Regresi Polinomial dengan R
Contoh Penerapan dan Pemilihan Derajat via Cross-Validation
2026-09-07
1. Simulasi Data
Data disimulasikan dengan hubungan non-linier (kuadratik) antara
x dan y.
set.seed(123)
n <- 100
x <- seq(0, 10, length.out = n)
#membangkitkan data untuk variable prediktor
y <- 5 + 2*x - 0.3*x^2 + rnorm(n, mean = 0, sd = 2)
data <- data.frame(x = x, y = y)
head(data)## x y
## 1 0.0000000 3.879049
## 2 0.1010101 4.738604
## 3 0.2020202 8.509213
## 4 0.3030303 5.719529
## 5 0.4040404 6.017682
## 6 0.5050505 9.363708#Interpretasi
Berdasarkan output di atas, diketahui bahwa data berhasil dibangkitkan sebanyak 100 data dengan variabel x memiliki jarak yang sama dimulai dari 0 hingga 10, sedangkan variabel y dibangkitan dengan hubungan kuadratik terhadap x dengan tambahan error yang distribusi normal memiliki rata-rata 0 dan standar deviasi2.
2. Pencocokan Model
Tiga model dicocokkan sebagai pembanding: linier, polinomial derajat 2, dan derajat 3.
model_linier <- lm(y ~ x, data = data)
model_poli2 <- lm(y ~ poly(x, 2, raw = TRUE), data = data)
model_poli3 <- lm(y ~ poly(x, 3, raw = TRUE), data = data)
summary(model_linier)##
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -7.4317 -1.4051 -0.0466 2.2166 6.6109
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.88171 0.55369 17.847 <2e-16 ***
## x -0.95028 0.09566 -9.934 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.789 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5017, Adjusted R-squared: 0.4967
## F-statistic: 98.68 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16summary(model_poli2)##
## Call:
## lm(formula = y ~ poly(x, 2, raw = TRUE), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.8136 -1.1977 -0.0533 1.3549 4.3891
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.33982 0.53777 9.929 <2e-16 ***
## poly(x, 2, raw = TRUE)1 1.80266 0.24855 7.253 1e-10 ***
## poly(x, 2, raw = TRUE)2 -0.27529 0.02405 -11.447 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.829 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.788, Adjusted R-squared: 0.7837
## F-statistic: 180.3 on 2 and 97 DF, p-value: < 2.2e-16summary(model_poli3)##
## Call:
## lm(formula = y ~ poly(x, 3, raw = TRUE), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.7866 -1.1996 -0.0497 1.3386 4.3777
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.282801 0.708433 7.457 3.93e-11 ***
## poly(x, 3, raw = TRUE)1 1.872854 0.616613 3.037 0.00307 **
## poly(x, 3, raw = TRUE)2 -0.292931 0.143693 -2.039 0.04424 *
## poly(x, 3, raw = TRUE)3 0.001176 0.009443 0.125 0.90117
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.838 on 96 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7881, Adjusted R-squared: 0.7815
## F-statistic: 119 on 3 and 96 DF, p-value: < 2.2e-16#INTERPRETASI
#model linier Berdasarkan output di atas, dapat dilihat bahwa model linier memiliki R squared sebesar 0,5017 yang artinya model secara keseluruhan mampu menjelaskan 50,17% variasi data y. Nilai estimasi parameter untuk intercept sebesar 9,88171 dan koefisien untuk x¹ sebesar -0,95028, dimana kedua parameter tersebut memiliki nilai p kurang dari 2e-16 yang berarti kedua parameter tersebut signifikan secara statistik.
#model poli 2 Berdasarkan output di atas, dapat dilihat bahwa model polinomial derajat 2 memiliki R squared sebesar 0,788 yang artinya model secara keseluruhan mampu menjelaskan 78,8% variasi data y. Nilai estimasi parameter untuk intercept sebesar 5,33982, koefisien untuk x¹ sebesar 1,80266, dan koefisien untuk x² sebesar -0,27529, dimana ketiga parameter tersebut memiliki nilai p kurang dari 0,05 yang berarti semua parameter signifikan secara statistik.
