Series de tiempo y pronóstico para Ciencias Actuariales
José Hernández
11/09/2026
1 Propósito de la clase
Esta clase sigue una lógica progresiva:
- Comprender la estructura de una serie de tiempo antes de modelarla.
- Identificar tendencia, estacionalidad, ciclos y componente irregular.
- Aprender a estimar y separar componentes mediante promedios móviles, descomposición clásica y STL.
- Construir pronósticos de referencia.
- Estudiar suavizamiento exponencial: SES, Holt, Holt amortiguado, Holt-Winters y ETS.
- Comprender la lógica de estacionariedad, diferenciación, ACF y PACF.
- Construir modelos AR, MA, ARIMA y SARIMA.
- Comparar modelos usando datos fuera de muestra y validación cruzada temporal.
- Extender el análisis hacia regresión dinámica con errores ARIMA y redes neuronales autorregresivas.
- Aplicar todo el proceso a ejemplos de ciencias actuariales.
Idea central: en series de tiempo no se debe comenzar preguntando “¿qué modelo uso?”.
Primero se debe preguntar: ¿qué estructura tiene la serie?
2 ¿Qué es una serie de tiempo?
Una serie de tiempo es una sucesión de observaciones ordenadas cronológicamente:
\[ Y_1,Y_2,\ldots,Y_t,\ldots,Y_T. \]
La característica que diferencia a una serie temporal de una muestra transversal es que las observaciones pueden estar relacionadas con su propio pasado.
Por ejemplo:
- número mensual de siniestros;
- monto mensual de siniestros pagados;
- primas emitidas por trimestre;
- número semanal de reclamaciones;
- tasa mensual de cancelación de pólizas;
- frecuencia de siniestros;
- severidad promedio;
- reservas reportadas periódicamente.
2.1 Pronosticar no es lo mismo que fijar una meta
Un pronóstico intenta describir lo que probablemente ocurrirá, dadas la información histórica y las relaciones que pueden ser modeladas.
Una meta representa lo que se desea que ocurra.
La planificación consiste en decidir acciones que permitan responder a los pronósticos y acercar los resultados a las metas.
En ciencias actuariales esta distinción es esencial. Una aseguradora puede tener como meta reducir la siniestralidad, pero un modelo de pronóstico debe estimar la siniestralidad futura con independencia de esa aspiración.
3 Construcción de un ejemplo actuarial
Para que toda la clase sea reproducible, construiremos un portafolio asegurador mensual ficticio.
La serie contiene:
- exposición creciente;
- estacionalidad mensual;
- inflación en la severidad;
- variación aleatoria;
- dos eventos extraordinarios.
set.seed(2026)
n <- 144 # 12 años de información mensual
t <- 1:n
mes <- rep(1:12, length.out = n)
fecha <- seq(as.Date("2015-01-01"), by = "month", length.out = n)
# Factores estacionales de frecuencia
factor_est_frec <- c(
0.88, 0.90, 0.93, 0.97,
1.02, 1.07, 1.12, 1.15,
1.10, 1.03, 0.96, 0.91
)
# Factores estacionales de severidad
factor_est_sev <- c(
0.96, 0.97, 0.98, 0.99,
1.00, 1.02, 1.03, 1.05,
1.04, 1.02, 0.99, 0.95
)
# Exposición: número de pólizas-mes
exposicion <- round(
100000 +
500 * t +
2000 * sin(2 * pi * t / 12)
)
# Frecuencia mensual por unidad de exposición
tasa_frecuencia <- 0.018 *
exp(0.0012 * t) *
factor_est_frec[mes]
# Número de siniestros
n_siniestros <- rpois(
n,
lambda = exposicion * tasa_frecuencia
)
# Severidad promedio, con inflación
severidad_media <- 3500 *
exp(0.004 * t) *
factor_est_sev[mes] *
exp(rnorm(n, mean = 0, sd = 0.05))
# Indicador de evento extraordinario
catastrofe <- rep(0, n)
catastrofe[c(70, 115)] <- 1
# Siniestros agregados
siniestros_pagados <- n_siniestros * severidad_media
# Impacto de los eventos extraordinarios
siniestros_pagados[catastrofe == 1] <-
siniestros_pagados[catastrofe == 1] * c(1.75, 1.55)
datos <- data.frame(
fecha,
t,
mes,
exposicion,
n_siniestros,
severidad_media,
siniestros_pagados,
catastrofe
)
head(datos)Creamos objetos ts.
serie_n <- ts(
datos$n_siniestros,
start = c(2015, 1),
frequency = 12
)
serie_pago <- ts(
datos$siniestros_pagados,
start = c(2015, 1),
frequency = 12
)
serie_sev <- ts(
datos$severidad_media,
start = c(2015, 1),
frequency = 12
)La frecuencia 12 indica que el patrón estacional, si
existe, puede repetirse cada 12 observaciones.
4 Primer principio: graficar antes de modelar
Un modelo temporal debe ser una consecuencia del comportamiento observado en los datos.
autoplot(serie_n) +
labs(
title = "Número mensual de siniestros",
x = "Año",
y = "Número de siniestros"
)
Antes de estimar cualquier modelo, pregúntese:
- ¿El nivel de la serie aumenta o disminuye?
- ¿Existe un patrón que se repite cada año?
- ¿La amplitud estacional parece constante?
- ¿La variabilidad aumenta cuando aumenta el nivel?
- ¿Existen observaciones extraordinarias?
- ¿Hay cambios estructurales?
- ¿El comportamiento reciente es similar al comportamiento histórico?
5 4. Componentes de una serie de tiempo
5.1 Tendencia
Existe tendencia cuando se observa un incremento o disminución de largo plazo.
La tendencia no tiene que ser lineal.
Podemos representar conceptualmente:
\[ T_t = f(t), \]
donde \(f(t)\) describe la evolución de largo plazo.
Ejemplo actuarial:
Una cartera en expansión puede producir una tendencia creciente en el número de siniestros aun si la tasa de siniestralidad permanece estable.
5.2 Estacionalidad
Existe estacionalidad cuando un comportamiento se repite con una frecuencia fija y conocida.
Para datos mensuales:
\[ m=12. \]
Para datos trimestrales:
\[ m=4. \]
Ejemplos actuariales:
- mayor frecuencia de accidentes en ciertos meses;
- incremento estacional de reclamaciones por fenómenos climáticos;
- estacionalidad en primas por renovaciones anuales;
- mayor utilización de seguros de salud en determinadas épocas.
Visualicemos el patrón mensual.
seasonplot(
serie_n,
year.labels = TRUE,
main = "Comportamiento estacional del número de siniestros",
ylab = "Siniestros",
xlab = "Mes"
)
También podemos comparar los meses directamente.
5.3 Ciclo
Un ciclo también representa aumentos y disminuciones, pero, a diferencia de la estacionalidad, su duración no tiene una frecuencia fija.
Ejemplos:
- ciclo económico;
- ciclo de crédito;
- periodos de endurecimiento y relajación del mercado asegurador;
- variaciones de varios años en frecuencia o severidad.
Por tanto:
\[ \text{estacionalidad} \neq \text{ciclo}. \]
La estacionalidad tiene periodicidad fija. El ciclo no.
