Notebook de Fundamentos Matemáticos
Resolución paso a paso
Jeel Cueva, Profesor Auxiliar - UNHEVAL
2026-09-10
1 Introducción
Este notebook está organizado en los fundamentos (teoría de conjuntos, axiomas de los números reales e inducción matemática, siguiendo la Parte 2, Parte 3 y Parte 4 de Apostol) Cada paso tiene una breve explicación en texto antes del código.
2 Parte. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
2.1 Introducción a la teoría de conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos. En R podemos representar conjuntos con vectores, teniendo cuidado de no repetir elementos.
Paso 1: Creamos un conjunto en R
A <- c(1, 2, 3, 4, 5)
A## [1] 1 2 3 4 5Paso 2: Verificamos si un elemento pertenece al conjunto (relación de pertenencia)
3 %in% A## [1] TRUE8 %in% A## [1] FALSE2.2 Notaciones para designar conjuntos
Un conjunto puede describirse por extensión (listando sus elementos) o por comprensión (una regla que cumplen sus elementos), por ejemplo \(B = \{x : x \text{ es par}, 1 \le x \le 20\}\).
Paso 1: Definimos el conjunto por extensión
B_extension <- c(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
B_extension## [1] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Paso 2: Definimos el mismo conjunto por comprensión usando una condición lógica
x <- 1:20
B_comprension <- x[x %% 2 == 0]
B_comprension## [1] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Paso 3: Comprobamos que ambas formas generan el mismo conjunto
identical(B_extension, B_comprension)## [1] FALSE2.3 Subconjuntos
Un conjunto \(C\) es subconjunto de \(D\) si todo elemento de \(C\) también pertenece a \(D\), lo que se denota \(C \subseteq D\).
Paso 1: Definimos dos conjuntos
C <- c(2, 4, 6)
D <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)Paso 2: Verificamos si C es subconjunto de D
es_subconjunto <- all(C %in% D)
es_subconjunto## [1] TRUEPaso 3: Verificamos la igualdad de conjuntos (doble contención)
E <- c(6, 4, 2) # mismos elementos que C, distinto orden
son_iguales <- setequal(C, E)
son_iguales## [1] TRUE2.4 Reuniones, intersecciones, complementos
Paso 1: Definimos dos conjuntos de trabajo
conjunto_F <- c(1, 2, 3, 4, 5)
conjunto_G <- c(4, 5, 6, 7, 8)Paso 2: Calculamos la union (reunión) F ∪ G
union_FG <- union(conjunto_F, conjunto_G)
union_FG## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8Paso 3: Calculamos la intersección F ∩ G
interseccion_FG <- intersect(conjunto_F, conjunto_G)
interseccion_FG## [1] 4 5Paso 4: Calculamos el complemento de F respecto a un conjunto universal U
U <- 1:10
complemento_F <- setdiff(U, conjunto_F)
complemento_F## [1] 6 7 8 9 10Paso 5: Calculamos la diferencia de conjuntos F - G
diferencia_FG <- setdiff(conjunto_F, conjunto_G)
diferencia_FG## [1] 1 2 32.5 Ejercicios
2.5.1 Ejercicio: Verificar las leyes de De Morgan
Las leyes de De Morgan afirman que \((F \cup G)^c = F^c \cap G^c\) y \((F \cap G)^c = F^c \cup G^c\).
Paso 1: Calculamos el lado izquierdo de la primera ley
lado_izq1 <- setdiff(U, union(conjunto_F, conjunto_G))
lado_izq1## [1] 9 10Paso 2: Calculamos el lado derecho de la primera ley
lado_der1 <- intersect(setdiff(U, conjunto_F), setdiff(U, conjunto_G))
lado_der1## [1] 9 10Paso 3: Comparamos ambos resultados
setequal(lado_izq1, lado_der1)## [1] TRUE3 Parte. Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales
3.1 Introducción
El sistema de los números reales se construye a partir de un conjunto de axiomas: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del extremo superior. En esta sección ilustramos cada axioma con ejemplos numericos en R.
