1. Proporsi sampel peserta yang “Lulus” beserta selang kepercayaan 95%

n <- 40 # jumlah peserta
x <- 29 # jumlah peserta "Lulus"
p0 <- 0.80 

# Proporsi sampel peserta "Lulus"
(p_hat <- x / n)

## [1] 0.725

z <- 1.96 #Zα/2

# Standard error
SE <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
SE

## [1] 0.07060011

# Confidence interval 95%
lower <- p_hat - z * SE
upper <- p_hat + z * SE

c(lower, upper)

## [1] 0.5866238 0.8633762

2. Syarat kecukupan sampel untuk pendekatan normal

Syarat uji Z proporsi:

\[ n \times p0 \geq 5 \] \[ n (1 - p0) \geq 5 \]

(npo <- n * p0)

## [1] 32

n * (1 - p0)

## [1] 8

Karena \(32 \geq 5\) dan \(8 \geq 5\), maka, berdasarkan hasil yang diperoleh, kedua syarat pendekatan normal terpenuhi, sehingga uji Z dapat digunakan untuk uji hipotesis.

3. Uji Z

1. Hipotesis

H0: p = 0.80

H1: p < 0.80

2. Taraf signifikansi

α = 0,05

3. Statistik uji:

Z <- ((p_hat - p0) / sqrt((p0*(1 - p0)/n)))

Z

## [1] -1.185854

4. Kriteria keputusan

Tolak H0 jika \(Z_\text{hitung}\) > \(Z_\text{0.05}\)

\(Z_\text{hitung}= -1.186\)

\(Z_\text{0.05} = -1.645\)

\(-1.186 < -1.645\) (Gagal tolak H0)

5. Kesimpulan

Berdasarkan kriteria keputusan, dapat disimpulkan bahwa belum terdapat bukti yang cukup bahwa tingkat kelulusan aktual berada di bawah target 80% pada taraf signifikansi 5%.

1. Hipotesis

H0: Proporsi sesuai historis (40%, 30%, 20%, 10%)

H1: Minimal terdapat satu proporsi yang berbeda

2. Nilai Harapan (Expected Frequency)

Nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:

\[ E_i = n \times p_0 \]

observed <- c(70, 40, 25, 15)
expected_p <- c(0.4, 0.3, 0.2, 0.1)
n <- 150 # Total

(expected_f <- n * expected_p)

## [1] 60 45 30 15

Dari hasil output tersebut, dihasilkan nilai ekspetasi setiap kategori, yaitu

\[ E_{\text{akademik}} = 60 \]

\[ E_{\text{administrasi}} = 45 \]

\[ E_{\text{teknis}} = 30 \]

\[ E_{\text{lainnya}} = 15 \]

3. Uji Chi-Square dan derajat bebas, bandingkan nilai kritis pada α = 0,05

Statistik uji:

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \]

chisq.test(x = observed, p = expected_p)

## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  observed
## X-squared = 3.0556, df = 3, p-value = 0.3831

\[ \chi^2 = 3.0556 \]

Derajat bebas

\[ df = k - 1 = 4 - 1 = 3 \]

\(X^2\) kritis

\[ \chi^2 = 7.815 \]

Kriteria keputusan:

Tolak H0 jika \(X^2\) > \(X^2\) kritis

3.0556 < 7.815 (Gagal tolak H0)

Kesimpulan:

Berdasarkan kriteria keputusan (3.0556 < 7.815), maka keputusan gagal tolak H0. Artinya, distribusi jenis pertanyaan terbaru masih sesuai dengan proporsi historis pada taraf signifikansi 5%.