hllinas2023

1 Introducción

Primero, debemos instalar, si es necesario, y cargar los paquetes que vamos a utilizar.

library(lsm)        # Para acceder a la base de datos survey
library(knitr)      # Para construir tablas
library(kableExtra) # Para mejorar la presentación de las tablas

2 Resumen de funciones implementadas

La siguiente tabla resume las funciones desarrolladas para construir los intervalos de confianza y señala el procedimiento estadístico correspondiente.

Resumen de las funciones para intervalos de confianza.
Función Descripción
  1. ic_media_z()
Intervalo Z para una media cuando la desviación estándar poblacional σ es conocida.
  1. ic_media_t()
Intervalo t para una media cuando la desviación estándar poblacional es desconocida y se utiliza la desviación estándar muestral s.
  1. ic_proporcion()
Intervalo Z para estimar una proporción poblacional.

3 Funciones para intervalos de confianza

A continuación se presentan las funciones desarrolladas para calcular los intervalos de confianza estudiados en este capítulo. Su objetivo es automatizar los cálculos, organizar los resultados en un formato uniforme y facilitar la interpretación de cada procedimiento.

# ============================================================
# 1. Intervalo Z para una media con sigma conocida
# ============================================================

ic_media_z <- function(media, sigma, n, conf = 0.95,
                       digitos = 4) {
  
  alpha <- 1 - conf
  z <- qnorm(1 - alpha / 2)
  error_estandar <- sigma / sqrt(n)
  margen_error <- z * error_estandar
  
  inferior <- media - margen_error
  superior <- media + margen_error
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media",
      "\u03c3",
      "Error estándar",
      "n",
      "Grado de confianza",
      "Valor crítico",
      "Margen de error",
      "Extremo inferior",
      "Extremo superior",
      "Intervalo"
    ),
    
    Resultado = c(
      round(media, digitos),
      round(sigma, digitos),
      round(error_estandar, digitos),
      n,
      round(conf, digitos),
      round(z, digitos),
      round(margen_error, digitos),
      round(inferior, digitos),
      round(superior, digitos),
      paste0(
        round(media, digitos),
        " ± ",
        round(margen_error, digitos)
      )
    ),
    
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}

# ============================================================
# 2. Intervalo t para una media con sigma desconocida
# ============================================================

ic_media_t <- function(media, s, n, conf = 0.95,
                       digitos = 4) {
  
  alpha <- 1 - conf
  gl <- n - 1
  t_critico <- qt(1 - alpha / 2, df = gl)
  error_estandar <- s / sqrt(n)
  margen_error <- t_critico * error_estandar
  
  inferior <- media - margen_error
  superior <- media + margen_error
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media",
      "s",
      "Error estándar",
      "n",
      "Grados de libertad",
      "Grado de confianza",
      "Valor crítico",
      "Margen de error",
      "Extremo inferior",
      "Extremo superior",
      "Intervalo"
    ),
    
    Resultado = c(
      round(media, digitos),
      round(s, digitos),
      round(error_estandar, digitos),
      n,
      gl,
      round(conf, digitos),
      round(t_critico, digitos),
      round(margen_error, digitos),
      round(inferior, digitos),
      round(superior, digitos),
      paste0(
        round(media, digitos),
        " ± ",
        round(margen_error, digitos)
      )
    ),
    
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 3. Intervalo Z para una proporción
# ============================================================

ic_proporcion <- function(exitos, n, conf = 0.95,
                          digitos = 4) {
  
  if (exitos < 0 || exitos > n) {
    stop("El número de éxitos debe estar entre 0 y n.")
  }
  
  alpha <- 1 - conf
  z <- qnorm(1 - alpha / 2)
  
  proporcion <- exitos / n
  error_estandar <- sqrt(proporcion * (1 - proporcion) / n)
  margen_error <- z * error_estandar
  
  inferior <- max(0, proporcion - margen_error)
  superior <- min(1, proporcion + margen_error)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Éxitos",
      "n",
      "Proporción",
      "Error estándar",
      "Grado de confianza",
      "Valor crítico",
      "Margen de error",
      "Extremo inferior",
      "Extremo superior",
      "Intervalo"
    ),
    
    Resultado = c(
      exitos,
      n,
      round(proporcion, digitos),
      round(error_estandar, digitos),
      round(conf, digitos),
      round(z, digitos),
      round(margen_error, digitos),
      round(inferior, digitos),
      round(superior, digitos),
      paste0(
        round(proporcion, digitos),
        " ± ",
        round(margen_error, digitos)
      )
    ),
    
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}

4 Ejemplos utilizando estadísticas resumidas

En esta sección se presentan ejemplos sencillos utilizando estadísticas resumidas (media, desviación estándar, varianza, tamaño muestral, etc.). Esto permite comprender el cálculo de los intervalos de confianza sin necesidad de trabajar inicialmente con una base de datos.

