A. Pendahuluan

Uji normalitas merupakan salah satu uji prasyarat (uji asumsi) yang paling sering digunakan dalam statistika inferensial. Sebelum melakukan analisis statistik parametrik seperti uji-t, ANOVA, atau regresi linear, perlu dipastikan bahwa data yang digunakan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Laporan ini membahas konsep dasar distribusi normal, uji Shapiro-Wilk sebagai metode pengujiannya, serta penerapannya pada data bangkitan (simulasi) menggunakan R.

B. Dasar Teori

1. Distribusi Normal

Distribusi normal (Gaussian) adalah distribusi probabilitas kontinu yang paling banyak digunakan dalam statistika, dengan kurva berbentuk lonceng (bell-shaped) yang simetris terhadap nilai rata-ratanya. Fungsi kepadatan peluangnya dirumuskan sebagai:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

dengan \(\mu\) adalah rata-rata (mean) populasi dan \(\sigma\) adalah simpangan baku (standar deviasi) populasi.

Ciri-ciri data yang berdistribusi normal:

  1. Kurva simetris, dengan mean = median = modus.
  2. Sekitar 68% data berada dalam rentang \(\mu \pm 1\sigma\), 95% dalam \(\mu \pm 2\sigma\), dan 99.7% dalam \(\mu \pm 3\sigma\) (aturan empiris/68-95-99.7 rule).
  3. Nilai skewness (kemencengan) mendekati 0 dan kurtosis (keruncingan) mendekati 3.

2. Mengapa Uji Normalitas Penting?

Banyak metode statistik parametrik (uji-t, ANOVA, regresi linear, dsb.) dibangun di atas asumsi bahwa data atau residualnya berdistribusi normal. Jika asumsi ini dilanggar:

  • Hasil uji hipotesis (nilai \(p\), interval kepercayaan) bisa menjadi tidak valid, terutama pada ukuran sampel kecil.
  • Estimator yang dihasilkan mungkin tidak lagi bersifat efisien.
  • Sebagai solusi, biasanya digunakan metode non-parametrik (misalnya Wilcoxon, Kruskal-Wallis) sebagai alternatif jika data terbukti tidak normal.

3. Metode Pengujian Normalitas

Terdapat dua pendekatan umum untuk menguji normalitas:

a. Pendekatan Visual (Deskriptif)

  • Histogram — melihat bentuk sebaran data.
  • Q-Q Plot (Quantile-Quantile Plot) — membandingkan kuantil data dengan kuantil distribusi normal teoritis; jika titik-titik mengikuti garis diagonal, data cenderung normal.
  • Boxplot — mendeteksi kesimetrisan dan keberadaan outlier.

Kelemahan pendekatan visual adalah sifatnya subjektif, tergantung interpretasi orang yang membaca grafik.

b. Pendekatan Formal (Uji Statistik)

  • Shapiro-Wilk Test
  • Kolmogorov-Smirnov Test
  • Anderson-Darling Test
  • Lilliefors Test

Pendekatan formal lebih objektif karena menghasilkan nilai statistik uji dan \(p\text{-value}\) yang bisa dibandingkan dengan taraf signifikansi tertentu.

4. Uji Shapiro-Wilk

Uji Shapiro-Wilk (Shapiro & Wilk, 1965) adalah salah satu uji normalitas yang paling banyak direkomendasikan, terutama untuk ukuran sampel kecil hingga menengah (umumnya \(n \leq 50\), meskipun tetap valid untuk \(n\) lebih besar). Uji ini dianggap memiliki power (kemampuan mendeteksi ketidaknormalan) yang lebih baik dibanding metode lain seperti Kolmogorov-Smirnov.

Statistik uji Shapiro-Wilk dirumuskan sebagai:

\[ W = \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)} \right)^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

dengan \(x_{(i)}\) adalah data yang telah diurutkan (order statistics), \(a_i\) adalah konstanta yang diperoleh dari mean, varians, dan kovarians dari order statistics suatu sampel berdistribusi normal, dan \(\bar{x}\) adalah rata-rata sampel.

Nilai \(W\) berkisar antara 0 dan 1. Semakin mendekati 1, semakin kuat indikasi bahwa data mengikuti distribusi normal.

