Psicometria em R

SEM
Lista 1 da Aula 2

1 Questões

1.1 Obtenção da matriz de covariância a partir de erros-padrões e correlações

Com base na Tabela 1 de Hart (2020)¹, considere as oito variáveis de composição corporal avaliadas em \(n\) = 212 adolescentes do sexo masculino com 12 a 15 anos de idade: massa corporal (MC), índice de massa corporal (IMC), circunferência do braço (CB), circunferência da cintura (CC), circunferência máxima da panturrilha (CP), dobra cutânea da panturrilha (DCP), dobra cutânea do tríceps (DCT) e dobra cutânea subescapular (DCS).

A Tabela 1.1 apresenta, para cada variável, o erro-padrão não ponderado da média, enquanto a matriz de correlações 1.2 apresenta as correlações não ponderadas entre as variáveis.

Table 1.1: Erro-padrão não ponderado de composições corporais contínuas (Fonte: Hart (2020)¹)

	EP não ponderado
MC (kg)	1.05
IMC (kg/m2)	0.30
CB (cm)	0.29
CC (cm)	0.81
CP (cm)	0.26
DCP (mm)	0.51
DCT (mm)	0.44
DCS (mm)	0.47

Table 1.2: Correlações não ponderadas de composições corporais contínuas (Fonte: Hart (2020)¹)

	MC (kg)	IMC (kg/m2)	CB (cm)	CC (cm)	CP (cm)	DCP (mm)	DCT (mm)	DCS (mm)
MC (kg)	1.000	0.890	0.932	0.887	0.914	0.591	0.573	0.688
IMC (kg/m2)	0.890	1.000	0.933	0.939	0.882	0.759	0.746	0.836
CB (cm)	0.932	0.933	1.000	0.890	0.905	0.693	0.691	0.758
CC (cm)	0.887	0.939	0.890	1.000	0.819	0.765	0.779	0.839
CP (cm)	0.914	0.882	0.905	0.819	1.000	0.643	0.601	0.653
DCP (mm)	0.591	0.759	0.693	0.765	0.643	1.000	0.912	0.818
DCT (mm)	0.573	0.746	0.691	0.779	0.601	0.912	1.000	0.856
DCS (mm)	0.688	0.836	0.758	0.839	0.653	0.818	0.856	1.000

Calcule os desvios-padrão e a matriz de covariância não ponderada.

1.2 Especificação de modelos de trajetória em lavaan

Expresse o modelo de trajetória representado na Figura 1.1 usando a sintaxe do pacote lavaan do R.

Figure 1.1: Imagem retirada de Beaujean (2014, p. 28)²

1.3 Modelagem de mediação em lavaan

MacKinnon (2008, p. 113), apud Beaujean (2014)², fornece um conjunto de dados de um estudo hipotético sobre as expectativas dos professores e o desempenho dos alunos. Seu modelo de caminho é mostrado na Figura 1.2 e as covariâncias para o modelo são fornecidas na Tabela 1.3.

Figure 1.2: Fonte: Beaujean (2014, p. 35)²

Table 1.3: Covariâncias do exercício 2. n = 40. Fonte: Beaujean (2014, p. 35)²

	Expectativas do professor	Clima social	Conteúdo coberto	Desempenho do aluno
Expectativas do professor	84.85	71.28	18.83	60.05
Clima social	71.28	140.34	-6.25	84.54
Conteúdo coberto	18.83	-6.25	72.92	37.18
Desempenho do aluno	60.05	84.54	37.18	139.48

1.3.1 Inserção da matriz de covariâncias

Insira as covariâncias no R.

1.3.2 Especificação do modelo de mediação

Escreva a sintaxe para o modelo. Use o operador := para definir ambos os efeitos indiretos das expectativas dos professores sobre o desempenho dos alunos (\(a_1 \times b_1\) e \(a_2 \times b_2\)).

1.3.3 Estimação e interpretação dos efeitos indiretos

Quais são os efeitos indiretos?

1.4 Modelagem com variáveis latentes em lavaan

O modelo para este exercício era parte de um SEM (Modelo de Equações Estruturais) maior, parte do qual é mostrada na Figura 1.3. A matriz de covariância completa é apresentada na Tabela 1.4.

Figure 1.3: Imagem retirada de Beaujean (2014, p. 53)²

Table 1.4: Covariâncias do exercício 3. n = 6053. Fonte: Beaujean (2014, p. 53)²

	Depressão 1	Depressão 2	Depressão 3	Atividade social	Quedas	Condições crônicas	Atividade física	Mobilidade pessoal
Depressão 1	0.77	0.38	0.39	-0.25	0.31	0.24	-3.16	-0.92
Depressão 2	0.38	0.65	0.39	-0.32	0.29	0.25	-3.56	-0.88
Depressão 3	0.39	0.39	0.62	-0.27	0.26	0.19	-2.63	-0.72
Atividade social	-0.25	-0.32	-0.27	6.09	-0.36	-0.18	6.09	0.88
Quedas	0.31	0.29	0.26	-0.36	7.67	0.51	-3.12	-1.49
Condições crônicas	0.24	0.25	0.19	-0.18	0.51	1.69	-4.58	-1.41
Atividade física	-3.16	-3.56	-2.63	6.09	-3.12	-4.58	204.79	16.53
Mobilidade pessoal	-0.92	-0.88	-0.72	0.88	-1.49	-1.41	16.53	7.24

1.4.1 Matriz de covariância

Insira a matriz de covariância com R.