4.0.1 Intervalo para la media (con \(Z\))

Cuando la desviación estándar poblacional (\(\sigma\)) es conocida, el intervalo de confianza para la media se construye utilizando la distribución normal estándar.

resultado <- ic_media_z(
  media = 100,
  sigma = 15,
  n = 25,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Media 100
σ 15
Error estándar 3
n 25
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 1.96
Margen de error 5.8799
Extremo inferior 94.1201
Extremo superior 105.8799
Intervalo 100 ± 5.8799

4.0.2 Intervalo para la media (con \(t\))

Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida y la población es normal, se utiliza la desviación estándar muestral (\(s\)) y la distribución \(t\) de Student.

resultado <- ic_media_t(
  media = 19.48,
  s = 0.98,
  n = 6,
  conf = 0.90
)

resultado
Medida Valor
Media 19.48
s 0.98
Error estándar 0.4001
n 6
Grados de libertad 5
Grado de confianza 0.9
Valor crítico 2.015
Margen de error 0.8062
Extremo inferior 18.6738
Extremo superior 20.2862
Intervalo 19.48 ± 0.8062

4.0.3 Intervalo para la proporción

Este ejemplo calcula un intervalo de confianza para una proporción poblacional a partir del número de éxitos observados en una muestra.

resultado <- ic_proporcion(
  exitos = 77,
  n = 350,
  conf = 0.99
)

resultado
Medida Valor
Éxitos 77
n 350
Proporción 0.22
Error estándar 0.0221
Grado de confianza 0.99
Valor crítico 2.5758
Margen de error 0.057
Extremo inferior 0.163
Extremo superior 0.277
Intervalo 0.22 ± 0.057

5 Ejemplos utilizando un data frame simulado

En esta sección construiremos un data frame sencillo a partir de vectores definidos manualmente. Posteriormente calcularemos las estadísticas muestrales necesarias y las utilizaremos como argumentos de las funciones definidas anteriormente. Suponga, en todos los casos, que las variables cuantitativas poblacionales seleccionadas siguen una distribución normal.

5.0.1 Construcción del data frame

El siguiente código crea un data frame con dos variables cuantitativas (puntaje y edad), una variable dicotómica (fumador) y una variable de agrupación (grupo), la cual identifica las dos muestras que se compararán en algunos de los ejemplos.

grupo <- c(
  rep("Grupo 1",10),
  rep("Grupo 2",10)
)

puntaje <- c(
  72,68,75,70,73,71,69,74,70,72,
  65,63,67,69,64,66,62,68,65,67
)

edad <- c(
  38,42,41,39,40,37,43,40,39,41,
  35,37,34,36,38,35,39,37,36,34
)

fumador <- c(
  "Sí","Sí","No","Sí","No", "Sí","Sí","No","Sí","Sí",
  "No","Sí","No","No","Sí", "No","Sí","No","Sí","No"
)

datos <- data.frame(
  grupo,
  puntaje,
  edad,
  fumador
)

datos
Data frame utilizado en los ejemplos simulados.
grupo puntaje edad fumador
Grupo 1 72 38 Sí
Grupo 1 68 42 Sí
Grupo 1 75 41 No
Grupo 1 70 39 Sí
Grupo 1 73 40 No
Grupo 1 71 37 Sí
Grupo 1 69 43 Sí
Grupo 1 74 40 No
Grupo 1 70 39 Sí
Grupo 1 72 41 Sí
Grupo 2 65 35 No
Grupo 2 63 37 Sí
Grupo 2 67 34 No
Grupo 2 69 36 No
Grupo 2 64 38 Sí
Grupo 2 66 35 No
Grupo 2 62 39 Sí
Grupo 2 68 37 No
Grupo 2 65 36 Sí
Grupo 2 67 34 No

La variable grupo identifica las dos muestras; puntaje y edad son cuantitativas, mientras que fumador toma los valores Si para éxito y No para fracaso.

5.0.2 Intervalo para la media (con \(Z\))

Para ilustrar el procedimiento con \(Z\), se calcula la media de \(x\) y se supone conocida una desviación estándar poblacional igual a \(9\).

# Calcula media y tamaño
media_puntaje <- mean(datos$puntaje)
n_puntaje <- length(datos$puntaje)

# Calcula el intervalo
resultado <- ic_media_z(
  media = media_puntaje,
  sigma = 9,
  n = n_puntaje,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Media 68.5
σ 9
Error estándar 2.0125
n 20
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 1.96
Margen de error 3.9444
Extremo inferior 64.5556
Extremo superior 72.4444
Intervalo 68.5 ± 3.9444

5.0.3 Intervalo para la media (con \(t\))

Como normalmente la desviación estándar poblacional es desconocida y la población es normal, se estima mediante la desviación estándar muestral del puntaje.

