Hitung proporsi sampel (\(\hat{p}\)) peserta yang “Lulus” beserta selang kepercayaan 95%-nya.
Perusahaan menargetkan tingkat kelulusan pelatihan minimal 80% (\(p_0 = 0,80\)). Periksa apakah syarat kecukupan sampel untuk pendekatan normal terpenuhi.
Lakukan pengujian hipotesis yang sesuai (Uji Z Proporsi atau Uji Eksak Binomial — pilih berdasarkan hasil langkah 2) untuk menguji apakah tingkat kelulusan aktual berada di bawah target 80%, pada \(\alpha = 0,05\).
Kerjakan seluruh perhitungan secara manual DAN verifikasi menggunakan R Studio. Sertakan sintaks dan tangkapan layar/salinan output R.
Tuliskan kesimpulan dalam kalimat yang mudah dipahami, sesuai konteks permasalahan.
| Status Kelulusan | Frekuensi |
|---|---|
| Lulus | 29 |
| Tidak Lulus | 11 |
| Total | 40 |
Susun hipotesis nol dan alternatif untuk menguji apakah distribusi jenis pertanyaan terbaru masih sesuai dengan proporsi historis.
Hitung nilai harapan (expected frequency) untuk setiap kategori.
Hitung statistik uji Chi-Square dan derajat bebasnya, lalu bandingkan dengan nilai kritis pada \(\alpha = 0,05\).
Verifikasi hasil perhitungan manual menggunakan R Studio (fungsi
chisq.test()).
Simpulkan apakah distribusi jenis pertanyaan layanan akademik saat ini masih konsisten dengan proporsi historis.
| Jenis Pertanyaan | Frekuensi Observasi | Proporsi Historis |
|---|---|---|
| Akademik | 70 | 0,40 |
| Administrasi | 40 | 0,30 |
| Teknis | 25 | 0,20 |
| Lainnya | 15 | 0,10 |
| Total | 150 | 1,00 |
# Data
x <- 29
n <- 40
# Proporsi sampel
p_hat <- x / n
cat("Proporsi sampel peserta yang lulus:", p_hat, "\n")## Proporsi sampel peserta yang lulus: 0.725# Standard error
SE <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
cat("Standard error:", SE, "\n")## Standard error: 0.07060011# Selang kepercayaan 95% (Wald)
z <- 1.96
lower <- p_hat - z * SE
upper <- p_hat + z * SE
cat("Selang kepercayaan 95%:", lower, "sampai", upper, "\n")## Selang kepercayaan 95%: 0.5866238 sampai 0.8633762Hasil dan interpretasi:
Proporsi sampel peserta yang lulus adalah 0,725 atau 72,5%. Selang kepercayaan 95% yang diperoleh adalah sekitar 0,5866 sampai 0,8634, sehingga proporsi kelulusan diperkirakan berada pada rentang 58,66%–86,34%.
p0 <- 0.80
np0 <- n * p0
n1mp0 <- n * (1 - p0)
cat("Syarat pertama (np0):", np0,
ifelse(np0 >= 5, "-> Terpenuhi", "-> Tidak terpenuhi"), "\n")## Syarat pertama (np0): 32 -> Terpenuhicat("Syarat kedua (n(1-p0)):", n1mp0,
ifelse(n1mp0 >= 5, "-> Terpenuhi", "-> Tidak terpenuhi"), "\n")## Syarat kedua (n(1-p0)): 8 -> TerpenuhiHasil dan interpretasi:
Nilai np0 adalah 32 dan n(1-p0) adalah 8.
Kedua nilai tersebut memenuhi syarat kecukupan sampel, sehingga
pendekatan normal dapat digunakan.
Hipotesis:
Karena syarat pendekatan normal terpenuhi, digunakan Uji Z Proporsi.
# Statistik uji Z
z_hitung <- (p_hat - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
cat("z-hitung:", z_hitung, "\n")## z-hitung: -1.185854# p-value untuk uji satu arah kiri
p_value <- pnorm(z_hitung)
cat("p-value:", p_value, "\n")## p-value: 0.11784# Keputusan
if (p_value < 0.05) {
cat("Keputusan: Tolak H0\n")
} else {
cat("Keputusan: Gagal menolak H0\n")
}## Keputusan: Gagal menolak H0Hasil dan interpretasi:
Diperoleh nilai \(Z\)-hitung sekitar -1,186 dan p-value sekitar 0,1178.