5.4 Componente irregular
Representa movimientos que no son explicados por los demás componentes:
\[ R_t. \]
Puede incluir:
- ruido aleatorio;
- eventos extremos;
- errores de medición;
- shocks no incorporados al modelo;
- cambios regulatorios inesperados.
6 Descomposición de una serie
Una serie puede representarse como la combinación de varios componentes.
6.1 Descomposición aditiva
\[ Y_t = T_t + S_t + R_t. \]
Se utiliza cuando la amplitud de la estacionalidad es aproximadamente constante.
Ejemplo:
Si un mes particular agrega aproximadamente 150 siniestros adicionales independientemente del nivel general de la cartera, una representación aditiva puede ser razonable.
6.2 Descomposición multiplicativa
\[ Y_t = T_t S_t R_t. \]
Se utiliza cuando la variación estacional cambia proporcionalmente con el nivel de la serie.
Ejemplo:
Si diciembre suele generar aproximadamente un 15% más de reclamaciones que un mes promedio, la estructura es naturalmente multiplicativa.
6.3 Relación con logaritmos
Aplicando logaritmos:
\[ Y_t=T_tS_tR_t \]
implica
\[ \log(Y_t) = \log(T_t)+ \log(S_t)+ \log(R_t). \]
Por eso una estructura multiplicativa puede convertirse en una estructura aditiva en escala logarítmica.
7 Promedios móviles y estimación de la tendencia
Los promedios móviles permiten reducir fluctuaciones de corto plazo para revelar el componente tendencia-ciclo.
7.1 Promedio móvil de orden impar
Para \(m=2k+1\):
\[ \widehat{T}_t = \frac{1}{m} \sum_{j=-k}^{k}Y_{t+j}. \]
Por ejemplo, un promedio móvil de tres periodos es:
\[ \widehat{T}_t = \frac{Y_{t-1}+Y_t+Y_{t+1}}{3}. \]
7.1.1 Demostración numérica
Suponga:
\[ Y_{t-1}=1800,\qquad Y_t=2100,\qquad Y_{t+1}=2400. \]
Entonces:
\[ \widehat T_t = \frac{1800+2100+2400}{3} = 2100. \]
El promedio móvil elimina parte de la variación accidental y mantiene el movimiento de nivel.
ma3 <- ma(serie_n, order = 3)
autoplot(serie_n, series = "Serie") +
autolayer(ma3, series = "MA(3)") +
labs(
title = "Suavizamiento mediante promedio móvil",
x = "Año",
y = "Número de siniestros",
colour = ""
)
7.2 ¿Qué ocurre si el periodo estacional es par?
En datos mensuales \(m=12\). Un promedio móvil de 12 términos queda centrado entre dos meses.
Por ello se utiliza un promedio móvil centrado, denominado \(2\times12\)-MA.
Conceptualmente:
- se calcula un MA(12);
- se vuelve a promediar de dos en dos.
Los pesos equivalentes son:
\[ \frac{1}{24}, \frac{1}{12}, \ldots, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}. \]
Los extremos reciben la mitad del peso.
ma12 <- ma(serie_n, order = 12)
autoplot(serie_n, series = "Serie") +
autolayer(ma12, series = "MA(12) centrado") +
labs(
title = "Estimación de tendencia-ciclo con promedio móvil",
x = "Año",
y = "Número de siniestros",
colour = ""
)
8 Descomposición clásica
8.1 Procedimiento aditivo
Si
\[ Y_t=T_t+S_t+R_t, \]
podemos seguir cuatro pasos.
8.1.1 Paso 1. Estimar tendencia-ciclo
\[ \widehat T_t. \]
8.1.2 Paso 2. Eliminar tendencia
\[ Y_t-\widehat T_t = S_t+R_t. \]
8.1.3 Paso 3. Estimar el índice estacional
Para cada mes \(j\), promediamos los valores sin tendencia correspondientes a ese mes:
\[ \widehat S_j = \frac{1}{n_j} \sum_{t\in j} (Y_t-\widehat T_t). \]
8.2 Procedimiento multiplicativo
Si
\[ Y_t=T_tS_tR_t, \]
entonces después de estimar tendencia:
\[ \frac{Y_t}{\widehat T_t} = S_tR_t. \]
El índice estacional se obtiene promediando las razones correspondientes a cada estación.
Finalmente:
\[ \widehat R_t = \frac{Y_t}{ \widehat T_t\widehat S_t }. \]
9 STL: descomposición flexible
STL significa:
Seasonal and Trend decomposition using Loess.
Tiene ventajas importantes:
- la tendencia puede ser no lineal;
- la estacionalidad puede evolucionar;
- puede utilizar estimación robusta;
- es muy útil para detectar observaciones extraordinarias.
9.1 Serie ajustada estacionalmente
En una descomposición aditiva:
\[ A_t=Y_t-S_t. \]
serie_ajustada <- seasadj(ajuste_stl)
autoplot(serie_ajustada) +
labs(
title = "Número de siniestros ajustado estacionalmente",
x = "Año",
y = "Siniestros"
)
Interpretación:
Si la serie ajustada aumenta, ese crecimiento no puede atribuirse únicamente a la estacionalidad.
10 Medir la fuerza de tendencia y estacionalidad
Una descomposición STL permite cuantificar la intensidad de estos patrones.
Si:
\[ Y_t=T_t+S_t+R_t, \]
la fuerza de la tendencia puede definirse como:
\[ F_T = \max \left( 0, 1- \frac{\operatorname{Var}(R_t)} {\operatorname{Var}(T_t+R_t)} \right). \]
La fuerza de la estacionalidad:
\[ F_S = \max \left( 0, 1- \frac{\operatorname{Var}(R_t)} {\operatorname{Var}(S_t+R_t)} \right). \]
Ambos indicadores toman valores aproximadamente entre 0 y 1.
- cerca de 0: patrón débil;
- cerca de 1: patrón fuerte.
componentes <- ajuste_stl$time.series
Tt <- componentes[, "trend"]
St <- componentes[, "seasonal"]
Rt <- componentes[, "remainder"]
F_tendencia <- max(
0,
1 - var(Rt, na.rm = TRUE) /
var(Tt + Rt, na.rm = TRUE)
)
F_estacional <- max(
0,
1 - var(Rt, na.rm = TRUE) /
var(St + Rt, na.rm = TRUE)
)
data.frame(
componente = c("Tendencia", "Estacionalidad"),
fuerza = c(F_tendencia, F_estacional)
)11 Pronósticos de referencia
Antes de utilizar un modelo sofisticado debemos construir métodos simples que funcionen como benchmark.
Si un modelo complejo no supera un método ingenuo fuera de muestra, su utilidad predictiva es cuestionable.
11.1 Método de la media
\[ \widehat Y_{T+h|T} = \bar Y = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T}Y_t. \]
11.2 Método naïve
\[ \widehat Y_{T+h|T} = Y_T. \]
11.3 Naïve estacional
Para periodicidad \(m\):
\[ \widehat Y_{T+h|T} = Y_{T+h-m(k+1)}. \]
En términos simples: para pronosticar un enero utilizamos el enero más reciente; para febrero, el febrero más reciente, etc.
12 Error de pronóstico y residuo
No son exactamente lo mismo.
