Duração de Tarefa em Gestão de Projetos
Em gestão de projetos, a duração de uma tarefa é frequentemente modelada pela distribuição Triangular. Considere a duração \(X \in [0, 1]\) com f.d.p. dada por: \[f_X(x) = \begin{cases} 4x, & 0 \le x < 0{,}5 \\ 4(1-x), & 0{,}5 \le x \le 1. \end{cases}\] Utilizando como proposta a distribuição uniforme padrão:
Encontre analiticamente o menor valor da constante \(k\) para implementar o algoritmo da Aceitação-Rejeição.
Implemente o algoritmo de Aceitação-Rejeição em R para simular \(N = 10.000\) durações aceitas.
Compare a probabilidade de aceitação teórica (\(1/k\)) com a empírica.
Estime a probabilidade empírica da tarefa durar entre \(0{,}3\) e \(0{,}7\) unidades de tempo e compare com a probabilidade teórica.
Controle de Impurezas em Produto Químico
A proporção de impurezas em um lote de produto químico é modelada por uma distribuição \(\text{Beta}(\alpha=3,\beta=2)\), cuja densidade é: \[f_X(x) = 12x^2(1-x), \quad 0 \le x \le 1.\] 1. Escolhendo uma distribuição proposta adequada (diferente da distribuição uniforme padrão), calcule o ponto de máximo \(x^*\) de \(f_X(x)\) e o valor ótimo de \(k\) para o algoritmo de Aceitação-Rejeição.
Desenvolva o algoritmo de Aceitação-Rejeição e gere \(N = 10.000\) observações em R.
Faça um gráfico de dispersão mostrando os pontos aceitos e rejeitados sob a curva \(f_X(x)\) e estime a proporção de lotes com taxa de impureza superior a \(0{,}80\).
Distribuição Half-Normal / Tempos de Espera
A distribuição Half-Normal é usada para modelar desvios absolutos de usinagem e tempos de espera. Sua f.d.p. é: \[f_X(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right), \quad x \ge 0.\]
Utilizando como proposta uma distribuição Exponencial com taxa \(\lambda = 1\), determine a constante \(k = \max_{x \ge 0} \frac{f_X(x)}{q(x)}\), necessária para a implementação do Método da Aceitação-Rejeição.
Implemente o Método da Aceitação-Rejeição em R até obter \(N = 10.000\) valores aceitos.
Compare a taxa teórica de aceitação com a observada.
Aproxime a média e a variância do modelo pelos seus equivalentes empíricos.