1 Ringkasan

Laporan ini menganalisis hubungan ukuran pohon dengan volume kayu menggunakan dataset trees bawaan R. Volume kayu (Volume) ditetapkan sebagai variabel respons, sedangkan diameter batang (Girth) dan tinggi pohon (Height) ditetapkan sebagai prediktor. Metode yang digunakan adalah regresi linear berganda karena model melibatkan lebih dari satu prediktor.

Analisis meliputi statistik deskriptif, visualisasi data, estimasi model, uji signifikansi, diagnostik residual, dan prediksi. Seluruh hasil numerik dihitung langsung melalui kode R sehingga akan diperbarui secara otomatis ketika dokumen di-Knit.

Fokus analisis: menguji apakah diameter batang dan tinggi pohon secara simultan berhubungan dengan volume kayu serta menilai kemampuan model dalam memprediksi volume.

2 Pendahuluan

2.1 Latar Belakang

Volume kayu pada sebuah pohon tidak mudah diketahui hanya dengan melihatnya. Namun, ukuran yang lebih mudah diukur, seperti diameter batang dan tinggi pohon, dapat digunakan untuk memperkirakan volume tersebut. Secara umum, pohon yang lebih besar dan lebih tinggi diperkirakan memiliki volume kayu yang lebih banyak.

Regresi linear berganda digunakan untuk menganalisis hubungan diameter dan tinggi pohon dengan volume kayu secara simultan. Koefisien setiap prediktor menunjukkan perubahan rata-rata respons dengan asumsi prediktor lainnya konstan (ceteris paribus).

2.2 Rumusan Masalah

Bagaimana gambaran diameter, tinggi, dan volume pohon dalam dataset trees?
Apakah diameter dan tinggi pohon secara bersama-sama berhubungan dengan volume kayu?
Berapa proporsi keragaman volume kayu yang dapat dijelaskan oleh model?
Berapa prediksi volume kayu untuk kombinasi diameter dan tinggi tertentu?

2.3 Tujuan

Mendeskripsikan karakteristik setiap variabel melalui tabel dan grafik.
Mengestimasi model regresi linear berganda.
Menguji signifikansi model secara simultan dan parsial.
Menginterpretasikan koefisien regresi dan koefisien determinasi.
Menggunakan model untuk memprediksi volume kayu.

3 Dasar Teori

3.1 Regresi Linear Berganda

Regresi linear berganda digunakan untuk memodelkan hubungan satu variabel respons dengan dua atau lebih prediktor. Bentuk umum model dengan dua prediktor adalah:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \varepsilon. \]

Pada laporan ini, model yang digunakan adalah:

\[ \mathrm{Volume} = \beta_0 + \beta_1\mathrm{Girth} + \beta_2\mathrm{Height} + \varepsilon. \]

Keterangan:

Volume adalah variabel respons berupa volume kayu pohon;
Girth adalah prediktor berupa diameter batang pohon;
Height adalah prediktor berupa tinggi pohon;
\(\beta_0\) adalah intersep;
\(\beta_1\) adalah koefisien regresi parsial untuk diameter;
\(\beta_2\) adalah koefisien regresi parsial untuk tinggi;
\(\varepsilon\) adalah galat acak yang tidak dijelaskan oleh model.

3.2 Pengujian Hipotesis

Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 5% atau \(\alpha=0{,}05\). Kriteria pengambilan keputusan adalah:

jika p-value lebih kecil dari 0,05, hipotesis nol (\(H_0\)) ditolak;
jika p-value lebih besar atau sama dengan 0,05, hipotesis nol (\(H_0\)) gagal ditolak.

Uji F digunakan untuk menguji signifikansi seluruh prediktor secara simultan. Uji t digunakan untuk menguji signifikansi setiap koefisien regresi secara parsial setelah prediktor lain dikendalikan.

