0.0.1 Contenido

  1. Introducción y experimento aleatorio
  2. Espacio muestral y representación gráfica
  3. Eventos y operaciones con eventos
  4. Probabilidad de un evento (Clásica, Frecuentista, Axiomática)
  5. Espacios muestrales finitos equiprobables
  6. Probabilidad condicional
  7. Independencia de eventos
  8. Probabilidad total y Teorema de Bayes
  9. Aplicación integral
  10. Ejercicios propuestos

Este documento es la traducción completa a R del notebook original de Python (1_Probabilidades.ipynb), conservando la misma teoría, el mismo orden y los mismos ejemplos, pero usando herramientas nativas de R: vectores y setdiff()/union()/intersect() para conjuntos, MASS::fractions() para fracciones exactas, gráficos con R base y plotrix para los diagramas de Venn, y sample() / runif() para las simulaciones.

1 🔧 Preparación: librerías y estilo gráfico

Usamos únicamente paquetes estándar del sistema R: MASS (para fracciones exactas, equivalente a Fraction de Python) y plotrix (para dibujar círculos, con lo que construimos los diagramas de Venn sin depender de un paquete específico de Venn).

library(MASS)      # fractions() -> equivalente a from fractions import Fraction
library(plotrix)   # draw.circle() -> para construir los diagramas de Venn

# Paleta de colores (equivalente al diccionario C de Python)
C <- c(azul = "#2980b9", rojo = "#e74c3c", verde = "#27ae60",
       naranja = "#e67e22", morado = "#8e44ad", turquesa = "#1abc9c",
       gris = "#7f8c8d", oro = "#f1c40f", rosa = "#e91e63")

# Estilo gráfico global (equivalente a plt.rcParams.update({...}))
par(family = "serif", cex = 1, las = 1)
## Funciones auxiliares para diagramas de Venn con plotrix (no requieren paquetes de Venn)

venn2_plot <- function(solo_a, solo_b, ambos, label_a, label_b, titulo,
                        col_a = C["azul"], col_b = C["rojo"]) {
  plot(0, 0, type = "n", xlim = c(-1.2, 3.2), ylim = c(-1.5, 1.5),
       axes = FALSE, xlab = "", ylab = "", main = titulo)
  draw.circle(0, 0, 1.15, col = adjustcolor(col_a, alpha.f = 0.45), border = col_a, lwd = 2)
  draw.circle(1.4, 0, 1.15, col = adjustcolor(col_b, alpha.f = 0.45), border = col_b, lwd = 2)
  text(-0.55, 0, solo_a, cex = 1.3, font = 2)
  text(1.95, 0, solo_b, cex = 1.3, font = 2)
  text(0.7, 0, ambos, cex = 1.3, font = 2)
  text(-0.15, 1.35, label_a, cex = 1.1, col = col_a, font = 2)
  text(1.55, 1.35, label_b, cex = 1.1, col = col_b, font = 2)
}

venn1_plot <- function(valor, label, titulo, col = C["verde"]) {
  plot(0, 0, type = "n", xlim = c(-1.5, 1.5), ylim = c(-1.5, 1.5),
       axes = FALSE, xlab = "", ylab = "", main = titulo)
  draw.circle(0, 0, 1.15, col = adjustcolor(col, alpha.f = 0.4), border = col, lwd = 2)
  text(0, 0, valor, cex = 1.3, font = 2)
  text(0, 1.35, label, cex = 1.1, col = col, font = 2)
}

2 1. 📘 Introducción y Experimento Aleatorio

2.0.1 ¿Qué es la probabilidad?

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Toma valores entre 0 (imposible) y 1 (seguro).

2.0.2 Experimento aleatorio

Es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo, pero sí se conoce el conjunto de todos los resultados posibles.

Concepto Definición Ejemplo
Experimento determinista Resultado predecible Calentar agua a 100°C → hierve
Experimento aleatorio Resultado incierto Lanzar un dado → ¿1, 2, 3, 4, 5, 6?
Espacio muestral (\(\Omega\)) Conjunto de todos los resultados posibles \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Evento (\(A\)) Subconjunto de \(\Omega\) \(A=\{2,4,6\}\) (sale par)

3 2. 🎯 Espacio Muestral

3.0.1 Definición

El espacio muestral \(\Omega\) (o \(S\)) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Experimento Espacio muestral
Lanzar una moneda \(\Omega=\{C,S\}\)
Lanzar un dado \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Lanzar 2 monedas \(\Omega=\{CC,CS,SC,SS\}\)
Lanzar 2 dados \(|\Omega|=6\times 6=36\)

En R, representamos conjuntos con vectores (para elementos simples) o con data frames / listas (para tuplas, como los pares de dos dados). Las funciones union(), intersect() y setdiff() de R base cumplen el mismo papel que |, & y - sobre set en Python.