# Calcula media y tamaño
media_puntaje <- mean(datos$puntaje)
s_puntaje <- sd(datos$puntaje)
n_puntaje <- length(datos$puntaje)

# Calcula el intervalo
resultado <- ic_media_t(
  media = media_puntaje,
  s = s_puntaje,
  n = n_puntaje,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Media 68.5
s 3.6778
Error estándar 0.8224
n 20
Grados de libertad 19
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 2.093
Margen de error 1.7213
Extremo inferior 66.7787
Extremo superior 70.2213
Intervalo 68.5 ± 1.7213

5.0.4 Intervalo para una proporción

En este caso, un valor igual a Sí en la variable exito representa un éxito. La suma del número de categorías de esta variable proporciona el número total de éxitos. Se evalúa si la proporción de éxitos es igual a 0.50.

# Calcula total de éxitos y tamaño
total_fumador <- sum(datos$fumador == "Sí")
n_fumador <- length(datos$fumador)

# Calcula el intervalo
resultado <- ic_proporcion(
  exitos = total_fumador,
  n = n_fumador,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Éxitos 11
n 20
Proporción 0.55
Error estándar 0.1112
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 1.96
Margen de error 0.218
Extremo inferior 0.332
Extremo superior 0.768
Intervalo 0.55 ± 0.218

6 Ejemplos utilizando una base de datos

En esta sección se utiliza el conjunto de datos survey del paquete lsm, recopilado mediante una encuesta aplicada a una muestra de estudiantes universitarios. La descripción de sus variables puede consultarse en este enlace (clic aquí).

Las estadísticas resumidas se calcularán directamente a partir de las variables de la base de datos. Suponga, en todos los casos, que las variables cuantitativas poblacionales seleccionadas siguen una distribución normal.

6.0.1 Nuestro data frame

Para acceder a la base de datos, hacemos:

#Base de datos
datosCompleto <- lsm::survey

# Para algunos ejemplos de esta sección utilizaremos únicamente las primeras 100 observaciones
df1 <- datosCompleto[1:100,]

# Para otros ejemplos de esta sección utilizaremos únicamente las primeras 29 observaciones
df2 <- datosCompleto[1:29,]

# Dimensión de las dos bases de datos (observaciones, variables)
dim(datosCompleto)
dim(df1)
## Dimensión de la base de datos original: 800 observaciones y 66 variables.
## Dimensión del primer data frame (df1) utilizado en los ejemplos: 100 observaciones y 66 variables.
## Dimensión del segundo data frame (df2) utilizado en los ejemplos: 29 observaciones y 66 variables.

6.0.2 Variables que vamos a utilizar para los ejemplos

En los siguientes ejemplos utilizaremos las variables Age, Gender y School.

  • Age representa la edad del estudiante.

  • Gender tiene las categorías Female y male.

  • School tiene, entre otros, los niveles Private y Public.

6.0.3 Verificar los niveles de las variables seleccionadas

Antes de continuar, se verifican los niveles observados.

unique(df1$Gender)
unique(df1$School)
## Niveles de Gender: Female Male
## Niveles de School: Private Public

6.0.4 Intervalo para la media (con \(Z\))

Se calcula el intervalo de confianza para la edad media. Para ilustrar el procedimiento con \(Z\), se supondrá conocida una desviación estándar poblacional igual a \(6\) años.

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df1$Age[!is.na(df1$Age)] 

# Calcula media y tamaño
media_edad <- mean(edad)
n_edad <- length(edad)

# Calcula el intervalo
resultado <- ic_media_z(
  media = media_edad,
  sigma = 6,
  n = n_edad,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Media 18.9374
σ 6
Error estándar 0.6
n 100
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 1.96
Margen de error 1.176
Extremo inferior 17.7614
Extremo superior 20.1134
Intervalo 18.9374 ± 1.176

6.0.5 Intervalo para la media (con \(t\))

Como normalmente la desviación estándar poblacional es desconocida, se utiliza la desviación estándar muestral de la variable Age.

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df2$Age[!is.na(df2$Age)] 

# Calcula media y tamaño
media_edad <- mean(edad)
s_edad <- sd(edad)
n_edad <- length(edad)

# Calcula el intervalo
resultado <- ic_media_t(
  media = media_edad,
  s = s_edad,
  n = n_edad,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Media 19.2641
s 2.0637
Error estándar 0.3832
n 29
Grados de libertad 28
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 2.0484
Margen de error 0.785
Extremo inferior 18.4792
Extremo superior 20.0491
Intervalo 19.2641 ± 0.785

6.0.6 Intervalo para una proporción

En este ejemplo se estima la proporción poblacional de estudiantes de género Female. El número de éxitos corresponde al número de observaciones clasificadas como Female.