3.3 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi (\(R^2\)) menunjukkan proporsi keragaman variabel respons yang dapat dijelaskan oleh seluruh prediktor dalam model. Nilainya berada antara 0 dan 1. Nilai yang semakin mendekati 1 menunjukkan bahwa model menjelaskan proporsi keragaman respons yang semakin besar.

4 Deskripsi Data

4.1 Sumber Data

Dataset trees tersedia secara langsung di R melalui paket datasets. Data ini berisi hasil pengukuran 31 pohon Black Cherry. Dokumentasi data dapat dibuka menggunakan perintah ?trees.

Variabel	Satuan	Keterangan
`Girth`	inci	Diameter batang, diukur pada ketinggian tertentu dari tanah
`Height`	kaki	Tinggi pohon
`Volume`	kaki kubik	Volume kayu pohon

4.2 Struktur dan Kelengkapan Data

data("trees")
dat <- trees

jumlah_baris <- nrow(dat)
jumlah_variabel <- ncol(dat)
jumlah_kosong <- sum(is.na(dat))

cat("Jumlah pohon    :", jumlah_baris, "\n")

## Jumlah pohon    : 31

cat("Jumlah variabel :", jumlah_variabel, "\n")

## Jumlah variabel : 3

cat("Nilai hilang    :", jumlah_kosong, "\n")

## Nilai hilang    : 0

Dataset terdiri atas 31 pengamatan dan 3 variabel. Tidak terdapat nilai hilang (0), sehingga seluruh pengamatan dapat digunakan dalam estimasi model.

4.3 Contoh Isi Data

contoh <- head(dat, 10)
names(contoh) <- c("Diameter (inci)", "Tinggi (kaki)", "Volume (kaki kubik)")

knitr::kable(
  contoh,
  caption = "Sepuluh pengamatan pertama dataset trees"
)

Sepuluh pengamatan pertama dataset trees
Diameter (inci)	Tinggi (kaki)	Volume (kaki kubik)
8.3	70	10.3
8.6	65	10.3
8.8	63	10.2
10.5	72	16.4
10.7	81	18.8
10.8	83	19.7
11.0	66	15.6
11.0	75	18.2
11.1	80	22.6
11.2	75	19.9

4.4 Statistik Deskriptif

ringkasan <- data.frame(
  Variabel = c("Diameter", "Tinggi", "Volume"),
  Rata_rata = sapply(dat, mean),
  Simpangan_baku = sapply(dat, sd),
  Minimum = sapply(dat, min),
  Median = sapply(dat, median),
  Maksimum = sapply(dat, max),
  row.names = NULL
)

knitr::kable(
  ringkasan,
  digits = 2,
  caption = "Ringkasan ukuran diameter, tinggi, dan volume pohon"
)

Ringkasan ukuran diameter, tinggi, dan volume pohon
Variabel	Rata_rata	Simpangan_baku	Minimum	Median	Maksimum
Diameter	13.25	3.14	8.3	12.9	20.6
Tinggi	76.00	6.37	63.0	76.0	87.0
Volume	30.17	16.44	10.2	24.2	77.0

Rata-rata diameter pohon adalah 13,25 inci, rata-rata tingginya 76,00 kaki, dan rata-rata volumenya 30,17 kaki kubik.

4.5 Analisis Eksploratif

op <- par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))

hist(
  dat$Volume,
  col = "#4C78A8",
  border = "white",
  main = "Sebaran Volume Kayu",
  xlab = "Volume (kaki kubik)"
)

plot(
  dat$Girth, dat$Volume,
  pch = 19,
  col = "#2C7FB8",
  xlab = "Diameter (inci)",
  ylab = "Volume (kaki kubik)",
  main = "Volume dan Diameter"
)
abline(lm(Volume ~ Girth, data = dat), col = "#D7301F", lwd = 2)

plot(
  dat$Height, dat$Volume,
  pch = 19,
  col = "#59A14F",
  xlab = "Tinggi (kaki)",
  ylab = "Volume (kaki kubik)",
  main = "Volume dan Tinggi"
)
abline(lm(Volume ~ Height, data = dat), col = "#D7301F", lwd = 2)

boxplot(
  dat$Volume,
  horizontal = TRUE,
  col = "#A8C5E5",
  main = "Boxplot Volume",
  xlab = "Volume (kaki kubik)"
)