Un residuo suele calcularse dentro de la muestra de entrenamiento:
\[ e_t=Y_t-\widehat Y_{t|t-1}. \]
Un error de pronóstico fuera de muestra es:
\[ e_{T+h} = Y_{T+h} - \widehat Y_{T+h|T}. \]
La evaluación fuera de muestra es especialmente importante porque reproduce mejor la situación real de pronóstico.
13 Medidas de precisión
13.1 MAE
\[ MAE= \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} |e_t|. \]
Interpretación: error absoluto promedio en las mismas unidades de la serie.
13.2 RMSE
\[ RMSE = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} e_t^2 }. \]
Penaliza con mayor fuerza los errores grandes.
13.3 MAPE
\[ MAPE = \frac{100}{n} \sum_{t=1}^{n} \left| \frac{e_t}{Y_t} \right|. \]
Debe utilizarse con cuidado si existen valores iguales o cercanos a cero.
13.4 MASE
La idea del MASE es escalar el error respecto a un benchmark naïve.
Para una serie no estacional:
\[ MASE = \frac{ \frac{1}{n}\sum|e_t| }{ \frac{1}{T-1} \sum_{t=2}^{T} |Y_t-Y_{t-1}| }. \]
Interpretación aproximada:
- \(MASE<1\): el modelo supera al naïve;
- \(MASE>1\): el modelo es peor que el naïve.
14 Entrenamiento y prueba
Nunca deberíamos comparar modelos únicamente por su ajuste histórico.
Usaremos 2015–2025 como entrenamiento y 2026 como prueba.
train_n <- window(serie_n, end = c(2025, 12))
test_n <- window(serie_n, start = c(2026, 1))
autoplot(serie_n) +
autolayer(train_n, series = "Entrenamiento") +
autolayer(test_n, series = "Prueba") +
labs(
title = "Separación entrenamiento/prueba",
x = "Año",
y = "Siniestros",
colour = ""
)
b_media <- meanf(train_n, h = length(test_n))
b_naive <- naive(train_n, h = length(test_n))
b_snaive <- snaive(train_n, h = length(test_n))
b_drift <- rwf(train_n, h = length(test_n), drift = TRUE)
tabla_benchmark <- rbind(
Media = accuracy(b_media, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
Naive = accuracy(b_naive, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
SNaive = accuracy(b_snaive, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
Drift = accuracy(b_drift, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")]
)
knitr::kable(
round(tabla_benchmark, 3),
caption = "Precisión de métodos de referencia"
)| RMSE | MAE | MAPE | MASE | |
|---|---|---|---|---|
| Media | 1035.256 | 985.568 | 26.666 | 6.167 |
| Naive | 578.643 | 484.167 | 12.709 | 3.030 |
| SNaive | 176.766 | 169.083 | 4.683 | 1.058 |
| Drift | 510.414 | 411.024 | 10.717 | 2.572 |
15 Validación cruzada para series de tiempo
La validación cruzada convencional mezcla observaciones del pasado y del futuro, lo cual no es apropiado.
En series de tiempo se utiliza un origen móvil de pronóstico.
Esquemáticamente:
\[ \{Y_1,\ldots,Y_t\} \rightarrow \widehat Y_{t+1|t}. \]
Luego avanzamos un periodo:
\[ \{Y_1,\ldots,Y_t,Y_{t+1}\} \rightarrow \widehat Y_{t+2|t+1}. \]
f_snaive <- function(y, h) {
snaive(y, h = h)
}
errores_cv <- tsCV(
serie_n,
forecastfunction = f_snaive,
h = 1
)
RMSE_cv <- sqrt(mean(errores_cv^2, na.rm = TRUE))
RMSE_cv## [1] 175.921216 Suavizamiento exponencial
Los métodos exponenciales construyen pronósticos como promedios ponderados de observaciones históricas, asignando mayor peso a los datos recientes.
17 Suavizamiento exponencial simple — SES
SES es apropiado cuando no existe tendencia ni estacionalidad clara.
La ecuación de actualización del nivel es:
\[ \ell_t = \alpha Y_t + (1-\alpha)\ell_{t-1}, \qquad 0\leq\alpha\leq1. \]
El pronóstico es:
\[ \widehat Y_{t+h|t} = \ell_t. \]
17.1 ¿Por qué se llama exponencial?
Partimos de:
\[ \ell_t = \alpha Y_t + (1-\alpha)\ell_{t-1}. \]
Sustituimos:
\[ \ell_{t-1} = \alpha Y_{t-1} + (1-\alpha)\ell_{t-2}. \]
Entonces:
\[ \ell_t = \alpha Y_t + \alpha(1-\alpha)Y_{t-1} + (1-\alpha)^2\ell_{t-2}. \]
Repitiendo:
\[ \ell_t = \alpha Y_t + \alpha(1-\alpha)Y_{t-1} + \alpha(1-\alpha)^2Y_{t-2} +\cdots. \]
Los pesos son:
\[ \alpha, \quad \alpha(1-\alpha), \quad \alpha(1-\alpha)^2, \quad \ldots \]
y decrecen exponencialmente.
17.2 Interpretación de alpha
Si:
\[ \alpha\approx1, \]
el modelo reacciona fuertemente a la información reciente.
Si:
\[ \alpha\approx0, \]
el nivel cambia lentamente.
## Simple exponential smoothing
##
## Call:
## ses(y = train_n, h = 12)
##
## Smoothing parameters:
## alpha = 0.9999
##
## Initial states:
## l = 1630.1606
##
## sigma: 137.8357
##
## AIC AICc BIC
## 1948.995 1949.183 1957.643
18 Método de Holt: incorporar tendencia
Cuando existe tendencia necesitamos un segundo estado.
Nivel:
\[ \ell_t = \alpha Y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}). \]
Tendencia:
\[ b_t = \beta^*(\ell_t-\ell_{t-1}) + (1-\beta^*)b_{t-1}. \]
Pronóstico:
\[ \widehat Y_{t+h|t} = \ell_t+hb_t. \]
19 Tendencia amortiguada
Una tendencia lineal puede resultar demasiado agresiva cuando el horizonte aumenta.
Se introduce:
\[ 0<\phi<1. \]
Pronóstico:
\[ \widehat Y_{t+h|t} = \ell_t+ (\phi+\phi^2+\cdots+\phi^h)b_t. \]
Cuando \(h\) crece, el efecto adicional de la tendencia se reduce.