# Elimina los valores perdidos (NA)
genero <- df1$Gender[!is.na(df1$Gender)]

# Calcula número de estudiantes de género Female (éxitos) y tamaño total de la muestra.
total_fem <- sum(genero == "Female")
n_fem <- length(genero)

# Calcula el intervalo
resultado <- ic_proporcion(
  exitos = total_fem,
  n = n_fem,
  conf = 0.95
)

resultado
Medida Valor
Éxitos 49
n 100
Proporción 0.49
Error estándar 0.05
Grado de confianza 0.95
Valor crítico 1.96
Margen de error 0.098
Extremo inferior 0.392
Extremo superior 0.588
Intervalo 0.49 ± 0.098

7 Proyecto: Intervalos de Confianza

7.0.1 Tema

Intervalos de confianza para parámetros poblacionales.

7.0.2 Objetivo

Aplicar los procedimientos estudiados para construir e interpretar intervalos de confianza para medias y proporciones poblacionales utilizando un conjunto de datos real. Asimismo, fortalecer las habilidades para seleccionar muestras, obtener las estadísticas muestrales necesarias a partir de una base de datos y documentar adecuadamente todo el proceso mediante R Markdown.

7.0.3 Base de datos

Utilice el conjunto de datos survey del paquete lsm, empleado durante las clases.

7.0.4 Lineamientos

Los lineamientos generales para la elaboración, entrega y evaluación de esta actividad se encuentran disponibles en:

https://rpubs.com/hllinas/R_Lineamiento_EstInf

No es necesario repetir dichos lineamientos en este documento.

7.0.5 Actividades

  1. Conociendo la base de datos

    Responda las siguientes preguntas:

    1. ¿Cuántas observaciones tiene su nueva base de datos?

    2. ¿Cuántas variables contiene?

    3. Muestre los nombres de todas las variables.

    4. Seleccione:

      • Dos variables cuantitativas que utilizará para construir intervalos para la media poblacional;

      • Dos variables dicotómicas que utilizará para construir intervalos para una proporción poblacional.

    5. Justifique brevemente la selección realizada.

    Importante:

    • Las variables seleccionadas no podrán ser las mismas utilizadas durante las clases o en los ejemplos de las notas del curso. Cada estudiante deberá elegir un conjunto diferente de variables que cumpla las condiciones anteriores.

  1. Selección de una muestra

    1. Construya un nuevo data frame denominado Muestra1, compuesto por más de 100 observaciones seleccionadas de la base de datos original.

    2. Construya un segundo data frame denominado Muestra2, compuesto por menos de 29 observaciones seleccionadas de la base de datos original.

    3. Todas las estimaciones realizadas en la actividad deberán calcularse utilizando únicamente Muestra1 o Muestra2, según corresponda.

  1. Supuestos

    Suponga, en todos los casos, que las variables cuantitativas poblacionales seleccionadas siguen una distribución normal.

  1. Intervalos de confianza para un parámetro

    Considere las muestras construidas en el punto 2 y realice las siguientes estimaciones:

    1. Utilizando Muestra1 (muestra grande), construya un intervalo de confianza para la media poblacional, empleando la aproximación basada en la distribución normal.

    2. Utilizando Muestra1 (muestra grande), construya un intervalo de confianza para la media poblacional, empleando la aproximación basada en la distribución normal y utilizando una variable cuantitativa diferente de la empleada en el inciso anterior.

    3. Utilizando Muestra2 (muestra pequeña), construya un intervalo de confianza para la media poblacional, suponiendo que la desviación estándar poblacional es desconocida. Emplee la distribución \(t\) de Student.

    4. Utilizando nuevamente Muestra2, construya otro intervalo de confianza para la media poblacional mediante la distribución \(t\) de Student, utilizando una variable cuantitativa diferente de la empleada en el inciso anterior.

    5. Utilizando Muestra1, construya un intervalo de confianza para una proporción poblacional, a partir de una las variables dicotómicas seleccionadas.

    6. Utilizando Muestra1, construya un intervalo de confianza para una proporción poblacional, a partir de la segunda variable dicotómica seleccionada.

    Para cada intervalo:

    • Presente claramente los resultados obtenidos.

    • Identifique el parámetro poblacional que se está estimando.

    • Presente e interprete los principales elementos del procedimiento: estimación puntual, error estándar, valor crítico, margen de error y límites inferior y superior del intervalo.

    • Interprete el intervalo de confianza en el contexto de la variable y del problema analizado.

    • Organice el desarrollo de acuerdo con la plantilla utilizada en clase: datos, supuestos, conclusión, fórmula, procedimiento, resultados e interpretación.