#model poli 3 Berdasarkan output di atas, dapat dilihat bahwa model polinomial derajat 3 memiliki R squared sebesar 0,7881 yang artinya model secara keseluruhan mampu menjelaskan 78,81% variasi data y. Nilai estimasi parameter untuk intercept sebesar 5,282801, koefisien untuk x¹ sebesar 1,872854, koefisien untuk x² sebesar -0,292931, dan koefisien untuk x³ sebesar 0,001176, dimana parameter x³ memiliki nilai p sebesar 0,90117 yang berarti tidak signifikan secara statistik, sedangkan ketiga parameter lainnya signifikan.
3. Perbandingan Model
3.1 Uji ANOVA Bertingkat
anova(model_linier, model_poli2, model_poli3)## Analysis of Variance Table
##
## Model 1: y ~ x
## Model 2: y ~ poly(x, 2, raw = TRUE)
## Model 3: y ~ poly(x, 3, raw = TRUE)
## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
## 1 98 762.42
## 2 97 324.33 1 438.09 129.6931 <2e-16 ***
## 3 96 324.28 1 0.05 0.0155 0.9012
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#INTERPRETASI
Berdasarkan hasil uji ANOVA bertingkat, dilakukan perbandingan antara model linier, polinomial derajat 2, dan polinomial derajat 3. Model linier memiliki nilai RSS sebesar 762,42, sedangkan model polinomial derajat 2 menunjukkan RSS sebesar 324,33 dengan penurunan RSS mencapai 438,09 serta nilai p kurang dari 2e-16 yang mengindikasikan bahwa penambahan variabel x² memberikan peningkatan yang sangat signifikan dibandingkan model linier. Namun, model polinomial derajat 3 hanya memberikan RSS sebesar 324,28 dengan penurunan RSS hanya sebesar 0,05 dan nilai p-value 0,9012 yang berarti penambahan variabel x³ tidak memberikan peningkatan yang berarti secara statistik. Oleh karena itu, model polinomial derajat 2 dipilih sebagai model terbaik karena mampu menjelaskan variasi data dengan lebih baik tanpa menambah variabel yang tidak diperlukan, sehingga persamaan model yang paling tepat adalah ŷ = 5,33982 + 1,80266x - 0,27529x².
3.2 Perbandingan AIC
AIC(model_linier, model_poli2, model_poli3)## df AIC
## model_linier 3 492.9204
## model_poli2 4 409.4469
## model_poli3 5 411.4307#INTERPRETASI
Berdasarkan output di atas, dapat diketahui bahwa model linier mempunyai nilai AIC paling besar yaitu 492,9204, kemudian model polinomial derajat 3 sebesar 411,4307, dan yang paling kecil nilai AIC nya yaitu model polinomial derajat 2 sebesar 409,4469. Karena nilai AIC yang semakin kecil menunjukkan model yang semakin baik, maka model polinomial derajat 2 merupakan model terbaik di antara ketiga model tersebut.
4. Visualisasi Perbandingan Model
data$pred_linier <- predict(model_linier)
data$pred_poli2 <- predict(model_poli2)
data$pred_poli3 <- predict(model_poli3)
ggplot(data, aes(x = x, y = y)) +
geom_point(alpha = 0.5) +
geom_line(aes(y = pred_linier, color = "Linier"), linewidth = 1) +
geom_line(aes(y = pred_poli2, color = "Polinomial derajat 2"), linewidth = 1) +
geom_line(aes(y = pred_poli3, color = "Polinomial derajat 3"), linewidth = 1) +
labs(title = "Perbandingan Regresi Linier vs Polinomial",
x = "X", y = "Y", color = "Model") +
theme_minimal()
#INTERPRETASI
Berdasarkan grafik di atas, dapat dilihat bahwa garis berwarna merah merupakan model linier yang menunjukkan garis lurus dan tidak mampu mengikuti pola sebaran data yang berbentuk kurva, sehingga terlihat banyak titik data yang berada jauh dari garis prediksi. Garis berwarna hijau merupakan model polinomial derajat 2 yang menghasilkan kurva sangat baik dalam mengikuti pola data, terlihat dari garis prediksi yang melengkung sesuai dengan sebaran titik-titik data. Sedangkan garis berwarna biru merupakan model polinomial derajat 3 yang menghasilkan kurva hampir sama dengan polinomial derajat 2, dengan sedikit perbedaan di bagian ujung-ujung data. Dengan demikian, secara visual grafik memperkuat kesimpulan bahwa model polinomial derajat 2 merupakan model yang paling tepat karena mampu menangkap pola non-linier dari data dengan baik tanpa overfitting.