# Espacio muestral: lanzar un dado
omega_dado <- 1:6
cat("Omega (dado) =", paste(omega_dado, collapse = ", "), "\n")
## Omega (dado) = 1, 2, 3, 4, 5, 6
cat("|Omega| =", length(omega_dado), "\n")
## |Omega| = 6
# Espacio muestral: lanzar 2 monedas
omega_2monedas <- expand.grid(m1 = c("C", "S"), m2 = c("C", "S"))
omega_2monedas$resultado <- paste0(omega_2monedas$m1, omega_2monedas$m2)
cat("Omega (2 monedas) =", paste(omega_2monedas$resultado, collapse = ", "), "\n")
## Omega (2 monedas) = CC, SC, CS, SS
cat("|Omega| =", nrow(omega_2monedas), "\n")
## |Omega| = 4
# Espacio muestral: lanzar 2 dados
omega_2dados <- expand.grid(d1 = 1:6, d2 = 1:6)
cat("|Omega| (2 dados) =", nrow(omega_2dados), "\n")
## |Omega| (2 dados) = 36
cat("Primeros 6:\n"); print(head(omega_2dados, 6))
## Primeros 6:
##   d1 d2
## 1  1  1
## 2  2  1
## 3  3  1
## 4  4  1
## 5  5  1
## 6  6  1
cat("Ultimos 6:\n");  print(tail(omega_2dados, 6))
## Ultimos 6:
##    d1 d2
## 31  1  6
## 32  2  6
## 33  3  6
## 34  4  6
## 35  5  6
## 36  6  6

3.1 2.1 Representación gráfica del espacio muestral (2 dados)

# Gráfico: espacio muestral de 2 dados
plot(omega_2dados$d1, omega_2dados$d2, pch = 19, cex = 2,
     col = adjustcolor(C["azul"], alpha.f = 0.6),
     xlim = c(0.5, 6.5), ylim = c(0.5, 7),
     xlab = "Dado 1", ylab = "Dado 2",
     main = "Espacio Muestral — 2 Dados (36 puntos)", font.main = 2,
     xaxt = "n", yaxt = "n")
axis(1, at = 1:6); axis(2, at = 1:6)
text(omega_2dados$d1, omega_2dados$d2 + 0.3,
     labels = paste0("(", omega_2dados$d1, ",", omega_2dados$d2, ")"), cex = 0.6)

3.2 2.2 Árbol de posibilidades

# Árbol: lanzar una moneda 3 veces
plot(0, 0, type = "n", xlim = c(-1, 10), ylim = c(-4, 5), axes = FALSE,
     xlab = "", ylab = "", main = "Árbol de Posibilidades — 3 Lanzamientos de Moneda", font.main = 2)

resultados_arbol <- c("C", "S")
for (i in seq_along(resultados_arbol)) {
  r1 <- resultados_arbol[i]
  y1 <- 3 - (i - 1) * 4
  arrows(0, 1, 2, y1, col = C["azul"], lwd = 1.5, length = 0.1)
  text(1, (1 + y1) / 2 + 0.3, r1, cex = 1.1, font = 2, col = C["azul"])

  for (j in seq_along(resultados_arbol)) {
    r2 <- resultados_arbol[j]
    y2 <- y1 + 1 - (j - 1) * 2
    arrows(2, y1, 5, y2, col = C["verde"], lwd = 1.2, length = 0.08)
    text(3.3, (y1 + y2) / 2 + 0.2, r2, cex = 1.0, col = C["verde"])

    for (k in seq_along(resultados_arbol)) {
      r3 <- resultados_arbol[k]
      y3 <- y2 + 0.5 - (k - 1) * 1
      arrows(5, y2, 8, y3, col = C["naranja"], lwd = 1, length = 0.06)
      text(6.3, (y2 + y3) / 2 + 0.1, r3, cex = 0.9, col = C["naranja"])
      text(8.5, y3, paste0(r1, r2, r3), cex = 1.0, font = 2)
    }
  }
}
text(0, 1, "Inicio", cex = 1.2, font = 2)

# Verificación: 2^3 = 8 resultados
omega_3m <- expand.grid(m1 = c("C","S"), m2 = c("C","S"), m3 = c("C","S"))
omega_3m$resultado <- paste0(omega_3m$m1, omega_3m$m2, omega_3m$m3)
cat("Omega =", paste(omega_3m$resultado, collapse = ", "), "\n")
## Omega = CCC, SCC, CSC, SSC, CCS, SCS, CSS, SSS
cat("|Omega| =", nrow(omega_3m), "= 2^3\n")
## |Omega| = 8 = 2^3

4 3. 📋 Eventos y Operaciones con Eventos

4.0.1 Definición

Un evento es un subconjunto del espacio muestral \(\Omega\).

4.0.2 3.1 Operaciones fundamentales

Operación Notación En R Significado
Unión \(A\cup B\) union(A, B) \(A\) o \(B\) (o ambos)
Intersección \(A\cap B\) intersect(A, B) \(A\) y \(B\)
Complemento \(A^c\) o \(\bar A\) setdiff(Omega, A) No \(A\)
Diferencia \(A-B\) setdiff(A, B) \(A\) pero no \(B\)
Mutuamente excluyentes \(A\cap B=\emptyset\) — No pueden ocurrir juntos 
# Ejemplo: lanzar un dado
Omega <- 1:6
A <- c(2, 4, 6)   # sale par
B <- c(1, 2, 3)   # sale <= 3

cat("Omega    =", paste(Omega, collapse = ", "), "\n")
## Omega    = 1, 2, 3, 4, 5, 6
cat("A (par)  =", paste(A, collapse = ", "), "\n")
## A (par)  = 2, 4, 6
cat("B (<=3)  =", paste(B, collapse = ", "), "\n")
## B (<=3)  = 1, 2, 3
# Operaciones con conjuntos
cat("A U B =", paste(union(A, B), collapse = ", "), "\n")               # Union
## A U B = 2, 4, 6, 1, 3
cat("A ^ B =", paste(intersect(A, B), collapse = ", "), "\n")           # Interseccion
## A ^ B = 2
cat("A^c   =", paste(setdiff(Omega, A), collapse = ", "), "\n")         # Complemento
## A^c   = 1, 3, 5
cat("A - B =", paste(setdiff(A, B), collapse = ", "), "\n")             # Diferencia
## A - B = 4, 6
cat("A ^ B = vacio?", length(intersect(A, B)) == 0, "\n")               # Mutuamente excluyentes?
## A ^ B = vacio? FALSE