Hipotesis uji:

\[ \begin{aligned} H_0 &: \text{Data berasal dari populasi berdistribusi normal} \\ H_1 &: \text{Data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal} \end{aligned} \]

Kriteria keputusan (pada taraf signifikansi \(\alpha = 0.05\)):

  • Jika \(p\text{-value} > \alpha\) → gagal tolak \(H_0\) → data berdistribusi normal.
  • Jika \(p\text{-value} < \alpha\) → tolak \(H_0\) → data tidak berdistribusi normal.

5. Keunggulan dan Keterbatasan

Keunggulan:

  • Cocok untuk sampel kecil (bahkan \(n\) serendah 3).
  • Memiliki power uji yang tinggi dibanding uji normalitas lain.
  • Perhitungan tersedia langsung di R melalui fungsi shapiro.test().

Keterbatasan:

  • Untuk sampel sangat besar (\(n > 2000\)), uji ini kurang efektif digunakan (R membatasi maksimal \(n = 5000\)) karena cenderung terlalu sensitif — perbedaan sangat kecil dari normalitas bisa terdeteksi signifikan.
  • Hasil uji formal sebaiknya selalu didampingi visualisasi (Q-Q plot, histogram) untuk interpretasi yang lebih komprehensif.

C. Deskripsi Data (Tabel dan Gambar)

1. Data Simulasi

Untuk menerapkan konsep di atas, dibangkitkan data sebanyak 50 observasi menggunakan fungsi rnorm() di R, yang menghasilkan data acak berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku tertentu. set.seed(123) digunakan agar hasil dapat direproduksi.

set.seed(123)
n <- 50
data_uji <- rnorm(n, mean = 70, sd = 10)   # misal: nilai ujian
data_uji <- round(data_uji, 1)

df <- data.frame(id = 1:n, nilai = data_uji)

2. Statistika Deskriptif

str(df)
## 'data.frame':    50 obs. of  2 variables:
##  $ id   : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ nilai: num  64.4 67.7 85.6 70.7 71.3 87.2 74.6 57.3 63.1 65.5 ...
head(df)
##   id nilai
## 1  1  64.4
## 2  2  67.7
## 3  3  85.6
## 4  4  70.7
## 5  5  71.3
## 6  6  87.2
summary(df)
##        id            nilai      
##  Min.   : 1.00   Min.   :50.30  
##  1st Qu.:13.25   1st Qu.:64.40  
##  Median :25.50   Median :69.30  
##  Mean   :25.50   Mean   :70.34  
##  3rd Qu.:37.75   3rd Qu.:76.97  
##  Max.   :50.00   Max.   :91.70

Tabel Statistik Deskriptif

tabel_deskriptif <- data.frame(
  Statistik = c("n", "Mean", "Median", "Std. Deviasi", "Minimum", "Maksimum"),
  Nilai = c(
    nrow(df),
    round(mean(df$nilai), 2),
    round(median(df$nilai), 2),
    round(sd(df$nilai), 2),
    round(min(df$nilai), 2),
    round(max(df$nilai), 2)
  )
)
knitr::kable(tabel_deskriptif, caption = "Ringkasan Statistik Deskriptif Data Simulasi")
Ringkasan Statistik Deskriptif Data Simulasi
Statistik Nilai
n 50.00
Mean 70.34
Median 69.30
Std. Deviasi 9.27
Minimum 50.30
Maksimum 91.70

3. Skewness dan Kurtosis

Nilai skewness dan kurtosis dapat menjadi indikator awal normalitas data secara numerik, sebelum dilakukan uji formal.

if (!requireNamespace("moments", quietly = TRUE)) {
  install.packages("moments", repos = "https://cloud.r-project.org")
}
library(moments)

skew_val <- skewness(df$nilai)
kurt_val <- kurtosis(df$nilai)

cat("Skewness:", round(skew_val, 4), "\n")
## Skewness: 0.1673
cat("Kurtosis:", round(kurt_val, 4), "\n")
## Kurtosis: 2.579

Interpretasi awal: Data dikatakan cenderung simetris (mendekati normal) jika nilai skewness mendekati 0, dan kurtosis mendekati 3 (atau excess kurtosis mendekati 0).

