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Paquetes necesarios

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Distribución muestral de la media

E3

Durante la supervisión de vaciados en una obra de infraestructura educativa, se controla el asentamiento del concreto fresco (slump) para garantizar su trabajabilidad. Se sabe que el slump tiene una media de 4 pulgadas y desviación estándar de 0.8 pulgadas. Se toman muestras de 25 ensayos en distintos puntos del vaciado.

  1. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea menor a 3.8 pulgadas.

\(P(\bar{X}<3.8)\)

a<-pnormGC(bound = 3.8 , region = "below", mean = 4, sd = 0.8/sqrt(25), graph = TRUE)

 cat("La probabilidad de que la media muestral sea menor a 3.8 pulgadas es",round(a,4))          
La probabilidad de que la media muestral sea menor a 3.8 pulgadas es 0.1056
  1. Determine la probabilidad de que la media se encuentre entre 3.5 y 4.5 pulgadas.

\(P(3,5 \leq \bar{X} \leq 4.5)\)

b<-pnormGC(bound = c(3.5,4.5), region = "between", mean = 4, sd = 0.8/sqrt(25), graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la media se encuentre entre 3.5 y 4.5 pulgadas es",round(b,4))
La probabilidad de que la media se encuentre entre 3.5 y 4.5 pulgadas es 0.9982

E5

En un sistema de irrigación, el caudal promedio registrado es de 2.5 m³/s con una desviación estándar de 0.4 m³/s. Para evaluar la estabilidad del sistema hidráulico, se realizan 49 mediciones en diferentes momentos del día.

  1. Determine la probabilidad de que la media muestral supere los 2.6 m³/s.

\(P(\bar{X}>2.6)\)

a<-pnormGC(bound = 2.6, region = "above", mean = 2.5, sd = 0.4/sqrt(49), graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la media muestral supere los 2.6 m³/s es",round(a,4) )
La probabilidad de que la media muestral supere los 2.6 m³/s es 0.0401
  1. Calcule el error estándar de la media.

\(EE=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

EE<-0.4/sqrt(49)
cat("El error estándar de la media es", round(EE,4))
El error estándar de la media es 0.0571

E7

En una planta de prefabricados, se controla la longitud de barras de acero estructural. Se sabe que la longitud promedio es de 12 m con desviación estándar de 0.05 m. Se seleccionan 100 barras al azar para inspección.

  1. Determine la probabilidad de que la media muestral sea menor a 11.98 m.

\(P(\bar{X}<11.98)\)

a<-pnormGC(bound = 11.98, region = "below", mean = 12, sd = 0.05/sqrt(100), graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la media muestral sea menor a 11.98 m es", round(a,4))
La probabilidad de que la media muestral sea menor a 11.98 m es 0
  1. Calcule la probabilidad de que la media esté entre 11.99 y 12.01 m.

\(P(11.99 \leq \bar{X} \leq 12.01)\)

b<-pnormGC(bound = c(11.99,12.01), region = "between", mean = 12, sd = 0.05/sqrt(100), graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la media esté entre 11.99 y 12.01 m es", round(b,4))
La probabilidad de que la media esté entre 11.99 y 12.01 m es 0.9545

Distribución muestral de una proporción

E14

En un proyecto de infraestructura vial, se ha determinado que el 75% de las actividades programadas se ejecutan dentro del plazo establecido. El residente de obra evalúa 80 actividades recientes para verificar el desempeño del equipo de ejecución.

  1. Calcule la probabilidad de que la proporción muestral de actividades cumplidas supere el 80%.

\(P(\bar{p}>0.80)\)

pi<-0.75; n<-80; pbarra<-0.80
z<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n);z
[1] 1.032796
a<-pnormGC(bound = round(z,2), region = "above", mean = 0,sd = 1,graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la proporción muestral de actividades cumplidas supere el 80% es",round(a,4))
La probabilidad de que la proporción muestral de actividades cumplidas supere el 80% es 0.1515
  1. Determine el error estándar de la proporción.

\(EE=(\sqrt{\dfrac{\pi (1-\pi)}{n}})\)

pi<-0.75; n<-80
EE<-sqrt(pi*(1-pi)/n)
cat("El error estándar de la proporción es",round(EE,4))
El error estándar de la proporción es 0.0484

E16

En la construcción de una carretera, se ha establecido que el 85% de los puntos evaluados cumple con los requisitos de compactación según normativa técnica. Se realiza una inspección en 90 puntos del tramo ejecutado para validar el cumplimiento del proceso constructivo.

  1. Calcule la probabilidad de que la proporción muestral de puntos conformes sea menor a 0.80.

\(P(\bar{p}<0.80)\)

pi<-0.85; n<-90; pbarra<-0.80
z<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n);z
[1] -1.328422
a<-pnormGC(bound = round(z,2), region = "below", mean = 0,sd = 1, graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la proporción muestral de puntos conformes sea menor a 0.80 es",round(a,4))
La probabilidad de que la proporción muestral de puntos conformes sea menor a 0.80 es 0.0918
  1. Determine la probabilidad de que la proporción esté entre 0.80 y 0.90.

\(P(0.80 \leq \bar{p} \leq 0.90)\)

pi<-0.85; n<-90; pbarra1<-0.80; pbarra2<-0.90
z1<-round((pbarra1-pi)/sqrt((pi*(1-pi)/n)),2);z1
[1] -1.33
z2<-round((pbarra2-pi)/sqrt((pi*(1-pi)/n)),2);z2
[1] 1.33
b<-pnormGC(bound = c(z1,z2), region = "between", mean = 0, sd = 1, graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la proporción esté entre 0.80 y 0.90 es",round(b,4))
La probabilidad de que la proporción esté entre 0.80 y 0.90 es 0.8165

E18

En un proyecto de supervisión de obras públicas, el 90% de las inspecciones técnicas realizadas son aprobadas en primera instancia. Se revisan 100 inspecciones recientes para evaluar la calidad del trabajo ejecutado.

  1. Calcule la probabilidad de que la proporción muestral de aprobaciones sea menor a 0.85.

\(P(\bar{p}<0.85)\)

pi<-0.90; n<-100; pbarra<-0.85
z<-(pbarra-pi)/sqrt(pi*(1-pi)/n);z
[1] -1.666667
a<-pnormGC(bound = round(z,2), region = "below", mean = 0,sd = 1, graph = TRUE)

cat("La probabilidad de que la proporción muestral de aprobaciones sea menor a 0.85 es",round(a,4))
La probabilidad de que la proporción muestral de aprobaciones sea menor a 0.85 es 0.0475
  1. Determine el intervalo del 95% de las proporciones muestrales.
ic<-qnorm(c(0.025,0.975), mean = 0.90, sd = sqrt(0.90*(1-0.90)/100))
cat("El intervalo del 95% de las proporciones muestrales es",round(ic,4))
El intervalo del 95% de las proporciones muestrales es 0.8412 0.9588