20 Holt-Winters con estacionalidad aditiva
Para una serie estacional con amplitud aproximadamente constante:
Pronóstico:
\[ \widehat Y_{t+h|t} = \ell_t+hb_t+s_{t+h-m(k+1)}. \]
Nivel:
\[ \ell_t = \alpha(Y_t-s_{t-m}) + (1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}). \]
Tendencia:
\[ b_t = \beta^*(\ell_t-\ell_{t-1}) + (1-\beta^*)b_{t-1}. \]
Estacionalidad:
\[ s_t = \gamma(Y_t-\ell_{t-1}-b_{t-1}) + (1-\gamma)s_{t-m}. \]
21 Holt-Winters con estacionalidad multiplicativa
Si la amplitud estacional es proporcional al nivel:
\[ \widehat Y_{t+h|t} = (\ell_t+hb_t) s_{t+h-m(k+1)}. \]
Nivel:
\[ \ell_t = \alpha \frac{Y_t}{s_{t-m}} + (1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}). \]
Tendencia:
\[ b_t = \beta^*(\ell_t-\ell_{t-1}) + (1-\beta^*)b_{t-1}. \]
Estacionalidad:
\[ s_t = \gamma \frac{Y_t}{\ell_{t-1}+b_{t-1}} + (1-\gamma)s_{t-m}. \]
Aplicaremos el método a los pagos agregados.
train_pago <- window(serie_pago, end = c(2025, 12))
test_pago <- window(serie_pago, start = c(2026, 1))
fit_hw_mult <- hw(
train_pago,
seasonal = "multiplicative",
h = 12
)
autoplot(fit_hw_mult)
22 Marco ETS
ETS representa:
\[ \text{Error} + \text{Trend} + \text{Seasonal}. \]
Las letras más habituales son:
N: ninguno;A: aditivo;M: multiplicativo;Ad: tendencia aditiva amortiguada.
Ejemplos:
- ETS(A,N,N): error aditivo, sin tendencia, sin estacionalidad;
- ETS(A,A,N): error aditivo, tendencia aditiva;
- ETS(A,A,A): estructura completamente aditiva;
- ETS(M,A,M): error multiplicativo, tendencia aditiva y estacionalidad multiplicativa.
La gran ventaja de ets() es que puede seleccionar
automáticamente una estructura utilizando criterios de información.
## ETS(M,A,M)
##
## Call:
## ets(y = train_n)
##
## Smoothing parameters:
## alpha = 0.035
## beta = 0.0069
## gamma = 0.0001
##
## Initial states:
## l = 1792.0729
## b = 13.4683
## s = 0.9166 0.9536 1.0189 1.0826 1.1343 1.1025
## 1.067 1.0268 0.9698 0.9342 0.9061 0.8877
##
## sigma: 0.0211
##
## AIC AICc BIC
## 1716.441 1721.810 1765.449
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set 1.24594 51.03674 41.01155 -0.01765761 1.595032 0.2566162
## ACF1
## Training set -0.02519064
22.1 Importante sobre AICc
AIC/AICc es útil para comparar modelos dentro de una misma familia.
No debe utilizarse directamente para decidir que un ETS es mejor que un ARIMA cuando las verosimilitudes no son comparables en la misma escala.
Para comparar familias distintas es preferible usar:
- conjunto de prueba;
- validación cruzada temporal;
- MAE;
- RMSE;
- MASE;
- diagnóstico de residuos;
- coherencia actuarial.
23 Diagnóstico de residuos
Un buen modelo debe dejar residuos aproximadamente impredecibles.
Idealmente:
\[ E(e_t)=0, \]
\[ \operatorname{Var}(e_t)=\sigma^2, \]
y
\[ \operatorname{Corr}(e_t,e_{t-k})\approx0. \]
##
## Ljung-Box test
##
## data: Residuals from ETS(M,A,M)
## Q* = 26.406, df = 24, p-value = 0.3329
##
## Model df: 0. Total lags used: 24El test de Ljung-Box contrasta, de forma conjunta, autocorrelaciones de varios rezagos.
Una hipótesis simplificada es:
\[ H_0: \rho_1=\rho_2=\cdots=\rho_K=0. \]
Si no rechazamos \(H_0\), no encontramos evidencia suficiente de autocorrelación residual en los rezagos evaluados.
24 Comparación de métodos exponenciales
fit_ses_test <- ses(train_n, h = 12)
fit_holt_test <- holt(train_n, h = 12)
fit_damped_test <- holt(train_n, h = 12, damped = TRUE)
fit_hw_add_test <- hw(train_n, h = 12, seasonal = "additive")
fit_ets_test <- forecast(ets(train_n), h = 12)
tabla_exp <- rbind(
SES = accuracy(fit_ses_test, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
Holt = accuracy(fit_holt_test, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
Holt_amortiguado = accuracy(fit_damped_test, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
Holt_Winters = accuracy(fit_hw_add_test, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
ETS = accuracy(fit_ets_test, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")]
)
knitr::kable(
round(tabla_exp, 3),
caption = "Comparación de suavizamiento exponencial"
)| RMSE | MAE | MAPE | MASE | |
|---|---|---|---|---|
| SES | 578.620 | 484.140 | 12.708 | 3.029 |
| Holt | 2261.050 | 2033.239 | 55.051 | 12.722 |
| Holt_amortiguado | 1225.302 | 1127.745 | 30.295 | 7.056 |
| Holt_Winters | 64.850 | 53.164 | 1.494 | 0.333 |
| ETS | 47.549 | 35.046 | 0.989 | 0.219 |
25 De ETS a ARIMA: cambia la pregunta
En ETS preguntamos principalmente:
¿Cómo evolucionan el nivel, la tendencia y la estacionalidad?
En ARIMA preguntamos:
¿Qué dependencia existe entre la serie actual, sus valores pasados y sus errores pasados?
Por ello ambos enfoques son complementarios.
26 Estacionariedad
Una serie es estacionaria, en sentido débil, si aproximadamente:
\[ E(Y_t)=\mu, \]
\[ \operatorname{Var}(Y_t)=\sigma^2, \]
y
\[ \operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t-k}) = \gamma_k, \]
donde la covarianza depende del rezago \(k\), no del tiempo específico \(t\).
Una serie con tendencia determinística o estacionalidad fija generalmente no es estacionaria.
27 Diferenciación
27.1 Primera diferencia
\[ \Delta Y_t = Y_t-Y_{t-1}. \]
La diferenciación elimina niveles y puede reducir tendencias.
diff1 <- diff(serie_n)
autoplot(diff1) +
labs(
title = "Primera diferencia del número de siniestros",
x = "Año",
y = expression(Delta * Y[t])
)
27.2 Segunda diferencia
\[ \Delta^2Y_t = \Delta Y_t-\Delta Y_{t-1}. \]
Desarrollando:
\[ \Delta^2Y_t = (Y_t-Y_{t-1}) - (Y_{t-1}-Y_{t-2}), \]
por tanto:
\[ \boxed{ \Delta^2Y_t = Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2} }. \]
Debe evitarse la sobrediferenciación, porque puede introducir estructura artificial y aumentar la varianza.
27.3 Diferencia estacional
Para datos mensuales:
\[ \Delta_{12}Y_t = Y_t-Y_{t-12}. \]
diff12 <- diff(serie_n, lag = 12)
autoplot(diff12) +
labs(
title = "Diferencia estacional de orden 12",
x = "Año",
y = expression(Y[t] - Y[t-12])
)
27.4 Primera diferencia + diferencia estacional
\[ (1-B)(1-B^{12})Y_t. \]
Desarrollando:
\[ (1-B)(1-B^{12}) = 1-B-B^{12}+B^{13}. \]
Por tanto:
\[ \boxed{ Y_t - Y_{t-1} - Y_{t-12} + Y_{t-13} }. \]
28 Operador de rezago
Definimos:
\[ BY_t=Y_{t-1}. \]
Entonces:
\[ B^2Y_t=Y_{t-2}. \]
La primera diferencia puede escribirse:
\[ \Delta Y_t = (1-B)Y_t. \]
La diferencia de orden \(d\):
\[ \Delta^dY_t = (1-B)^dY_t. \]
La diferencia estacional:
\[ \Delta_mY_t = (1-B^m)Y_t. \]
Esta notación simplifica mucho la representación ARIMA.
