = 1.4063, df = 1, p-value = 0.1178
## alternative hypothesis: true p is less than 0.8
## 95 percent confidence interval:
##  0.000000 0.824034
## sample estimates:
##     p 
## 0.725

Verifikasi dengan fungsi prop.test(x, n, p = p0, alternative = "less", correct = FALSE) menghasilkan output:
- \(X^2 = 1{,}4062\) dengan \(df = 1\)
- Nilai-p \(= 0{,}1178\)
- Proporsi sampel \(= 0{,}725\)

Karena uji satu arah kiri, maka \(Z = -\sqrt{X^2} = -\sqrt{1{,}4062} = -1{,}186\). Hasil ini identik dengan perhitungan manual pada Nomor 3, sehingga dapat disimpulkan bahwa prosedur manual sudah benar dan sesuai dengan implementasi R.

5. Tuliskan kesimpulan dalam kalimat yang mudah dipahami, sesuai konteks permasalahan.
Kesimpulan :
Berdasarkan hasil analisis, Proporsi peserta yang lulus adalah 72,5%, dengan selang kepercayaan 95% antara 57,17% dan 83,89%. Uji Z Proporsi satu arah kiri menghasilkan nilai-p 0,1178 \(> 0{,}05\), sehingga gagal tolak \(H_0\). artinya tidak cukup bukti untuk menyatakan tingkat kelulusan peserta pelatihan berada di bawah target 80%.

Penyelesaian Bagian B

Input Data

library(readxl)
data_GOF <- read_excel("C:/Users/Lenovo/OneDrive - untirta.ac.id/Kuliah/Semester 5/Analisis Data Kategorik/Before UTS/Data_Simulasi_Tugas_Pertemuan2_1.xlsx", sheet = "Data GOF")

print(data_GOF)
## # A tibble: 5 × 3
##   Kategori      `Proporsi Historis` `Frekuensi Observasi (Terbaru)`
##   <chr>                       <dbl>                           <dbl>
## 1 Akademik                      0.4                              70
## 2 Administrasi                  0.3                              40
## 3 Teknis Sistem                 0.2                              25
## 4 Lainnya                       0.1                              15
## 5 Total                         1                               150

1. Susun hipotesis nol dan alternatif untuk menguji apakah distribusi jenis pertanyaan terbaru masih sesuai dengan proporsi historis

Uji Kebaikan Suai Chi-Square digunakan untuk mengetahui apakah distribusi jenis pertanyaan layanan akademik terbaru masih sesuai dengan proporsi historis tahun sebelumnya.
Hipotesis
\(H_0\): proporsi jenis pertanyaan terbaru sesuai historis (Akademik 40%, Administrasi 30%, Teknis Sistem 20%, Lainnya 10%).
\(H_1\): minimal ada satu proporsi yang berbeda.
Taraf signifikansi \(\alpha = 5\%\).

2. Hitung nilai harapan (expected frequency) untuk setiap kategori.
Nilai harapan adalah berapa banyak observasi yang seharusnya muncul di setiap kategori jika \(H_0\) benar. Nilai ini dihitung dengan rumus \(E_i = n \times p_{i0}\).

# Nomor 2 — Nilai Harapan
# Buang baris Total 
data_GOF <- data_GOF[data_GOF$Kategori != "Total", ]
# Ambil komponen data — INI YANG KURANG
observed   <- data_GOF$`Frekuensi Observasi (Terbaru)`
expected_p <- data_GOF$`Proporsi Historis`
kategori   <- data_GOF$Kategori
n_total <- sum(observed)

expected <- n_total * expected_p
expected
## [1] 60 45 30 15
# Tabel lengkap
tabel_gof <- data.frame(
  Kategori = kategori,
  Oi = observed,
  pi0 = expected_p,
  Ei = expected
)
tabel_gof
##        Kategori Oi pi0 Ei
## 1      Akademik 70 0.4 60
## 2  Administrasi 40 0.3 45
## 3 Teknis Sistem 25 0.2 30
## 4       Lainnya 15 0.1 15

Nilai harapan dihitung dengan mengalikan total observasi (\(n = 150\)) dengan proporsi historis setiap kategori. Hasilnya yaitu :
- Akademik: \(150 \times 0{,}4 = 60\)
- Administrasi: \(150 \times 0{,}3 = 45\)
- Teknis Sistem: \(150 \times 0{,}2 = 30\)
- Lainnya: \(150 \times 0{,}1 = 15\)

Nilai harapan ini menggambarkan berapa banyak pertanyaan yang seharusnya muncul di setiap kategori jika proporsi historis masih berlaku. Perbandingan antara frekuensi observasi (\(O_i\)) dan frekuensi harapan (\(E_i\)) akan menentukan seberapa besar penyimpangan yang terjadi.

3. Hitung statistik uji Chi-Square dan derajat bebasnya, lalu bandingkan dengan nilai kritis pada α = 0,05.

kontribusi <- (observed - expected)^2 / expected
kontribusi
## [1] 1.6666667 0.5555556 0.8333333 0.0000000
chi_hitung <- sum(kontribusi)
chi_hitung
## [1] 3.055556
df <- length(observed) - 1
df
## [1] 3
chi_kritis <- qchisq(1 - alpha, df)
chi_kritis
## [1] 7.814728
p_value_chi <- pchisq(chi_hitung, df, lower.tail = FALSE)
p_value_chi
## [1] 0.3831387

Keputusan :Total \(\chi^2_{\text{hitung}} = 3{,}0556\) dengan derajat bebas \(df = k-1 = 3\).
Nilai kritis pada \(\alpha = 5\%\) dan \(df = 3\) adalah \(\chi^2_{0{,}05;3} = 7{,}815\).
Karena \(\chi^2_{\text{hitung}} < \chi^2_{\text{kritis}}\), maka gagal tolak \(H_0\). Nilai-p juga mendukung: \(P(\chi^2_3 > 3{,}0556) = 0{,}3832 > 0{,}05\).

Kesimpulan: Pada taraf signifikansi 5%, tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa distribusi jenis pertanyaan layanan akademik terbaru berbeda dengan proporsi historis tahun sebelumnya.

4. Verifikasi hasil perhitungan manual menggunakan R Studio (fungsi chisq.test()).
Fungsi chisq.test() digunakan untuk memastikan bahwa hasil perhitungan manual konsisten dengan output R.

chisq.test(observed, p = expected_p)
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  observed
## X-squared = 3.0556, df = 3, p-value = 0.3831

Verifikasi dengan chisq.test(observed, p = expected_p) menghasilkan output: - \(X^2 = 3{,}0556\) - \(df = 3\) - Nilai-p \(= 0{,}3832\)

Hasil ini identik dengan perhitungan manual, sehingga dapat disimpulkan bahwa prosedur manual sudah benar dan sesuai dengan implementasi R.

5. Simpulkan apakah distribusi jenis pertanyaan layanan akademik saat ini masih konsisten dengan proporsi historis.

Kesimpulan: Berdasarkan hasil uji Kebaikan Suai Chi-Square, diperoleh \(\chi^2_{\text{hitung}} = 3{,}0556\) dengan nilai-p \(= 0{,}3832\). Karena nilai-p lebih besar dari \(\alpha = 5\%\), maka gagal tolak \(H_0\).Artinya, tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa distribusi jenis pertanyaan layanan akademik terbaru berbeda dengan proporsi historis tahun sebelumnya.

Dengan kata lain, distribusi jenis pertanyaan layanan akademik masih konsisten dengan proporsi historis (Akademik 40%, Administrasi 30%, Teknis Sistem 20%, dan Lainnya 10%.)