  1. Comparación entre procedimientos

    A partir de los resultados obtenidos, responda las siguientes preguntas:

    1. ¿Qué diferencias conceptuales y prácticas existen entre los intervalos construidos utilizando la distribución \(Z\) y y aquellos construidos mediante la distribución \(t\) de Student?

    2. Compare la amplitud de los intervalos obtenidos con Muestra1 y Muestra2. ¿Qué efecto parece tener el tamaño de la muestra sobre la precisión de la estimación? Explique a partir de los resultados obtenidos.

    3. ¿Qué diferencias observa entre los valores críticos utilizados en los procedimientos basados en \(Z\) y en \(t\) de Student? Explique por qué se presentan estas diferencias.

    4. Compare los dos intervalos construidos para proporciones. ¿Cuál presenta mayor precisión? Sustente su respuesta utilizando el margen de error y la amplitud de los intervalos.

  1. Conclusión

    Escriba una conclusión de dos o tres párrafos en la que analice los principales resultados obtenidos.

    Entre otros aspectos, responda:

    1. ¿Qué conclusiones pueden obtenerse sobre la población a partir de los intervalos construidos?

    2. ¿Qué efecto tuvo el tamaño de la muestra sobre la precisión de las estimaciones realizadas?

    3. ¿Qué diferencias encontró entre los procedimientos basados en las distribuciones \(Z\) y \(t\) de Student?

    4. ¿Qué limitaciones presentan los intervalos de confianza obtenidos?

7.0.6 Recomendaciones

  • Todas las tablas deberán estar numeradas y tituladas.

  • Todas las afirmaciones deberán sustentarse con los resultados obtenidos.

  • Muestre el código utilizado para obtener las estadísticas resumidas antes de construir cada intervalo de confianza.

  • Justifique los supuestos utilizados en cada procedimiento.

  • El código debe estar comentado y ejecutarse sin errores.

  • Recuerde consultar los lineamientos generales del curso para conocer los requisitos de reproducibilidad, entrega y evaluación.

8 Ejercicios (intervalos de confianza para medias)

34. Puntaje de bienestar psicológico

Se seleccionó una muestra aleatoria de tamaño 100 de una población de estudiantes universitarios con media desconocida \(\mu\) y desviación estándar \(s=4.5\) en una escala de bienestar psicológico. Si la media de la muestra es 28.3 puntos, construya intervalos de confianza para \(\mu\) para cada uno de los siguientes grados de confianza.

Además, encuentre el ancho de cada intervalo y compare sus resultados en cada inciso:

  1. 90%
  2. 95%
  3. 99%
  4. 99.7%

35. Puntaje de ansiedad

Una psicóloga desea estimar el puntaje promedio de ansiedad de los pacientes atendidos en un centro de orientación psicológica. Una muestra aleatoria de 12 pacientes presentó un puntaje promedio de 77.8 y una desviación estándar de 11.1 en una escala de ansiedad.

Suponiendo que los puntajes de ansiedad se distribuyen normalmente, calcule un intervalo de 95% de confianza para el puntaje promedio de ansiedad de la población de pacientes atendidos en el centro.

36. Tiempo de atención psicológica

El coordinador de un servicio de psicología desea evaluar el tiempo promedio empleado en la atención inicial de los pacientes. El tiempo se define como el número de minutos transcurridos desde el inicio de la consulta hasta su finalización.

Se tomó una muestra aleatoria de 16 pacientes, obteniéndose una media de 65.7 minutos y una desviación estándar de 3.4 minutos.

Utilice estas estadísticas para construir un intervalo del 99% de confianza para el tiempo promedio de atención de la población. Asuma que los tiempos se distribuyen normalmente.

37. Tiempo de espera para recibir atención psicológica

El departamento de bienestar universitario desea estimar el periodo promedio, medido en días, entre la solicitud de una consulta psicológica y la primera sesión con el profesional.

Se seleccionó una muestra aleatoria de 6 estudiantes a partir de los registros disponibles del año anterior. Los tiempos de espera registrados, en días, fueron:

\[ 150,\quad 162,\quad 178,\quad 158,\quad 162,\quad 171 \]

Construya un intervalo del 90% de confianza para el tiempo promedio de espera de la población durante el año pasado.

Suponga que los tiempos de espera se distribuyen normalmente.

38. Tiempo de reacción

Un investigador en psicología cognitiva estudia el tiempo de reacción de los participantes ante un determinado estímulo visual. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 participantes y se registra una medida estandarizada del tiempo de reacción.

Los datos obtenidos son:

\[ 1.014,\quad 1.009,\quad 1.041,\quad 0.962,\quad 1.058,\quad 1.024,\quad 1.019,\quad 1.020,\quad 1.002,\quad 0.958 \]

Asumiendo que esta medida se distribuye normalmente, encuentre un intervalo de 99% de confianza para el tiempo de reacción medio de la población.