1.4.2 Ajuste e interpretação do modelo de equações estruturais

Ajuste SEM aos dados. Tanto a saúde psicossocial quanto a física são preditivas da mobilidade pessoal?

1.5 Comparação de efeitos em regressão linear múltipla

Para cada um dos 109 países, as informações demográficas e econômicas foram retiradas de vários almanaques de 1995. Os dados estão em World95.sav.

As seguintes variáveis foram registradas: esperança de vida feminina e masculina, taxa de natalidade, taxa de mortalidade, mortalidade infantil, fecundidade, população, porcentagem da população residente nas cidades, porcentagem de mulheres e homens alfabetizados e produto interno bruto per capita.

A expectativa de vida feminina (LIFEEXPF) é a variável dependente e a mortalidade infantil (para cada mil nascidos vivos, o número de bebês que morrem no primeiro ano de vida) (BABYMORT) e a fertilidade (número médio de filhos por família) (FERTILTY) são as variáveis independentes.

O resultado da Regressão Linear Múltipla (RLM) é:

\[ \widehat{\text{LIFEEXPF }} = 82.68\ -\ 0.66\times \text{FERTILTY}\ -\ 0.24 \times \text{BABYMORT} \] Qual é a variável independente mais importante da RLM? Justificar.

1.6 Modelos de referência para avaliação de ajuste

Redigir códigos R que produzam testes dos modelos de independência total e saturado com os seguintes dados.

library(lavaan)
data(HolzingerSwineford1939)
HolzingerSwineford1939.Pasteur <- subset(HolzingerSwineford1939,
                                         school == "Pasteur",
                                         select = x1:x9)
n <- nrow(HolzingerSwineford1939.Pasteur) # 156
print(covar <- cov(HolzingerSwineford1939.Pasteur),
      digits = 2)

      x1     x2     x3    x4    x5   x6     x7    x8   x9
x1 1.404  0.405  0.624 0.572 0.475 0.50  0.046 0.166 0.35
x2 0.405  1.513  0.480 0.089 0.143 0.20 -0.205 0.039 0.22
x3 0.624  0.480  1.354 0.166 0.067 0.22 -0.025 0.153 0.33
x4 0.572  0.089  0.166 1.328 1.087 0.76  0.324 0.148 0.16
x5 0.475  0.143  0.067 1.087 1.719 0.94  0.172 0.152 0.21
x6 0.501  0.195  0.224 0.760 0.940 0.98  0.221 0.207 0.19
x7 0.046 -0.205 -0.025 0.324 0.172 0.22  1.177 0.429 0.29
x8 0.166  0.039  0.153 0.148 0.152 0.21  0.429 0.958 0.35
x9 0.353  0.220  0.334 0.156 0.210 0.19  0.289 0.355 0.98

1.6.1 Modelo de independência total

O modelo de independência total ou pior modelo possível (model test baseline ou null model ou \(\text{df} = k(k+1)/2 - k\), \(k\) = número de variáveis manifestas) consiste apenas nas variáveis manifestas com variâncias livres e covariâncias nulas.

1.6.2 Modelo saturado

O modelo saturado ou melhor modelo possível (just-identified ou \(text{df} = 0\)) consiste apenas nas variáveis manifestas com variâncias e covariâncias livres

1.6.3 Modelo proposto

O modelo proposto pelo pesquisador (user/default/proposed model) é o modelo que o pesquisador deseja testar (modelo super-identificado ou \(k(k+1)/2 - k > \text{df} \geq 1\)).

2 Gabarito

2.1 Obtenção da matriz de covariância a partir de erros-padrões e correlações

Para resolver essa questão, devemos começar convertendo os erros-padrões em desvios-padrões. O erro-padrão não ponderado é dado por

\[ \text{EP} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Sendo \(\text{EP}\) o erro-padrão não ponderado, \(\sigma\) o desvio-padrão não ponderado e \(n\) o tamanho da amostra. Como queremos descobrir \(\sigma\), faremos

\[ \sigma=\text{EP}\times \sqrt{n} \]

O enunciado nos diz que \(n=212\) e EP é apresentado na Tabela 1.1, então começamos passando essas informações para o R.