3.2 Axiomas de cuerpo
Los axiomas de cuerpo garantizan que la suma y el producto de números reales cumplen propiedades como conmutatividad, asociatividad, existencia de elemento neutro e inverso, y distributividad.
Paso 1: Verificamos la propiedad conmutativa de la suma y el producto
a <- 3.5
b <- 7.2
c(a + b == b + a, a * b == b * a)## [1] TRUE TRUEPaso 2: Verificamos la propiedad asociativa
c <- 2.1
c((a + b) + c == a + (b + c), (a * b) * c == a * (b * c))## [1] FALSE TRUEPaso 3: Verificamos la existencia del elemento neutro (0 para la suma, 1 para el producto)
c(a + 0 == a, a * 1 == a)## [1] TRUE TRUEPaso 4: Verificamos la existencia del inverso aditivo y multiplicativo
c(a + (-a) == 0, a * (1/a) == 1)## [1] TRUE TRUEPaso 5: Verificamos la propiedad distributiva
a * (b + c) == a*b + a*c## [1] FALSE3.3 Ejercicios
3.3.1 Ejercicio: Comprobar la ley de cancelación
Si \(a + c = b + c\) entonces \(a = b\).
Paso 1: Definimos valores y verificamos la hipotesis
a <- 5
b <- 5
c <- 3.7
(a + c) == (b + c)## [1] TRUEPaso 2: Confirmamos la conclusión
a == b## [1] TRUE3.4 Axiomas de orden
El orden de los números reales cumple tricotomia (dado a y b, se tiene a<b, a=b o a>b), transitividad, y compatibilidad con la suma y el producto por positivos.
Paso 1: Verificamos la ley de tricotomia
comparar <- function(x, y) {
if (x < y) "x < y" else if (x > y) "x > y" else "x = y"
}
comparar(4, 7)## [1] "x < y"Paso 2: Verificamos la transitividad (si a<b y b<c, entonces a<c)
a <- 2; b <- 5; c <- 9
(a < b) & (b < c) & (a < c)## [1] TRUEPaso 3: Verificamos que el orden se preserva al sumar la misma cantidad
k <- 10
(a < b) == (a + k < b + k)## [1] TRUEPaso 4: Verificamos que el orden se preserva al multiplicar por un positivo, y se invierte al multiplicar por un negativo
m_pos <- 3
m_neg <- -3
c((a < b) == (a*m_pos < b*m_pos), (a < b) == (a*m_neg > b*m_neg))## [1] TRUE TRUE3.5 Ejercicios
3.5.1 Ejercicio: Resolver una desigualdad
Resolver \(2x - 3 < 7\).
Paso 1: Definimos la desigualdad como función
desigualdad <- function(x) 2*x - 3 < 7Paso 2: Probamos varios valores para verificar la solución x < 5
valores_prueba <- c(3, 4, 4.9, 5, 5.1, 6)
data.frame(x = valores_prueba, cumple = desigualdad(valores_prueba))## x cumple
## 1 3.0 TRUE
## 2 4.0 TRUE
## 3 4.9 TRUE
## 4 5.0 FALSE
## 5 5.1 FALSE
## 6 6.0 FALSE3.6 Numeros enteros y racionales
Paso 1: Verificamos si un número es entero en R
valores <- c(4, 4.5, -3, 0, 7/2)
son_enteros <- valores == floor(valores)
data.frame(valor = valores, es_entero = son_enteros)## valor es_entero
## 1 4.0 TRUE
## 2 4.5 FALSE
## 3 -3.0 TRUE
## 4 0.0 TRUE
## 5 3.5 FALSEPaso 2: Representamos un número racional como fracción p/q usando la libreria pracma
racional <- 0.75
fraccion <- pracma::rats(racional)## 3/4fraccion## [1] 0.753.7 Interpretación geométrica de los números reales como puntos de una recta
Paso 1: Ubicamos varios números reales en la recta numérica
puntos <- c(-3, -1.5, 0, 2, 4.7)
puntos## [1] -3.0 -1.5 0.0 2.0 4.7Paso 2: Graficamos estos puntos sobre una recta numérica
plot(puntos, rep(0, length(puntos)), pch = 19, col = "blue",
yaxt = "n", ylab = "", xlab = "Recta real",
main = "Interpretación geométrica de los números reales")
abline(h = 0)
text(puntos, 0.05, labels = puntos)
3.8 Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior
Paso 1: Definimos un conjunto acotado superiormente
conjunto_H <- c(1, 2, 3, 3.5, 3.9)Paso 2: Verificamos que un valor es cota superior (mayor o igual a todos los elementos)
cota_candidata <- 4
es_cota_superior <- all(conjunto_H <= cota_candidata)
es_cota_superior## [1] TRUEPaso 3: Calculamos el extremo superior (supremo), que en este caso coincide con el máximo
supremo <- max(conjunto_H)
supremo## [1] 3.93.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud)
Este axioma garantiza que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un extremo superior (supremo), aunque dicho supremo no siempre sea alcanzado por el conjunto.