Karena p-value > 0,05, maka keputusan pengujian adalah gagal menolak \(H_0\). Artinya, belum terdapat bukti yang cukup untuk menyatakan bahwa tingkat kelulusan aktual berada di bawah target 80%.
cat("Proporsi sampel:", p_hat, "\n")## Proporsi sampel: 0.725cat("CI 95%:", lower, "sampai", upper, "\n")## CI 95%: 0.5866238 sampai 0.8633762cat("np0:", np0, "\n")## np0: 32cat("n(1-p0):", n1mp0, "\n")## n(1-p0): 8cat("z-hitung:", z_hitung, "\n")## z-hitung: -1.185854cat("p-value:", p_value, "\n")## p-value: 0.11784Hasil yang diperoleh dari R konsisten dengan perhitungan pada nomor sebelumnya, yaitu proporsi sampel sebesar 0,725, selang kepercayaan 95% sekitar 0,5866-0,8634, dan p-value sebesar 0,1178.
Berdasarkan hasil analisis menggunakan R, proporsi peserta yang lulus adalah 72,5%. Hasil uji Z proporsi menghasilkan p-value sebesar 0,1178, yang lebih besar dari 0,05.
Dengan demikian, belum terdapat cukup bukti bahwa tingkat kelulusan peserta berada di bawah target 80%.
Hipotesis yang digunakan:
# Hipotesis
H0 <- "Distribusi terbaru sesuai dengan proporsi historis"
H1 <- "Distribusi terbaru tidak sesuai dengan proporsi historis"
cat("H0:", H0, "\n")## H0: Distribusi terbaru sesuai dengan proporsi historiscat("H1:", H1, "\n")## H1: Distribusi terbaru tidak sesuai dengan proporsi historis# Frekuensi observasi
observed <- c(70, 40, 25, 15)
# Proporsi historis
expected_p <- c(0.40, 0.30, 0.20, 0.10)
# Frekuensi harapan
expected <- sum(observed) * expected_p
cat("Frekuensi harapan:", expected, "\n")## Frekuensi harapan: 60 45 30 15Hasil dan interpretasi:
Frekuensi harapan yang diperoleh adalah:
Nilai tersebut merupakan frekuensi yang diharapkan apabila distribusi terbaru masih mengikuti proporsi historis.
# Statistik Chi-Square
chi_square <- sum((observed - expected)^2 / expected)
# Derajat bebas
df <- length(observed) - 1
# Nilai kritis
critical_value <- qchisq(0.95, df)
cat("Chi-Square hitung:", chi_square, "\n")## Chi-Square hitung: 3.055556cat("Derajat bebas:", df, "\n")## Derajat bebas: 3cat("Nilai kritis:", critical_value, "\n")## Nilai kritis: 7.814728Hasil dan interpretasi:
Diperoleh nilai Chi-Square hitung sebesar 3,0556 dengan derajat bebas 3. Nilai kritis pada α = 0,05 adalah sekitar 7,815.
Karena Chi-Square hitung < nilai kritis, maka \(H_0\) gagal ditolak. Artinya, belum terdapat perbedaan yang cukup besar antara distribusi observasi dan distribusi yang diharapkan berdasarkan proporsi historis.
# Uji Goodness-of-Fit Chi-Square
hasil_chisq <- chisq.test(
x = observed,
p = expected_p
)
hasil_chisq##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: observed
## X-squared = 3.0556, df = 3, p-value = 0.3831Hasil dan interpretasi:
Hasil chisq.test() memberikan nilai Chi-Square sebesar
3,0556, derajat bebas 3, dan p-value sekitar 0,3831.
Karena p-value > 0,05, maka \(H_0\) gagal ditolak. Hasil ini konsisten dengan perhitungan pada nomor sebelumnya.
Berdasarkan hasil uji kebaikan suai Chi-Square, diperoleh p-value sebesar 0,3831, yang lebih besar dari 0,05.
Dengan demikian, belum terdapat bukti yang cukup bahwa distribusi jenis pertanyaan layanan akademik terbaru berbeda dari proporsi historis. Distribusi terbaru masih dapat dianggap konsisten dengan proporsi historis.