39. Tiempo para completar una tarea cognitiva

Un investigador está interesado en conocer el tiempo que requieren los participantes para completar una tarea de razonamiento cognitivo.

Se seleccionó una muestra de 45 participantes y se encontró que el tiempo medio para completar la tarea fue de 24.3 minutos, con una desviación estándar de 3.2 minutos.

Construya un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio requerido por la población para completar la tarea.

40. Puntaje en una prueba de atención

Un psicólogo cognitivo aplica una prueba estandarizada de atención sostenida. En una muestra de participantes se obtuvieron los siguientes puntajes estandarizados:

\[ 1.04,\quad 0.99,\quad 1.01,\quad 1.01,\quad 1.03,\quad 0.97,\quad 1.03,\quad 0.98,\quad 0.99 \]

Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el puntaje promedio de atención de la población.

Suponga que los puntajes tienen una distribución aproximadamente normal.

41. Puntaje de resiliencia psicológica

Se toma una muestra aleatoria de 12 estudiantes universitarios para realizar un estudio sobre resiliencia psicológica. Se aplicó una escala estandarizada y se obtuvo un puntaje promedio de 48.50 con una desviación estándar de 1.5.

Suponiendo que los puntajes se distribuyen normalmente, construya un intervalo de confianza de 90% para el puntaje medio de resiliencia de la población.

42. Variabilidad de puntajes en una prueba psicológica

Una muestra aleatoria de 25 participantes obtuvo, en promedio, un puntaje de 325.05 en una prueba psicométrica, con una desviación estándar de 0.5.

Encuentre los límites de tolerancia del 95% de confianza que contendrán el 90% de los puntajes de la población evaluada.

Suponga que los puntajes de la prueba se distribuyen normalmente.

43. Puntaje de desarrollo cognitivo

Una muestra aleatoria de 110 estudiantes de primer grado de cierta institución educativa alcanzó un puntaje promedio de 0.81 en un índice estandarizado de desarrollo cognitivo, con una desviación estándar muestral de 0.34.

Calcule un intervalo de confianza de 99% para el verdadero puntaje promedio poblacional \(\mu\) e interprete el intervalo resultante.

44. Edad de participantes en un estudio psicológico

Una muestra aleatoria de 8 participantes produjo una edad promedio muestral de 30.2 años y una desviación estándar de 3.1 años.

Si se supone que la edad de la población estudiada está normalmente distribuida, calcule un intervalo de confianza de 95% para la verdadera edad promedio.

45. Incremento porcentual en el bienestar psicológico

Los siguientes datos representan el incremento porcentual en el puntaje de bienestar psicológico de 18 pacientes después de participar en un programa de intervención:

\[ 44.5 , \quad 35.7 , \quad 33.5 , \quad 23.5 , \quad 45.6 , \quad 32.5 , \quad 31.5 , \quad 34.0 , \quad 46.7,\]

\[39.3 , \quad 22.0 , \quad 51.2 , \quad 41.4 , \quad 37.2 , \quad 51.5 , \quad 36.4 , \quad 42.5 , \quad 46.9\]

  1. Trace un diagrama de caja para estos datos y comente sus principales características.

  2. ¿Es factible considerar que la muestra proviene de una población con distribución normal? Explique.

  3. Calcule un intervalo de confianza de 98% para el incremento porcentual promedio en el bienestar psicológico.

46. Puntaje en una escala de estrés

Se sabe que los puntajes obtenidos en una escala de estrés psicológico por una determinada población siguen una distribución normal con una desviación típica de \(0.12\) unidades.

Se extrae una muestra aleatoria de 60 participantes cuyo puntaje medio es de \(4.07\).

  1. Calcule un intervalo de confianza del 99% para el puntaje medio de estrés de la población.

  2. Sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso (a).

  3. Si se decide tomar una muestra de 20 participantes, sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 99% para el puntaje medio tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso (a).

  4. Suponga ahora que la desviación típica poblacional es de \(0.15\). Sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 99% para el puntaje medio tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso (a).

47. Puntaje en una escala de autoestima

Un investigador ha comprobado que los puntajes obtenidos por una población en una escala de autoestima siguen una distribución normal con una desviación típica de \(32.4\).

La media obtenida en una muestra aleatoria de nueve participantes es de \(187.9\).

  1. Calcule un intervalo de confianza del 80% para el puntaje medio poblacional de autoestima.

  2. A partir de estos resultados muestrales, un investigador calcula un intervalo de confianza para la media poblacional que va desde \(165.8\) hasta \(210.0\). Calcule el nivel o contenido probabilístico asociado a dicho intervalo.

48. Actitud frente a una afirmación social

Se tomó una muestra aleatoria de \(541\) participantes y se les pidió que calificaran, en una escala de uno (totalmente en desacuerdo) a cinco (totalmente de acuerdo), su nivel de acuerdo con una determinada afirmación sobre un tema social.

