Este documento reúne las definiciones fundamentales sobre matrices vistas en clase, junto con una lista de ejercicios de práctica organizada por tema. Se recomienda repasar cada definición antes de resolver la sección correspondiente. Las operaciones han sido diseñadas para que los resultados sean, en su mayoría, valores enteros y limpios.
Definición
Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas. Se denota \(A=(a_{ij})_{m\times n}\), donde \(m\) es el número de filas y \(n\) el número de columnas. El elemento \(a_{ij}\) ocupa la fila \(i\) y la columna \(j\).
Definición
El tamaño (u orden) de una matriz indica cuántas filas y columnas posee. Una matriz con \(m\) filas y \(n\) columnas pertenece al conjunto \(\mathbb{R}^{m\times n}\).
Ejemplos
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 3}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 6 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \\ 5 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 4} \]
Definición
Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, pertenece a \(\mathbb{R}^{n\times n}\). La diagonal principal está formada por los elementos \(a_{ij}\) tales que \(i=j\), es decir, \(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}\).
Matriz nula
La matriz nula \(O\) es aquella en la que todos sus elementos son iguales a cero. \[ O=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Matriz identidad
La matriz identidad \(I_n\) es una matriz cuadrada cuya diagonal principal está formada por unos y el resto de sus elementos son ceros. \[ I_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Definición
Para sumar o restar dos matrices, estas deben tener el mismo tamaño. La operación se realiza elemento a elemento: \[ (A\pm B)_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij} \]
Definición
El producto de un escalar \(\alpha\) por una matriz \(A\) se obtiene multiplicando cada elemento de \(A\) por \(\alpha\): \[ (\alpha A)_{ij}=\alpha\, a_{ij} \]
Definición
Si \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) y \(B\in\mathbb{R}^{n\times p}\), entonces el producto \(AB\in\mathbb{R}^{m\times p}\). El elemento \(c_{ij}\) se obtiene multiplicando la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\): \[ c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} \]
Condición
El número de columnas de \(A\) debe coincidir con el número de filas de \(B\).
Suma de matrices
Producto de matrices
Definición
La matriz transpuesta \(A^T\) se obtiene intercambiando las filas por las columnas. Si \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), entonces \(A^T\in\mathbb{R}^{n\times m}\). \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; A^T=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
Práctica 1
Efectúe la operación indicada en cada caso.
\(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 7 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 6 & 1 & -4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 6 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 8 & -4 & 1 \\ 0 & 5 & -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -4 & 7 \\ 3 & 5 & -1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \\ 5 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 6 & -4 \\ 0 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)
Práctica 2
Calcule el producto indicado.
\(3\begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}\)
\(-2\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 6 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -6 & 8 \\ 10 & 2 & -12 \end{pmatrix}\)
\(5\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
\(-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 & -3 & 6 \\ 12 & 0 & -15 \\ 3 & 6 & -9 \end{pmatrix}\)
Práctica 3
En cada caso, considere las matrices dadas y efectúe la operación solicitada.
Sean \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]
Sean \[ D=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Práctica 4
Efectúe el producto indicado cuando sea posible. Si no está definido, justifique.
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Práctica 5
En cada caso, \(A\) y \(B\) son matrices cuadradas del mismo tamaño. Demuestre la igualdad solicitada usando las propiedades de las operaciones con matrices.
Suponga que \(AB=BA\). Demuestre que \[ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2. \]
Suponga que \(AB=B^2A\). Demuestre que \[ (AB)^2=B^6A^2. \]
Suponga que \(BA=A^2B\). Demuestre que \[ (BA)^3=A^6B^3. \]
Suponga que \(AB=BA\). Demuestre que \[ (A+B)(A-B)=A^2-B^2. \]
Recomendación
Recuerde que el producto de matrices, en general, no es conmutativo. En las demostraciones solo puede intercambiar el orden de un producto cuando la hipótesis del ejercicio lo justifique.