29 ¿Cuántas diferencias utilizar?
Podemos combinar:
- inspección gráfica;
- ACF;
- pruebas de raíz unitaria/estacionariedad;
ndiffs();nsdiffs().
## [1] 1## [1] 129.1 Prueba KPSS
En una versión habitual de KPSS:
\[ H_0: \text{la serie es estacionaria}. \]
\[ H_1: \text{la serie no es estacionaria}. \]
##
## KPSS Test for Level Stationarity
##
## data: serie_n
## KPSS Level = 2.7101, Truncation lag parameter = 4, p-value = 0.01Si el valor \(p\) es pequeño, existe evidencia contra la estacionariedad bajo la especificación utilizada.
No se recomienda decidir únicamente por una prueba. La decisión debe combinar teoría, gráficos y diagnóstico.
30 Autocorrelación
La autocorrelación de rezago \(k\) mide asociación lineal entre:
\[ Y_t \quad\text{y}\quad Y_{t-k}. \]
Una expresión muestral es:
\[ r_k = \frac{ \sum_{t=k+1}^{T} (Y_t-\bar Y) (Y_{t-k}-\bar Y) }{ \sum_{t=1}^{T} (Y_t-\bar Y)^2 }. \]
Una ACF que disminuye lentamente suele sugerir no estacionariedad.
Picos en los rezagos 12, 24, 36, … sugieren estructura estacional mensual.
31 Autocorrelación parcial — PACF
La PACF mide la relación entre:
\[ Y_t \quad\text{y}\quad Y_{t-k} \]
después de controlar el efecto lineal de:
\[ Y_{t-1}, Y_{t-2}, \ldots, Y_{t-k+1}. \]
32 Modelo autorregresivo AR(p)
Un modelo AR(\(p\)) es:
\[ Y_t = c+ \phi_1Y_{t-1} + \phi_2Y_{t-2} +\cdots+ \phi_pY_{t-p} + \varepsilon_t. \]
Para AR(1):
\[ Y_t = c+\phi_1Y_{t-1}+\varepsilon_t. \]
Si \(|\phi_1|<1\), el proceso AR(1) es estacionario.
32.1 Media de un AR(1)
Tomando esperanza:
\[ E(Y_t) = c+\phi_1E(Y_{t-1}). \]
Bajo estacionariedad:
\[ E(Y_t)=E(Y_{t-1})=\mu. \]
Entonces:
\[ \mu=c+\phi_1\mu, \]
\[ \mu(1-\phi_1)=c, \]
y:
\[ \boxed{ \mu= \frac{c}{1-\phi_1} }. \]
33 Modelo de media móvil MA(q)
No debe confundirse con el promedio móvil utilizado para suavizar una serie.
Un MA(\(q\)) utiliza errores pasados:
\[ Y_t = c+ \varepsilon_t+ \theta_1\varepsilon_{t-1} + \cdots+ \theta_q\varepsilon_{t-q}. \]
Para MA(1):
\[ Y_t = c+\varepsilon_t+ \theta_1\varepsilon_{t-1}. \]
La idea es que un shock puede afectar no solo el periodo actual, sino algunos periodos siguientes.
34 Identificación básica con ACF y PACF
Reglas heurísticas para series estacionarias:
| Modelo | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | decae gradualmente | corte aproximado después de \(p\) |
| MA(q) | corte aproximado después de \(q\) | decae gradualmente |
| ARMA(p,q) | decae | decae |
Estas reglas no son mecánicas. Son una guía para construir modelos candidatos.
35 ARIMA(p,d,q)
ARIMA combina:
- AR: autorregresión;
- I: integración, es decir, diferenciación;
- MA: media móvil.
Sea:
\[ W_t=\Delta^dY_t. \]
Entonces:
\[ W_t = c+ \phi_1W_{t-1} +\cdots+ \phi_pW_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} +\cdots+ \theta_q\varepsilon_{t-q}. \]
La notación es:
\[ ARIMA(p,d,q). \]
Interpretación:
- \(p\): orden autorregresivo;
- \(d\): número de diferencias regulares;
- \(q\): orden de media móvil.
36 Representación con operador de rezago
Definimos:
\[ \phi(B) = 1-\phi_1B-\cdots-\phi_pB^p, \]
y:
\[ \theta(B) = 1+\theta_1B+\cdots+\theta_qB^q. \]
Entonces:
\[ \boxed{ \phi(B)(1-B)^dY_t = c+\theta(B)\varepsilon_t }. \]
Esta es una de las formas más compactas de expresar ARIMA.
37 Casos particulares
Algunos modelos conocidos aparecen como casos especiales:
\[ ARIMA(0,0,0) \]
corresponde a ruido blanco.
\[ ARIMA(1,0,0) \]
es un AR(1).
\[ ARIMA(0,0,1) \]
es un MA(1).
\[ ARIMA(0,1,0) \]
sin constante corresponde a una caminata aleatoria:
\[ Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t. \]
38 SARIMA: ARIMA estacional
Un modelo estacional se escribe:
\[ ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_m. \]
Donde:
- \(p,d,q\): parte no estacional;
- \(P,D,Q\): parte estacional;
- \(m\): periodicidad.
Para datos mensuales:
\[ m=12. \]
La forma general puede escribirse:
\[ \Phi(B^m)\phi(B) (1-B)^d (1-B^m)^D Y_t = \Theta(B^m)\theta(B) \varepsilon_t. \]
39 Ejemplo SARIMA desarrollado
Considere:
\[ ARIMA(1,1,1)(1,1,1)_{12}. \]
Entonces:
\[ (1-\phi_1B) (1-\Phi_1B^{12}) (1-B) (1-B^{12})Y_t = (1+\theta_1B) (1+\Theta_1B^{12}) \varepsilon_t. \]
Esta ecuación contiene simultáneamente:
- dependencia mensual reciente;
- diferenciación regular;
- dependencia anual;
- diferenciación estacional;
- shocks no estacionales;
- shocks estacionales.
40 Flujo manual para construir ARIMA
La secuencia recomendada es:
- graficar la serie;
- considerar transformaciones;
- evaluar estacionalidad;
- diferenciar si es necesario;
- revisar ACF/PACF;
- proponer varios \((p,q,P,Q)\);
- estimar;
- comparar AICc entre ARIMA comparables;
- revisar residuos;
- evaluar fuera de muestra;
- pronosticar.
41 Transformación Box-Cox
Cuando la variabilidad crece con el nivel, una transformación puede ser útil.
La transformación Box-Cox es:
\[ w_t= \begin{cases} \log(Y_t), & \lambda=0,\\[6pt] \dfrac{Y_t^\lambda-1}{\lambda}, & \lambda\neq0. \end{cases} \]
## [1] 0.00006610696Si \(\lambda\) se aproxima a cero, una transformación logarítmica puede resultar adecuada.
42 Inspección de la serie de pagos
Aplicamos diferencia estacional:
Aplicamos además primera diferencia:
serie_arima_est <- diff(
diff(log(train_pago), lag = 12)
)
ggtsdisplay(
serie_arima_est,
main = "Serie con diferencia estacional y regular"
)
Ahora la ACF y PACF se interpretan sobre una serie mucho más cercana a estacionaria.