4.1 3.2 Álgebra de eventos — Leyes fundamentales

Ley Expresión
Conmutativa \(A\cup B=B\cup A\)
Asociativa \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)
Distributiva \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
De Morgan \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)
De Morgan \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\) 
# Verificación de las leyes de De Morgan
Ac <- setdiff(Omega, A)
Bc <- setdiff(Omega, B)

# (A U B)^c = A^c ^ B^c
izq  <- setdiff(Omega, union(A, B))
der  <- intersect(Ac, Bc)
cat("(AUB)^c =", paste(sort(izq), collapse=", "), "\n")
## (AUB)^c = 5
cat("A^c^B^c =", paste(sort(der), collapse=", "), "\n")
## A^c^B^c = 5
cat("De Morgan 1:", setequal(izq, der), " (verificado)\n")
## De Morgan 1: TRUE  (verificado)
# (A ^ B)^c = A^c U B^c
izq2 <- setdiff(Omega, intersect(A, B))
der2 <- union(Ac, Bc)
cat("\n(A^B)^c =", paste(sort(izq2), collapse=", "), "\n")
## 
## (A^B)^c = 1, 3, 4, 5, 6
cat("A^cUB^c =", paste(sort(der2), collapse=", "), "\n")
## A^cUB^c = 1, 3, 4, 5, 6
cat("De Morgan 2:", setequal(izq2, der2), " (verificado)\n")
## De Morgan 2: TRUE  (verificado)
par(mfrow = c(1, 3), oma = c(0, 0, 3, 0))

n_solo_a <- length(setdiff(A, B))
n_solo_b <- length(setdiff(B, A))
n_ambos  <- length(intersect(A, B))
venn2_plot(n_solo_a, n_solo_b, n_ambos, "A (par)", "B (<=3)",
           paste0("A \u2229 B = {", paste(intersect(A,B), collapse=","), "}"))

venn2_plot(n_solo_a + n_ambos, n_solo_b + n_ambos, 0, "A", "B", "A \u222a B",
           col_a = adjustcolor(C["azul"], alpha.f = 0.3), col_b = adjustcolor(C["rojo"], alpha.f = 0.3))

venn1_plot(length(setdiff(Omega, A)), "A^c",
           paste0("A^c = {", paste(setdiff(Omega, A), collapse=","), "}"))

mtext("Diagramas de Venn", side = 3, line = 0.5, outer = TRUE, cex = 1.3, font = 2)

par(mfrow = c(1, 1), oma = c(0, 0, 0, 0))

5 4. 🎯 Probabilidad de un Evento

5.0.1 4.1 Definición Clásica (Laplace, 1812)

\[P(A)=\frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos totales}}=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

Requiere que todos los resultados sean igualmente probables.

5.0.2 4.2 Definición Frecuentista (Von Mises, 1928)

\[P(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{n_A}{n}\]

Donde \(n_A\) es el número de veces que ocurrió \(A\) en \(n\) repeticiones.

5.0.3 4.3 Definición Axiomática de Kolmogorov (1933)

Axioma Expresión Descripción
A1 \(P(A)\ge 0\) No negativa
A2 \(P(\Omega)=1\) Certeza total
A3 Si \(A\cap B=\emptyset\): \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) Aditividad 
# Definición Clásica: P(A) = |A| / |Omega|
P_A <- fractions(length(A) / length(Omega))
P_B <- fractions(length(B) / length(Omega))
cat(sprintf("P(par) = |A|/|Omega| = %d/%d = %s = %.4f\n",
            length(A), length(Omega), as.character(P_A), length(A)/length(Omega)))
## P(par) = |A|/|Omega| = 3/6 = 1/2 = 0.5000
cat(sprintf("P(<=3) = |B|/|Omega| = %d/%d = %s = %.4f\n",
            length(B), length(Omega), as.character(P_B), length(B)/length(Omega)))
## P(<=3) = |B|/|Omega| = 3/6 = 1/2 = 0.5000
# Probabilidades con fracciones exactas
P_AyB <- fractions(length(intersect(A, B)) / length(Omega))
P_AoB <- fractions(length(union(A, B)) / length(Omega))
P_Ac  <- fractions(length(setdiff(Omega, A)) / length(Omega))

cat(sprintf("P(A ^ B) = %d/%d = %s\n", length(intersect(A,B)), length(Omega), as.character(P_AyB)))
## P(A ^ B) = 1/6 = 1/6
cat(sprintf("P(A U B) = %d/%d = %s\n", length(union(A,B)), length(Omega), as.character(P_AoB)))
## P(A U B) = 5/6 = 5/6
cat(sprintf("P(A^c)   = %d/%d = %s\n", length(setdiff(Omega,A)), length(Omega), as.character(P_Ac)))
## P(A^c)   = 3/6 = 1/2

