Ejercicio de Clase — De las Frecuencias Absolutas a las Probabilidades Condicionales

Sistemas de Drenaje Agrícola y Riesgo de Encharcamiento del Cultivo

Asignatura: Estadística Aplicada con Python y R — Semana 5, Sesión 2

Modalidad: Desarrollo manuscrito en clase (lápiz y cuaderno), en parejas o individual

Duración sugerida: 30–35 minutos

Prerrequisito: Concepto de probabilidad condicional \(P(A\vert B)\) ya presentado en pizarra

Situación de interés en Ingeniería Agrícola

Un ingeniero agrícola evalúa 170 lotes de una zona baja e inundable después de una temporada de lluvias fuertes. Cada lote tenía instalado uno de tres sistemas de manejo del agua: drenaje superficial (canales abiertos), drenaje subsuperficial (tubería enterrada) o sin ningún sistema de drenaje. Al final de la temporada, el ingeniero clasificó cada lote según el estado del cultivo: Sano o Dañado por encharcamiento.

A diferencia del ejercicio de la guía anterior (clima vs. estrés hídrico, con 100 días exactamente repartidos en 40/60), aquí partimos directamente de la tabla de frecuencias absolutas ya observada en campo, con un número distinto de lotes por sistema — como ocurre en la vida real, donde no todos los tratamientos tienen el mismo tamaño de muestra.

Paso 1 — La tabla de frecuencias absolutas (punto de partida)

Esta es la información que el ingeniero trae directamente de campo. Cópiala en tu cuaderno tal cual, incluyendo los espacios en blanco:

Sistema de drenaje \ Estado del cultivo Sano Dañado Total fila
Superficial 80 20 ___
Subsuperficial 46 4 ___
Sin drenaje 6 14 ___
Total columna ___ ___ ___

Instrucción: completa los espacios en blanco sumando por fila y por columna, y verifica que el gran total (esquina inferior derecha) dé el mismo número sumando por filas que sumando por columnas.

Esto es exactamente lo que en el documento de funciones de R llamamos la notación general de una tabla \(r \times s\): cada celda es \(n_{ij}\) (por ejemplo, \(n_{11}=80\) es “lotes con drenaje Superficial y cultivo Sano”), cada total de fila es \(n_{i\cdot}\), cada total de columna es \(n_{\cdot j}\), y el gran total es \(n\). Cuando lo hagamos en R, addmargins() hace exactamente este Paso 1 automáticamente.

Solución de referencia (para el profesor): Total fila Superficial = 100, Subsuperficial = 50, Sin drenaje = 20. Total columna Sano = 132, Dañado = 38. Gran total \(n = 170\).

Paso 2 — Aprender a leer la tabla de frecuencias absolutas

Antes de calcular ninguna probabilidad, respondan solo mirando los conteos (sin dividir nada todavía). Esto entrena el ojo para leer una tabla cruzada:

  1. ¿Cuántos lotes en total se estudiaron?
  2. ¿Cuántos lotes tenían drenaje subsuperficial (sin importar el resultado)?
  3. ¿Cuántos lotes, en total, terminaron dañados por encharcamiento (sumando los tres sistemas)?
  4. ¿Qué sistema de drenaje tiene el mayor número absoluto de lotes dañados?
  5. ¿Qué sistema de drenaje tiene el menor número absoluto de lotes dañados?

Solución de referencia: (1) 170. (2) 50. (3) 38. (4) Superficial, con 20 lotes dañados. (5) Subsuperficial, con solo 4 lotes dañados.

Pregunta de discusión (guárdenla, la retomamos en el Paso 6): si el drenaje Superficial es el que más lotes dañados tiene en números absolutos, ¿significa eso que es el sistema más riesgoso? Anoten su respuesta intuitiva antes de continuar — la vamos a poner a prueba con probabilidades.