La calificación media y la desviación típica de la muestra fueron de \(3.81\) y \(1.34\), respectivamente.

  1. Calcule un intervalo de confianza del 90% para la calificación media poblacional.

  2. Sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 80% tendría una mayor, menor o igual longitud que el calculado en el apartado (a).

49. Efectividad percibida de una intervención psicológica

Un método diseñado para evaluar la eficacia de una intervención psicológica consiste en aplicar una prueba estandarizada a una muestra aleatoria de \(352\) participantes.

En esta escala, un valor de \(57\) sobre \(100\) se considera indicativo de efectividad. El valor medio y la desviación típica de la muestra fueron de \(60.41\) y \(11.28\), respectivamente.

Calcule un intervalo de confianza del 90% para el valor medio poblacional y comente el resultado obtenido en relación con el valor de referencia de 57 puntos.

50. Gasto asociado a actividades de bienestar psicológico

Una institución universitaria está interesada en conocer el gasto semanal de los estudiantes en actividades relacionadas con el bienestar personal, tales como actividades recreativas, deportivas o de manejo del estrés.

La media y la desviación típica de una muestra aleatoria de 9 estudiantes fueron de \(15\,782\) pesos y \(3\,889\) pesos, respectivamente.

Suponiendo que la población sigue una distribución normal, calcule un intervalo de confianza del 95% para el gasto medio poblacional.

51. Edad de participantes en un programa de intervención

Una muestra aleatoria de 10 participantes de un programa de intervención psicológica reportó las siguientes edades:

\[ 20.3,\quad 16.8,\quad 19.5,\quad 12.3,\quad 17.2,\quad 18.2,\quad 25.9,\quad 6.3,\quad 11.8,\quad 15.4 \]

  1. Suponiendo que la población en cuestión es normal, calcule un intervalo de confianza del 99% para la edad media poblacional.

  2. Sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 90% para la edad media poblacional tendría una longitud mayor, menor o igual a la obtenida en el apartado (a).

9 Ejercicios (intervalos de confianza para proporciones)

52. Proporción de participantes con síntomas elevados de ansiedad

Se estudia la proporción de estudiantes universitarios que presentan síntomas elevados de ansiedad según una prueba de tamizaje psicológico.

Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 60 estudiantes, de los cuales 38 presentan puntajes compatibles con niveles elevados de ansiedad.

Construya un intervalo del 99% de confianza para la verdadera proporción de estudiantes de la población que presentan síntomas elevados de ansiedad.

53. Proporción de estudiantes con alto apoyo social percibido

De una muestra aleatoria de 140 estudiantes de una universidad, 74 indicaron tener un nivel alto de apoyo social percibido según una escala psicológica.

Construya un intervalo del 90% de confianza para estimar la proporción de estudiantes de toda la universidad que presentan un nivel alto de apoyo social percibido.

54. Proporción de participantes con resultados positivos en una prueba de tamizaje

Un equipo de psicología clínica está interesado en estimar la proporción de personas que obtienen un resultado positivo en una prueba de tamizaje para riesgo psicológico.

En una muestra aleatoria de 350 participantes, 161 obtuvieron un resultado positivo.

Construya un intervalo del 99% de confianza para la verdadera proporción de participantes de la población que obtienen un resultado positivo en la prueba.

55. Proporción de personas con formación universitaria

En una muestra aleatoria de 249 personas adultas participantes en un estudio psicológico, se encontró que el 87% había realizado estudios universitarios.

Construya un intervalo del 92% de confianza para la verdadera proporción de personas con estudios universitarios en la población de interés.

56. Proporción de protocolos psicológicos con algún tipo de inconsistencia

El coordinador de un centro de evaluación psicológica desea determinar la proporción de protocolos de evaluación que contienen algún tipo de inconsistencia, como preguntas omitidas, respuestas duplicadas, datos incompletos o errores de registro.

Se selecciona una muestra aleatoria de 100 protocolos para el análisis. Suponga que 70 de ellos contienen algún tipo de inconsistencia.

Construya un intervalo del 99% de confianza para estimar la proporción de protocolos que presentan algún tipo de inconsistencia.

57. Proporción de pacientes atendidos dentro del tiempo esperado

Un investigador en psicología de la salud desea determinar la proporción de pacientes que reciben atención psicológica dentro de los dos meses siguientes a la solicitud inicial.

Se selecciona una muestra aleatoria de 1000 solicitudes de atención y se determina que 228 pacientes fueron atendidos en menos de dos meses.

Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional de pacientes que reciben atención dentro del periodo establecido.