Paso 1: Ilustramos un conjunto cuyo supremo no pertenece al conjunto: valores de 1 - 1/n
n <- 1:20
conjunto_I <- 1 - 1/n
conjunto_I## [1] 0.0000000 0.5000000 0.6666667 0.7500000 0.8000000 0.8333333 0.8571429
## [8] 0.8750000 0.8888889 0.9000000 0.9090909 0.9166667 0.9230769 0.9285714
## [15] 0.9333333 0.9375000 0.9411765 0.9444444 0.9473684 0.9500000Paso 2: El supremo teórico de este conjunto es 1, aunque ningun elemento lo alcanza
max(conjunto_I) < 1## [1] TRUEsupremo_teorico <- 1
supremo_teorico## [1] 1Paso 3: Graficamos como los elementos se acercan al supremo sin alcanzarlo
plot(n, conjunto_I, type = "b", col = "darkred",
main = "Elementos acercandose al supremo (1 - 1/n)",
xlab = "n", ylab = "1 - 1/n")
abline(h = 1, lty = 2, col = "blue")
3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los números reales
La propiedad arquimediana establece que para todo número real \(x\), existe un número natural \(n\) tal que \(n > x\).
Paso 1: Definimos un número real grande
x_real <- 1000000.5Paso 2: Buscamos un número natural que lo supere
n_natural <- ceiling(x_real) + 1
n_natural > x_real## [1] TRUE3.11 Propiedades fundamentales del extremo superior
Paso 1: Verificamos que el supremo de la union de dos conjuntos es el máximo de los supremos individuales
conjunto_J <- c(1, 2, 3)
conjunto_K <- c(2, 4, 5)
sup_J <- max(conjunto_J)
sup_K <- max(conjunto_K)
sup_union <- max(union(conjunto_J, conjunto_K))
c(sup_J, sup_K, sup_union, max(sup_J, sup_K) == sup_union)## [1] 3 5 5 13.12 Ejercicios
3.12.1 Ejercicio: Determinar el supremo e infimo de un conjunto
Sea el conjunto \(L = \{x : 2 < x \le 6\}\).