Paso 3 — La tabla de proporciones (probabilidades conjuntas)

La tabla de frecuencias absolutas no se puede comparar directamente entre sistemas porque no todos tienen el mismo número de lotes. El primer paso para poder comparar es convertir cada celda en una proporción respecto al gran total:

\[\text{Proporción}_{ij} = \frac{n_{ij}}{n} = P(\text{Sistema}_i \cap \text{Estado}_j)\]

Completen la tabla de proporciones (redondeen a 4 decimales) usando los datos del Paso 1:

Sistema \ Estado Sano Dañado Total fila
Superficial 80/170 = ___ 20/170 = ___ ___
Subsuperficial 46/170 = ___ 4/170 = ___ ___
Sin drenaje 6/170 = ___ 14/170 = ___ ___
Total columna ___ ___ 1.0000

Cada celda de esta tabla es una probabilidad conjunta: por ejemplo, la celda Superficial–Dañado se lee así: “la probabilidad de que un lote elegido al azar tenga drenaje superficial y al mismo tiempo haya resultado dañado es de…”.

Solución de referencia:

Sistema \ Estado Sano Dañado Total fila
Superficial 0.4706 0.1176 0.5882
Subsuperficial 0.2706 0.0235 0.2941
Sin drenaje 0.0353 0.0824 0.1176
Total columna 0.7765 0.2235 1.0000

Paso 4 — Probabilidades marginales

Fíjense en los totales de fila y de columna de la tabla de proporciones que acaban de completar — están literalmente en el margen de la tabla, por eso se llaman probabilidades marginales: describen una sola variable ignorando por completo la otra.

  • Probabilidad marginal de cada sistema de drenaje (ignorando si el cultivo quedó sano o dañado): \(P(\text{Superficial})\), \(P(\text{Subsuperficial})\), \(P(\text{Sin drenaje})\).

  • Probabilidad marginal del estado del cultivo (ignorando qué sistema tenía): \(P(\text{Sano})\), \(P(\text{Dañado})\).

Preguntas:

  1. ¿Cuál es la probabilidad marginal de que un lote elegido al azar tenga drenaje Sin drenaje? (respuesta: el total de fila de “Sin drenaje” en la tabla de proporciones)
  2. ¿Cuál es la probabilidad marginal de que un lote, sin importar su sistema de drenaje, haya quedado dañado?
  3. ¿Suman 1.0 las tres probabilidades marginales de los sistemas de drenaje? ¿Y las dos probabilidades marginales del estado del cultivo?

Solución de referencia: \(P(\text{Superficial})=0.5882\), \(P(\text{Subsuperficial})=0.2941\), \(P(\text{Sin drenaje})=0.1176\) (suman 1.0000). \(P(\text{Sano})=0.7765\), \(P(\text{Dañado})=0.2235\) (suman 1.0000).

Paso 5 — Probabilidades condicionales: dos formas de leer la misma tabla

La probabilidad condicional responde: “si ya sé algo, ¿cómo cambia la probabilidad de lo otro?”. En una tabla cruzada se puede condicionar por fila o por columna — son preguntas distintas y responden cosas distintas.

5a. Condicionando por fila: “dado el sistema de drenaje, ¿qué tan probable es el resultado?”

\[P(\text{Estado}\vert\text{Sistema}) = \frac{n(\text{Sistema} \cap \text{Estado})}{n(\text{Sistema})}\]

Completen dividiendo cada celda del Paso 1 entre el total de su propia fila:

Sistema P(Sano | Sistema) P(Dañado | Sistema)
Superficial 80/100 = ___ 20/100 = ___
Subsuperficial 46/50 = ___ 4/50 = ___
Sin drenaje 6/20 = ___ 14/20 = ___

(cada fila debe sumar 1.00 — esa es su forma de comprobar que no se equivocaron)

5b. Condicionando por columna: “dado el resultado, ¿qué tan probable es cada sistema?”