5.0.4 4.4 Propiedades derivadas de los axiomas

Propiedad Fórmula
Complemento \(P(A^c)=1-P(A)\)
Evento imposible \(P(\emptyset)=0\)
Rango \(0\le P(A)\le 1\)
Adición general \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
Inclusión-exclusión (3) \(P(A\cup B\cup C)=\sum P-\sum P(\cap\cap)+P(A\cap B\cap C)\) 
# Verificar: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A^B)
izq <- P_AoB
der <- P_A + P_B - P_AyB
cat("P(AUB) =", as.character(izq), "\n")
## P(AUB) = 5/6
cat(sprintf("P(A)+P(B)-P(A^B) = %s+%s-%s = %s\n",
            as.character(P_A), as.character(P_B), as.character(P_AyB), as.character(der)))
## P(A)+P(B)-P(A^B) = 1/2+1/2-1/6 = 5/6
cat("Iguales?", isTRUE(all.equal(as.numeric(izq), as.numeric(der))), " (verificado)\n")
## Iguales? TRUE  (verificado)
# Verificar: P(A^c) = 1 - P(A)
cat(sprintf("\nP(A^c) = %s = 1 - %s = %s (verificado)\n",
            as.character(P_Ac), as.character(P_A), as.character(fractions(1 - as.numeric(P_A)))))
## 
## P(A^c) = 1/2 = 1 - 1/2 = 1/2 (verificado)

5.0.5 Definición Frecuentista — Simulación

# Simulación: lanzar un dado N veces
set.seed(42)
N_sim <- 10000
lanzamientos <- sample(1:6, N_sim, replace = TRUE)

# Frecuencia relativa acumulada de "sale par"
es_par <- as.integer(lanzamientos %% 2 == 0)
freq_acum <- cumsum(es_par) / seq_len(N_sim)

cat(sprintf("Frecuencia relativa final (n=%d): %.4f\n", N_sim, tail(freq_acum, 1)))
## Frecuencia relativa final (n=10000): 0.4969
cat(sprintf("Probabilidad teórica: %.4f\n", 0.5))
## Probabilidad teórica: 0.5000
# Gráfico: convergencia frecuentista
plot(seq_len(N_sim), freq_acum, type = "l", col = C["azul"], lwd = 1,
     log = "x", xlab = "Número de lanzamientos (n)", ylab = "Frecuencia relativa n_A / n",
     main = "Ley de los Grandes Números — Convergencia Frecuentista", font.main = 2)
abline(h = 0.5, col = C["rojo"], lty = 2, lwd = 2)
legend("topright", legend = "P(par) = 0.5 (teórica)", col = C["rojo"], lty = 2, lwd = 2, bty = "n")

6 5. 🎲 Espacios Muestrales Finitos Equiprobables

6.0.1 Ejemplo 5.1 — Suma de 2 dados

Calcular \(P(\text{suma}=7)\) y la distribución completa de la suma.

# Todos los resultados posibles al lanzar 2 dados
resultados <- expand.grid(d1 = 1:6, d2 = 1:6)
sumas <- resultados$d1 + resultados$d2

# P(suma = 7)
fav_7 <- resultados[sumas == 7, ]
P_7 <- fractions(nrow(fav_7) / nrow(resultados))
cat("Casos favorables (suma=7):\n"); print(fav_7)
## Casos favorables (suma=7):
##    d1 d2
## 6   6  1
## 11  5  2
## 16  4  3
## 21  3  4
## 26  2  5
## 31  1  6
cat(sprintf("P(suma=7) = %d/%d = %s = %.4f\n",
            nrow(fav_7), nrow(resultados), as.character(P_7), nrow(fav_7)/nrow(resultados)))
## P(suma=7) = 6/36 = 1/6 = 0.1667
# Distribución completa de la suma
df_suma <- data.frame(Suma = 2:12)
df_suma$Casos <- sapply(df_suma$Suma, function(s) sum(sumas == s))
df_suma$P_Suma <- sapply(df_suma$Casos, function(c) as.character(fractions(c / 36)))
df_suma$P_decimal <- df_suma$Casos / 36
df_suma
# Gráfico de la distribución de la suma de 2 dados
colores_barras <- ifelse(df_suma$Suma == 7, C["rojo"], C["azul"])
bp <- barplot(df_suma$Casos, names.arg = df_suma$Suma, col = colores_barras, border = "white",
              xlab = "Suma de los dados", ylab = "Casos favorables",
              main = "Distribución de la Suma de 2 Dados", font.main = 2, ylim = c(0, max(df_suma$Casos)+1))
text(bp, df_suma$Casos + 0.2, labels = paste0(df_suma$Casos, "/36"), font = 2, cex = 0.8)

7 6. 📐 Probabilidad Condicional

7.0.1 Definición

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \qquad \text{con } P(B)>0\]

Se lee: «probabilidad de \(A\) dado que \(B\) ya ocurrió».

7.0.2 6.1 Regla de la multiplicación

\[P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(B|A)\cdot P(A)\]

7.0.3 6.2 Independencia de eventos

\(A\) y \(B\) son independientes si y solo si:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]

Equivalentemente: \(P(A|B)=P(A)\) (saber que \(B\) ocurrió no cambia la probabilidad de \(A\)).