43 Estimación manual de un modelo SARIMA candidato
Como ejemplo didáctico, estimaremos:
\[ ARIMA(1,1,1)(0,1,1)_{12}. \]
fit_arima_manual <- Arima(
train_pago,
order = c(1, 1, 1),
seasonal = c(0, 1, 1),
lambda = 0,
biasadj = TRUE
)
summary(fit_arima_manual)## Series: train_pago
## ARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12]
## Box Cox transformation: lambda= 0
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 sma1
## -0.0555 -0.9561 -0.9966
## s.e. 0.0963 0.0483 0.8827
##
## sigma^2 = 0.006723: log likelihood = 114.41
## AIC=-220.81 AICc=-220.46 BIC=-209.7
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set -124623 1529211 690946.6 -1.474474 4.573652 0.4173999 -0.06166245No se debe elegir este orden simplemente porque “se ve sofisticado”. En una aplicación real debe justificarse con:
- diferenciación;
- ACF;
- PACF;
- AICc;
- residuos;
- precisión fuera de muestra.
44 Diagnóstico del ARIMA
##
## Ljung-Box test
##
## data: Residuals from ARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12]
## Q* = 15.444, df = 21, p-value = 0.8001
##
## Model df: 3. Total lags used: 24Un ARIMA útil debería dejar poco patrón sistemático en los residuos.
Si la ACF residual mantiene picos claros, probablemente queda información temporal sin modelar.
45 Pronóstico con el SARIMA
fc_arima_manual <- forecast(
fit_arima_manual,
h = 12
)
autoplot(fc_arima_manual) +
labs(
title = "Pronóstico SARIMA de siniestros pagados",
x = "Año",
y = "Monto"
)
Los intervalos de predicción normalmente se amplían con el horizonte porque la incertidumbre acumulada aumenta.
46 Selección automática con auto.arima()
fit_auto_arima <- auto.arima(
train_pago,
seasonal = TRUE,
lambda = 0,
biasadj = TRUE,
stepwise = FALSE,
approximation = FALSE
)
summary(fit_auto_arima)## Series: train_pago
## ARIMA(0,0,0)(2,1,1)[12] with drift
## Box Cox transformation: lambda= 0
##
## Coefficients:
## sar1 sar2 sma1 drift
## -0.0789 -0.0895 -0.8194 0.0091
## s.e. 0.2293 0.1774 0.3221 0.0002
##
## sigma^2 = 0.00725: log likelihood = 119.46
## AIC=-228.91 AICc=-228.38 BIC=-214.97
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set 13550.95 1572578 699667.4 -0.1847079 4.559708 0.4226681
## ACF1
## Training set -0.08447364auto.arima() es una herramienta de selección, no un
sustituto de la interpretación.
Debe revisarse:
##
## Ljung-Box test
##
## data: Residuals from ARIMA(0,0,0)(2,1,1)[12] with drift
## Q* = 12.33, df = 21, p-value = 0.9303
##
## Model df: 3. Total lags used: 2447 Pronóstico con auto.arima()
48 ETS frente a ARIMA
No existe una regla universal que diga que ARIMA es superior a ETS o viceversa.
ETS modela principalmente estados de:
- nivel;
- tendencia;
- estacionalidad.
ARIMA modela principalmente:
- diferenciación;
- autocorrelación;
- dinámica de rezagos;
- shocks pasados.
La decisión debe ser empírica.
49 Comparación ETS vs ARIMA fuera de muestra
fit_ets_pago <- ets(
train_pago
)
fc_ets_pago <- forecast(
fit_ets_pago,
h = length(test_pago)
)
fc_arima_pago <- forecast(
fit_auto_arima,
h = length(test_pago)
)
comparacion_pago <- rbind(
ETS = accuracy(
fc_ets_pago,
test_pago
)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
ARIMA = accuracy(
fc_arima_pago,
test_pago
)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")]
)
knitr::kable(
round(comparacion_pago, 3),
caption = "ETS frente a ARIMA: evaluación fuera de muestra"
)| RMSE | MAE | MAPE | MASE | |
|---|---|---|---|---|
| ETS | 2151623 | 1771757 | 8.011 | 1.070 |
| ARIMA | 2499244 | 1867437 | 8.455 | 1.128 |
50 Comparación mediante validación cruzada
f_ets <- function(y, h) {
forecast(ets(y), h = h)
}
f_arima <- function(y, h) {
forecast(auto.arima(y), h = h)
}
e_ets <- tsCV(
serie_n,
forecastfunction = f_ets,
h = 1
)
e_arima <- tsCV(
serie_n,
forecastfunction = f_arima,
h = 1
)
data.frame(
modelo = c("ETS", "ARIMA"),
RMSE_CV = c(
sqrt(mean(e_ets^2, na.rm = TRUE)),
sqrt(mean(e_arima^2, na.rm = TRUE))
)
)Esta comparación es más sólida que seleccionar el modelo únicamente por ajuste dentro de muestra.
51 Regresión dinámica con errores ARIMA
Hasta ahora hemos utilizado principalmente la historia de \(Y_t\).
Pero un actuario puede disponer de variables explicativas.
Por ejemplo:
\[ Y_t= \beta_0 + \beta_1X_{1t} + \beta_2X_{2t} + n_t, \]
donde:
\[ n_t\sim ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_m. \]
Esto combina dos ideas:
- regresión para explicar el nivel de la variable;
- ARIMA para modelar autocorrelación residual.
Ejemplo:
\[ \text{Siniestros}_t = \beta_0 + \beta_1\text{Exposición}_t + \beta_2\text{Catástrofe}_t + n_t. \]
51.1 Preparar regresores
51.2 Ajustar modelo
## Series: train_n
## Regression with ARIMA(5,0,1)(1,0,0)[12] errors
##
## Coefficients:
## ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 sar1 intercept
## 0.7402 -0.0288 -0.1186 -0.0335 -0.3772 -0.3678 0.3850 -847.2076
## s.e. 0.1663 0.1323 0.1102 0.1045 0.1151 0.1711 0.0939 46.4301
## Exposicion Catastrofe
## 0.0261 -38.9638
## s.e. 0.0004 38.7471
##
## sigma^2 = 4745: log likelihood = -744.8
## AIC=1511.59 AICc=1513.79 BIC=1543.3
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
## Training set -0.8431677 66.2228 52.38769 -0.1046336 2.023397 0.3277986
## ACF1
## Training set 0.0169976151.3 Pronosticar
Para pronosticar con regresores es necesario conocer o pronosticar sus valores futuros.
fc_dyn <- forecast(
fit_dyn,
xreg = xreg_test,
h = nrow(xreg_test)
)
autoplot(fc_dyn) +
autolayer(test_n, series = "Observado") +
labs(
title = "Regresión dinámica con errores ARIMA",
x = "Año",
y = "Número de siniestros",
colour = ""
)
52 Interpretación actuarial de la regresión dinámica
Suponga que el coeficiente estimado para exposición es positivo.
Esto no significa simplemente que “el tiempo hace crecer los siniestros”.
Significa que, controlando por la estructura temporal incluida en el error ARIMA, el volumen de exposición ayuda a explicar el número esperado de siniestros.