4. Visualisasi Sebaran Data

par(mfrow = c(1, 2))

hist(
  df$nilai,
  breaks = 10,
  col = "#ecf0f1",
  border = "#2c3e50",
  main = "Histogram Data",
  xlab = "Nilai",
  freq = FALSE
)
curve(dnorm(x, mean = mean(df$nilai), sd = sd(df$nilai)),
      col = "red", lwd = 2, add = TRUE)

boxplot(
  df$nilai,
  col = "#3498db",
  main = "Boxplot Data",
  ylab = "Nilai"
)

par(mfrow = c(1, 1))

Cara membaca: Kurva merah pada histogram adalah kurva normal teoritis berdasarkan mean dan standar deviasi data. Jika batang histogram mengikuti pola kurva merah, itu indikasi awal data mendekati normal. Boxplot membantu melihat kesimetrisan dan ada tidaknya outlier ekstrem.

D. Tahapan Analisis

Berdasarkan dasar teori pada Bagian B, berikut tahapan penerapan uji Shapiro-Wilk terhadap data simulasi.

1. Merumuskan Hipotesis

\[ \begin{aligned} H_0 &: \text{Data berdistribusi normal} \\ H_1 &: \text{Data tidak berdistribusi normal} \end{aligned} \]

2. Menentukan Taraf Signifikansi

Taraf signifikansi yang digunakan adalah \(\alpha = 0.05\).

3. Menjalankan Uji Shapiro-Wilk

uji_sw <- shapiro.test(df$nilai)
uji_sw
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  df$nilai
## W = 0.98925, p-value = 0.9271

Dari hasil di atas diperoleh nilai \(\displaystyle W = 0.9892\) dengan \(\displaystyle p\text{-value} = 0.9271\).

4. Membandingkan p-value dengan Taraf Signifikansi

  • Jika \(\displaystyle p\text{-value} > 0.05\), maka gagal tolak \(\displaystyle H_0\) (data berdistribusi normal).
  • Jika \(\displaystyle p\text{-value} < 0.05\), maka tolak \(\displaystyle H_0\) (data tidak berdistribusi normal).

5. Visualisasi Pendukung: Normal Q-Q Plot

Q-Q Plot membandingkan kuantil data observasi dengan kuantil teoritis distribusi normal. Semakin dekat titik-titik dengan garis diagonal merah, semakin kuat indikasi normalitas.

qqnorm(df$nilai, pch = 19, col = "#8e44ad", main = "Normal Q-Q Plot")
qqline(df$nilai, col = "red", lwd = 2)
grid()

E. Interpretasi

1. Interpretasi Visual

Pada histogram, batang-batang data secara umum mengikuti pola kurva normal teoritis (garis merah), dan boxplot tidak menunjukkan outlier ekstrem yang mencolok. Pada Normal Q-Q Plot, titik-titik data tersebar mengikuti garis diagonal merah, yang mengindikasikan kesesuaian dengan distribusi normal secara visual.

2. Interpretasi Numerik (Skewness dan Kurtosis)

Nilai skewness sebesar 0.1673 menunjukkan bahwa data relatif simetris, sedangkan nilai kurtosis sebesar 2.579 mendekati nilai kurtosis distribusi normal (3).

3. Interpretasi Hasil Uji Shapiro-Wilk

Ringkasan Hasil

Ringkasan Hasil Uji Shapiro-Wilk
Uji Statistik_W p_value Status
W Shapiro-Wilk 0.989 0.9271 Normal

Karena nilai \(\displaystyle p\text{-value} = 0.9271\) lebih besar dari \(\alpha = 0.05\), maka keputusan yang diambil adalah gagal tolak H0, sehingga dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi normal pada taraf signifikansi 5%.

F. Kesimpulan

  1. Berdasarkan kajian teori, distribusi normal memiliki ciri kurva simetris dengan mean = median = modus, dan uji Shapiro-Wilk merupakan metode uji normalitas formal yang direkomendasikan untuk ukuran sampel kecil hingga menengah karena memiliki power uji yang tinggi.
  2. Nilai skewness sebesar 0.1673 dan kurtosis sebesar 2.579 menunjukkan indikasi awal data relatif simetris.
  3. Hasil uji Shapiro-Wilk menunjukkan \(\displaystyle W = 0.9892\) dengan \(\displaystyle p\text{-value} = 0.9271\).
  4. Karena \(\displaystyle p\text{-value}\) > 0.05, maka gagal tolak \(\displaystyle H_0\), sehingga data yang dianalisis berdistribusi normal pada taraf signifikansi \(5\%\).
  5. Dengan demikian, data ini memenuhi syarat untuk digunakan pada analisis statistik parametrik selanjutnya (misalnya uji-t atau ANOVA).