7.0.4 Ejemplo 6.1 — Probabilidad condicional con dados

# P(par | suma <= 6) = P(par ^ suma<=6) / P(suma<=6)
A_par   <- which(resultados$d1 %% 2 == 0)                 # dado 1 par (índices de filas)
B_suma6 <- which(resultados$d1 + resultados$d2 <= 6)       # suma <= 6

AyB <- intersect(A_par, B_suma6)
P_AyB   <- fractions(length(AyB) / 36)
P_B_s6  <- fractions(length(B_suma6) / 36)
P_cond  <- fractions(as.numeric(P_AyB) / as.numeric(P_B_s6))

cat("A (dado1 par): |A| =", length(A_par), "\n")
## A (dado1 par): |A| = 18
cat("B (suma <= 6): |B| =", length(B_suma6), "\n")
## B (suma <= 6): |B| = 15
cat("A ^ B:         |A^B| =", length(AyB), "\n")
## A ^ B:         |A^B| = 6
cat("\nP(A^B) =", as.character(P_AyB), "\n")
## 
## P(A^B) = 1/6
cat("P(B)   =", as.character(P_B_s6), "\n")
## P(B)   = 5/12
cat(sprintf("P(A|B) = %s/%s = %s ~= %.4f\n",
            as.character(P_AyB), as.character(P_B_s6), as.character(P_cond),
            as.numeric(P_AyB)/as.numeric(P_B_s6)))
## P(A|B) = 1/6/5/12 = 2/5 ~= 0.4000

7.0.5 Ejemplo 6.2 — Urna con bolas de colores

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 bolas azules. Se extraen 2 bolas sin reposición.

# P(2a azul | 1a roja)
cat("=== Extracción SIN reposición ===\n")
## === Extracción SIN reposición ===
P_1roja <- fractions(5/8)
P_2azul_dado_1roja <- fractions(3/7)
P_ambas <- fractions(as.numeric(P_1roja) * as.numeric(P_2azul_dado_1roja))

cat("P(1a roja)           =", as.character(P_1roja), "\n")
## P(1a roja)           = 5/8
cat("P(2a azul | 1a roja) =", as.character(P_2azul_dado_1roja), "\n")
## P(2a azul | 1a roja) = 3/7
cat(sprintf("P(1a roja ^ 2a azul) = %s x %s = %s\n",
            as.character(P_1roja), as.character(P_2azul_dado_1roja), as.character(P_ambas)))
## P(1a roja ^ 2a azul) = 5/8 x 3/7 = 15/56
cat(sprintf("                     ~= %.4f\n", as.numeric(P_ambas)))
##                      ~= 0.2679
# ¿Son independientes?
cat("\n=== Extracción CON reposición ===\n")
## 
## === Extracción CON reposición ===
P_2azul_con_rep <- fractions(3/8)  # no cambia
P_ambas_con_rep <- fractions(as.numeric(P_1roja) * as.numeric(P_2azul_con_rep))

cat(sprintf("P(1a roja) x P(2a azul) = %s x %s = %s\n",
            as.character(P_1roja), as.character(P_2azul_con_rep), as.character(P_ambas_con_rep)))
## P(1a roja) x P(2a azul) = 5/8 x 3/8 = 15/64
cat("CON reposición -> eventos INDEPENDIENTES\n")
## CON reposición -> eventos INDEPENDIENTES
cat("SIN reposición -> eventos DEPENDIENTES\n")
## SIN reposición -> eventos DEPENDIENTES

7.0.6 Ejemplo 6.3 — Verificación de independencia

# ¿Son independientes A={par} y B={<=3} al lanzar un dado?
P_A_d   <- fractions(3/6)  # {2,4,6}
P_B_d   <- fractions(3/6)  # {1,2,3}
P_AyB_d <- fractions(1/6)  # {2}

P_prod <- fractions(as.numeric(P_A_d) * as.numeric(P_B_d))
cat("P(A) =", as.character(P_A_d), "\n")
## P(A) = 1/2
cat("P(B) =", as.character(P_B_d), "\n")
## P(B) = 1/2
cat("P(A) x P(B) =", as.character(P_prod), "\n")
## P(A) x P(B) = 1/4
cat("P(A ^ B)    =", as.character(P_AyB_d), "\n")
## P(A ^ B)    = 1/6
cat("\n¿Independientes? P(A^B) = P(A)xP(B)?\n")
## 
## ¿Independientes? P(A^B) = P(A)xP(B)?
cat(sprintf("%s != %s -> NO son independientes\n", as.character(P_AyB_d), as.character(P_prod)))
## 1/6 != 1/4 -> NO son independientes

8 7. 🧮 Probabilidad Total y Teorema de Bayes

8.0.1 7.1 Partición del espacio muestral

Los eventos \(B_1,B_2,\dots,B_n\) forman una partición de \(\Omega\) si:

  • \(B_i\cap B_j=\emptyset\) para \(i\ne j\) (mutuamente excluyentes)
  • \(B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=\Omega\) (exhaustivos)

8.0.2 7.2 Teorema de la Probabilidad Total

\[P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)\]

8.0.3 7.3 Teorema de Bayes

\[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)}=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{P(A)}\]

8.0.4 Ejemplo 7.1 — Producción con defectos

Una fábrica tiene 3 máquinas:

Máquina % de producción % de defectos
M1 50% 3%
M2 30% 4%
M3 20% 5%

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto al azar sea defectuoso? b) Si un producto resultó defectuoso, ¿de qué máquina es más probable que provenga?