Esta separación es actuarialmente importante:
\[ \text{crecimiento de siniestros} = \text{crecimiento de exposición} + \text{cambio de frecuencia} + \text{estacionalidad} + \text{otros efectos}. \]
53 Redes neuronales autorregresivas
Otra extensión es utilizar modelos NNAR.
Un modelo NNAR utiliza rezagos como entradas de una red neuronal.
Conceptualmente:
\[ Y_t = f( Y_{t-1}, Y_{t-2}, \ldots, Y_{t-p} ) + \varepsilon_t, \]
donde \(f(\cdot)\) puede ser no lineal.
set.seed(2026)
fit_nnar <- nnetar(
train_n,
repeats = 20
)
fc_nnar <- forecast(
fit_nnar,
h = 12
)
autoplot(fc_nnar)Se deja eval=FALSE porque la estimación puede tardar más
según el equipo.
Estos modelos pueden capturar relaciones no lineales, pero suelen ser menos transparentes y sus intervalos de predicción requieren más cuidado.
54 Caso actuarial integrado
Ahora resolveremos un ejercicio completo.
Queremos pronosticar el número mensual de siniestros de 2026.
Compararemos:
- naïve estacional;
- ETS;
- ARIMA;
- regresión dinámica con exposición y evento extraordinario.
# 1. Benchmark
fc1 <- snaive(
train_n,
h = 12
)
# 2. ETS
fit2 <- ets(train_n)
fc2 <- forecast(
fit2,
h = 12
)
# 3. ARIMA
fit3 <- auto.arima(
train_n,
seasonal = TRUE
)
fc3 <- forecast(
fit3,
h = 12
)
# 4. Regresión dinámica
fit4 <- auto.arima(
train_n,
xreg = xreg_train,
seasonal = TRUE
)
fc4 <- forecast(
fit4,
xreg = xreg_test,
h = 12
)
resultados <- rbind(
SNaive = accuracy(fc1, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
ETS = accuracy(fc2, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
ARIMA = accuracy(fc3, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
Regresion_dinamica = accuracy(fc4, test_n)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")]
)
knitr::kable(
round(resultados, 3),
caption = "Comparación final de modelos"
)| RMSE | MAE | MAPE | MASE | |
|---|---|---|---|---|
| SNaive | 176.766 | 169.083 | 4.683 | 1.058 |
| ETS | 47.549 | 35.046 | 0.989 | 0.219 |
| ARIMA | 63.426 | 50.908 | 1.353 | 0.319 |
| Regresion_dinamica | 68.526 | 56.853 | 1.603 | 0.356 |
55 ¿Cómo seleccionar el modelo final?
No debe utilizarse una sola estadística.
Una decisión profesional debería considerar simultáneamente:
- precisión fuera de muestra;
- estabilidad;
- residuos;
- horizonte de pronóstico;
- interpretabilidad;
- sensibilidad a eventos extremos;
- facilidad de actualización;
- disponibilidad de variables futuras;
- coherencia con la lógica actuarial del negocio.
Por ejemplo:
- si ETS y ARIMA presentan errores similares, un modelo ETS puede ser preferible por simplicidad;
- si la exposición futura es conocida y mejora materialmente la precisión, la regresión dinámica puede ser superior;
- si existe estacionalidad muy estable, el naïve estacional puede ser un benchmark sorprendentemente competitivo;
- si los residuos de un modelo conservan autocorrelación, el modelo todavía está dejando información temporal sin explicar.
56 Árbol conceptual para elegir un modelo
Pregunte primero:
56.0.1 ¿Hay tendencia?
- No: considere SES, ARMA o un benchmark.
- Sí: considere Holt, ETS con tendencia o diferenciación ARIMA.
56.0.2 ¿Hay estacionalidad?
- No: use métodos no estacionales.
- Sí: considere Holt-Winters, ETS estacional, SARIMA o STL + modelo no estacional.
56.0.3 ¿La amplitud estacional crece con el nivel?
- No: estructura aditiva.
- Sí: estructura multiplicativa o transformación log/Box-Cox.
56.0.4 ¿Existen predictores externos?
- No: ETS/ARIMA puede ser suficiente.
- Sí: considere regresión dinámica con errores ARIMA.
56.0.5 ¿Existen relaciones claramente no lineales?
- Considere métodos como NNAR después de establecer benchmarks sólidos.
57 Intervalos de predicción
Un pronóstico puntual:
\[ \widehat Y_{T+h|T} \]
no expresa toda la incertidumbre.
Un intervalo de predicción aproximado bajo normalidad puede escribirse:
\[ \widehat Y_{T+h|T} \pm z_{\alpha/2} \widehat{\sigma}_h. \]
Para 95%:
\[ \widehat Y_{T+h|T} \pm 1.96\widehat{\sigma}_h. \]
En general:
\[ \widehat{\sigma}_h \]
aumenta con \(h\).
Por tanto:
mientras más lejos pronosticamos, mayor suele ser la incertidumbre.
Esto es especialmente importante en aplicaciones actuariales porque la incertidumbre del pronóstico puede ser tan importante como el valor esperado.
58 Pronóstico puntual vs distribución predictiva
Desde una perspectiva estadística:
\[ Y_{T+h} \]
es una variable aleatoria futura.
El pronóstico puntual suele representar una medida central de:
\[ p( Y_{T+h} \mid Y_1,\ldots,Y_T ). \]
Pero la distribución predictiva contiene mucha más información:
- media;
- mediana;
- varianza;
- percentiles;
- probabilidad de superar un umbral.
En seguros puede ser más importante conocer:
\[ P( Y_{T+h}>c ) \]
que únicamente el valor medio esperado.
59 Ejemplo: probabilidad aproximada de excedencia
Suponga que un pronóstico anual de pagos tiene:
\[ \widehat Y=Q\,120\,000\,000 \]
y error estándar predictivo:
\[ \sigma=Q\,12\,000\,000. \]
Queremos:
\[ P( Y>Q\,140\,000\,000 ). \]
Estandarizamos:
\[ Z= \frac{ 140-120 }{12} = 1.667. \]
Por tanto:
\[ P(Y>140) = 1-\Phi(1.667). \]
## [1] 0.04779035Este tipo de cálculo conecta directamente el pronóstico temporal con decisiones de capital, liquidez y gestión de riesgo.
60 Errores frecuentes al modelar series de tiempo
60.1 Error 1. Aplicar regresión ordinaria e ignorar autocorrelación
Si:
\[ e_t \]
está correlacionado temporalmente, las inferencias de una regresión convencional pueden resultar deficientes.
60.2 Error 2. Confundir estacionalidad con ciclo
La estacionalidad tiene periodo fijo; el ciclo no.
60.3 Error 3. Diferenciar automáticamente hasta “hacer plana” la serie
La sobrediferenciación puede dañar el modelo.
60.4 Error 4. Elegir el modelo con mayor \(R^2\)
En forecasting, el objetivo principal es pronosticar adecuadamente fuera de muestra.
60.5 Error 5. Usar únicamente AIC
AIC/AICc no reemplaza la validación fuera de muestra.
60.6 Error 6. No utilizar benchmark
Un modelo complejo debe demostrar que agrega valor.