5. Evaluasi dengan RMSE
rmse <- function(actual, predicted) sqrt(mean((actual - predicted)^2))
data.frame(
Model = c("Linier", "Polinomial derajat 2", "Polinomial derajat 3"),
RMSE = c(rmse(data$y, data$pred_linier),
rmse(data$y, data$pred_poli2),
rmse(data$y, data$pred_poli3))
)## Model RMSE
## 1 Linier 2.761195
## 2 Polinomial derajat 2 1.800917
## 3 Polinomial derajat 3 1.800772#INTERPRETASI
Berdasarkan output di atas, dapat diketahui bahwa nilai RMSE pada model linier adalah yang paling tinggi yaitu sebesar 2,761195, kemudian model polinomial derajat 2 sebesar 1,800917, dan model polinomial derajat 3 sebesar 1,800772. Artinya model polinomial derajat 2 dan polinomial derajat 3 memiliki nilai RMSE yang hampir sama, sehingga memperkuat kesimpulan bahwa model polinomial derajat 2 merupakan model yang optimal karena memiliki tingkat kesalahan yang lebih kecil dibandingkan model linier tanpa perlu menambah variabel yang tidak diperlukan.
6. Pemilihan Derajat Optimal via Cross-Validation
Skema 10-fold cross-validation diulang 5 kali untuk menguji derajat polinomial 1 sampai 6.
names(data)## [1] "x" "y" "pred_linier" "pred_poli2" "pred_poli3"library(caret)
set.seed(42)
kontrol <- trainControl(
method = "repeatedcv",
number = 10,
repeats = 5
)
derajat_max <- 6
hasil_cv <- data.frame(
derajat = integer(),
RMSE = numeric()
)
for (d in 1:derajat_max) {
data_cv <- data
# Membuat variabel polynomial
if (d == 1) {
data_cv$x_poly <- data_cv$x
} else {
poly_x <- poly(data_cv$x, degree = d, raw = TRUE)
data_cv$x_poly <- poly_x[, 1]
for (j in 2:d) {
data_cv[[paste0("x_poly", j)]] <- poly_x[, j]
}
}
# Formula sesuai derajat
if (d == 1) {
formula_model <- y ~ x_poly
} else {
variabel <- paste0("x_poly", 2:d)
formula_model <- as.formula(
paste("y ~ x_poly +", paste(variabel, collapse = " + "))
)
}
model_cv <- train(
formula_model,
data = data_cv,
method = "lm",
trControl = kontrol
)
hasil_cv <- rbind(
hasil_cv,
data.frame(
derajat = d,
RMSE = min(model_cv$results$RMSE)
)
)
}
hasil_cv## derajat RMSE
## 1 1 2.757805
## 2 2 1.825068
## 3 3 1.859968
## 4 4 1.877628
## 5 5 1.871701
## 6 6 1.880719derajat_optimal <- hasil_cv$derajat[which.min(hasil_cv$RMSE)]
cat("Derajat optimal berdasarkan CV:", derajat_optimal, "\n")## Derajat optimal berdasarkan CV: 2ggplot(hasil_cv, aes(x = derajat, y = RMSE)) +
geom_line(
color = "steelblue",
linewidth = 1
) +
geom_point(
size = 3,
color = "steelblue"
) +
geom_vline(
xintercept = derajat_optimal,
linetype = "dashed",
color = "firebrick"
) +
scale_x_continuous(
breaks = 1:derajat_max
) +
labs(
title = "Pemilihan Derajat Optimal via 10-Fold Cross-Validation",
x = "Derajat Polinomial",
y = "RMSE Rata-rata (Validasi Silang)"
) +
theme_minimal()
#INTERPRETASI
Berdasarkan grafik di atas, dapat diketahui bahwa nilai RMSE rata-rata validasi menurun dari derajat 1 ke derajat 2, kemudian naik kembali untuk derajat 3 hingga derajat 6. Artinya model polinomial derajat 2 memiliki nilai RMSE yang paling kecil, sedangkan model polinomial derajat 3 memiliki nilai RMSE yang lebih besar dari derajat 2. Dengan demikian, model polinomial derajat 2 merupakan model yang optimal karena memiliki tingkat kesalahan prediksi terkecil dibandingkan model lainnya.
