1 Dasar Teori

Regresi linear sederhana adalah metode statistika yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara satu variabel respon (Y) dengan satu variabel prediktor (X) yang diasumsikan bersifat linear. Model umum regresi linear sederhana dituliskan sebagai:

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i\]

dengan:

  • \(Y_i\) : variabel respon (dependen) untuk pengamatan ke-\(i\)
  • \(X_i\) : variabel prediktor (independen) untuk pengamatan ke-\(i\)
  • \(\beta_0\) : intersep (nilai Y saat X = 0)
  • \(\beta_1\) : koefisien kemiringan (perubahan Y untuk setiap kenaikan satu satuan X)
  • \(\varepsilon_i\) : galat/error acak, diasumsikan menyebar normal dengan rata-rata 0

Parameter \(\beta_0\) dan \(\beta_1\) diestimasi menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Squares/OLS), yang meminimumkan jumlah kuadrat residual. Kebaikan model dievaluasi antara lain melalui koefisien determinasi (\(R^2\)), uji signifikansi parameter (uji-t), dan uji signifikansi model secara keseluruhan (uji-F), serta pemeriksaan asumsi klasik (linearitas, normalitas residual, homoskedastisitas, dan non-autokorelasi).

2 Deskripsi Data

Data yang digunakan adalah dataset bawaan R, yaitu trees, yang berisi hasil pengukuran 31 pohon ceri (black cherry trees): diameter batang (Girth, dalam inci), tinggi pohon (Height, dalam feet), dan volume kayu yang dihasilkan (Volume, dalam kaki kubik). Pada laporan ini, Volume diposisikan sebagai variabel respon dan Girth sebagai variabel prediktor.

data(trees)
str(trees)
## 'data.frame':    31 obs. of  3 variables:
##  $ Girth : num  8.3 8.6 8.8 10.5 10.7 10.8 11 11 11.1 11.2 ...
##  $ Height: num  70 65 63 72 81 83 66 75 80 75 ...
##  $ Volume: num  10.3 10.3 10.2 16.4 18.8 19.7 15.6 18.2 22.6 19.9 ...

2.1 Ringkasan Statistik Deskriptif

summary(trees)
##      Girth           Height       Volume     
##  Min.   : 8.30   Min.   :63   Min.   :10.20  
##  1st Qu.:11.05   1st Qu.:72   1st Qu.:19.40  
##  Median :12.90   Median :76   Median :24.20  
##  Mean   :13.25   Mean   :76   Mean   :30.17  
##  3rd Qu.:15.25   3rd Qu.:80   3rd Qu.:37.30  
##  Max.   :20.60   Max.   :87   Max.   :77.00
# Tabel ringkasan yang lebih rapi
knitr::kable(
  data.frame(
    Statistik = c("Minimum", "Q1", "Median", "Mean", "Q3", "Maximum", "Std. Dev"),
    Girth  = c(min(trees$Girth), quantile(trees$Girth, 0.25), median(trees$Girth),
               round(mean(trees$Girth), 2), quantile(trees$Girth, 0.75),
               max(trees$Girth), round(sd(trees$Girth), 2)),
    Volume = c(min(trees$Volume), quantile(trees$Volume, 0.25), median(trees$Volume),
               round(mean(trees$Volume), 2), quantile(trees$Volume, 0.75),
               max(trees$Volume), round(sd(trees$Volume), 2))
  ),
  caption = "Ringkasan Statistik Deskriptif Variabel Girth dan Volume"
)
Ringkasan Statistik Deskriptif Variabel Girth dan Volume
Statistik Girth Volume
Minimum 8.30 10.20
Q1 11.05 19.40
Median 12.90 24.20
Mean 13.25 30.17
Q3 15.25 37.30
Maximum 20.60 77.00
Std. Dev 3.14 16.44

2.2 Visualisasi Data

plot(trees$Girth, trees$Volume,
     main = "Scatter Plot: Diameter Batang vs Volume Kayu",
     xlab = "Girth / Diameter Batang (inci)", ylab = "Volume Kayu (kaki kubik)",
     pch = 19, col = "darkgreen")

par(mfrow = c(1, 2))
hist(trees$Girth, main = "Histogram Girth", xlab = "Girth (inci)", col = "lightgreen")
hist(trees$Volume, main = "Histogram Volume", xlab = "Volume (kaki kubik)", col = "lightyellow")

Dari scatter plot terlihat pola hubungan yang cenderung positif dan linear antara diameter batang dan volume kayu: semakin besar diameter batang pohon, semakin besar pula volume kayu yang dihasilkan.

