Exercício 1

Área de um Círculo pelo Método de Monte Carlo

Considere a integral

\[ I = \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx. \]

Essa integral corresponde à área de um semicírculo de raio 1 e, portanto, seu valor exato é \(\pi/2\).

  1. Utilize o Método de Monte Carlo para estimar o valor de \(I\).

  2. Compare a estimativa obtida com o valor exato \(\pi/2\).

  3. Repita o procedimento para \(N=100\), \(1.000\), \(10.000\) e \(100.000\) valores simulados e analise o comportamento do erro da estimativa.

Exercício 2

Integral de uma Função Exponencial

Considere a integral

\[ I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx. \]

Essa integral não possui uma primitiva que possa ser expressa por funções elementares.

  1. Utilize o Método de Monte Carlo para estimar \(I\) considerando \(X\sim U(0,1)\), utilizando \(N=10.000\) simulações.

  2. Compare a estimativa de Monte Carlo com uma aproximação numérica da integral obtida utilizando a função integrate() do R.

  3. Represente graficamente a função \(e^{-x^2}\) e a região correspondente à integral.

Exercício 3

Integração de Monte Carlo em Duas Dimensões

Considere a integral

\[ I = \int_0^1\int_0^1 e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy. \]

  1. Gere \(N=10.000\) pares independentes

\[ (X_i,Y_i), \qquad (X_i,Y_i)\sim \text{U}(0,1)^2. \]

e utilize-os para estimar a integral via Método de Monte Carlo.

  1. Compare o resultado com a integração numérica.

Exercício 4

Volume de uma Esfera pelo Método de Monte Carlo

Considere a esfera unitária

\[ x^2+y^2+z^2\leq1. \]

O volume da esfera pode ser calculado por

\[ V= \iiint_{x^2+y^2+z^2\leq1} dx\,dy\,dz. \]

Utilize o Método de Monte Carlo para estimar o volume da esfera.

  1. Gere \(N=10.000\) pontos uniformemente no cubo \([-1,1]^3\).

  2. Identifique os pontos que pertencem à esfera.

  3. Estime o volume da esfera utilizando a proporção de pontos que pertencem à região esférica.

  4. Compare o resultado com o valor exato

\[ V=\frac{4\pi}{3}. \]

Exercício 5

Escolha da Função de Importância

Considere a integral

\[ I= \int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx. \]

O valor exato da integral é

\[ I=2. \]

Utilize o Método de Monte Carlo via Função de Importância considerando:

\[ X\sim\text{Exp}(\lambda), \qquad \text{para} \qquad \lambda \in \{0.5, \; 1, \; 2\}. \]

  1. Construa o estimador via Função de Importância para cada valor de \(\lambda\).

  2. Utilize \(N=10.000\) observações em cada caso.

  3. Calcule a estimativa da integral.

  4. Estime a variância de cada estimador.

  5. Compare os resultados e determine empiricamente qual função de importância apresenta melhor desempenho.