Distribusi volume dan diagram pencar antarvariabel

par(op)

Diagram pencar menunjukkan pola hubungan positif: volume cenderung meningkat seiring bertambahnya diameter dan tinggi pohon. Secara visual, hubungan Volume dengan Girth tampak lebih kuat daripada hubungan Volume dengan Height.

4.6 Matriks Korelasi

korelasi <- cor(dat)
knitr::kable(
  korelasi,
  digits = 3,
  caption = "Korelasi antara diameter, tinggi, dan volume"
)

Korelasi antara diameter, tinggi, dan volume
	Girth	Height	Volume
Girth	1.000	0.519	0.967
Height	0.519	1.000	0.598
Volume	0.967	0.598	1.000

Koefisien korelasi yang mendekati 1 menunjukkan hubungan linear positif yang kuat. Korelasi bersifat bivariat, sedangkan regresi linear berganda digunakan untuk mengestimasi hubungan parsial setiap prediktor dengan respons.

5 Tahapan Analisis

Analisis dilakukan melalui langkah-langkah berikut:

Memuat dataset trees.
Memeriksa struktur data dan nilai hilang.
Melakukan analisis deskriptif dan eksploratif.
Mengestimasi model Volume ~ Girth + Height dengan metode kuadrat terkecil.
Melakukan uji F simultan, uji t parsial, dan menghitung \(R^2\).
Melakukan diagnostik residual dan uji normalitas residual.
Menghitung prediksi volume beserta interval prediksi 95%.
Menyusun interpretasi dan kesimpulan.

6 Hasil Regresi Linear Berganda

6.1 Estimasi Model

model <- lm(Volume ~ Girth + Height, data = dat)
hasil <- summary(model)

b0 <- unname(coef(model)["(Intercept)"])
b_girth <- unname(coef(model)["Girth"])
b_height <- unname(coef(model)["Height"])

p_girth <- hasil$coefficients["Girth", "Pr(>|t|)"]
p_height <- hasil$coefficients["Height", "Pr(>|t|)"]
r2 <- hasil$r.squared
adj_r2 <- hasil$adj.r.squared
rmse <- sqrt(mean(residuals(model)^2))

f_value <- unname(hasil$fstatistic[1])
f_df1 <- unname(hasil$fstatistic[2])
f_df2 <- unname(hasil$fstatistic[3])
p_model <- pf(f_value, f_df1, f_df2, lower.tail = FALSE)

interval_koef <- confint(model, level = 0.95)

tabel_koef <- data.frame(
  Variabel = c("Intersep", "Diameter", "Tinggi"),
  Koefisien = hasil$coefficients[, "Estimate"],
  Galat_baku = hasil$coefficients[, "Std. Error"],
  Nilai_t = hasil$coefficients[, "t value"],
  P_value = hasil$coefficients[, "Pr(>|t|)"],
  Batas_bawah_95 = interval_koef[, 1],
  Batas_atas_95 = interval_koef[, 2],
  row.names = NULL
)

knitr::kable(
  tabel_koef,
  digits = 4,
  caption = "Estimasi parameter model regresi linear berganda"
)

Estimasi parameter model regresi linear berganda
Variabel	Koefisien	Galat_baku	Nilai_t	P_value	Batas_bawah_95	Batas_atas_95
Intersep	-57.9877	8.6382	-6.7129	0.0000	-75.6823	-40.2931
Diameter	4.7082	0.2643	17.8161	0.0000	4.1668	5.2495
Tinggi	0.3393	0.1302	2.6066	0.0145	0.0726	0.6059