58. Puntajes en una escala psicológica y proporción de participantes extranjeros

En un estudio psicológico realizado con empleados de una organización, se obtuvieron los siguientes puntajes en una escala de bienestar laboral:

\[ 422 , \quad 425 , \quad 427 , \quad 418 , \quad 421 , \quad 421 , \quad 431 , \quad 463 , \quad 465 , \]

\[ 446 , \quad 447 , \quad 448 , \quad 453 , \quad 454 , \quad 434 , \quad 437 , \quad 439 \]

  1. Trace un diagrama de caja de los datos y comente sus propiedades de interés.

  2. ¿Es factible que estas observaciones muestrales se hayan seleccionado de una población con distribución normal?

  3. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el puntaje promedio real de bienestar laboral. ¿Podría indicar ese intervalo que 440 es un valor factible del promedio poblacional? ¿Y 450?

  4. Si 5 de estos 17 participantes son extranjeros, construya un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de participantes extranjeros en la población de interés.

59. Proporción de participantes que presentan una respuesta fisiológica intensa

En una prueba experimental de respuesta al estrés, a 11 de 35 participantes se les detectó una respuesta fisiológica intensa ante un estímulo de alta demanda.

Construya un intervalo de confianza del 90% para la verdadera proporción de personas de esta población que presentan una respuesta fisiológica intensa ante este tipo de estímulo.

60. Actitud frente a una intervención comunitaria

Una institución está considerando implementar un programa comunitario orientado al bienestar psicológico, lo cual implicaría un aumento en una contribución económica destinada a financiarlo.

Una muestra aleatoria de \(610\) habitantes revela que el \(50.7\%\) de los encuestados está en contra de dicha medida.

Halle un intervalo de confianza del \(99\%\) para la proporción de la población que no está de acuerdo con la implementación del programa.

61. Actitud de estudiantes frente a una política universitaria

El \(47.9\%\) de una muestra aleatoria de \(323\) estudiantes matriculados en cierta universidad no estuvo de acuerdo con la siguiente afirmación:

“Los estudiantes de último semestre deben participar obligatoriamente en un programa de acompañamiento psicológico”.

Utilizando esta información, un investigador calculó un intervalo de confianza entre \(45.8\%\) y \(50.0\%\) para el porcentaje poblacional de estudiantes matriculados que no están de acuerdo con esta afirmación.

Calcule el grado de confianza asociado a este intervalo.

62. Proporción de participantes extranjeros en cargos directivos

De una muestra aleatoria de \(95\) personas que ocupan cargos directivos en diferentes organizaciones, se estableció que \(29\) eran extranjeras.

  1. Calcule un intervalo de confianza del \(99\%\) para la proporción poblacional.

  2. Sin hacer los cálculos, determine si un intervalo de confianza del \(90\%\) tendría una longitud mayor, menor o igual a la obtenida en el apartado (a).

63. Actitud frente a una política de bienestar laboral

De una muestra aleatoria de \(198\) trabajadores de una empresa, \(98\) no estaban de acuerdo con la implementación de una nueva política obligatoria de bienestar psicológico.

Utilizando esta información, un investigador calculó un intervalo de confianza de \(0.445\) a \(0.545\) para la proporción poblacional.

¿Cuál es el contenido probabilístico de dicho intervalo?

64. Desempeño en una tarea de precisión

Un participante en un estudio de psicología del rendimiento realizó 200 intentos en una tarea de precisión y falló en 26 de ellos.

  1. Estime el error estándar de la proporción de todos los intentos que el participante falla.

  2. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de todos los intentos que el participante falla.

65. Proporción de participantes con nivel alto de bienestar

El responsable de bienestar laboral de una empresa seleccionó aleatoriamente 150 de los 3000 empleados y determinó que el 60% presentaba un nivel alto de bienestar psicológico según una escala previamente establecida.

  1. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción de empleados que presentan un nivel alto de bienestar psicológico.

  2. Con base en el inciso anterior, ¿qué tipo de estimación por intervalo podría establecerse para el número absoluto de empleados de la empresa que presentan un nivel alto de bienestar psicológico, manteniendo el mismo grado de confianza?

Anexos

  1. RStudio, R Markdown y R (por lo menos, el capítulo 1): Click derecho aquí.

  2. Lineamientos (actividades de análisis de datos): Click derecho aquí.

  3. Tablas estadísticas: Click derecho aquí.

  4. Tabla de supuestos: Click derecho aquí.

Texto guía

  1. LLinás, H. (2006); Estadística inferencial. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.

Bibliografía complementaria

  1. LLinás, H., Rojas, C. (2005). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.

  2. Consultar mis notas de clase: Estadística inferencial

  3. Consultar el documento RPubs :: Enlace y materiales de ayuda.

  4. Agresti, A., Franklin, C., & Klingenberg, B. (2018). Statistics: The Art and Science of Learning from Data, 4/E.

  5. Puede consultarse mis siguientes documentos:

 

  
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