7. Model Final
model_final <- lm(y ~ poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE), data = data)
summary(model_final)##
## Call:
## lm(formula = y ~ poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.8136 -1.1977 -0.0533 1.3549 4.3891
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.33982 0.53777 9.929 <2e-16 ***
## poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE)1 1.80266 0.24855 7.253 1e-10 ***
## poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE)2 -0.27529 0.02405 -11.447 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.829 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.788, Adjusted R-squared: 0.7837
## F-statistic: 180.3 on 2 and 97 DF, p-value: < 2.2e-16#INTERPRETASI
Berdasarkan output di atas, dapat dilihat bahwa model final yang terpilih adalah model polinomial derajat 2 dengan persamaan ŷ = 5,33982 + 1,80266x - 0,27529x². Model ini memiliki R squared sebesar 0,788 yang artinya model mampu menjelaskan 78,8% variasi data y. Nilai estimasi parameter untuk intercept sebesar 5,33982, koefisien untuk x¹ sebesar 1,80266, dan koefisien untuk x² sebesar -0,27529, dimana ketiga parameter tersebut memiliki nilai p kurang dari 0,05 yang berarti semua parameter signifikan secara statistik. Dengan demikian, model polinomial derajat 2 merupakan model terbaik dan paling tepat untuk memprediksi hubungan antara variabel x dan y.
model_final <- lm(y ~ poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE), data = data)
summary(model_final)##
## Call:
## lm(formula = y ~ poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.8136 -1.1977 -0.0533 1.3549 4.3891
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.33982 0.53777 9.929 <2e-16 ***
## poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE)1 1.80266 0.24855 7.253 1e-10 ***
## poly(x, derajat_optimal, raw = TRUE)2 -0.27529 0.02405 -11.447 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.829 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.788, Adjusted R-squared: 0.7837
## F-statistic: 180.3 on 2 and 97 DF, p-value: < 2.2e-16#Memunculkan nilai Y topi (Y prediksi)
model_final <- lm(y ~ poly(x, 2, raw = TRUE), data = data)
#Hitung nilai prediksi y
data$Y_topi <- predict(model_final)
#tampilkan kolom x,y dan y_topi
i <- data[, c("x", "y", "Y_topi")]
i## x y Y_topi
## 1 0.0000000 3.87904871 5.33982287
## 2 0.1010101 4.73860431 5.51910079
## 3 0.2020202 8.50921338 5.69276104
## 4 0.3030303 5.71952918 5.86080361
## 5 0.4040404 6.01768168 6.02322852
## 6 0.5050505 9.36370818 6.18003576
## 7 0.6060606 7.02376079 6.33122532
## 8 0.7070707 3.73403425 6.47679722
## 9 0.8080808 5.04655753 6.61675145
## 10 0.9090909 5.67892399 6.75108800
## 11 1.0101010 9.16227440 6.87980689
## 12 1.1111111 7.57147951 7.00290810
## 13 1.2121212 7.78501398 7.12039165
## 14 1.3131313 7.33033390 7.23225752
## 15 1.4141414 6.11666178 7.33850572
## 16 1.5151515 10.91542407 7.43913626
## 17 1.6161616 8.44443068 7.53414912
## 18 1.7171717 3.61650551 7.62354431
## 19 1.8181818 9.04733990 7.70732183
## 20 1.9191919 6.78781174 7.78548168
## 21 2.0202020 5.68039177 7.85802386
## 22 2.1212121 7.45661215 