# Datos
maquinas <- c("M1", "M2", "M3")
P_M <- c(0.50, 0.30, 0.20)           # P(Bi)
P_D_dado_M <- c(0.03, 0.04, 0.05)    # P(A|Bi)
# a) Probabilidad Total: P(D) = Sum P(D|Mi) * P(Mi)
P_D <- sum(P_D_dado_M * P_M)
cat("=== Probabilidad Total ===\n")
## === Probabilidad Total ===
for (i in seq_along(maquinas)) {
  cat(sprintf("  P(D|%s)*P(%s) = %.2f x %.2f = %.4f\n",
              maquinas[i], maquinas[i], P_D_dado_M[i], P_M[i], P_D_dado_M[i]*P_M[i]))
}
##   P(D|M1)*P(M1) = 0.03 x 0.50 = 0.0150
##   P(D|M2)*P(M2) = 0.04 x 0.30 = 0.0120
##   P(D|M3)*P(M3) = 0.05 x 0.20 = 0.0100
cat(sprintf("\n  P(D) = %.4f = %.2f%%\n", P_D, P_D*100))
## 
##   P(D) = 0.0370 = 3.70%
# b) Bayes: P(Mi|D) = P(D|Mi)*P(Mi) / P(D)
P_M_dado_D <- (P_D_dado_M * P_M) / P_D

cat("=== Teorema de Bayes ===\n")
## === Teorema de Bayes ===
for (i in seq_along(maquinas)) {
  cat(sprintf("  P(%s|D) = %.4f = %.2f%%\n", maquinas[i], P_M_dado_D[i], P_M_dado_D[i]*100))
}
##   P(M1|D) = 0.4054 = 40.54%
##   P(M2|D) = 0.3243 = 32.43%
##   P(M3|D) = 0.2703 = 27.03%
cat(sprintf("\n-> La máquina más probable es %s con P = %.2f%%\n",
            maquinas[which.max(P_M_dado_D)], max(P_M_dado_D)*100))
## 
## -> La máquina más probable es M1 con P = 40.54%
cat(sprintf("   Verificación: Sum P(Mi|D) = %.4f (correcto)\n", sum(P_M_dado_D)))
##    Verificación: Sum P(Mi|D) = 1.0000 (correcto)
# Gráfico: probabilidad a priori vs a posteriori
par(mfrow = c(1, 2), oma = c(0, 0, 3, 0))
colores_maq <- c(C["azul"], C["verde"], C["naranja"])

bp1 <- barplot(P_M*100, names.arg = maquinas, col = colores_maq, border = "white",
               ylab = "Probabilidad (%)", main = "A Priori: P(Mi)", font.main = 2, ylim = c(0, 65))
text(bp1, P_M*100 + 1.5, labels = paste0(round(P_M*100), "%"), font = 2)

bp2 <- barplot(P_M_dado_D*100, names.arg = maquinas, col = colores_maq, border = "white",
               ylab = "Probabilidad (%)", main = "A Posteriori: P(Mi|D) — Bayes", font.main = 2, ylim = c(0, 55))
text(bp2, P_M_dado_D*100 + 1.5, labels = paste0(round(P_M_dado_D*100, 1), "%"), font = 2)

mtext("Bayes: Actualización de Probabilidades", side = 3, line = 0.5, outer = TRUE, cex = 1.3, font = 2)

par(mfrow = c(1, 1), oma = c(0, 0, 0, 0))

8.0.5 Ejemplo 7.2 — Test médico (Bayes clásico)

Una enfermedad afecta al 1% de la población. Un test tiene:

  • Sensibilidad: \(P(+|E)=0.95\) (detecta el 95% de los enfermos)
  • Especificidad: \(P(-|\bar E)=0.90\) (identifica al 90% de los sanos)

Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?

# Datos del test médico
P_E <- 0.01                          # Prevalencia
P_noE <- 1 - P_E                     # P(sano)
P_pos_dado_E <- 0.95                 # Sensibilidad
P_neg_dado_noE <- 0.90                # Especificidad
P_pos_dado_noE <- 1 - P_neg_dado_noE  # Falso positivo

# P(+) = P(+|E)*P(E) + P(+|E^c)*P(E^c)
P_pos <- P_pos_dado_E * P_E + P_pos_dado_noE * P_noE

# P(E|+) = P(+|E)*P(E) / P(+)
P_E_dado_pos <- (P_pos_dado_E * P_E) / P_pos

cat(sprintf("P(+)   = %.4f\n", P_pos))
## P(+)   = 0.1085
cat(sprintf("P(E|+) = %.4f = %.2f%%\n", P_E_dado_pos, P_E_dado_pos*100))
## P(E|+) = 0.0876 = 8.76%
cat(sprintf("\n-> ¡Solo el %.1f%% de los positivos están realmente enfermos!\n", P_E_dado_pos*100))
## 
## -> ¡Solo el 8.8% de los positivos están realmente enfermos!
cat("   Esto se debe a la baja prevalencia (1%) y los falsos positivos.\n")
##    Esto se debe a la baja prevalencia (1%) y los falsos positivos.
# Visualización: composición de los positivos
verdaderos_pos <- P_pos_dado_E * P_E
falsos_pos <- P_pos_dado_noE * P_noE