Paso 1: Generamos una muestra densa de puntos del conjunto
L <- seq(2.0001, 6, by = 0.0001)Paso 2: Calculamos el supremo (que si pertenece al conjunto) y el infimo (que no pertenece)
supremo_L <- max(L)
infimo_L <- min(L)
c(supremo_L = supremo_L, infimo_L = infimo_L)## supremo_L infimo_L
## 6.0000 2.00013.13 Existencia de raíces cuadradas de números reales no negativos
Paso 1: Calculamos la raíz cuadrada de un número no negativo
numero <- 7
raiz <- sqrt(numero)
raiz## [1] 2.645751Paso 2: Verificamos que el resultado satisface la definición (raíz^2 = número)
isTRUE(all.equal(raiz^2, numero))## [1] TRUEPaso 3: Aproximamos la raíz cuadrada mediante el método de Newton, paso a paso
aproximar_raiz <- function(a, iteraciones = 6) {
x <- a / 2
historial <- numeric(iteraciones)
for (i in 1:iteraciones) {
x <- (x + a/x) / 2
historial[i] <- x
}
historial
}
aproximar_raiz(7)## [1] 2.750000 2.647727 2.645752 2.645751 2.645751 2.6457513.14 Raices de orden superior. Potencias racionales
Paso 1: Calculamos una raíz de orden superior, por ejemplo la raíz cubica
raiz_cubica <- 27^(1/3)
raiz_cubica## [1] 3Paso 2: Calculamos una potencia racional general, por ejemplo 8^(2/3)
potencia_racional <- 8^(2/3)
potencia_racional## [1] 4Paso 3: Verificamos la propiedad (a(p/q))q = a^p
a_val <- 8; p_val <- 2; q_val <- 3
lado_izq <- (a_val^(p_val/q_val))^q_val
lado_der <- a_val^p_val
isTRUE(all.equal(lado_izq, lado_der))## [1] TRUE3.15 Representación de los números reales por medio de decimales
Paso 1: Obtenemos la representación decimal de un número racional
fraccion_ejemplo <- 1/3
print(fraccion_ejemplo, digits = 15)## [1] 0.333333333333333Paso 2: Identificamos el periodo de un decimal periódico generando varios digitos
options(digits = 15)
1/7## [1] 0.142857142857143options(digits = 7) # restauramos el valor por defectoPaso 3: Aproximamos un número irracional (no periódico) como Pi con muchos decimales
print(pi, digits = 15)## [1] 3.141592653589794 Parte. Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas
4.1 Ejemplo de demostración por inducción matemática
Queremos comprobar la formula \(1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Paso 1: Definimos la suma directa y la formula cerrada
suma_directa <- function(n) sum(1:n)
formula_cerrada <- function(n) n*(n+1)/2Paso 2: Comparamos ambas para varios valores de n
n_vals <- 1:10
data.frame(n = n_vals,
suma_directa = sapply(n_vals, suma_directa),
formula = formula_cerrada(n_vals))## n suma_directa formula
## 1 1 1 1
## 2 2 3 3
## 3 3 6 6
## 4 4 10 10
## 5 5 15 15
## 6 6 21 21
## 7 7 28 28
## 8 8 36 36
## 9 9 45 45
## 10 10 55 554.2 El principio de la inducción matemática
El principio de inducción establece que si una proposición \(P(n)\) es verdadera para \(n=1\) (caso base), y si \(P(k)\) verdadera implica \(P(k+1)\) verdadera (paso inductivo), entonces \(P(n)\) es verdadera para todo \(n \ge 1\).
Paso 1: Verificamos el caso base de la formula de la suma
n <- 1
suma_directa(n) == formula_cerrada(n)## [1] TRUEPaso 2: Verificamos el paso inductivo para un valor arbitrario k
k <- 15
paso_inductivo <- (formula_cerrada(k) + (k+1)) == formula_cerrada(k+1)
paso_inductivo## [1] TRUE4.3 El principio de buena ordenación
Todo subconjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo.