\[P(\text{Sistema}\vert\text{Estado}) = \frac{n(\text{Sistema} \cap \text{Estado})}{n(\text{Estado})}\]

Completen ahora dividiendo cada celda del Paso 1 entre el total de su propia columna:

Sistema P(Sistema | Sano) P(Sistema | Dañado)
Superficial 80/132 = ___ 20/38 = ___
Subsuperficial 46/132 = ___ 4/38 = ___
Sin drenaje 6/132 = ___ 14/38 = ___

(cada columna debe sumar 1.00)

Solución de referencia — 5a (por fila):

Sistema P(Sano|Sistema) P(Dañado|Sistema)
Superficial 0.80 0.20
Subsuperficial 0.92 0.08
Sin drenaje 0.30 0.70

Solución de referencia — 5b (por columna):

Sistema P(Sistema|Sano) P(Sistema|Dañado)
Superficial 0.6061 0.5263
Subsuperficial 0.3485 0.1053
Sin drenaje 0.0455 0.3684

Ejercicio de clasificación (para leer, no para calcular)

Para cada enunciado, identifiquen si es una probabilidad marginal, conjunta o condicional, y en qué tabla del ejercicio (Paso 3, 4, 5a o 5b) ya está calculada:

  1. “El 29.41% de todos los lotes estudiados tenía drenaje subsuperficial.”
  2. “El 8% de los lotes con drenaje subsuperficial resultó dañado.”
  3. “El 2.35% de todos los lotes tenía drenaje subsuperficial y además resultó dañado.”
  4. “De los lotes dañados, el 36.84% no tenía ningún sistema de drenaje.”

Solución: (1) marginal — Paso 4. (2) condicional por fila — Paso 5a. (3) conjunta — Paso 3. (4) condicional por columna — Paso 5b.

Paso 6 — La trampa del conteo absoluto (cierre y discusión)

Retomen su respuesta intuitiva del Paso 2. Ahora que tienen las probabilidades condicionales por fila (Paso 5a), comparen:

Lotes dañados (número absoluto) P(Dañado | Sistema)
Superficial 20 (el más alto) 0.20
Sin drenaje 14 0.70 (la más alta)
Subsuperficial 4 (el más bajo) 0.08

Preguntas de cierre (bitácora / discusión):

  1. ¿Por qué el sistema con más lotes dañados en números absolutos (Superficial) no es el más riesgoso en términos de probabilidad?
  2. Como ingeniero agrícola, si tuvieras que recomendar eliminar un sistema por ser el más riesgoso, ¿usarías el conteo absoluto del Paso 1 o la probabilidad condicional del Paso 5a? Justifica.
  3. ¿Por qué, a pesar de que “Sin drenaje” es el sistema más riesgoso por lote (70%), el mayor número de daños totales en la zona proviene del drenaje Superficial? (pista: relaciónenlo con la probabilidad marginal \(P(\text{Superficial})=0.588\) del Paso 4 — es el sistema más usado en la zona).

Idea clave para cerrar en plenaria: el número absoluto de casos depende de cuántos lotes tienen ese sistema (la probabilidad marginal), mientras que la probabilidad condicional mide el riesgo por lote, independientemente de cuántos lotes existan con ese sistema. Un ingeniero que solo mira conteos absolutos puede tomar decisiones equivocadas; la probabilidad condicional es la que aísla el efecto real del sistema de drenaje.

Puente a la sesión de R

Este mismo ejercicio, con esta misma tabla de 170 lotes, se puede reproducir en R con las funciones ya vistas (table(), margin.table(), prop.table(), addmargins(), chisq.test()) siguiendo exactamente los mismos cinco pasos trabajados aquí a mano. Si quieres, en el siguiente mensaje te preparo esa versión en RMarkdown (incluyendo la prueba de independencia formal para confirmar si la dependencia entre sistema de drenaje y estado del cultivo es estadísticamente significativa).