Persamaan regresi yang diperoleh adalah:

\[ \widehat{\mathrm{Volume}} = -57,988 + 4,708\,\mathrm{Girth} + 0,339\,\mathrm{Height}. \]

6.2 Interpretasi Koefisien Regresi

Koefisien Girth sebesar 4,708. Dengan asumsi tinggi konstan, kenaikan diameter sebesar 1 inci diasosiasikan dengan kenaikan rata-rata volume sebesar 4,708 kaki kubik.
Koefisien Height sebesar 0,339. Dengan asumsi diameter konstan, kenaikan tinggi sebesar 1 kaki diasosiasikan dengan kenaikan rata-rata volume sebesar 0,339 kaki kubik.
Intersep sebesar -57,988 adalah nilai prediksi ketika diameter dan tinggi bernilai nol. Nilai ini tidak memiliki interpretasi substantif karena kondisi tersebut berada di luar rentang pengamatan.

6.3 Uji Signifikansi Simultan dan Kecocokan Model

ringkasan_model <- data.frame(
  Ukuran = c(
    "R-squared",
    "Adjusted R-squared",
    "RMSE",
    "Statistik F",
    "p-value uji F"
  ),
  Nilai = c(r2, adj_r2, rmse, f_value, p_model)
)

knitr::kable(
  ringkasan_model,
  digits = 4,
  caption = "Ukuran kecocokan dan signifikansi model"
)

Ukuran kecocokan dan signifikansi model
Ukuran	Nilai
R-squared	0.9480
Adjusted R-squared	0.9442
RMSE	3.6892
Statistik F	254.9723
p-value uji F	0.0000

Nilai \(R^2\) sebesar 0,948 menunjukkan bahwa sekitar 94,8% keragaman volume kayu dapat dijelaskan oleh diameter dan tinggi pohon. Keragaman yang tidak dijelaskan model tercakup dalam residual.

Uji F menghasilkan p-value < 0,001. Pada taraf signifikansi 5%, keputusan pengujian adalah menolak H0. Dengan demikian, Girth dan Height secara simultan berhubungan signifikan dengan Volume.

Temuan utama: model signifikan secara simultan dan mampu menjelaskan sekitar 94,8% keragaman volume kayu dalam dataset trees.

6.4 Uji Signifikansi Parsial

keputusan <- data.frame(
  Variabel = c("Diameter", "Tinggi"),
  P_value = c(p_girth, p_height),
  Keputusan = c(
    ifelse(p_girth < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan"),
    ifelse(p_height < 0.05, "Signifikan", "Tidak signifikan")
  )
)

knitr::kable(
  keputusan,
  digits = 4,
  caption = "Hasil uji t parsial pada taraf signifikansi 5%"
)

Hasil uji t parsial pada taraf signifikansi 5%
Variabel	P_value	Keputusan
Diameter	0.0000	Signifikan
Tinggi	0.0145	Signifikan

Koefisien Girth memiliki p-value < 0,001, sehingga H0 ditolak dan Girth signifikan secara parsial. Koefisien Height memiliki p-value 0,014, sehingga H0 ditolak dan Height signifikan secara parsial.

7 Diagnostik Model Regresi

7.1 Grafik Diagnostik Residual

nilai_prediksi <- fitted(model)
residual_model <- residuals(model)

op <- par(mfrow = c(1, 3), mar = c(4, 4, 3, 1))

plot(
  dat$Volume, nilai_prediksi,
  pch = 19,
  col = "#2C7FB8",
  xlab = "Volume teramati",
  ylab = "Nilai fitted",
  main = "Teramati vs Fitted"
)
abline(0, 1, col = "#D7301F", lwd = 2, lty = 2)

plot(
  nilai_prediksi, residual_model,
  pch = 19,
  col = "#59A14F",
  xlab = "Nilai prediksi",
  ylab = "Residual",
  main = "Residual vs Fitted"
)
abline(h = 0, col = "#D7301F", lwd = 2, lty = 2)

qqnorm(residual_model, pch = 19, col = "#4C78A8", main = "Normal Q-Q")
qqline(residual_model, col = "#D7301F", lwd = 2)