Paso 1: Definimos un subconjunto de números naturales
subconjunto_naturales <- c(15, 3, 42, 7, 99, 3)Paso 2: Encontramos el elemento mínimo
elemento_minimo <- min(subconjunto_naturales)
elemento_minimo## [1] 34.4 Ejercicios
4.4.1 Ejercicio: Demostrar por inducción que 2^n > n para todo n >= 1
Paso 1: Verificamos el caso base
n <- 1
2^n > n## [1] TRUEPaso 2: Verificamos numéricamente el paso inductivo para varios valores
k_vals <- 1:20
cumple <- 2^k_vals > k_vals
data.frame(k = k_vals, cumple_desigualdad = cumple)## k cumple_desigualdad
## 1 1 TRUE
## 2 2 TRUE
## 3 3 TRUE
## 4 4 TRUE
## 5 5 TRUE
## 6 6 TRUE
## 7 7 TRUE
## 8 8 TRUE
## 9 9 TRUE
## 10 10 TRUE
## 11 11 TRUE
## 12 12 TRUE
## 13 13 TRUE
## 14 14 TRUE
## 15 15 TRUE
## 16 16 TRUE
## 17 17 TRUE
## 18 18 TRUE
## 19 19 TRUE
## 20 20 TRUE4.5 Demostración del principio de buena ordenación
Paso 1: Generamos un conjunto aleatorio de números naturales
set.seed(123)
conjunto_aleatorio <- sample(1:1000, 10)
conjunto_aleatorio## [1] 415 463 179 526 195 938 818 118 299 229Paso 2: Confirmamos que siempre existe un mínimo, sin importar el orden en que se presenten los elementos
min(conjunto_aleatorio)## [1] 1184.6 El símbolo sumatorio
Paso 1: Calculamos una suma finita usando el símbolo sumatorio (sum en R)
\[\sum_{i=1}^{5} i^2\]
suma1 <- sum((1:5)^2)
suma1## [1] 55Paso 2: Calculamos una suma con indice que no comienza en 1
\[\sum_{i=3}^{8} (2i - 1)\]
suma2 <- sum(2*(3:8) - 1)
suma2## [1] 60Paso 3: Verificamos la propiedad de linealidad del sumatorio
\[\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i\]
a_vec <- 1:5
b_vec <- 6:10
sum(a_vec + b_vec) == sum(a_vec) + sum(b_vec)## [1] TRUE4.7 Ejercicios
4.7.1 Ejercicio: Calcular la suma de los cuadrados de los primeros n números
Formula: \(\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Paso 1: Calculamos la suma directa para n = 10
n <- 10
suma_directa_cuadrados <- sum((1:n)^2)
suma_directa_cuadrados## [1] 385Paso 2: Comparamos con la formula cerrada
formula_cuadrados <- n*(n+1)*(2*n+1)/6
formula_cuadrados## [1] 3854.8 Valor absoluto y desigualdad triangular
La desigualdad triangular establece que \(|a + b| \le |a| + |b|\) para todo par de números reales.
Paso 1: Calculamos el valor absoluto de varios números
valores <- c(-5, 3, -2.7, 0)
abs(valores)## [1] 5.0 3.0 2.7 0.0Paso 2: Verificamos la desigualdad triangular con un ejemplo
a <- -4
b <- 6
c(abs(a + b), abs(a) + abs(b), abs(a + b) <= abs(a) + abs(b))## [1] 2 10 1Paso 3: Verificamos la desigualdad triangular para muchos pares aleatorios de números
set.seed(42)
a_rand <- runif(1000, -50, 50)
b_rand <- runif(1000, -50, 50)
todos_cumplen <- all(abs(a_rand + b_rand) <= abs(a_rand) + abs(b_rand))
todos_cumplen## [1] TRUE4.9 Ejercicios
4.9.1 Ejercicio: Resolver una ecuación con valor absoluto
Resolver \(|x - 3| = 5\).
Paso 1: Planteamos las dos posibles soluciones
solucion1 <- 3 + 5
solucion2 <- 3 - 5
c(solucion1, solucion2)## [1] 8 -2Paso 2: Verificamos ambas soluciones
c(abs(solucion1 - 3) == 5, abs(solucion2 - 3) == 5)## [1] TRUE TRUE4.10 Ejercicios varios referentes al método de inducción
4.10.1 Ejercicio: Demostrar que n! > 2^n para n >= 4
Paso 1: Definimos ambas funciones
factorial_vals <- function(n) factorial(n)
potencia_vals <- function(n) 2^nPaso 2: Comparamos para varios valores de n a partir de 4
n_vals <- 4:12
data.frame(n = n_vals,
factorial = factorial_vals(n_vals),
potencia_2n = potencia_vals(n_vals),
cumple = factorial_vals(n_vals) > potencia_vals(n_vals))## n factorial potencia_2n cumple
## 1 4 24 16 TRUE
## 2 5 120 32 TRUE
## 3 6 720 64 TRUE
## 4 7 5040 128 TRUE
## 5 8 40320 256 TRUE
## 6 9 362880 512 TRUE
## 7 10 3628800 1024 TRUE
## 8 11 39916800 2048 TRUE
## 9 12 479001600 4096 TRUE