60.7 Error 7. Ignorar eventos extraordinarios
Un shock catastrófico puede distorsionar tendencia, estacionalidad y parámetros.
60.8 Error 8. Pronosticar un regresor sin reconocerlo
Un modelo dinámico necesita valores futuros de las variables explicativas.
61 Ejercicio guiado 1
Considere una serie mensual de frecuencia de siniestros con patrón anual.
Preguntas:
- ¿Cuál es la frecuencia \(m\)?
- ¿Qué rezagos deberían revisarse con especial atención en la ACF?
- ¿Qué diferencia eliminaría una estacionalidad anual estable?
- ¿Qué modelo exponencial consideraría si existe tendencia y estacionalidad?
- ¿Cómo comprobaría que el modelo elegido supera una alternativa simple?
Ver respuesta
- \(m=12\).
- Rezagos 12, 24, 36, …
- \(\Delta_{12}Y_t=Y_t-Y_{t-12}\).
- Holt-Winters o un modelo ETS con tendencia y estacionalidad.
- Comparándolo contra naïve estacional mediante test set o validación cruzada temporal.
62 Ejercicio guiado 2
Suponga:
\[ Y_t=2500, \]
\[ \ell_{t-1}=2400, \]
\[ \alpha=0.30. \]
Calcule el nuevo nivel SES:
\[ \ell_t = \alpha Y_t+ (1-\alpha)\ell_{t-1}. \]
Yt <- 2500
nivel_anterior <- 2400
alpha <- 0.30
nivel_nuevo <-
alpha * Yt +
(1 - alpha) * nivel_anterior
nivel_nuevo## [1] 2430Interpretación
El nivel actualizado es una combinación ponderada entre la observación actual y el nivel histórico. Con \(\alpha=0.30\), el modelo conserva 70% de la información contenida en el nivel previo y asigna 30% a la observación más reciente.
63 Ejercicio guiado 3: diferenciación
Sean:
\[ Y_t=120, \quad Y_{t-1}=112, \quad Y_{t-12}=100, \quad Y_{t-13}=96. \]
Calcule:
\[ (1-B)(1-B^{12})Y_t. \]
Desarrollando:
\[ Y_t-Y_{t-1}-Y_{t-12}+Y_{t-13}. \]
## [1] 4Ver explicación
Primero se elimina el efecto anual y luego el cambio de corto plazo. El resultado representa el cambio mensual en la diferencia respecto del mismo mes del año anterior.
64 Ejercicio guiado 4: identificar AR o MA
Suponga que después de estacionarizar una serie:
- la PACF tiene picos fuertes en rezagos 1 y 2;
- después del rezago 2 cae dentro de los límites;
- la ACF decae gradualmente.
¿Qué modelo inicial consideraría?
Ver respuesta
Un candidato natural es:
\[ AR(2), \]
o, si la serie requirió \(d\) diferencias:
\[ ARIMA(2,d,0). \]
Debe confirmarse mediante estimación, AICc, diagnóstico residual y evaluación fuera de muestra.
65 Ejercicio guiado 5: interpretación actuarial
Una compañía observa un crecimiento de 8% anual en número de siniestros.
¿Es correcto concluir que la frecuencia de siniestros está aumentando 8%?
Ver respuesta
No necesariamente. El número de siniestros depende también de la exposición.
Una descomposición conceptual es:
\[ E[N_t] = \text{Exposición}_t \times \text{Frecuencia}_t. \]
El crecimiento de siniestros puede deberse principalmente a crecimiento del portafolio, no a deterioro del riesgo.
66 Taller final
Utilice una serie actuarial propia o sustituya serie_n
por una serie real.
Complete el siguiente flujo.
# 1. Convertir a serie temporal
mi_serie <- ts(
mis_datos,
start = c(2018, 1),
frequency = 12
)
# 2. Graficar
autoplot(mi_serie)
# 3. Explorar estacionalidad
seasonplot(mi_serie)
monthplot(mi_serie)
# 4. ACF y PACF
ggtsdisplay(mi_serie)
# 5. Descomponer
ajuste_stl <- stl(
mi_serie,
s.window = "periodic",
robust = TRUE
)
autoplot(ajuste_stl)
# 6. Determinar diferenciación
ndiffs(mi_serie)
nsdiffs(mi_serie)
# 7. Separar entrenamiento/prueba
train <- window(
mi_serie,
end = c(2024, 12)
)
test <- window(
mi_serie,
start = c(2025, 1)
)
# 8. Benchmark
fc_snaive <- snaive(
train,
h = length(test)
)
# 9. ETS
fit_ets <- ets(train)
fc_ets <- forecast(
fit_ets,
h = length(test)
)
# 10. ARIMA
fit_arima <- auto.arima(
train,
seasonal = TRUE
)
fc_arima <- forecast(
fit_arima,
h = length(test)
)
# 11. Diagnóstico
checkresiduals(fit_ets)
checkresiduals(fit_arima)
# 12. Comparar fuera de muestra
rbind(
SNaive = accuracy(
fc_snaive,
test
)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
ETS = accuracy(
fc_ets,
test
)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")],
ARIMA = accuracy(
fc_arima,
test
)["Test set", c("RMSE", "MAE", "MAPE", "MASE")]
)
# 13. Seleccionar el modelo
# No utilizar una sola métrica.
# Revisar:
# - precisión
# - residuos
# - estabilidad
# - lógica actuarial
# 14. Reestimar con toda la muestra y pronosticar
modelo_final <- auto.arima(
mi_serie,
seasonal = TRUE
)
pronostico_final <- forecast(
modelo_final,
h = 12
)
autoplot(pronostico_final)67 Resumen conceptual
La secuencia completa puede resumirse así:
\[ \boxed{ \text{Datos} \rightarrow \text{Gráficos} \rightarrow \text{Patrones} \rightarrow \text{Descomposición} \rightarrow \text{Modelo} \rightarrow \text{Diagnóstico} \rightarrow \text{Validación} \rightarrow \text{Pronóstico} } \]
Y la decisión entre familias de modelos puede verse como:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{Nivel/tendencia/estacionalidad} \\ \Downarrow \\ ETS \end{array} } \qquad \boxed{ \begin{array}{c} \text{Autocorrelación/diferenciación} \\ \Downarrow \\ ARIMA \end{array} } \]
Si existen predictores externos:
\[ \boxed{ \text{Regresión} + \text{errores ARIMA} } \]
Si existen relaciones no lineales complejas:
\[ \boxed{ NNAR \text{ u otros modelos avanzados} } \]
68 Lista de comprobación para un análisis profesional
Antes de entregar un pronóstico, responda:
69 Cierre
El objetivo de una buena metodología de pronóstico no es encontrar el modelo más complejo.
Es encontrar una representación suficientemente adecuada de la estructura de los datos para producir pronósticos:
- replicables;
- interpretables;
- evaluables;
- estadísticamente defendibles;
- útiles para la toma de decisiones.
En ciencias actuariales esto implica separar cuidadosamente:
\[ \text{exposición}, \quad \text{frecuencia}, \quad \text{severidad}, \quad \text{tendencia}, \quad \text{estacionalidad}, \quad \text{shocks}. \]
Un modelo temporal debe ser entendido como una representación del proceso generador de datos, no como una función automática que se aplica sin diagnóstico.