Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número real, llamado coeficiente, y una o varias variables elevadas a exponentes enteros no negativos. En un monomio no aparecen sumas ni restas entre términos, ni variables en el denominador, ni exponentes negativos o fraccionarios sobre las variables.
La forma general de un monomio es:
\[a \cdot x^{n_1} y^{n_2} z^{n_3} \cdots\]
donde \(a \in \mathbb{R}\) es el coeficiente y \(n_1, n_2, n_3, \dots \in \mathbb{N} \cup \{0\}\) son los exponentes de las variables. El grado del monomio corresponde a la suma de los exponentes de todas sus variables.
Por ejemplo, \(5x^3y^2\) es un monomio de grado \(5\), con coeficiente \(5\); en cambio, \(3x^{-2}\) no es un monomio porque el exponente de la variable es negativo.
La suma y la resta de monomios solo pueden efectuarse entre monomios semejantes, es decir, aquellos que tienen exactamente las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. En ese caso se suman o restan los coeficientes y se conserva la parte literal sin ninguna modificación:
\[a\,x^n + b\,x^n = (a + b)\,x^n\]
Si los monomios no son semejantes, la operación queda simplemente indicada y el resultado es un polinomio con varios términos.
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada uno de los términos del polinomio. En cada producto parcial se multiplican los coeficientes según la ley de signos y se suman los exponentes de las variables iguales, de acuerdo con las leyes de potencias:
\[a\,x^m \,(b\,x^n + c\,x^p) = ab\,x^{m+n} + ac\,x^{m+p}\]
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio divisor. En cada cociente parcial se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las variables iguales:
\[\dfrac{a\,x^m + b\,x^n}{c\,x^p} = \dfrac{a}{c}\,x^{m-p} + \dfrac{b}{c}\,x^{n-p}\]
La ley de signos rige el resultado de multiplicar o dividir dos cantidades según sus signos:
| Operación | Resultado |
|---|---|
| \((+)(+)\) | \(+\) |
| \((+)(-)\) | \(-\) |
| \((-)(+)\) | \(-\) |
| \((-)(-)\) | \(+\) |
En resumen: signos iguales producen resultado positivo y signos distintos producen resultado negativo. La misma regla se aplica tanto para la multiplicación como para la división.
Sean \(a\) y \(b\) números reales, y \(m\) y \(n\) exponentes enteros. Las principales leyes de potencias son:
| Ley | Expresión |
|---|---|
| Producto de potencias de igual base | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) |
| Cociente de potencias de igual base | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) |
| Potencia de una potencia | \(\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}\) |
| Potencia de un producto | \(\left(a\cdot b\right)^n = a^n b^n\) |
| Potencia de un cociente | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) |
| Exponente cero | \(a^0 = 1, \quad a \neq 0\) |
| Exponente negativo | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a \neq 0\) |
Determine si cada expresión corresponde a un monomio. Justifique en caso negativo.
Indique si cada par de monomios es semejante o no. Justifique su respuesta.
Efectúe las siguientes operaciones y simplifique al máximo.
Aplique la propiedad distributiva y simplifique.
Divida cada término del polinomio entre el monomio y simplifique.