# tamanho da amostra
n <- 212

# Erros-padrões
EP <- c(1.05, 0.30, 0.29, 0.81, 0.26, 0.51, 0.44, 0.47)
# Rotulando os erros-padrões 
nomes <- c("MC (kg)", "IMC (kg/m2)", "CB (cm)", "CC (cm)", "CP (cm)", 
           "DCP (mm)", "DCT (mm)", "DCS (mm)")
names(EP) <- nomes
print(EP)

    MC (kg) IMC (kg/m2)     CB (cm)     CC (cm)     CP (cm)    DCP (mm) 
       1.05        0.30        0.29        0.81        0.26        0.51 
   DCT (mm)    DCS (mm) 
       0.44        0.47 

Agora, realizamos a conversão de erro-padrão para desvio-padrão.

DP <- EP * sqrt(n)
print(DP, digits = 2)

    MC (kg) IMC (kg/m2)     CB (cm)     CC (cm)     CP (cm)    DCP (mm) 
       15.3         4.4         4.2        11.8         3.8         7.4 
   DCT (mm)    DCS (mm) 
        6.4         6.8 

Com a matriz de covariância e o desvio-padrão, podemos usar a função lav_cor2cov do pacote lavaan para obter a matriz de covariância. Primeiro passamos a matriz de correlações 1.2 para o R. Como a matriz de correlação é uma matriz simétrica, conseguimos agilizar nosso trabalho usando a função lav_getcov do pacote lavaan. Essa função nos permite digitar apenas uma metade da matriz, o triângulo inferior por padrão, e ela replicará automaticamente a outra metade.

cor.mat <- '
1,
0.890, 1,
0.932, 0.933, 1,
0.887, 0.939, 0.890, 1,
0.914, 0.882, 0.905, 0.819, 1,
0.591, 0.759, 0.693, 0.765, 0.643, 1,
0.573, 0.746, 0.691, 0.779, 0.601, 0.912, 1,
0.688, 0.836, 0.758, 0.839, 0.653, 0.818, 0.856, 1'
cor.mat <- lavaan::lav_getcov(x = cor.mat,
                              names = nomes)
print(cor.mat)

            MC (kg) IMC (kg/m2) CB (cm) CC (cm) CP (cm) DCP (mm) DCT (mm)
MC (kg)       1.000       0.890   0.932   0.887   0.914    0.591    0.573
IMC (kg/m2)   0.890       1.000   0.933   0.939   0.882    0.759    0.746
CB (cm)       0.932       0.933   1.000   0.890   0.905    0.693    0.691
CC (cm)       0.887       0.939   0.890   1.000   0.819    0.765    0.779
CP (cm)       0.914       0.882   0.905   0.819   1.000    0.643    0.601
DCP (mm)      0.591       0.759   0.693   0.765   0.643    1.000    0.912
DCT (mm)      0.573       0.746   0.691   0.779   0.601    0.912    1.000
DCS (mm)      0.688       0.836   0.758   0.839   0.653    0.818    0.856
            DCS (mm)
MC (kg)        0.688
IMC (kg/m2)    0.836
CB (cm)        0.758
CC (cm)        0.839
CP (cm)        0.653
DCP (mm)       0.818
DCT (mm)       0.856
DCS (mm)       1.000

Agora convertemos as correlações em covariâncias

cov.mat <- lavaan::lav_cor2cov(
  # matriz de correlação
  R = cor.mat,
  # desvios-padrão
  sds = DP)
print(round(cov.mat,2))

            MC (kg) IMC (kg/m2) CB (cm) CC (cm) CP (cm) DCP (mm) DCT (mm)
MC (kg)      233.73       59.43   60.16  159.93   52.90    67.09    56.12
IMC (kg/m2)   59.43       19.08   17.21   48.37   14.58    24.62    20.88
CB (cm)       60.16       17.21   17.83   44.32   14.47    21.73    18.69
CC (cm)      159.93       48.37   44.32  139.09   36.57    67.00    58.86
CP (cm)       52.90       14.58   14.47   36.57   14.33    18.08    14.58
DCP (mm)      67.09       24.62   21.73   67.00   18.08    55.14    43.39
DCT (mm)      56.12       20.88   18.69   58.86   14.58    43.39    41.04
DCS (mm)      71.98       24.99   21.90   67.71   16.92    41.57    37.53
            DCS (mm)
MC (kg)        71.98
IMC (kg/m2)    24.99
CB (cm)        21.90
CC (cm)        67.71
CP (cm)        16.92
DCP (mm)       41.57
DCT (mm)       37.53
DCS (mm)       46.83

Em alguns procedimentos estatísticos, principalmente em psicometria, usar a matriz de correlação pode gerar resultados muito distintos dos gerados ao usarmos a matriz de covariância. Por essa razão, é importante que o pesquisador esteja consciente de qual matriz está usando e por qual motivo.

Referências

1.

Hart PD. Relationship between fitness performance and a newly developed continuous body composition score in U.S. adolescent boys. International Journal of Adolescent Medicine and Health [Internet]. 2020;35:69–79. Disponível em: https://doi.org/10.1515/ijamh-2020-0198

2.

Beaujean AA. Latent Variable Modeling Using R: A Step-by-Step Guide [Internet]. New York: Routledge; 2014. Disponível em: https://doi.org/10.4324/9781315869780 doi:10.4324/9781315869780