bp <- barplot(c(verdaderos_pos, falsos_pos),
              names.arg = c("Verdaderos\nPositivos", "Falsos\nPositivos"),
              col = c(C["verde"], C["rojo"]), border = "white",
              ylab = "Proporción", main = "Composición de los Tests Positivos", font.main = 2,
              ylim = c(0, max(verdaderos_pos, falsos_pos)*1.3))
text(bp[1], verdaderos_pos + 0.003,
     labels = sprintf("%.4f\n(%.1f%%)", verdaderos_pos, verdaderos_pos/P_pos*100), font = 2)
text(bp[2], falsos_pos + 0.003,
     labels = sprintf("%.4f\n(%.1f%%)", falsos_pos, falsos_pos/P_pos*100), font = 2)

9 8. 🏭 Aplicación Integral — Simulación Monte Carlo

Verificamos todas las probabilidades teóricas mediante simulación.

# Simulación: lanzar 2 dados 100 000 veces
set.seed(0)
N_mc <- 100000
d1 <- sample(1:6, N_mc, replace = TRUE)
d2 <- sample(1:6, N_mc, replace = TRUE)
suma_mc <- d1 + d2
# Comparar P teórica vs simulada
cat(sprintf("%6s | %10s | %10s | %8s\n", "Suma", "P teorica", "P simulada", "Error"))
##   Suma |  P teorica | P simulada |    Error
cat(strrep("\u2014", 45), "\n")
## —————————————————————————————————————————————
for (s in 2:12) {
  p_teo <- sum(sumas == s) / 36
  p_sim <- sum(suma_mc == s) / N_mc
  error <- abs(p_teo - p_sim)
  cat(sprintf("%6d | %10.4f | %10.4f | %8.4f\n", s, p_teo, p_sim, error))
}
##      2 |     0.0278 |     0.0278 |   0.0000
##      3 |     0.0556 |     0.0545 |   0.0011
##      4 |     0.0833 |     0.0823 |   0.0011
##      5 |     0.1111 |     0.1112 |   0.0001
##      6 |     0.1389 |     0.1401 |   0.0012
##      7 |     0.1667 |     0.1677 |   0.0010
##      8 |     0.1389 |     0.1385 |   0.0004
##      9 |     0.1111 |     0.1103 |   0.0008
##     10 |     0.0833 |     0.0846 |   0.0013
##     11 |     0.0556 |     0.0553 |   0.0003
##     12 |     0.0278 |     0.0278 |   0.0000
# Gráfico: teórica vs simulada
teoricas  <- sapply(2:12, function(s) sum(sumas == s) / 36)
simuladas <- sapply(2:12, function(s) sum(suma_mc == s) / N_mc)

x <- 2:12
w <- 0.35
plot(0, 0, type = "n", xlim = c(1.3, 12.7), ylim = c(0, max(teoricas, simuladas) * 1.2),
     xlab = "Suma", ylab = "Probabilidad", main = "P(Suma) — Teórica vs Monte Carlo",
     font.main = 2, xaxt = "n")
axis(1, at = x)
rect(x - w, 0, x, teoricas, col = C["azul"], border = "white")
rect(x, 0, x + w, simuladas, col = C["naranja"], border = "white")
legend("topright", legend = c("Teórica", paste0("Simulada (n=", format(N_mc, big.mark=","), ")")),
       fill = c(C["azul"], C["naranja"]), bty = "n")

10 📚 Resumen del Capítulo

tabla_resumen <- data.frame(
  Concepto = c("Espacio muestral", "Unión", "Intersección", "Complemento",
               "P. Clásica (Laplace)", "P. Condicional", "Regla multiplicación",
               "Independencia", "Prob. Total", "Bayes", "Simulación", "Fracciones exactas"),
  Formula = c("Omega = {todos los resultados}", "A U B", "A ^ B", "A^c = Omega - A",
              "P(A) = |A| / |Omega|", "P(A|B) = P(A^B) / P(B)", "P(A^B) = P(A|B)*P(B)",
              "P(A^B) = P(A)*P(B)", "P(A) = Sum P(A|Bi)*P(Bi)", "P(Bk|A) = P(A|Bk)*P(Bk)/P(A)",
              "Frecuencia relativa -> P", "—"),
  R = c("1:6, expand.grid()", "union(A, B)", "intersect(A, B)", "setdiff(Omega, A)",
        "length(A) / length(Omega)", "P_AyB / P_B", "P_A_dado_B * P_B",
        "P_A * P_B", "sum(P_A_dado_B * P_B)", "(P_A_Bk * P_Bk) / P_A",
        "sample(1:6, N, replace=TRUE)", "MASS::fractions(a/b)")
)
knitr::kable(tabla_resumen, align = "l",
             caption = "Tabla resumen: concepto, fórmula y su equivalente en R")
Tabla resumen: concepto, fórmula y su equivalente en R
Concepto Formula R
Espacio muestral Omega = {todos los resultados} 1:6, expand.grid()
Unión A U B union(A, B)
Intersección A ^ B intersect(A, B)
Complemento A^c = Omega - A setdiff(Omega, A)
P. Clásica (Laplace) P(A) = |A| / |Omega| length(A) / length(Omega)
P. Condicional P(A|B) = P(A^B) / P(B) P_AyB / P_B
Regla multiplicación P(A^B) = P(A|B)*P(B) P_A_dado_B * P_B
Independencia P(A^B) = P(A)*P(B) P_A * P_B
Prob. Total P(A) = Sum P(A|Bi)*P(Bi) sum(P_A_dado_B * P_B)
Bayes P(Bk|A) = P(A|Bk)*P(Bk)/P(A) (P_A_Bk * P_Bk) / P_A
Simulación Frecuencia relativa -> P sample(1:6, N, replace=TRUE)
Fracciones exactas — MASS::fractions(a/b)