7.92494837
## 23 2.2222222 5.91095407 7.98625521
## 24 2.3232323 6.56945966 8.04194438
## 25 2.4242424 6.83532091 8.09201588
## 26 2.5252525 4.76404833 8.13646971
## 27 2.6262626 9.85892273 8.17530587
## 28 2.7272727 8.52988673 8.20852436
## 29 2.8282828 5.98053666 8.23612517
## 30 2.9292929 10.79198858 8.25810832
## 31 3.0303030 9.15871357 8.27447380
## 32 3.1313131 7.73094672 8.28522160
## 33 3.2323232 10.12052374 8.29035174
## 34 3.3333333 10.08960031 8.28986420
## 35 3.4343434 9.97343458 8.28375900
## 36 3.5353535 9.69837019 8.27203612
## 37 3.6363636 9.41362043 8.25469558
## 38 3.7373737 8.16053532 8.23173736
## 39 3.8383838 7.64488520 8.20316147
## 40 3.9393939 7.46219849 8.16896791
## 41 4.0404040 6.79393468 8.12915669
## 42 4.1414141 7.72160040 8.08372779
## 43 4.2424242 5.55460675 8.03268122
## 44 4.3434343 12.36515405 7.97601698
## 45 4.4444444 10.37888696 7.91373507
## 46 4.5454545 5.64634482 7.84583549
## 47 4.6464646 7.01026951 7.77231824
## 48 4.7474747 6.80008384 7.69318332
## 49 4.8484848 9.20455834 7.60843073
## 50 4.9494949 7.38300169 7.51806047
## 51 5.0505051 7.95536675 7.42207253
## 52 5.1515152 7.28450429 7.32046693
## 53 5.2525253 7.14260313 7.21324366
## 54 5.3535354 9.84617304 7.10040271
## 55 5.4545455 6.53192910 6.98194410
## 56 5.5555556 9.88479306 6.85786782
## 57 5.6565657 3.61660520 6.72817386
## 58 5.7575758 7.73947543 6.59286224
## 59 5.8585859 6.66797173 6.45193294
## 60 5.9595960 6.69603986 6.30538598
## 61 6.0606061 6.86120734 6.15322134
## 62 6.1616162 4.92893130 5.99543903
## 63 6.2626263 5.09269145 5.83203905
## 64 6.3636364 3.54136163 5.66302141
## 65 6.4646465 3.24821430 5.48838609
## 66 6.5656566 5.80601657 5.30813310
## 67 6.6666667 5.89641956 5.12226244
## 68 6.7676768 4.90092734 4.93077411
## 69 6.8686869 6.42825088 4.73366811
## 70 6.9696970 8.46656056 4.53094444
## 71 7.0707071 3.16088227 4.32260310
## 72 7.1717172 -0.70496157 4.10864409
## 73 7.2727273 5.68916300 3.88906741
## 74 7.3737374 2.01747237 3.66387306
## 75 7.4747475 1.81192277 3.43306103
## 76 7.5757576 4.98502704 3.19663134
## 77 7.6767677 2.10416075 2.95458398
## 78 7.7777778 -0.03402802 2.70691894
## 79 7.8787879 2.49759319 2.45363624
## 80 7.9797980 1.57866050 2.19473586
## 81 8.0808081 1.58330676 1.93021782
## 82 8.1818182 2.05155254 1.66008210
## 83 8.2828283 0.24276319 1.38432872
## 84 8.3838384 1.96980605 1.10295766
## 85 8.4848485 -0.06907230 0.81596894
## 86 8.5858586 0.72019080 0.52336254
## 87 8.6868687 1.92890913 0.22513847
## 88 8.7878788 0.27807648 -0.07870327
## 89 8.8888889 -1.57778910 -0.38816268
## 90 8.9898990 1.03192806 -0.70323975
## 91 9.0909091 0.37543746 -1.02393450
## 92 9.1919192 -0.86678123 -1.35024692
## 93 9.2929293 -1.84423840 -1.68217701
## 94 9.3939394 -3.94176257 -2.01972477
## 95 9.4949495 -0.33501589 -2.36289021
## 96 9.5959596 -4.63333215 -2.71167331
## 97 9.6969697 0.55923899 -3.06607408
## 98 9.7979798 -1.13894159 -3.42609252
## 99 9.8989899 -5.07042123 -3.79172863
## 100 10.0000000 -7.05284180 -4.16298242Residual <- residuals(model_final)
# Atau tampilkan dalam dataframe
data$Residual <- residuals(model_final)