Plot nilai teramati, nilai fitted, dan diagnostik residual

par(op)

Plot nilai teramati terhadap nilai fitted digunakan untuk menilai kedekatan hasil estimasi model dengan data aktual. Plot residual terhadap nilai fitted digunakan untuk memeriksa asumsi linearitas dan kesamaan varians; residual yang menyebar acak di sekitar nol mendukung kedua asumsi tersebut. Plot Normal Q-Q digunakan untuk memeriksa asumsi normalitas residual.

7.2 Uji Normalitas Residual

uji_normal <- shapiro.test(residual_model)

tabel_normal <- data.frame(
  Uji = "Shapiro-Wilk",
  Statistik = unname(uji_normal$statistic),
  P_value = uji_normal$p.value,
  Kesimpulan = ifelse(
    uji_normal$p.value > 0.05,
    "H0 gagal ditolak: residual berdistribusi normal",
    "H0 ditolak: residual tidak berdistribusi normal"
  )
)

knitr::kable(
  tabel_normal,
  digits = 4,
  caption = "Hasil uji normalitas residual Shapiro-Wilk"
)

Hasil uji normalitas residual Shapiro-Wilk
Uji	Statistik	P_value	Kesimpulan
Shapiro-Wilk	0.9743	0.644	H0 gagal ditolak: residual berdistribusi normal

Uji Shapiro-Wilk menguji \(H_0\) bahwa residual berdistribusi normal. Uji menghasilkan p-value 0,644, sehingga pada taraf signifikansi 5% H0 gagal ditolak dan asumsi normalitas residual terpenuhi. Hasil uji dibaca bersama plot Normal Q-Q.

8 Prediksi dan Interval Prediksi

Model digunakan untuk memprediksi volume sebuah pohon dengan diameter 15 inci dan tinggi 75 kaki. Kedua nilai prediktor tersebut berada dalam rentang data sehingga prediksi termasuk interpolasi.

pohon_baru <- data.frame(Girth = 15, Height = 75)
hasil_prediksi <- predict(
  model,
  newdata = pohon_baru,
  interval = "prediction",
  level = 0.95
)

tabel_prediksi <- data.frame(
  Diameter_inci = pohon_baru$Girth,
  Tinggi_kaki = pohon_baru$Height,
  Prediksi_volume = hasil_prediksi[, "fit"],
  Batas_bawah_PI_95 = hasil_prediksi[, "lwr"],
  Batas_atas_PI_95 = hasil_prediksi[, "upr"]
)

knitr::kable(
  tabel_prediksi,
  digits = 2,
  caption = "Prediksi volume dan interval prediksi 95%"
)

Prediksi volume dan interval prediksi 95%
Diameter_inci	Tinggi_kaki	Prediksi_volume	Batas_bawah_PI_95	Batas_atas_PI_95
15	75	38.08	29.92	46.23

Nilai prediksi volume adalah 38,08 kaki kubik, dengan interval prediksi 95% dari 29,92 hingga 46,23 kaki kubik. Interval prediksi menunjukkan rentang nilai yang mungkin untuk satu pengamatan baru dengan karakteristik tersebut.

9 Interpretasi

Hasil analisis menunjukkan bahwa Girth dan Height dapat digunakan secara simultan untuk memprediksi Volume. Koefisien kedua prediktor bernilai positif. Artinya, kenaikan diameter berasosiasi dengan kenaikan rata-rata volume ketika tinggi konstan, dan kenaikan tinggi berasosiasi dengan kenaikan rata-rata volume ketika diameter konstan.

Model memiliki \(R^2\) sebesar 0,948, sehingga sebagian besar keragaman volume dalam sampel dapat dijelaskan oleh kedua prediktor. Interpretasi dibatasi pada rentang nilai Girth dan Height yang tercakup dalam dataset trees.