11 9. ✍️ Ejercicios Propuestos

11.0.1 Ejercicio 1 — Espacio muestral y eventos

Se lanzan 3 dados simultáneamente.

  1. ¿Cuántos resultados tiene \(\Omega\)? Calcule \(|\Omega|=6^3\).
  2. Defina \(A\) = «los tres dados muestran el mismo número». Liste \(A\) y calcule \(P(A)\).
  3. Defina \(B\) = «la suma es 10». Cuente \(|B|\) con un bucle y calcule \(P(B)\).
  4. ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes? Justifique.
# --- SOLUCIÓN EJERCICIO 1 ---

11.0.2 Ejercicio 2 — Operaciones con conjuntos y diagramas de Venn

En una clase de 40 estudiantes: 25 aprueban Matemáticas (\(M\)), 20 aprueban Estadística (\(E\)) y 15 aprueban ambas.

  1. Calcule \(P(M)\), \(P(E)\), \(P(M\cap E)\).
  2. Calcule \(P(M\cup E)\) usando la fórmula de adición.
  3. ¿Cuántos no aprueban ninguna?
  4. Dibuje un diagrama de Venn usando las funciones venn2_plot() / venn1_plot() definidas al inicio de este documento (o el paquete de su preferencia).
# --- SOLUCIÓN EJERCICIO 2 ---

11.0.3 Ejercicio 3 — Probabilidad condicional

En una baraja de 52 cartas se extraen 2 cartas sin reposición.

  1. \(P(\text{2ª es As} \mid \text{1ª es As})\).
  2. \(P(\text{ambas son rojas})\).
  3. \(P(\text{1ª roja y 2ª negra})\).
  4. Simule 50 000 extracciones (con sample()) y compare con las teóricas.
# --- SOLUCIÓN EJERCICIO 3 ---

11.0.4 Ejercicio 4 — Independencia

Se lanza un dado y una moneda simultáneamente.

  1. Escriba \(\Omega\) (12 resultados).
  2. Sean \(A\) = «dado par» y \(B\) = «moneda cara». ¿Son independientes?
  3. Verifique \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
  4. Simule 10 000 lanzamientos y grafique la convergencia.
# --- SOLUCIÓN EJERCICIO 4 ---

11.0.5 Ejercicio 5 — Teorema de Bayes

Un laboratorio tiene 2 técnicos. El técnico A procesa el 60% de las muestras con 2% de error; el técnico B procesa el 40% con 5% de error.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de un error en una muestra al azar?
  2. Si se encontró un error, ¿de qué técnico es más probable?
  3. Grafique P a priori vs P a posteriori.
  4. Si el técnico A mejora a 1% de error, recalcule todo.
# --- SOLUCIÓN EJERCICIO 5 ---

11.0.6 Ejercicio 6 — Desafío integral: Problema de Monty Hall

En un concurso hay 3 puertas: detrás de una hay un auto y detrás de las otras 2 hay cabras. Eliges una puerta, el presentador abre otra (que tiene cabra) y te ofrece cambiar.

  1. Usando Bayes, demuestre que \(P(\text{ganar cambiando})=2/3\).
  2. Simule 100 000 juegos con la estrategia «siempre cambiar» y «nunca cambiar».
  3. Grafique la convergencia de ambas estrategias.
  4. ¿Por qué nuestra intuición falla en este problema?
# --- SOLUCIÓN EJERCICIO 6 ---

11.0.7 🎉 ¡Notebook completo!

Este cuaderno cubre Probabilidades con:

  • Experimento aleatorio y espacio muestral
  • Representación gráfica y árboles de posibilidades
  • Eventos: unión, intersección, complemento, diferencia
  • Álgebra de eventos y leyes de De Morgan (verificadas)
  • Diagramas de Venn construidos con R base + plotrix
  • Probabilidad Clásica, Frecuentista y Axiomática
  • Propiedades derivadas y fórmula de adición
  • Ley de los Grandes Números (simulación)
  • Distribución de la suma de 2 dados
  • Probabilidad condicional con fracciones exactas (MASS::fractions)
  • Regla de la multiplicación (con y sin reposición)
  • Independencia de eventos (verificación)
  • Teorema de la Probabilidad Total
  • Teorema de Bayes: producción con defectos + test médico
  • Simulación Monte Carlo (100 000 repeticiones)
  • 6 ejercicios propuestos incluyendo el Problema de Monty Hall

Documento elaborado por MSc. Jeel Cueva — Especialista en Econometría Aplicada.
Traducción a R Markdown del notebook original de Python, publicable en RPubs.