print(data[, c("x", "y", "Y_topi", "Residual")])## x y Y_topi Residual
## 1 0.0000000 3.87904871 5.33982287 -1.460774162
## 2 0.1010101 4.73860431 5.51910079 -0.780496476
## 3 0.2020202 8.50921338 5.69276104 2.816452348
## 4 0.3030303 5.71952918 5.86080361 -0.141274434
## 5 0.4040404 6.01768168 6.02322852 -0.005546837
## 6 0.5050505 9.36370818 6.18003576 3.183672422
## 7 0.6060606 7.02376079 6.33122532 0.692535462
## 8 0.7070707 3.73403425 6.47679722 -2.742762972
## 9 0.8080808 5.04655753 6.61675145 -1.570193912
## 10 0.9090909 5.67892399 6.75108800 -1.072164008
## 11 1.0101010 9.16227440 6.87980689 2.282467513
## 12 1.1111111 7.57147951 7.00290810 0.568571404
## 13 1.2121212 7.78501398 7.12039165 0.664622330
## 14 1.3131313 7.33033390 7.23225752 0.098076385
## 15 1.4141414 6.11666178 7.33850572 -1.221843946
## 16 1.5151515 10.91542407 7.43913626 3.476287814
## 17 1.6161616 8.44443068 7.53414912 0.910281560
## 18 1.7171717 3.61650551 7.62354431 -4.007038800
## 19 1.8181818 9.04733990 7.70732183 1.340018071
## 20 1.9191919 6.78781174 7.78548168 -0.997669946
## 21 2.0202020 5.68039177 7.85802386 -2.177632095
## 22 2.1212121 7.45661215 7.92494837 -0.468336219
## 23 2.2222222 5.91095407 7.98625521 -2.075301147
## 24 2.3232323 6.56945966 8.04194438 -1.472484723
## 25 2.4242424 6.83532091 8.09201588 -1.256694968
## 26 2.5252525 4.76404833 8.13646971 -3.372421376
## 27 2.6262626 9.85892273 8.17530587 1.683616859
## 28 2.7272727 8.52988673 8.20852436 0.321362376
## 29 2.8282828 5.98053666 8.23612517 -2.255588517
## 30 2.9292929 10.79198858 8.25810832 2.533880261
## 31 3.0303030 9.15871357 8.27447380 0.884239771
## 32 3.1313131 7.73094672 8.28522160 -0.554274883
## 33 3.2323232 10.12052374 8.29035174 1.830172006
## 34 3.3333333 10.08960031 8.28986420 1.799736106
## 35 3.4343434 9.97343458 8.28375900 1.689675587
## 36 3.5353535 9.69837019 8.27203612 1.426334071
## 37 3.6363636 9.41362043 8.25469558 1.158924856
## 38 3.7373737 8.16053532 8.23173736 -0.071202041
## 39 3.8383838 7.64488520 8.20316147 -0.558276270
## 40 3.9393939 7.46219849 8.16896791 -0.706769420
## 41 4.0404040 6.79393468 8.12915669 -1.335222006
## 42 4.1414141 7.72160040 8.08372779 -0.362127388
## 43 4.2424242 5.55460675 8.03268122 -2.478074473
## 44 4.3434343 12.36515405 7.97601698 4.389137069
## 45 4.4444444 10.37888696 7.91373507 2.465151889
## 46 4.5454545 5.64634482 7.84583549 -2.199490673
## 47 4.6464646 7.01026951 7.77231824 -0.762048731
## 48 4.7474747 6.80008384 7.69318332 -0.893099475
## 49 4.8484848 9.20455834 7.60843073 1.596127608
## 50 4.9494949 7.38300169 7.51806047 -0.135058776
## 51 5.0505051 7.95536675 7.42207253 0.533294216
## 52 5.1515152 7.28450429 7.32046693 -0.035962646
## 53 5.2525253 7.14260313 7.21324366 -0.070640526
## 54 5.3535354 9.84617304 7.10040271 2.745770326
## 55 5.4545455 6.53192910 6.98194410 -0.450014998
## 56 5.5555556 9.88479306 6.85786782 3.026925244
## 57 5.6565657 3.61660520 6.72817386 -3.111568665
## 58 5.7575758 7.73947543 6.59286224 1.146613197
## 59 5.8585859 6.66797173 6.45193294 0.216038785
## 60 5.9595960 6.69603986 6.30538598 0.390653881
## 61 6.0606061 6.86120734 6.15322134 0.707986002