3 Tahapan Analisis

3.1 Korelasi Antar Variabel

cor(trees$Girth, trees$Volume)
## [1] 0.9671194

3.2 Pembentukan Model Regresi

model <- lm(Volume ~ Girth, data = trees)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = Volume ~ Girth, data = trees)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -8.065 -3.107  0.152  3.495  9.587 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -36.9435     3.3651  -10.98 7.62e-12 ***
## Girth         5.0659     0.2474   20.48  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.252 on 29 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9353, Adjusted R-squared:  0.9331 
## F-statistic: 419.4 on 1 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

3.3 Persamaan Regresi

Berdasarkan hasil estimasi, persamaan regresi umum adalah:

\[\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X\]

dengan nilai koefisien hasil estimasi model:

coef(model)
## (Intercept)       Girth 
##  -36.943459    5.065856

Sehingga model akhirnya (nilai diambil otomatis dari output di atas):

\[\hat{Volume} = -36.943 + 5.066 \times Girth\]

plot(trees$Girth, trees$Volume,
     main = "Garis Regresi: Volume ~ Girth",
     xlab = "Girth / Diameter Batang (inci)", ylab = "Volume Kayu (kaki kubik)",
     pch = 19, col = "darkgreen")
abline(model, col = "red", lwd = 2)

3.4 Pemeriksaan Asumsi Klasik (Diagnostik Model)

par(mfrow = c(2, 2))
plot(model)

# Uji normalitas residual
shapiro.test(residuals(model))
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(model)
## W = 0.97889, p-value = 0.7811

4 Interpretasi

  • Intersep (\(\beta_0\)) sebesar -36.943 menunjukkan estimasi volume kayu ketika diameter batang bernilai 0 (secara praktis nilai ini hanya bermakna matematis, karena diameter 0 tidak realistis untuk sebuah pohon).
  • Koefisien kemiringan (\(\beta_1\)) sebesar 5.066 menunjukkan bahwa setiap kenaikan 1 inci diameter batang, volume kayu diperkirakan meningkat sebesar 5.066 kaki kubik, dengan asumsi faktor lain tetap.
  • Nilai p-value pada uji-t untuk Girth (lihat summary(model)) jauh lebih kecil dari 0.05, artinya variabel Girth berpengaruh signifikan terhadap Volume.
  • Nilai R-squared (lihat summary(model)) menunjukkan proporsi keragaman Volume yang dapat dijelaskan oleh variabel Girth.
  • Hasil uji Shapiro-Wilk digunakan untuk mengevaluasi apakah residual model menyebar normal (p-value > 0.05 mengindikasikan residual mendekati normal).

(Catatan: lengkapi bagian ini dengan menuliskan angka-angka aktual dari hasil summary(model) dan shapiro.test() di komputer Anda setelah di-knit, agar narasi interpretasi sesuai persis dengan output yang dihasilkan.)

5 Kesimpulan

Berdasarkan analisis regresi linear sederhana antara diameter batang (Girth) dan volume kayu (Volume) pada data trees, diperoleh model regresi yang signifikan secara statistik, dengan arah hubungan positif — semakin besar diameter batang pohon, semakin besar volume kayu yang dihasilkan. Model ini dapat digunakan sebagai dasar prediksi sederhana volume kayu berdasarkan pengukuran diameter batang, dengan tetap memperhatikan hasil pemeriksaan asumsi klasik yang telah dilakukan.