10 Keterbatasan

Dataset hanya terdiri atas 31 pohon Black Cherry.
Model hanya menggunakan diameter dan tinggi; variabel lain serta faktor lingkungan tidak tersedia.
Data bersifat observasional, sehingga hubungan yang ditemukan tidak dapat langsung diinterpretasikan sebagai hubungan sebab-akibat.
Prediksi di luar rentang prediktor dalam sampel merupakan ekstrapolasi dan memiliki ketidakpastian yang lebih besar.

11 Kesimpulan

Berdasarkan uji F, Girth dan Height secara simultan berhubungan signifikan dengan Volume karena p-value model sebesar < 0,001. Koefisien determinasi menunjukkan bahwa model mampu menjelaskan sekitar 94,8% keragaman volume pada dataset trees.

Secara parsial, kenaikan diameter 1 inci berasosiasi dengan kenaikan rata-rata volume sebesar 4,708 kaki kubik ketika tinggi konstan. Kenaikan tinggi 1 kaki berasosiasi dengan kenaikan rata-rata volume sebesar 0,339 kaki kubik ketika diameter konstan. Dengan demikian, model regresi linear berganda layak digunakan untuk memprediksi volume kayu dalam cakupan data yang diamati.

12 Referensi

R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.
Dokumentasi R untuk dataset trees, diakses melalui perintah help(trees).
Montgomery, D. C., Peck, E. A., & Vining, G. G. Introduction to Linear Regression Analysis. Wiley.

Analisis Regresi Linear Berganda pada Dataset `trees`

Caroline Cristine Sirait — 24050123120035

31-08-2026

1 Ringkasan

2 Pendahuluan

2.1 Latar Belakang

2.2 Rumusan Masalah

2.3 Tujuan

3 Dasar Teori

3.1 Regresi Linear Berganda

3.2 Pengujian Hipotesis

3.3 Koefisien Determinasi

4 Deskripsi Data

4.1 Sumber Data

4.2 Struktur dan Kelengkapan Data

4.3 Contoh Isi Data

4.4 Statistik Deskriptif

4.5 Analisis Eksploratif

4.6 Matriks Korelasi

5 Tahapan Analisis

6 Hasil Regresi Linear Berganda

6.1 Estimasi Model

6.2 Interpretasi Koefisien Regresi

6.3 Uji Signifikansi Simultan dan Kecocokan Model

6.4 Uji Signifikansi Parsial

7 Diagnostik Model Regresi

7.1 Grafik Diagnostik Residual

7.2 Uji Normalitas Residual

8 Prediksi dan Interval Prediksi

9 Interpretasi

10 Keterbatasan

11 Kesimpulan

12 Referensi

Analisis Regresi Linear Berganda pada Dataset trees

Caroline Cristine Sirait — 24050123120035

31-08-2026

1 Ringkasan

2 Pendahuluan

2.1 Latar Belakang

2.2 Rumusan Masalah

2.3 Tujuan

3 Dasar Teori

3.1 Regresi Linear Berganda

3.2 Pengujian Hipotesis

3.3 Koefisien Determinasi

4 Deskripsi Data

4.1 Sumber Data

4.2 Struktur dan Kelengkapan Data

4.3 Contoh Isi Data

4.4 Statistik Deskriptif

4.5 Analisis Eksploratif

4.6 Matriks Korelasi

5 Tahapan Analisis

6 Hasil Regresi Linear Berganda

6.1 Estimasi Model

6.2 Interpretasi Koefisien Regresi

6.3 Uji Signifikansi Simultan dan Kecocokan Model

6.4 Uji Signifikansi Parsial

7 Diagnostik Model Regresi

7.1 Grafik Diagnostik Residual

7.2 Uji Normalitas Residual

8 Prediksi dan Interval Prediksi

9 Interpretasi

10 Keterbatasan

11 Kesimpulan

12 Referensi

Analisis Regresi Linear Berganda pada Dataset `trees`