## 62 6.1616162 4.92893130 5.99543903 -1.066507732
## 63 6.2626263 5.09269145 5.83203905 -0.739347608
## 64 6.3636364 3.54136163 5.66302141 -2.121659776
## 65 6.4646465 3.24821430 5.48838609 -2.240171786
## 66 6.5656566 5.80601657 5.30813310 0.497883473
## 67 6.6666667 5.89641956 5.12226244 0.774157116
## 68 6.7676768 4.90092734 4.93077411 -0.029846772
## 69 6.8686869 6.42825088 4.73366811 1.694582772
## 70 6.9696970 8.46656056 4.53094444 3.935616115
## 71 7.0707071 3.16088227 4.32260310 -1.161720835
## 72 7.1717172 -0.70496157 4.10864409 -4.813605655
## 73 7.2727273 5.68916300 3.88906741 1.800095591
## 74 7.3737374 2.01747237 3.66387306 -1.646400691
## 75 7.4747475 1.81192277 3.43306103 -1.621138260
## 76 7.5757576 4.98502704 3.19663134 1.788395696
## 77 7.6767677 2.10416075 2.95458398 -0.850423227
## 78 7.7777778 -0.03402802 2.70691894 -2.740946961
## 79 7.8787879 2.49759319 2.45363624 0.043956946
## 80 7.9797980 1.57866050 2.19473586 -0.616075370
## 81 8.0808081 1.58330676 1.93021782 -0.346911058
## 82 8.1818182 2.05155254 1.66008210 0.391470433
## 83 8.2828283 0.24276319 1.38432872 -1.141565525
## 84 8.3838384 1.96980605 1.10295766 0.866848389
## 85 8.4848485 -0.06907230 0.81596894 -0.885041233
## 86 8.5858586 0.72019080 0.52336254 0.196828264
## 87 8.6868687 1.92890913 0.22513847 1.703770654
## 88 8.7878788 0.27807648 -0.07870327 0.356779747
## 89 8.8888889 -1.57778910 -0.38816268 -1.189626421
## 90 8.9898990 1.03192806 -0.70323975 1.735167817
## 91 9.0909091 0.37543746 -1.02393450 1.399371968
## 92 9.1919192 -0.86678123 -1.35024692 0.483465697
## 93 9.2929293 -1.84423840 -1.68217701 -0.162061383
## 94 9.3939394 -3.94176257 -2.01972477 -1.922037791
## 95 9.4949495 -0.33501589 -2.36289021 2.027874319
## 96 9.5959596 -4.63333215 -2.71167331 -1.921658846
## 97 9.6969697 0.55923899 -3.06607408 3.625313067
## 98 9.7979798 -1.13894159 -3.42609252 2.287150932
## 99 9.8989899 -5.07042123 -3.79172863 -1.278692593
## 100 10.0000000 -7.05284180 -4.16298242 -2.889859384#INTERPRETASI
Berdasarkan output di atas, dapat diketahui bahwa nilai Y topi atau nilai prediksi dari model polinomial derajat 2 terus mengalami peningkatan seiring bertambahnya nilai x, dimulai dari 5,34 pada x=0 hingga mencapai puncaknya sekitar 8,29 pada x sekitar 4, kemudian mengalami penurunan secara bertahap hingga mencapai sekitar 4,16 pada x=10. Pola ini membentuk kurva parabola yang melengkung terbuka ke bawah, yang terlihat jelas dari kolom Y_topi yang naik kemudian turun secara konsisten. Hal ini sesuai dengan bentuk kurva pada grafik garis berwarna hijau dan menunjukkan bahwa model polinomial derajat 2 mampu menangkap dengan baik pola kuadratik yang telah dirancang sebelumnya.
Catatan
poly(x, derajat, raw = TRUE)digunakan agar koefisien dapat diinterpretasi langsung sebagai \(\beta_1 x + \beta_2 x^2 + \dots\)- Untuk derajat tinggi (\(\geq 4\)),
sebaiknya
xdistandardisasi terlebih dahulu (scale(x)) agar model lebih stabil secara numerik. - Pertimbangkan aturan one-standard-error rule: pilih derajat terkecil dengan RMSE \(\leq\) (RMSE minimum + 1 SD) untuk model yang lebih sederhana namun performanya setara.